Страница:
Его вера, подкрепленная упрямой интуицией, в «инфантильный» (как сказал Харди) геометрический подход, была так сильна, что впервые со времени начала работы над Проблемой он чувствовал, что находится на волосок от решения. Были даже восторженные минуты в один солнечный январский день, когда ненадолго возникла иллюзия, что он его нашел – но, увы, более трезвый анализ обнаружил небольшую, но решающую ошибку.
(Здесь, дорогой читатель, я должен сознаться: в этот момент дядиного рассказа я невольно ощутил прилив мстительной радости. Я вспомнил то лето в Пилосе, когда тоже какое-то время думал, что решил проблему Гольдбаха – хотя тогда и не знал ее названия.)
Несмотря на глубокий оптимизм, приступы сомнения в себе, иногда на грани отчаяния (особенно после пренебрежительного отзыва Харди о геометрическом методе), стали сильны, как никогда. Дядя боролся с ними, убеждая себя, что это страдания, предшествующие великому триумфу, родовые муки великого открытия. Ведь и ночь темнее всего перед рассветом. Петрос был уверен, что более чем готов для финального рывка. Решительный приступ сосредоточенных усилий – только это и нужно, чтобы вознаградить его последним блестящим озарением.
И потом – славный финиш…
Провозвестие сдачи Петроса Папахристоса, прекращения его усилий решить проблему Гольдбаха пришло во сне, который привиделся ему в Кембридже вскоре после Рождества, – знамение, все значение которого он не сразу постиг.
Как и многие математики, долго работающие над основными арифметическими проблемами, Петрос «подружился с натуральными числами», то есть приобрел глубокое знание пристрастий, капризов и странностей многих конкретных чисел. Несколько примеров: «друг натуральных чисел» сразу распознает 199, 457 или 1009 как простые числа. Число 220 немедленно ассоциируется с числом 284, поскольку эта пара связана необычным соотношением (сумма целых делителей каждого из них равна другому). Число 256 он тут же прочтет как 2 в восьмой степени, вслед за которым идет число, представляющее большой исторический интерес, поскольку 257 может быть выражено в виде
а существовала знаменитая гипотеза, что числа вида
являются простыми
[22].
Первым известным моему дяде человеком, у которого это качество присутствовало, причем в крайней степени, был Сриниваса Рамануджан. Петрос видел это много раз и даже рассказал мне такую историю [23]:
Однажды в 1918 году они с Харди навещали Рамануджана в санатории. Чтобы сломать лед, Харди сообщил, что номер такси, которое их сюда привезло, был 1729 – число «довольно скучное», как ему показалось. Но Рамануджан, задумавшись лишь на мгновение, энергично возразил: «Нет, Харди, вы неправы! Это очень интересное число – оно наименьшее, которое может быть представлено в виде суммы двух кубов двумя способами!» [24]
За годы, которые Петрос работал над Проблемой с помощью элементарного подхода, его собственная дружба с числами развилась до исключительных пределов. Числа переставали быть неодушевленными сущностями; они почти оживали, у каждого была своя личность. Это – вместе с уверенностью, что решение где-то существует – поддерживало его в самые суровые времена: работая с натуральными числами, он – я цитирую – «чувствовал себя среди друзей».
Эта близость вызывала вхождение некоторых чисел в дядины сны. Из безымянной и безликой массы натуральных чисел, громоздившейся ранее в ночных спектаклях, стали выделяться отдельные актеры, даже главные действующие лица. Например, число 65 являлось почему-то в виде джентльмена из Сити, в котелке и с зонтиком, и с ним всегда один из его простых делителей – 13, гоблиноподобное создание, гибкое и быстрое как молния. Число 333 было жирным лентяем, ворующим куски изо рта своих братьев 222 и 111, а число 8191, известное как «простое число Мерсенна», неизменно имело внешность парижского гамена, вплоть до прилипшей к губе сигареты «голуаз».
Иногда видения были приятны и забавны, иногда безразличны, иногда же назойливы и неприятны. Но была еще одна категория арифметических снов, которые можно было бы назвать только кошмарными, если не из-за ужаса или муки, то из-за глубокой, бездонной тоски. Некоторые четные числа являлись в виде пары близнецов-двойняшек (напомним, что четное число всегда представимо в виде 2 k, то есть суммы двух равных целых чисел). Эти близнецы смотрели на дядю не отрываясь, без выражения на неподвижных лицах. Но в глазах их была огромная, хоть и немая боль, боль отчаяния. Если бы они могли говорить, слова были бы такими: «Приди, умоляем тебя! Скорее освободи нас!»
В этих печальных видениях была одна вариация, которая пришла к нему как-то ночью в конце января 1933 года. Это и был тот сон, который дядя ретроспективно назвал «герольдом поражения».
Ему приснилось число 2 100(2 в сотой степени – число огромное) в виде двух одинаковых веснушчатых темноглазых красавиц, и они глядели прямо на него. Но теперь в этих глазах была не просто грусть, как раньше в глазах Четных, там была злость, даже ненависть. Они смотрели на него долго-долго (уже одного этого было бы достаточно, чтобы назвать сон кошмаром), и потом одна из них мотнула головой из стороны в сторону движением коротким и резким. Рот ее исказился в злобной ухмылке – это была злоба отвергнутой любви.
– Ты никогда до нас не доберешься, – прошипела она.
От этих слов Петрос вскочил с кровати в холодном поту. Слова 2 99(то есть половины от 2 100) могли значить только одно: ему не суждено решить Проблему. Конечно, он не был суеверен, как старуха, слепо верящая в приметы. Но глубокое истощение от многих бесплодных лет начало брать свое. Нервы были уже не так крепки, как раньше, и сон его необычайно расстроил.
Не в силах заснуть снова, он вышел погулять по темным туманным улицам, пытаясь стряхнуть ужасную подавленность. Когда он шел в занимающемся рассвете мимо древних каменных зданий, сзади внезапно послышались приближающиеся шаги, и Петрос, охваченный мгновенным страхом, резко обернулся. Из тумана материализовался быстро бегущий молодой человек в спортивной одежде. Он на ходу поздоровался и снова исчез, и его ритмичное дыхание быстро растаяло в тишине.
Все еще расстроенный кошмаром, дядя Петрос не знал точно, наяву ли он увидел этот образ или в мире своих снов. Но когда молодой человек через несколько месяцев вошел к нему в комнату в Тринити-колледже с судьбоносной миссией, дядя сразу узнал рассветного бегуна. Когда вестник ушел, он понял задним числом, что их первая встреча на рассвете была темным предупреждением, таким же, как видение 2 100– вестью поражения.
Роковой разговор произошел через несколько месяцев после мимолетной рассветной встречи. Этот день отмечен в дневнике дяди Петроса лаконичным комментарием – первым и последним обращением к религии, который я нашел в его дневниках:
17 марта 1933 года. Теорема Курта Гёделя. Святая Мария, Матерь Божия, смилуйся надо мной!
Был конец дня. Дядя весь день пробыл у себя, склонившись в кресле и рассматривая выложенные на полу прямоугольники бобов, уйдя в свои мысли, когда в дверь постучали.
– Профессор Папахристос?
Появилась белокурая голова. У Петроса была хорошая зрительная память, и он сразу узнал молодого бегуна, который рассыпался в извинениях, что побеспокоил.
– Вы меня простите ради Бога за такое вторжение, – сказал молодой человек, – но мне отчаянно нужна ваша помощь.
Петрос сильно удивился – он считал, что его присутствие в Кембридже мало кем замечено. Он не был знаменит, не был даже известен и, если не считать его почти ежевечерних посещений шахматного клуба, ни с кем, кроме Харди и Литлвуда, не обменялся и двумя словами.
– Моя помощь – в чем?
– А, в расшифровке трудного немецкого текста – математического текста. – И молодой человек снова пустился в извинения, что растрачивает время профессора на такие мелочи. Но эта статья так для него важна, и, когда он услышал, что в Тринити-колледже есть его старший коллега из Германии, он не мог удержаться и не попросить его помощи в этом крайне необходимом ему переводе.
В его манере было что-то настолько подкупающее детское, что профессор Папахристос не смог ему отказать.
– Буду рад вам помочь, если это в моих силах. Из какой области статья?
– Формальная логика, профессор. Grundlagen ,основания математики.
Петрос был рад услышать, что не из теории чисел, – он было испугался, что молодой коллега хочет выпытать секреты его работы над Проблемой, использовав статью как предлог. Поскольку Петрос уже более или менее закончил свою дневную работу, он предложил молодому посетителю кресло.
– Как, вы сказали, вас зовут? Алан Тьюринг, профессор. Я студент. Тьюринг протянул ему журнал со статьей, открытый на нужной странице.
– A, «Monatshefte fur Mathematik und Physik», сказал Петрос. – «Ежемесячный обзор математики и физики» – издание весьма почтенное. Так, название статьи, как я вижу, «Uber formal unentscheidbare Satce der Principia Mathematica und verwandter Systeme». В переводе это будет… так, минутку… «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и аналогичных систем». Автор – некто Курт Гёдель из Вены. Это известный в своей области математик?
Тьюринг поднял на дядю удивленные глаза.
– Разве вы никогда не слышали об этой статье, профессор?
Петрос улыбнулся:
– Дорогой мой, математика тоже заражена этой современной чумой – сверхспециализацией. Боюсь, что понятия не имею о современных достижениях формальной логики, да и других областей математики, если на то пошло. Увы, за пределами теории чисел я полный профан.
– Но, профессор, – возразил Тьюринг, – теорема Гёделя интересна всем математикам, а специалистам по теории чисел – особенно! Ее первые приложения относились к самым основам арифметики, аксиомам Пеано-Дедекинда.
К полному изумлению Тьюринга, Петрос и об аксиомах Пеано-Дедекинда имел довольно смутное представление. Как и любой работающий математик, он считал формальную логику – дисциплину, основным предметом которой является сама математика, – занятием с явно раздутой репутацией, если вообще не бесполезным. Бесконечные попытки строгих обоснований и пересмотра основных принципов он воспринимал как пустую трату времени. Его отношение к этим вопросам лучше всего иллюстрировала народная мудрость «не чини то, что не сломано». Дело математика – доказывать теоремы, а не постоянно жевать мысли о состоянии их невысказанных и не подвергаемых сомнению основ.
Но горячность, с которой говорил молодой посетитель, возбудила любопытство дяди Петроса.
– А что такое доказал этот юный мистер Гёдель, что представляет интерес для теории чисел?
– Он решил проблему полноты, – доложил Тьюринг с горящими глазами.
Петрос улыбнулся. Проблема полноты – не что иное, как стремление формально доказать, что все истинные утверждения в конце концов доказуемы.
– Это хорошо, – вежливо согласился Петрос. – Я вам должен сказать тем не менее – никак не желая оскорбить мистера Гёделя, конечно, – что для работающего ученого полнота математики всегда была очевидной. Все же приятно знать, что кто-то наконец сел и ее доказал.
Но Тьюринг уже неистово мотал головой, и лицо его раскраснелось от возбуждения.
– Вот в том-то и дело, профессор Папахристос! Гёдель ее не доказал!
Петрос не понял.
– Извините, мистер Тьюринг… Вы только что сами сказали, что этот молодой человек решил проблему полноты? Я ведь не ослышался?
– Да, профессор, но вопреки ожиданиям всех – в том числе Гильберта и Рассела – он ее решил в отрицательном смысле! Он доказал, что арифметика и все математические теории не полны!
Петрос не настолько был знаком с концепциями формальной логики, чтобы сразу оценить все вытекающие следствия.
– Простите?
Тьюринг опустился на колени рядом с креслом Петроса и стал тыкать пальцами в хитросплетения символов в статье Гёделя.
– Вот: этот гений доказал – окончательно доказал! – что какие бы аксиомы ни принять, теория чисел с необходимостью будет содержать недоказуемые предложения!
– То есть, вы хотите сказать, ложные предложения?
– Нет, я хочу сказать – истинные предложения; истинные, но такие, которые невозможно доказать!
Петрос вскочил на ноги.
– Это невозможно!
– Но это так, и доказательство тому здесь, на этих пятнадцати страницах: «Истина не всегда доказуема»!
У моего дяди внезапно закружилась голова.
– Но этого… этого не может быть!
Он принялся лихорадочно листать журнал, пытаясь сразу постигнуть изощренные рассуждения статьи, и бормотал про себя, начисто забыв о молодом человеке:
– Мерзость… аномалия… извращение… Тьюринг довольно улыбнулся.
– Все математики поначалу так реагируют. Но Рассел и Уайтхед проанализировали доказательство Гёделя и объявили его безупречным. На самом деле они употребили слово «совершенство».
– «Совершенство»? – скривился Петрос. – Но если он это доказал – то есть действительно доказал, во что я отказываюсь верить, то это – конец математики!
Много часов Петрос пропотел над кратким, но донельзя насыщенным текстом. Он переводил, а Тьюринг объяснял незнакомые ему концепции формальной логики, лежащие в основе рассуждений Гёделя. Закончив перевод, они снова начали сначала, разбирая доказательство шаг за шагом. Петрос отчаянно искал погрешность в рассуждениях.
Это стало началом конца.
Было уже за полночь, когда Тьюринг ушел. Петрос не мог заснуть. Первое, что он сделал утром – пошел к Литлвуду. К его величайшему удивлению, тот уже знал теорему Гёделя о неполноте.
– И как же вы могли ни разу о ней не сказать? – спросил его Петрос. – Как вы можете знать о существовании чего-то подобного и быть таким спокойным?
Литлвуд не понял.
– А чего вы так расстроились, старина? Гёдель изучает некоторые весьма специальные случаи, он ищет парадоксы, очевидно, присущие всем аксиоматическим системам. Какое до этого дело нам, окопным солдатам математики?
Но Петроса нельзя было так легко успокоить.
– Как вы не понимаете, Литлвуд? Отныне, встречаясь с каждым до сих пор не доказанным утверждением, мы должны будем спрашивать себя, а не является ли оно случаем применимости теоремы Гёделя. Ведь любая нерешенная проблема, любая недоказанная гипотеза могут быть априори нерешаемы и недоказуемы! Слова Гильберта «В математике нет ignorabimus »более не применимы. Саму почву, на которой мы стояли, вышибли у нас из-под ног! Литлвуд пожал плечами.
– Не вижу смысла расстраиваться из-за парочки недоказуемых истин, если есть миллионы доказуемых, с которыми можно работать.
– Да, черт побери, но как узнать, кто из них кто?
Хотя реакция Литлвуда должна была бы успокоить – нота оптимизма после катастрофы вчерашнего вечера, – она не дала Петросу ответа на единственный, отравляющий, пугающий вопрос, который возник сразу, как он услышал о результате Гёделя. Вопрос этот был так ужасен, что дядя еле отваживался его сформулировать: что, если теорема Гёделя о неполноте применима к его задаче? Что, если утверждение проблемы Гольдбаха недоказуемо?
От Литлвуда он пошел прямо к Алану Тьюрингу в его колледж и спросил, есть ли продолжающие работы по теореме Гёделя о неполноте. Тьюринг не знал. Было ясно, что только один человек на свете может ответить на его вопрос.
Петрос послал Харди и Литлвуду записку, что некое срочное дело заставляет его ехать в Мюнхен, и в тот же вечер уже был на пароходе, пересекающем Ла-Манш. На следующий день он оказался в Вене. Нужного человека он нашел через знакомых в академических кругах. Они созвонились и, поскольку Петрос не хотел, чтобы его видели в университете, договорились встретиться в кафе отеля «Захер».
Курт Гёдель прибыл точно вовремя – худощавый молодой человек среднего роста, с близорукими глазками за толстыми стеклами очков.
Петрос не стал терять времени.
– Я хочу кое-что у вас спросить, герр Гёдель, причем строго конфиденциально.
Гёдель, стеснительный от природы, почувствовал себя еще более неловко.
– Это личный вопрос, герр профессор?
– Вопрос профессиональный, но относится к моей личной работе, и я был бы очень признателен – нет, я настаиваю! – чтобы это осталось строго между нами. Пожалуйста, сообщите мне, герр Гёдель: существует ли процедура, позволяющая определить, относится ли ваша теорема к какой-либо наперед заданной гипотезе?
Гёдель дал ответ, которого он страшился:
– Нет.
– И на самом деле вы не можете определить априори, какие утверждения доказуемы, а какие нет?
– Насколько мне известно, герр профессор, любое недоказанное утверждение может в принципе быть недоказуемым.
Тут у Петроса перед глазами поплыла красная тьма. Его охватил неудержимый порыв схватить отца теоремы о неполноте за тощую шею и бить головой о блестящую поверхность стола. Но он сдержался, только перегнулся через стол и стиснул руку Гёделя выше локтя.
– Я всю жизнь потратил, пытаясь доказать гипотезу Гольдбаха, – сказал он глухим напряженным голосом, – и теперь вы мне говорите, что она может быть недоказуема?
И без того бледное лицо Гёделя утратило последние краски.
– В теории – да…
– К черту ваши теории! – Головы сидевших в кафе людей повернулись на крик Петроса. – Мне нужно знать точно, можете вы это понять? Я имею право знать, если растратил свою жизнь зря!
Он так сжал пальцы, что Гёдель от боли скривился. Петросу вдруг стало стыдно за свою несдержанность. Как бы там ни было, этот несчастный не отвечает за неполноту математики – он ведь ее только открыл! Петрос разжал руку и промямлил какие-то извинения.
Гёдель дрожал.
– Я п-понимаю ваши ч-чувства, профессор, – выговорил он, – но б-боюсь, что сейчас на ваш вопрос ответить абсолютно невозможно.
С этой минуты смутная угроза, обозначенная теоремой Гёделя о неполноте, стала разворачиваться в неусыпную тревогу и постепенно превратилась в тень, омрачавшую каждый момент жизни Петроса и угасившую в конце концов его боевой дух.
Конечно, это случилось не в один день. Петрос еще несколько лет продолжал свою работу, но это уже был другой человек. Когда он работал, то работал уже только вполсилы, но когда отчаивался, отчаяние было полным, настолько невыносимым, что превращалось в безразличие – чувство, гораздо более терпимое.
– Понимаешь, – объяснил мне Петрос, – когда я услышал эту теорему о неполноте, она сразу разрушила уверенность, которая только и придавала мне силы. Она мне сказала: есть определенная вероятность, что я блуждаю в лабиринте, из которого никогда не найти выхода, пусть даже у меня будет сто жизней, которые я отдам работе. И это по очень простой причине: потому что выхода может не быть, потому что этот лабиринт – бесконечный тупик! О любимейший из племянников, я начал верить, что потратил свою жизнь на погоню за химерой!
Эту новую ситуацию он проиллюстрировал примером, который уже раньше приводил. Предполагаемый друг, который просил его помощи в поиске потерянного в доме ключа, мог страдать амнезией. (Опять-таки мог и не страдать, но не было способа узнать это наверняка.) В этом случае возможно, что «потерянного ключа» вообще никогда и не было!
Утешительной уверенности, на которой строились все его труды двадцати последних лет, более не существовало, и еще больше усиливали тревогу участившиеся посещения Четных Чисел. Теперь они являлись почти каждую ночь, отравляя его сны злой силой. В кошмарах рождались новые образы – постоянные вариации темы неудачи и поражения. Между ним и Четными Числами вырастали высокие стены, и Четные уходили целыми табунами все дальше и дальше, с поникшими головами – разбитая армия, отступающая во тьму пустынных, бесконечных, необъятных просторов… А худшее из всех видений, от которого он всегда просыпался, дрожа, в холодном поту, было 2 100, две веснушчатые темноглазые красавицы. Они глядели молча и пристально, в глазах у них дрожали слезы, и снова и снова их черты поглощала тьма.
Значение сна было ясно, и для истолкования его мрачного символизма не нужны были ни психоаналитик, ни гадалка: увы, теорема о неполноте применима к проблеме Гольдбаха. Это утверждение недоказуемо априори.
Возвратившись в Мюнхен после года в Кембридже, Петрос внешне вернулся и к прежнему образу жизни: преподавание, шахматы и минимум общественной жизни, но, поскольку сейчас ему было нечего делать, он начал иногда принимать случайные приглашения. Впервые с раннего детства оказалось, что погруженность в поиск математических истин не играет в его жизни центральную роль. Хотя он продолжал заниматься своими исследованиями, эти занятия были лишены былого жара. Теперь он отдавал работе не более нескольких часов в день, рассеянно шлифуя свой геометрический метод. Он по-прежнему вставал до рассвета, шел в кабинет и там медленно расхаживал среди выложенных из фасоли прямоугольников (чтобы освободить для них место, он всю мебель сдвинул к стенам). Он где-то добавлял, где-то убирал, что-то про себя рассеянно бормоча. Так проходило некоторое время, а потом, раньше или позже, дядя садился в кресло, вздыхал и переключался на шахматы.
Такой распорядок держался еще года два или три, и время, проводимое за этими «научными занятиями», постепенно сократилось почти до нуля, А потом к концу 1936 года Петрос получил телеграмму от Алана Тьюринга, уже из Принстонского университета:
Я ДОКАЗАЛ НЕВОЗМОЖНОСТЬ АПРИОРНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ТЧК
Вот именно: ТЧК. Это значило, в сущности, то, что невозможно заранее узнать, доказуемо ли конкретное математическое утверждение. Если оно в конце концов будет доказано, то оно, очевидно, доказуемо. Тьюрингу удалось показать, что пока утверждение остается недоказанным, абсолютно невозможно утверждать, является оно недоказуемым или просто очень трудным.
Непосредственным следствием этого, касавшимся дяди Петроса, было вот что: если он надумает и дальше искать решение проблемы Гольдбаха, то делать это он будет на свой страх и риск. Чтобы так поступить, нужны два качества – сильный оптимизм и хороший боевой дух. И эти качества у него – от времени, усталости, невезения, из-за Курта Гёделя, а теперь еще и с помощью Алана Тьюринга – истощились.
ТЧК.
Через несколько дней после телеграммы Тьюринга (в дневнике указана дата 7 декабря 1936 года) Петрос сообщил своей домоправительнице, что бобы ему больше не потребуются. Она их собрала, промыла как следует и сварила герру Профессору на обед великолепное мясное ассорти с фасолью.
Дядя Петрос помолчал, удрученно глядя себе на руки. За кругом бледно-желтого света, в котором мы сидели, уже легла полная тьма.
– И вот тогда ты и бросил искать решение? – спросил я тихо.
Он кивнул:
– Да.
– И никогда больше не пытался решать проблему Гольдбаха?
– Никогда.
– А Изольда?
Мой вопрос его, кажется, удивил.
– Изольда? При чем здесь Изольда?
– Я так понял, что Проблемой ты занялся, чтобы завоевать ее сердце?
Дядя Петрос грустно улыбнулся.
– Изольда подарила мне «Дивное странствие», как сказал наш поэт. Без нее я, быть может, «не тронулся бы в путь» [25]. И все же она была всего лишь исходным стимулом. Через несколько лет после начала работы над Проблемой память о ней поблекла, она стала далеким фантазмом, горько-сладким воспоминанием… И мои мотивы оказались более высокого – или возвышенного – сорта. – Он вздохнул: – Бедная Изольда! Она погибла во время бомбежки Дрездена вместе со своими двумя дочерьми. А ее муж, «бравый молодой лейтенант», был убит еще раньше на Восточном фронте.
Последняя часть рассказа моего дяди математического интереса не представляет.
В последующие годы силой, определяющей его жизнь, стала не математика, а история. Мировые события сломали защитный барьер, за которым он счастливо жил в своей башне из слоновой кости. В 1938 году гестапо арестовало его домоправительницу и отправило в лагеря, которые тогда еще называли «трудовыми». Он никого на ее место не нанял, наивно веря, что она скоро вернется, а арест объясняется каким-либо «недоразумением». (Когда война закончилась, он от выживших ее родственников узнал, что домоправительница погибла в 1943 году в Дахау, почти рядом с Мюнхеном.) Он начал питаться в ресторанах, возвращаясь домой только для сна. Почти все свободное от университета время он проводил в шахматном клубе, играя, наблюдая и анализируя партии.
В 1939 году декан математического факультета, к тому времени видный член нацистской партии, указал, что Петросу следует немедленно подать на получение немецкого гражданства и официально стать подданным Третьего Рейха. Петрос отказался не из каких-либо принципов (он сумел пройти по жизни, не неся груза идеологии), но потому, что меньше всего на свете ему хотелось опять заниматься дифференциальными уравнениями. Было ясно, что подавать на гражданство ему предложило министерство обороны, имея в виду именно эту цель. После отказа дядя, по сути, стал persona non grata [26] *.В сентябре 1940 года, незадолго до того, как Италия объявила войну Греции (дядя Петрос сразу оказался бы враждебным иностранцем, подлежащим интернированию), он покинул Германию.
(Здесь, дорогой читатель, я должен сознаться: в этот момент дядиного рассказа я невольно ощутил прилив мстительной радости. Я вспомнил то лето в Пилосе, когда тоже какое-то время думал, что решил проблему Гольдбаха – хотя тогда и не знал ее названия.)
Несмотря на глубокий оптимизм, приступы сомнения в себе, иногда на грани отчаяния (особенно после пренебрежительного отзыва Харди о геометрическом методе), стали сильны, как никогда. Дядя боролся с ними, убеждая себя, что это страдания, предшествующие великому триумфу, родовые муки великого открытия. Ведь и ночь темнее всего перед рассветом. Петрос был уверен, что более чем готов для финального рывка. Решительный приступ сосредоточенных усилий – только это и нужно, чтобы вознаградить его последним блестящим озарением.
И потом – славный финиш…
Провозвестие сдачи Петроса Папахристоса, прекращения его усилий решить проблему Гольдбаха пришло во сне, который привиделся ему в Кембридже вскоре после Рождества, – знамение, все значение которого он не сразу постиг.
Как и многие математики, долго работающие над основными арифметическими проблемами, Петрос «подружился с натуральными числами», то есть приобрел глубокое знание пристрастий, капризов и странностей многих конкретных чисел. Несколько примеров: «друг натуральных чисел» сразу распознает 199, 457 или 1009 как простые числа. Число 220 немедленно ассоциируется с числом 284, поскольку эта пара связана необычным соотношением (сумма целых делителей каждого из них равна другому). Число 256 он тут же прочтет как 2 в восьмой степени, вслед за которым идет число, представляющее большой исторический интерес, поскольку 257 может быть выражено в виде
Первым известным моему дяде человеком, у которого это качество присутствовало, причем в крайней степени, был Сриниваса Рамануджан. Петрос видел это много раз и даже рассказал мне такую историю [23]:
Однажды в 1918 году они с Харди навещали Рамануджана в санатории. Чтобы сломать лед, Харди сообщил, что номер такси, которое их сюда привезло, был 1729 – число «довольно скучное», как ему показалось. Но Рамануджан, задумавшись лишь на мгновение, энергично возразил: «Нет, Харди, вы неправы! Это очень интересное число – оно наименьшее, которое может быть представлено в виде суммы двух кубов двумя способами!» [24]
За годы, которые Петрос работал над Проблемой с помощью элементарного подхода, его собственная дружба с числами развилась до исключительных пределов. Числа переставали быть неодушевленными сущностями; они почти оживали, у каждого была своя личность. Это – вместе с уверенностью, что решение где-то существует – поддерживало его в самые суровые времена: работая с натуральными числами, он – я цитирую – «чувствовал себя среди друзей».
Эта близость вызывала вхождение некоторых чисел в дядины сны. Из безымянной и безликой массы натуральных чисел, громоздившейся ранее в ночных спектаклях, стали выделяться отдельные актеры, даже главные действующие лица. Например, число 65 являлось почему-то в виде джентльмена из Сити, в котелке и с зонтиком, и с ним всегда один из его простых делителей – 13, гоблиноподобное создание, гибкое и быстрое как молния. Число 333 было жирным лентяем, ворующим куски изо рта своих братьев 222 и 111, а число 8191, известное как «простое число Мерсенна», неизменно имело внешность парижского гамена, вплоть до прилипшей к губе сигареты «голуаз».
Иногда видения были приятны и забавны, иногда безразличны, иногда же назойливы и неприятны. Но была еще одна категория арифметических снов, которые можно было бы назвать только кошмарными, если не из-за ужаса или муки, то из-за глубокой, бездонной тоски. Некоторые четные числа являлись в виде пары близнецов-двойняшек (напомним, что четное число всегда представимо в виде 2 k, то есть суммы двух равных целых чисел). Эти близнецы смотрели на дядю не отрываясь, без выражения на неподвижных лицах. Но в глазах их была огромная, хоть и немая боль, боль отчаяния. Если бы они могли говорить, слова были бы такими: «Приди, умоляем тебя! Скорее освободи нас!»
В этих печальных видениях была одна вариация, которая пришла к нему как-то ночью в конце января 1933 года. Это и был тот сон, который дядя ретроспективно назвал «герольдом поражения».
Ему приснилось число 2 100(2 в сотой степени – число огромное) в виде двух одинаковых веснушчатых темноглазых красавиц, и они глядели прямо на него. Но теперь в этих глазах была не просто грусть, как раньше в глазах Четных, там была злость, даже ненависть. Они смотрели на него долго-долго (уже одного этого было бы достаточно, чтобы назвать сон кошмаром), и потом одна из них мотнула головой из стороны в сторону движением коротким и резким. Рот ее исказился в злобной ухмылке – это была злоба отвергнутой любви.
– Ты никогда до нас не доберешься, – прошипела она.
От этих слов Петрос вскочил с кровати в холодном поту. Слова 2 99(то есть половины от 2 100) могли значить только одно: ему не суждено решить Проблему. Конечно, он не был суеверен, как старуха, слепо верящая в приметы. Но глубокое истощение от многих бесплодных лет начало брать свое. Нервы были уже не так крепки, как раньше, и сон его необычайно расстроил.
Не в силах заснуть снова, он вышел погулять по темным туманным улицам, пытаясь стряхнуть ужасную подавленность. Когда он шел в занимающемся рассвете мимо древних каменных зданий, сзади внезапно послышались приближающиеся шаги, и Петрос, охваченный мгновенным страхом, резко обернулся. Из тумана материализовался быстро бегущий молодой человек в спортивной одежде. Он на ходу поздоровался и снова исчез, и его ритмичное дыхание быстро растаяло в тишине.
Все еще расстроенный кошмаром, дядя Петрос не знал точно, наяву ли он увидел этот образ или в мире своих снов. Но когда молодой человек через несколько месяцев вошел к нему в комнату в Тринити-колледже с судьбоносной миссией, дядя сразу узнал рассветного бегуна. Когда вестник ушел, он понял задним числом, что их первая встреча на рассвете была темным предупреждением, таким же, как видение 2 100– вестью поражения.
Роковой разговор произошел через несколько месяцев после мимолетной рассветной встречи. Этот день отмечен в дневнике дяди Петроса лаконичным комментарием – первым и последним обращением к религии, который я нашел в его дневниках:
17 марта 1933 года. Теорема Курта Гёделя. Святая Мария, Матерь Божия, смилуйся надо мной!
Был конец дня. Дядя весь день пробыл у себя, склонившись в кресле и рассматривая выложенные на полу прямоугольники бобов, уйдя в свои мысли, когда в дверь постучали.
– Профессор Папахристос?
Появилась белокурая голова. У Петроса была хорошая зрительная память, и он сразу узнал молодого бегуна, который рассыпался в извинениях, что побеспокоил.
– Вы меня простите ради Бога за такое вторжение, – сказал молодой человек, – но мне отчаянно нужна ваша помощь.
Петрос сильно удивился – он считал, что его присутствие в Кембридже мало кем замечено. Он не был знаменит, не был даже известен и, если не считать его почти ежевечерних посещений шахматного клуба, ни с кем, кроме Харди и Литлвуда, не обменялся и двумя словами.
– Моя помощь – в чем?
– А, в расшифровке трудного немецкого текста – математического текста. – И молодой человек снова пустился в извинения, что растрачивает время профессора на такие мелочи. Но эта статья так для него важна, и, когда он услышал, что в Тринити-колледже есть его старший коллега из Германии, он не мог удержаться и не попросить его помощи в этом крайне необходимом ему переводе.
В его манере было что-то настолько подкупающее детское, что профессор Папахристос не смог ему отказать.
– Буду рад вам помочь, если это в моих силах. Из какой области статья?
– Формальная логика, профессор. Grundlagen ,основания математики.
Петрос был рад услышать, что не из теории чисел, – он было испугался, что молодой коллега хочет выпытать секреты его работы над Проблемой, использовав статью как предлог. Поскольку Петрос уже более или менее закончил свою дневную работу, он предложил молодому посетителю кресло.
– Как, вы сказали, вас зовут? Алан Тьюринг, профессор. Я студент. Тьюринг протянул ему журнал со статьей, открытый на нужной странице.
– A, «Monatshefte fur Mathematik und Physik», сказал Петрос. – «Ежемесячный обзор математики и физики» – издание весьма почтенное. Так, название статьи, как я вижу, «Uber formal unentscheidbare Satce der Principia Mathematica und verwandter Systeme». В переводе это будет… так, минутку… «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и аналогичных систем». Автор – некто Курт Гёдель из Вены. Это известный в своей области математик?
Тьюринг поднял на дядю удивленные глаза.
– Разве вы никогда не слышали об этой статье, профессор?
Петрос улыбнулся:
– Дорогой мой, математика тоже заражена этой современной чумой – сверхспециализацией. Боюсь, что понятия не имею о современных достижениях формальной логики, да и других областей математики, если на то пошло. Увы, за пределами теории чисел я полный профан.
– Но, профессор, – возразил Тьюринг, – теорема Гёделя интересна всем математикам, а специалистам по теории чисел – особенно! Ее первые приложения относились к самым основам арифметики, аксиомам Пеано-Дедекинда.
К полному изумлению Тьюринга, Петрос и об аксиомах Пеано-Дедекинда имел довольно смутное представление. Как и любой работающий математик, он считал формальную логику – дисциплину, основным предметом которой является сама математика, – занятием с явно раздутой репутацией, если вообще не бесполезным. Бесконечные попытки строгих обоснований и пересмотра основных принципов он воспринимал как пустую трату времени. Его отношение к этим вопросам лучше всего иллюстрировала народная мудрость «не чини то, что не сломано». Дело математика – доказывать теоремы, а не постоянно жевать мысли о состоянии их невысказанных и не подвергаемых сомнению основ.
Но горячность, с которой говорил молодой посетитель, возбудила любопытство дяди Петроса.
– А что такое доказал этот юный мистер Гёдель, что представляет интерес для теории чисел?
– Он решил проблему полноты, – доложил Тьюринг с горящими глазами.
Петрос улыбнулся. Проблема полноты – не что иное, как стремление формально доказать, что все истинные утверждения в конце концов доказуемы.
– Это хорошо, – вежливо согласился Петрос. – Я вам должен сказать тем не менее – никак не желая оскорбить мистера Гёделя, конечно, – что для работающего ученого полнота математики всегда была очевидной. Все же приятно знать, что кто-то наконец сел и ее доказал.
Но Тьюринг уже неистово мотал головой, и лицо его раскраснелось от возбуждения.
– Вот в том-то и дело, профессор Папахристос! Гёдель ее не доказал!
Петрос не понял.
– Извините, мистер Тьюринг… Вы только что сами сказали, что этот молодой человек решил проблему полноты? Я ведь не ослышался?
– Да, профессор, но вопреки ожиданиям всех – в том числе Гильберта и Рассела – он ее решил в отрицательном смысле! Он доказал, что арифметика и все математические теории не полны!
Петрос не настолько был знаком с концепциями формальной логики, чтобы сразу оценить все вытекающие следствия.
– Простите?
Тьюринг опустился на колени рядом с креслом Петроса и стал тыкать пальцами в хитросплетения символов в статье Гёделя.
– Вот: этот гений доказал – окончательно доказал! – что какие бы аксиомы ни принять, теория чисел с необходимостью будет содержать недоказуемые предложения!
– То есть, вы хотите сказать, ложные предложения?
– Нет, я хочу сказать – истинные предложения; истинные, но такие, которые невозможно доказать!
Петрос вскочил на ноги.
– Это невозможно!
– Но это так, и доказательство тому здесь, на этих пятнадцати страницах: «Истина не всегда доказуема»!
У моего дяди внезапно закружилась голова.
– Но этого… этого не может быть!
Он принялся лихорадочно листать журнал, пытаясь сразу постигнуть изощренные рассуждения статьи, и бормотал про себя, начисто забыв о молодом человеке:
– Мерзость… аномалия… извращение… Тьюринг довольно улыбнулся.
– Все математики поначалу так реагируют. Но Рассел и Уайтхед проанализировали доказательство Гёделя и объявили его безупречным. На самом деле они употребили слово «совершенство».
– «Совершенство»? – скривился Петрос. – Но если он это доказал – то есть действительно доказал, во что я отказываюсь верить, то это – конец математики!
Много часов Петрос пропотел над кратким, но донельзя насыщенным текстом. Он переводил, а Тьюринг объяснял незнакомые ему концепции формальной логики, лежащие в основе рассуждений Гёделя. Закончив перевод, они снова начали сначала, разбирая доказательство шаг за шагом. Петрос отчаянно искал погрешность в рассуждениях.
Это стало началом конца.
Было уже за полночь, когда Тьюринг ушел. Петрос не мог заснуть. Первое, что он сделал утром – пошел к Литлвуду. К его величайшему удивлению, тот уже знал теорему Гёделя о неполноте.
– И как же вы могли ни разу о ней не сказать? – спросил его Петрос. – Как вы можете знать о существовании чего-то подобного и быть таким спокойным?
Литлвуд не понял.
– А чего вы так расстроились, старина? Гёдель изучает некоторые весьма специальные случаи, он ищет парадоксы, очевидно, присущие всем аксиоматическим системам. Какое до этого дело нам, окопным солдатам математики?
Но Петроса нельзя было так легко успокоить.
– Как вы не понимаете, Литлвуд? Отныне, встречаясь с каждым до сих пор не доказанным утверждением, мы должны будем спрашивать себя, а не является ли оно случаем применимости теоремы Гёделя. Ведь любая нерешенная проблема, любая недоказанная гипотеза могут быть априори нерешаемы и недоказуемы! Слова Гильберта «В математике нет ignorabimus »более не применимы. Саму почву, на которой мы стояли, вышибли у нас из-под ног! Литлвуд пожал плечами.
– Не вижу смысла расстраиваться из-за парочки недоказуемых истин, если есть миллионы доказуемых, с которыми можно работать.
– Да, черт побери, но как узнать, кто из них кто?
Хотя реакция Литлвуда должна была бы успокоить – нота оптимизма после катастрофы вчерашнего вечера, – она не дала Петросу ответа на единственный, отравляющий, пугающий вопрос, который возник сразу, как он услышал о результате Гёделя. Вопрос этот был так ужасен, что дядя еле отваживался его сформулировать: что, если теорема Гёделя о неполноте применима к его задаче? Что, если утверждение проблемы Гольдбаха недоказуемо?
От Литлвуда он пошел прямо к Алану Тьюрингу в его колледж и спросил, есть ли продолжающие работы по теореме Гёделя о неполноте. Тьюринг не знал. Было ясно, что только один человек на свете может ответить на его вопрос.
Петрос послал Харди и Литлвуду записку, что некое срочное дело заставляет его ехать в Мюнхен, и в тот же вечер уже был на пароходе, пересекающем Ла-Манш. На следующий день он оказался в Вене. Нужного человека он нашел через знакомых в академических кругах. Они созвонились и, поскольку Петрос не хотел, чтобы его видели в университете, договорились встретиться в кафе отеля «Захер».
Курт Гёдель прибыл точно вовремя – худощавый молодой человек среднего роста, с близорукими глазками за толстыми стеклами очков.
Петрос не стал терять времени.
– Я хочу кое-что у вас спросить, герр Гёдель, причем строго конфиденциально.
Гёдель, стеснительный от природы, почувствовал себя еще более неловко.
– Это личный вопрос, герр профессор?
– Вопрос профессиональный, но относится к моей личной работе, и я был бы очень признателен – нет, я настаиваю! – чтобы это осталось строго между нами. Пожалуйста, сообщите мне, герр Гёдель: существует ли процедура, позволяющая определить, относится ли ваша теорема к какой-либо наперед заданной гипотезе?
Гёдель дал ответ, которого он страшился:
– Нет.
– И на самом деле вы не можете определить априори, какие утверждения доказуемы, а какие нет?
– Насколько мне известно, герр профессор, любое недоказанное утверждение может в принципе быть недоказуемым.
Тут у Петроса перед глазами поплыла красная тьма. Его охватил неудержимый порыв схватить отца теоремы о неполноте за тощую шею и бить головой о блестящую поверхность стола. Но он сдержался, только перегнулся через стол и стиснул руку Гёделя выше локтя.
– Я всю жизнь потратил, пытаясь доказать гипотезу Гольдбаха, – сказал он глухим напряженным голосом, – и теперь вы мне говорите, что она может быть недоказуема?
И без того бледное лицо Гёделя утратило последние краски.
– В теории – да…
– К черту ваши теории! – Головы сидевших в кафе людей повернулись на крик Петроса. – Мне нужно знать точно, можете вы это понять? Я имею право знать, если растратил свою жизнь зря!
Он так сжал пальцы, что Гёдель от боли скривился. Петросу вдруг стало стыдно за свою несдержанность. Как бы там ни было, этот несчастный не отвечает за неполноту математики – он ведь ее только открыл! Петрос разжал руку и промямлил какие-то извинения.
Гёдель дрожал.
– Я п-понимаю ваши ч-чувства, профессор, – выговорил он, – но б-боюсь, что сейчас на ваш вопрос ответить абсолютно невозможно.
С этой минуты смутная угроза, обозначенная теоремой Гёделя о неполноте, стала разворачиваться в неусыпную тревогу и постепенно превратилась в тень, омрачавшую каждый момент жизни Петроса и угасившую в конце концов его боевой дух.
Конечно, это случилось не в один день. Петрос еще несколько лет продолжал свою работу, но это уже был другой человек. Когда он работал, то работал уже только вполсилы, но когда отчаивался, отчаяние было полным, настолько невыносимым, что превращалось в безразличие – чувство, гораздо более терпимое.
– Понимаешь, – объяснил мне Петрос, – когда я услышал эту теорему о неполноте, она сразу разрушила уверенность, которая только и придавала мне силы. Она мне сказала: есть определенная вероятность, что я блуждаю в лабиринте, из которого никогда не найти выхода, пусть даже у меня будет сто жизней, которые я отдам работе. И это по очень простой причине: потому что выхода может не быть, потому что этот лабиринт – бесконечный тупик! О любимейший из племянников, я начал верить, что потратил свою жизнь на погоню за химерой!
Эту новую ситуацию он проиллюстрировал примером, который уже раньше приводил. Предполагаемый друг, который просил его помощи в поиске потерянного в доме ключа, мог страдать амнезией. (Опять-таки мог и не страдать, но не было способа узнать это наверняка.) В этом случае возможно, что «потерянного ключа» вообще никогда и не было!
Утешительной уверенности, на которой строились все его труды двадцати последних лет, более не существовало, и еще больше усиливали тревогу участившиеся посещения Четных Чисел. Теперь они являлись почти каждую ночь, отравляя его сны злой силой. В кошмарах рождались новые образы – постоянные вариации темы неудачи и поражения. Между ним и Четными Числами вырастали высокие стены, и Четные уходили целыми табунами все дальше и дальше, с поникшими головами – разбитая армия, отступающая во тьму пустынных, бесконечных, необъятных просторов… А худшее из всех видений, от которого он всегда просыпался, дрожа, в холодном поту, было 2 100, две веснушчатые темноглазые красавицы. Они глядели молча и пристально, в глазах у них дрожали слезы, и снова и снова их черты поглощала тьма.
Значение сна было ясно, и для истолкования его мрачного символизма не нужны были ни психоаналитик, ни гадалка: увы, теорема о неполноте применима к проблеме Гольдбаха. Это утверждение недоказуемо априори.
Возвратившись в Мюнхен после года в Кембридже, Петрос внешне вернулся и к прежнему образу жизни: преподавание, шахматы и минимум общественной жизни, но, поскольку сейчас ему было нечего делать, он начал иногда принимать случайные приглашения. Впервые с раннего детства оказалось, что погруженность в поиск математических истин не играет в его жизни центральную роль. Хотя он продолжал заниматься своими исследованиями, эти занятия были лишены былого жара. Теперь он отдавал работе не более нескольких часов в день, рассеянно шлифуя свой геометрический метод. Он по-прежнему вставал до рассвета, шел в кабинет и там медленно расхаживал среди выложенных из фасоли прямоугольников (чтобы освободить для них место, он всю мебель сдвинул к стенам). Он где-то добавлял, где-то убирал, что-то про себя рассеянно бормоча. Так проходило некоторое время, а потом, раньше или позже, дядя садился в кресло, вздыхал и переключался на шахматы.
Такой распорядок держался еще года два или три, и время, проводимое за этими «научными занятиями», постепенно сократилось почти до нуля, А потом к концу 1936 года Петрос получил телеграмму от Алана Тьюринга, уже из Принстонского университета:
Я ДОКАЗАЛ НЕВОЗМОЖНОСТЬ АПРИОРНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ТЧК
Вот именно: ТЧК. Это значило, в сущности, то, что невозможно заранее узнать, доказуемо ли конкретное математическое утверждение. Если оно в конце концов будет доказано, то оно, очевидно, доказуемо. Тьюрингу удалось показать, что пока утверждение остается недоказанным, абсолютно невозможно утверждать, является оно недоказуемым или просто очень трудным.
Непосредственным следствием этого, касавшимся дяди Петроса, было вот что: если он надумает и дальше искать решение проблемы Гольдбаха, то делать это он будет на свой страх и риск. Чтобы так поступить, нужны два качества – сильный оптимизм и хороший боевой дух. И эти качества у него – от времени, усталости, невезения, из-за Курта Гёделя, а теперь еще и с помощью Алана Тьюринга – истощились.
ТЧК.
Через несколько дней после телеграммы Тьюринга (в дневнике указана дата 7 декабря 1936 года) Петрос сообщил своей домоправительнице, что бобы ему больше не потребуются. Она их собрала, промыла как следует и сварила герру Профессору на обед великолепное мясное ассорти с фасолью.
Дядя Петрос помолчал, удрученно глядя себе на руки. За кругом бледно-желтого света, в котором мы сидели, уже легла полная тьма.
– И вот тогда ты и бросил искать решение? – спросил я тихо.
Он кивнул:
– Да.
– И никогда больше не пытался решать проблему Гольдбаха?
– Никогда.
– А Изольда?
Мой вопрос его, кажется, удивил.
– Изольда? При чем здесь Изольда?
– Я так понял, что Проблемой ты занялся, чтобы завоевать ее сердце?
Дядя Петрос грустно улыбнулся.
– Изольда подарила мне «Дивное странствие», как сказал наш поэт. Без нее я, быть может, «не тронулся бы в путь» [25]. И все же она была всего лишь исходным стимулом. Через несколько лет после начала работы над Проблемой память о ней поблекла, она стала далеким фантазмом, горько-сладким воспоминанием… И мои мотивы оказались более высокого – или возвышенного – сорта. – Он вздохнул: – Бедная Изольда! Она погибла во время бомбежки Дрездена вместе со своими двумя дочерьми. А ее муж, «бравый молодой лейтенант», был убит еще раньше на Восточном фронте.
Последняя часть рассказа моего дяди математического интереса не представляет.
В последующие годы силой, определяющей его жизнь, стала не математика, а история. Мировые события сломали защитный барьер, за которым он счастливо жил в своей башне из слоновой кости. В 1938 году гестапо арестовало его домоправительницу и отправило в лагеря, которые тогда еще называли «трудовыми». Он никого на ее место не нанял, наивно веря, что она скоро вернется, а арест объясняется каким-либо «недоразумением». (Когда война закончилась, он от выживших ее родственников узнал, что домоправительница погибла в 1943 году в Дахау, почти рядом с Мюнхеном.) Он начал питаться в ресторанах, возвращаясь домой только для сна. Почти все свободное от университета время он проводил в шахматном клубе, играя, наблюдая и анализируя партии.
В 1939 году декан математического факультета, к тому времени видный член нацистской партии, указал, что Петросу следует немедленно подать на получение немецкого гражданства и официально стать подданным Третьего Рейха. Петрос отказался не из каких-либо принципов (он сумел пройти по жизни, не неся груза идеологии), но потому, что меньше всего на свете ему хотелось опять заниматься дифференциальными уравнениями. Было ясно, что подавать на гражданство ему предложило министерство обороны, имея в виду именно эту цель. После отказа дядя, по сути, стал persona non grata [26] *.В сентябре 1940 года, незадолго до того, как Италия объявила войну Греции (дядя Петрос сразу оказался бы враждебным иностранцем, подлежащим интернированию), он покинул Германию.