Страница:
Изольда была первой и (если верить рассказу) единственной любовью моего дяди. Роман их был краток и хранился в полной тайне. Свидания происходили нерегулярно и в самых неожиданных местах – в полдень, в полночь и на рассвете, в кустах и на чердаке, всегда и везде, где открывалась возможность остаться незамеченными: если отец узнает, как предупреждала девушка, он Петроса повесит за ноги.
На какое-то время Петрос полностью потерял голову от любви. Он до такой степени стал безразличен ко всему, кроме своей возлюбленной, что Каратеодори начал задумываться, правильно ли он оценил способности мальчика. Но после недолгих месяцев мучительного счастья («слишком, увы, недолгих», сказал дядя со вздохом), Изольда покинула отчий дом и объятия юного любовника, чтобы выйти за некоего бравого прусского артиллерийского лейтенанта.
Конечно, сердце Петроса было разбито.
Если детская страсть к числам частично служила компенсацией за недостаток родительской любви, то погружение в стихию высшей математики в Берлинском университете стало еще более полным возмещением потери любимой. Чем глубже погружался Петрос в бескрайний океан абстрактных понятий и таинственных символов, тем дальше уходил от мучительно сладких воспоминаний о «милой Изольде». Вышло так, что она, отсутствуя, «оказалась куда полезнее» (слова Петроса). Когда они впервые легли вместе на ее постель (когда она впервые затащила его в свою постель, чтобы быть точным), она тихонько мурлыкала ему в ухо, что привлекла ее к нему его репутация вундеркинда, маленького гения. Чтобы вновь завоевать ее сердце, Петрос решил теперь, что полумер будет мало. Сейчас, в более зрелом возрасте, он должен поразить ее потрясающими интеллектуальными достижениями, стать Великим Математиком – никак не меньше.
Но как может человек стать Великим Математиком? А просто: решить Великую Математическую Проблему!
– Какая сейчас самая трудная проблема в математике, господин профессор? – спросил он у Каратеодори при очередной встрече, пытаясь изобразить чисто академическое любопытство.
– Я бы назвал три главные, – ответил мудрец после секундного размышления. – Гипотеза Римана, последняя теорема Ферма и последняя по порядку, но не по значению проблема Гольдбаха – утверждение, что любое четное число представляется в виде суммы двух простых – одна из величайших нерешенных проблем теории чисел.
Еще никак не твердое решение, а всего лишь первое зернышко мечты, что когда-нибудь он решит проблему Гольдбаха, после краткого разговора с Каратеодори пустило корни в сердце Петроса. Тот факт, что это наблюдение он сам сделал еще задолго до того, как услышал о Гольдбахе или Эйлере, делал для него задачу еще дороже. С самого начала его потянула к себе эта формулировка. Сочетание внешней простоты и прославленной трудности явно показывало, что здесь заключена глубокая истина.
Но в тот момент Каратеодори не дал Петросу времени на мечтания.
– Прежде чем вы сможете плодотворно заняться самостоятельными исследованиями, – сказал он тоном, не допускающим возражений, – вы должны приобрести мощный арсенал. Вы должны в совершенстве овладеть всеми инструментами современной математики из анализа, комплексного анализа, топологии и алгебры.
Даже от молодого человека с таким экстраординарным талантом это овладение требовало времени и неослабного внимания.
Когда Петрос получил диплом, Каратеодори дал ему в качестве темы для диссертации задачу из теории дифференциальных уравнений. Петрос удивил учителя, сделав работу меньше чем за год и с потрясающим успехом. Метод решения некоторого вида уравнений, который он предложил в своей диссертации (с тех пор «метод Папахристоса»), принес Петросу немедленное признание из-за полезности при решении определенного класса физических задач. Но – цитирую Петроса – «никакого математического интереса в этом не было, просто расчеты для бакалейной лавки».
Докторскую степень Петрос получил в 1916 году. Сразу после этого его отец, тревожась из-за неминуемого вступления Греции в свалку мировой войны, устроил его на время в нейтральной Швейцарии. В Цюрихе, став наконец хозяином собственной судьбы, Петрос вернулся к своей первой и постоянной любви: к Числам.
Он получил курс в университете, посещал лекции и семинары, а оставшееся время проводил в библиотеке, поглощая книги и листая журналы. Вскоре ему стало ясно, что для того чтобы добраться до передовых границ знаний, придется попутешествовать. Работы мирового класса по теории чисел делали в это время три человека: англичане Г.Х. Харди и Дж. И. Литлвуд и необычайно одаренный гений-индиец Сриниваса Рамануджан. Все трое работали в кембриджском Тринити-колледже.
Война разделила Европу на части, практически отрезав Англию от материка проливами, где патрулировали немецкие подводные лодки. Но горячее желание Петроса в сочетании с его полным безразличием к опасности, а также более чем достаточные средства вскоре помогли ему достигнуть цели.
«В Англию я прибыл все еще начинающим, – сказал он мне, – но через три года покинул ее специалистом по теории чисел».
Конечно, эти три года в Кембридже были существенной подготовкой к последующим долгим и тяжелым годам. Он не имел официальной академической должности, но его – точнее, отцовское – финансовое положение давало ему возможность позволить себе роскошь обойтись без таковой. Он поселился в небольшом пансионе рядом с Бишоп-отелем, где в это время жил Сриниваса Рамануджан. Вскоре они подружились и вместе стали ходить на лекции Г.Х. Харди.
Харди воплощал собой образец современного ученого-математика. Истинный мастер своего искусства, он подходил к теории чисел с блестящей ясностью, используя самые изощренные математические методы для атаки на ее центральные проблемы, многие из которых, подобно проблеме Гольдбаха, отличались обманчивой внешней простотой. На его лекциях Петрос изучал методы, которые потом окажутся необходимыми для его работы, и начал вырабатывать глубокую математическую интуицию, необходимую для исследований на переднем крае. Он усваивал быстро и вскоре начал составлять схему лабиринта, в который ему было уготовано судьбой войти.
И все же, хотя в его развитии как математика ключевую роль играл Харди, вдохновляло его общение с Рамануджаном.
«О, это был совершенно уникальный феномен, – сказал Петрос со вздохом. – Как говорил Харди, в смысле математических способностей Рамануджан был абсолютной вершиной. Он был сделан из того же теста, что Архимед, Ньютон и Гаусс – можно даже предположить, что он превосходил их. Однако почти полное отсутствие формального математического образования в годы становления обрекло его на реализацию лишь очень малой доли его гения.
Смотреть, как Рамануджан занимается математикой, очень не способствовало самомнению. Благоговение и изумление – единственная реакция на невероятные способности этого человека вспышкой интуиции постигать самые непостижимые формулы и понятия. (Ультрарационалист Харди из себя выходил, когда Рамануджан часто заявлял, будто это ему открывает во сне его любимая индуистская богиня Намакири.) Нельзя было не задуматься: если бы крайняя нищета, в которой родился Рамануджан, не лишила его образования, которое получает средний хорошо накормленный западный школьник, каких высот мог бы он достичь?
Однажды Петрос в разговоре с ним робко коснулся проблемы Гольдбаха. Он намеренно был осторожен, чтобы не дай Бог не пробудить интереса к задаче.
Ответ Рамануджана его неприятно удивил: Знаете, у меня есть предчувствие, что это может быть неверно для некоторых очень больших чисел.
Петрос был как громом поражен. Может ли такое быть? Раз это говорит Рамануджан, то отмахнуться от такого замечания нельзя. При первой возможности Петрос подошел к Харди после лекции и повторил ему слова Рамануджана, стараясь, чтобы они прозвучали достаточно безразлично. Харди хитровато улыбнулся.
– Старина Рамануджан известен своими чудесными «предчувствиями», – сказал он, – и интуиция у него феноменальная. Все же он в отличие от Его Святейшества Папы не обладает непогрешимостью.
Тут Харди пристально посмотрел на Петроса, и в его глазах мелькнула легкая ирония.
– А скажите, дорогой коллега, откуда вдруг такой интерес к проблеме Гольдбаха?
Петрос промямлил какие-то банальности насчет «общего интереса к этому вопросу» и спросил как можно более невинным тоном:
– А кто-нибудь здесь над ней работает?
– Вы хотите сказать, пытается доказать? – спросил Харди. – Нет, конечно! Попытка решить эту задачу в лоб – чистое безумие!
Такое предупреждение Петроса не отпугнуло; напротив, оно показало ему нужное направление. Смысл слов Харди был совершенно ясен: прямой, так называемый элементарный подход к проблеме обречен на провал. Правильный путь лежит через окольный «аналитический» метод, который после недавнего большого успеха французских математиков Адамара и Валле-Пуссена, стал в теории чисел tr ? s ? la mode [12] .И вскоре Петрос с головой ушел в его изучение.
В Кембридже у него был период, еще до того, как он принял окончательное решение о труде своей жизни, когда Петрос всерьез рассматривал возможность посвятить свои силы совершенно другой проблеме. Она возникла в результате его неожиданного попадания во внутренний круг Харди – Литлвуда – Рамануджана.
В годы войны Дж. И. Литлвуд не много времени проводил в университете. Он порой появлялся на лекции или на заседании и снова исчезал Бог знает куда, а его деятельность была окутана покровом таинственности. Петросу еще только предстояло с ним познакомиться, и поэтому он был крайне удивлен, когда в начале 1917 года Литлвуд остановил его рядом с пансионом.
– Вы – Петрос Папахристос из Берлина? – спросил Литлвуд после рукопожатия и осторожной улыбки. – Ученик Константина Каратеодори?
– Да, это я, – ответил слегка озадаченный Петрос. Литлвуд держался несколько напряженно, когда стал объяснять: он сейчас руководит группой, которая ведет исследования по баллистике для Королевской артиллерии. Военная разведка недавно оповестила их о том, что высокая точность огня противника на западном фронте объясняется применением нового способа расчетов, называемого «метод Папахристоса».
– Я уверен, что вы не откажетесь поделиться вашим открытием с правительством Его Величества, старина, – заключил Литлвуд. – В конце концов Греция наш союзник.
Петрос сперва пришел в отчаяние, испугавшись, что его заставят тратить драгоценное время на задачи, которые ему абсолютно не интересны. Но в этом, как выяснилось, не было необходимости, В тексте его диссертации, который у него, к счастью, был с собой, оказались все результаты, потребные Королевской артиллерии. Литлвуду было вдвойне приятно, поскольку метод Папахристоса не только оказался полезен для воюющей армии, но и сильно облегчил нагрузку самого Литлвуда, освобождая ему время для занятий математикой.
И вышло так, что ранний результат Петроса в области дифференциальных уравнений не только не увел его в сторону, но и открыл ему путь в одно из самых известных содружеств в истории математики. Литлвуд был рад узнать, что сердце его талантливого греческого коллеги принадлежит, как и его собственное, теории чисел, и вскоре пригласил Петроса присоединиться к нему при визите к Харди. Они втроем часами говорили о математике. В течение этой и всех последующих встреч и Литлвуд, и Петрос всячески избегали любых упоминаний о том, что свело их вместе: Харди был фанатичным пацифистом и резко возражал против использования научных открытий для войны.
После заключения мира, когда Литлвуд окончательно вернулся в Кембридж, он попросил Петроса поработать вместе с ним и с Харди над статьей, которую они начинали с Рамануджаном. (Бедняга к этому времени был серьезно болен и почти все время проводил в санатории.) В это время оба великих специалиста по теории чисел обратили свои усилия на гипотезу Римана – эпицентр большинства недоказанных главных теорем в аналитическом подходе. Доказательство интуитивной гипотезы Бернхарда Римана о нулях его дзета-функции вызвало бы положительный эффект домино и породило бы доказательства бессчетных фундаментальных теорем теории чисел. Петрос предложение принял (покажите мне честолюбивого молодого математика, который бы отказался!), и они втроем совместно опубликовали две работы в 1918 и 1919 годах – те самые, которые нашел в библиографическом указателе мой друг Сэмми Эпштейн.
Ирония судьбы в том, что это были его последние опубликованные работы.
После первой статьи Харди, непогрешимый судья математического таланта, предложил Петросу принять должность в Тринити-колледже и остаться в Кембридже, войдя на постоянной основе в их элитную команду.
Петрос попросил время подумать. Конечно, предложение было невероятно лестным, и перспектива продолжить сотрудничество казалась на первый взгляд исключительно заманчивой. Постоянная работа в контакте с Харди и Литлвудом породит, без сомнения, великолепные работы, которые обеспечат его резкий взлет среди научной общественности. К тому же оба эти человека Петросу нравились. Общение с ними не только было приятно, но и чертовски стимулировало работу. Сам воздух, которым они дышали, был насыщен яркой и богатой математической мыслью.
Да, но несмотря на все это, перспектива остаться наполняла его тревогой.
Оставшись в Кембридже, он поплывет предсказуемым курсом. Он будет делать хорошие, даже исключительные работы, но его развитие будет определяться Харди и Литлвудом. Их проблемы будут его проблемами, и – хуже всего – их слава всегда будет затмевать его славу. Если они в конце концов докажут гипотезу Римана (Петрос надеялся, что так и будет), это станет событием величайшей важности, результатом, который потрясет мир. Но разве это будет его результат? На самом деле – разве даже третья часть почестей, причитающаяся на его долю, достанется ему целиком? Разве не выйдет скорее так, что его слава затмится славой двух его блестящих коллег?
Всякий, кто говорит, что учеными – даже адептами чистейшей науки, самыми абстрактными, парящими в горних высях математиками – движет исключительно Стремление К Истине Ради Блага Человечества, либо понятия не имеет, о чем говорит, либо нагло лжет. Да, наиболее возвышенно настроенные ученые вполне могут быть безразличны к материальной выгоде, но нет ни одного, которым не движет главным образом честолюбие и сильнейший дух соревнования. (Разумеется, в случае великих математических достижений число соперников ограничено, и чем более масштабно это достижение, тем сильнее ограничена группа. За приз сражается избранное меньшинство, лучшие из лучших, соревнование становится истинной гигантомахией – борьбой гигантов). Математик, пускаясь в серьезное исследование, может намереваться преследовать Истину, но мечтать он будет о Славе.
Мой дядя не был исключением – это он признал в разговоре со мной совершенно искренне. После Берлина и разочарования в «милой Изольде» он жаждал в математике великого, почти невероятного успеха, полного триумфа, который принесет ему мировую славу и (как он надеялся) повергнет жестокосердную деву перед ним на колени. И этот триумф, чтобы быть полным, должен принадлежать ему и только ему, а не быть поделенным между двоими или троими.
И еще против того, чтобы остаться в Кембридже, говорило время. Понимаете, математика – это игра людей молодых. Она одно из немногих занятий человека (и в этом она похожа на спорт), где молодость – неотъемлемое условие высших достижений. Петрос, как и всякий молодой математик, знал гнетущую статистику: практически никогда в истории его науки великое открытие не было сделано человеком тридцати пяти или сорока лет. Риман умер в тридцать девять, Нильс Хенрик Абель – в двадцать семь, а Эварист Галуа трагически погиб в двадцать, но их имена вписаны в историю математики золотом по мрамору. «Дзета-функция Римана», «Абелевы интегралы» и «Группы Галуа» – бессмертное наследие для математиков грядущих поколений. Пусть Эйлер и Гаусс работали и доказывали теоремы в пожилом возрасте, но их фундаментальные открытия были сделаны в ранней молодости. В любой другой области двадцатичетырехлетний Петрос был бы многообещающим новичком, и его ждали бы годы и годы богатой творческой жизни. А в математике он уже был на пике своего развития.
Он прикинул, что у него в лучшем случае есть еще лет десять, когда он может ошеломить человечество (а также «милую Изольду») великим, невероятным, колоссальным достижением. А потом его сила рано или поздно начнет увядать. Техника и знание, даст Бог, выживут, но искра, которая поджигает этот волшебный фейерверк, блестящая изобретательность и живой дух атаки, необходимые для истинно Великого Открытия (мечта о решении проблемы Гольдбаха все сильнее занимала его мысли), ослабеют, если не исчезнут совсем.
И после не слишком долгих размышлений Петрос решил, что Харди и Литлвуду придется дальше идти без него.
С этой минуты он не может позволить себе потерять ни одного дня. Впереди лежат самые плодотворные годы, неодолимо зовущие его. Он должен немедленно начать работу над проблемой.
А насчет того, что за проблема, все ясно. Это может быть только один из великих открытых вопросов, которые в случайном разговоре несколько лет назад упомянул Каратеодори, – ничто меньшее не устроило бы честолюбие Петроса. Из этих вопросов гипотеза Римана уже находилась в руках Харди и Литлвуда, и простая научная этика, не говоря уже об осторожности, требовала оставить ее в покое. Что касается последней теоремы Ферма, то методы, которые традиционно использовались для попыток ее доказательства, были, на вкус Петроса, слишком алгебраическими. Итак, выбор оказывался очень прост: машина, которая повезет его к исполнению мечты о славе и бессмертии, не может быть ничем иным, кроме как проблемой Гольдбаха с ее скромно звучащей формулировкой.
Предложение занять кафедру анализа в Мюнхенском университете пришло чуть раньше и оказалось очень вовремя. Эта должность была бы идеальной. Ранг профессора – косвенная награда за полезность метода Папахристоса для армии кайзера – даст Петросу свободу от излишней преподавательской нагрузки и обеспечит финансовую независимость от отца, чтобы у того не было искушения вернуть сына в Грецию и заставить заниматься семейным предприятием. В Мюнхене он будет избавлен от посторонних обязанностей. Несколько лекционных часов – не слишком большая потеря времени, напротив, живая связь с техникой анализа, которую он будет применять в своей работе.
Меньше всего Петросу хотелось, чтобы другие лезли в его задачу. Оставляя Кембридж, он намеренно скрыл свои следы дымовой завесой. Он не только не сказал Харди и Литлвуду, что отныне будет работать над проблемой Гольдбаха, но создал у них впечатление, что будет продолжать заниматься их любимой гипотезой Римана. И в этом отношении Мюнхен тоже был идеален: его математический факультет не был особенно прославленным, как Берлинский или почти легендарный Геттингенский, и потому Петрос будет изолирован от главных центров математических сплетен и назойливого любопытства.
Летом 1919 года Петрос въехал в темную квартиру на втором этаже (он считал, что излишек света несовместим с абсолютной сосредоточенностью) неподалеку он университета. Он познакомился с новыми коллегами и обговорил программу преподавания со своими ассистентами, которые почти все были старше его. Потом он организовал у себя дома рабочую обстановку, в которой отвлекающие моменты были сведены к минимуму. Его домоправительнице, еврейской даме средних лет, овдовевшей в последнюю войну, было абсолютно недвусмысленно сказано, что когда Петрос находится в кабинете, тревожить его нельзя ни под каким видом.
Прошло уже больше сорока лет, но мой дядя с исключительной ясностью помнит тот первый день, когда он начал работу.
Солнце еще не взошло, когда он уже сел за стол, взял толстую авторучку и написал на чистом белом листе бумаги:
УТВЕРЖДЕНИЕ. Любое четное число, большее 2, может быть представлено в виде суммы двух простых.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что данное утверждение ложно. Тогда существует целое число n , такое, что 2 n не может быть выражено в виде суммы двух простых чисел, т. е. для любого простого числа p ‹ 2 n число 2 n – p является составным…
После нескольких месяцев напряженной работы он начал оценивать истинные размеры проблемы и отметил наиболее очевидные тупики. Он уже мог очертить общую стратегию своего подхода и сформулировать некоторые промежуточные результаты, которые необходимо было доказать. Следуя военной терминологии, он называл их «господствующими высотами, которые надо занять перед решительной атакой на саму Проблему».
Разумеется, весь подход был основан на аналитическом методе.
Теория чисел как в аналитическом, так и в алгебраическом вариантах имеет один и тот же предмет изучения, а именно – свойства натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, а также их взаимоотношения. Как физические исследования часто сводятся к изучению элементарных частиц материи, так и многие главные проблемы высшей арифметики сводятся к вопросам простых чисел (натуральных чисел, не имеющих других делителей, кроме 1 и себя самих, например, 2, 3, 5, 7, 11…) – неделимых квантов числовой системы.
Древние греки, а вслед за ними и великие математики эпохи европейского Просвещения, такие как Пьер де Ферма, Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, нашли целые залежи интереснейших теорем о простых числах (мы уже упоминали доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел). И все же к середине девятнадцатого столетия самые фундаментальные свойства простых чисел оставались вне досягаемости математиков.
Главными среди этих вопросов были следующие два: «распределение» простых чисел (т.е. количество простых чисел, меньших заданного натурального n )и картина их следования, неуловимая формула, по которой, зная простое число p n ,можно найти следующее простое – p n +1 . Часто (быть может, бесконечно часто, согласно одной гипотезе) простые числа различаются только на 2, идут парами, например, 5 и 7, 11 и 13, 41 и 43 или 9857 и 9859 [13]. В других же случаях два последовательных простых числа могут быть разделены сотнями, тысячами, миллионами составных чисел – вообще-то очень просто доказать, что для любого наперед заданного натурального числа k можно найти идущие подряд k натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого [14].
Отсутствие видимого порядка в организации последовательности простых чисел мучило математиков много веков подряд и во многом придавало теории чисел такой захватывающий интерес. Да, это была великая загадка, достойная самых возвышенных умов: раз простые числа – строительные блоки для натуральных чисел, а натуральные числа – основа логического понимания космоса, как может быть, что их вид не определяется законом? Почему в этом случае не очевидна «божественная геометрия»?
Аналитическая теория чисел родилась в 1837 году вместе с поразительным доказательством Дирихле бесконечности множества простых чисел в арифметических прогрессиях. Но пика своего развития она достигла только к концу века. За несколько лет до Дирихле Карл Фридрих Гаусс высказал догадку об «асимптотической» формуле для числа простых чисел, меньших заданного целого n (асимптотическая – это значит дающая все более точный результат по мере роста n). Но ни он, ни кто-либо другой не смог дать даже намек на доказательство. Потом в 1859 году Бернхард Риман ввел бесконечный ряд комплексных чисел [15], с тех пор известный под названием «дзета-функции Римана», который обещал стать крайне полезным инструментом. Однако для эффективного применения этого инструмента специалистам по теории чисел пришлось оставить традиционные, алгебраические (так называемые элементарные) методы и прибегнуть к методам комплексного анализа, то есть к исчислению бесконечно малых на комплексной плоскости.
Прошло несколько десятилетий, и Адамар и Балле-Пуссен смогли доказать асимптотическую формулу Гаусса с помощью дзета-функции Римана (с тех пор этот результат известен как «Закон распределения простых чисел»). Аналитический подход вдруг сделался волшебным ключом к самым глубоким тайнам теории чисел.
Когда Петрос начал работу над проблемой Гольдбаха, аналитический подход был на пике возлагаемых на него надежд.
Потратив несколько первых месяцев на ознакомление с масштабами проблемы, Петрос решил, что будет действовать с помощью теории разложений (различных способов представления целого числа в виде суммы) – еще одного приложения аналитического метода. Помимо центральной для этого круга вопросов теоремы, доказанной Харди и Рамануджаном, существовала также гипотеза Рамануджана (одно из его знаменитых «предчувствий»), которую Петрос надеялся использовать как решающую ступень на подходе к проблеме Гольдбаха – если только ему удастся эту гипотезу доказать.
Он написал Литлвуду, спросив его как можно более осторожно, были ли какие-либо работы в этой области за последнее время, и постарался, чтобы вопрос выглядел простым «интересом коллеги». Литлвуд ответил отрицательно, прислав при ответе новую книгу Харди «Некоторые знаменитые проблемы теории чисел». В ней содержалось своего рода доказательство утверждения, которое называется «второй», или «другой», проблемой Гольдбаха
На какое-то время Петрос полностью потерял голову от любви. Он до такой степени стал безразличен ко всему, кроме своей возлюбленной, что Каратеодори начал задумываться, правильно ли он оценил способности мальчика. Но после недолгих месяцев мучительного счастья («слишком, увы, недолгих», сказал дядя со вздохом), Изольда покинула отчий дом и объятия юного любовника, чтобы выйти за некоего бравого прусского артиллерийского лейтенанта.
Конечно, сердце Петроса было разбито.
Если детская страсть к числам частично служила компенсацией за недостаток родительской любви, то погружение в стихию высшей математики в Берлинском университете стало еще более полным возмещением потери любимой. Чем глубже погружался Петрос в бескрайний океан абстрактных понятий и таинственных символов, тем дальше уходил от мучительно сладких воспоминаний о «милой Изольде». Вышло так, что она, отсутствуя, «оказалась куда полезнее» (слова Петроса). Когда они впервые легли вместе на ее постель (когда она впервые затащила его в свою постель, чтобы быть точным), она тихонько мурлыкала ему в ухо, что привлекла ее к нему его репутация вундеркинда, маленького гения. Чтобы вновь завоевать ее сердце, Петрос решил теперь, что полумер будет мало. Сейчас, в более зрелом возрасте, он должен поразить ее потрясающими интеллектуальными достижениями, стать Великим Математиком – никак не меньше.
Но как может человек стать Великим Математиком? А просто: решить Великую Математическую Проблему!
– Какая сейчас самая трудная проблема в математике, господин профессор? – спросил он у Каратеодори при очередной встрече, пытаясь изобразить чисто академическое любопытство.
– Я бы назвал три главные, – ответил мудрец после секундного размышления. – Гипотеза Римана, последняя теорема Ферма и последняя по порядку, но не по значению проблема Гольдбаха – утверждение, что любое четное число представляется в виде суммы двух простых – одна из величайших нерешенных проблем теории чисел.
Еще никак не твердое решение, а всего лишь первое зернышко мечты, что когда-нибудь он решит проблему Гольдбаха, после краткого разговора с Каратеодори пустило корни в сердце Петроса. Тот факт, что это наблюдение он сам сделал еще задолго до того, как услышал о Гольдбахе или Эйлере, делал для него задачу еще дороже. С самого начала его потянула к себе эта формулировка. Сочетание внешней простоты и прославленной трудности явно показывало, что здесь заключена глубокая истина.
Но в тот момент Каратеодори не дал Петросу времени на мечтания.
– Прежде чем вы сможете плодотворно заняться самостоятельными исследованиями, – сказал он тоном, не допускающим возражений, – вы должны приобрести мощный арсенал. Вы должны в совершенстве овладеть всеми инструментами современной математики из анализа, комплексного анализа, топологии и алгебры.
Даже от молодого человека с таким экстраординарным талантом это овладение требовало времени и неослабного внимания.
Когда Петрос получил диплом, Каратеодори дал ему в качестве темы для диссертации задачу из теории дифференциальных уравнений. Петрос удивил учителя, сделав работу меньше чем за год и с потрясающим успехом. Метод решения некоторого вида уравнений, который он предложил в своей диссертации (с тех пор «метод Папахристоса»), принес Петросу немедленное признание из-за полезности при решении определенного класса физических задач. Но – цитирую Петроса – «никакого математического интереса в этом не было, просто расчеты для бакалейной лавки».
Докторскую степень Петрос получил в 1916 году. Сразу после этого его отец, тревожась из-за неминуемого вступления Греции в свалку мировой войны, устроил его на время в нейтральной Швейцарии. В Цюрихе, став наконец хозяином собственной судьбы, Петрос вернулся к своей первой и постоянной любви: к Числам.
Он получил курс в университете, посещал лекции и семинары, а оставшееся время проводил в библиотеке, поглощая книги и листая журналы. Вскоре ему стало ясно, что для того чтобы добраться до передовых границ знаний, придется попутешествовать. Работы мирового класса по теории чисел делали в это время три человека: англичане Г.Х. Харди и Дж. И. Литлвуд и необычайно одаренный гений-индиец Сриниваса Рамануджан. Все трое работали в кембриджском Тринити-колледже.
Война разделила Европу на части, практически отрезав Англию от материка проливами, где патрулировали немецкие подводные лодки. Но горячее желание Петроса в сочетании с его полным безразличием к опасности, а также более чем достаточные средства вскоре помогли ему достигнуть цели.
«В Англию я прибыл все еще начинающим, – сказал он мне, – но через три года покинул ее специалистом по теории чисел».
Конечно, эти три года в Кембридже были существенной подготовкой к последующим долгим и тяжелым годам. Он не имел официальной академической должности, но его – точнее, отцовское – финансовое положение давало ему возможность позволить себе роскошь обойтись без таковой. Он поселился в небольшом пансионе рядом с Бишоп-отелем, где в это время жил Сриниваса Рамануджан. Вскоре они подружились и вместе стали ходить на лекции Г.Х. Харди.
Харди воплощал собой образец современного ученого-математика. Истинный мастер своего искусства, он подходил к теории чисел с блестящей ясностью, используя самые изощренные математические методы для атаки на ее центральные проблемы, многие из которых, подобно проблеме Гольдбаха, отличались обманчивой внешней простотой. На его лекциях Петрос изучал методы, которые потом окажутся необходимыми для его работы, и начал вырабатывать глубокую математическую интуицию, необходимую для исследований на переднем крае. Он усваивал быстро и вскоре начал составлять схему лабиринта, в который ему было уготовано судьбой войти.
И все же, хотя в его развитии как математика ключевую роль играл Харди, вдохновляло его общение с Рамануджаном.
«О, это был совершенно уникальный феномен, – сказал Петрос со вздохом. – Как говорил Харди, в смысле математических способностей Рамануджан был абсолютной вершиной. Он был сделан из того же теста, что Архимед, Ньютон и Гаусс – можно даже предположить, что он превосходил их. Однако почти полное отсутствие формального математического образования в годы становления обрекло его на реализацию лишь очень малой доли его гения.
Смотреть, как Рамануджан занимается математикой, очень не способствовало самомнению. Благоговение и изумление – единственная реакция на невероятные способности этого человека вспышкой интуиции постигать самые непостижимые формулы и понятия. (Ультрарационалист Харди из себя выходил, когда Рамануджан часто заявлял, будто это ему открывает во сне его любимая индуистская богиня Намакири.) Нельзя было не задуматься: если бы крайняя нищета, в которой родился Рамануджан, не лишила его образования, которое получает средний хорошо накормленный западный школьник, каких высот мог бы он достичь?
Однажды Петрос в разговоре с ним робко коснулся проблемы Гольдбаха. Он намеренно был осторожен, чтобы не дай Бог не пробудить интереса к задаче.
Ответ Рамануджана его неприятно удивил: Знаете, у меня есть предчувствие, что это может быть неверно для некоторых очень больших чисел.
Петрос был как громом поражен. Может ли такое быть? Раз это говорит Рамануджан, то отмахнуться от такого замечания нельзя. При первой возможности Петрос подошел к Харди после лекции и повторил ему слова Рамануджана, стараясь, чтобы они прозвучали достаточно безразлично. Харди хитровато улыбнулся.
– Старина Рамануджан известен своими чудесными «предчувствиями», – сказал он, – и интуиция у него феноменальная. Все же он в отличие от Его Святейшества Папы не обладает непогрешимостью.
Тут Харди пристально посмотрел на Петроса, и в его глазах мелькнула легкая ирония.
– А скажите, дорогой коллега, откуда вдруг такой интерес к проблеме Гольдбаха?
Петрос промямлил какие-то банальности насчет «общего интереса к этому вопросу» и спросил как можно более невинным тоном:
– А кто-нибудь здесь над ней работает?
– Вы хотите сказать, пытается доказать? – спросил Харди. – Нет, конечно! Попытка решить эту задачу в лоб – чистое безумие!
Такое предупреждение Петроса не отпугнуло; напротив, оно показало ему нужное направление. Смысл слов Харди был совершенно ясен: прямой, так называемый элементарный подход к проблеме обречен на провал. Правильный путь лежит через окольный «аналитический» метод, который после недавнего большого успеха французских математиков Адамара и Валле-Пуссена, стал в теории чисел tr ? s ? la mode [12] .И вскоре Петрос с головой ушел в его изучение.
В Кембридже у него был период, еще до того, как он принял окончательное решение о труде своей жизни, когда Петрос всерьез рассматривал возможность посвятить свои силы совершенно другой проблеме. Она возникла в результате его неожиданного попадания во внутренний круг Харди – Литлвуда – Рамануджана.
В годы войны Дж. И. Литлвуд не много времени проводил в университете. Он порой появлялся на лекции или на заседании и снова исчезал Бог знает куда, а его деятельность была окутана покровом таинственности. Петросу еще только предстояло с ним познакомиться, и поэтому он был крайне удивлен, когда в начале 1917 года Литлвуд остановил его рядом с пансионом.
– Вы – Петрос Папахристос из Берлина? – спросил Литлвуд после рукопожатия и осторожной улыбки. – Ученик Константина Каратеодори?
– Да, это я, – ответил слегка озадаченный Петрос. Литлвуд держался несколько напряженно, когда стал объяснять: он сейчас руководит группой, которая ведет исследования по баллистике для Королевской артиллерии. Военная разведка недавно оповестила их о том, что высокая точность огня противника на западном фронте объясняется применением нового способа расчетов, называемого «метод Папахристоса».
– Я уверен, что вы не откажетесь поделиться вашим открытием с правительством Его Величества, старина, – заключил Литлвуд. – В конце концов Греция наш союзник.
Петрос сперва пришел в отчаяние, испугавшись, что его заставят тратить драгоценное время на задачи, которые ему абсолютно не интересны. Но в этом, как выяснилось, не было необходимости, В тексте его диссертации, который у него, к счастью, был с собой, оказались все результаты, потребные Королевской артиллерии. Литлвуду было вдвойне приятно, поскольку метод Папахристоса не только оказался полезен для воюющей армии, но и сильно облегчил нагрузку самого Литлвуда, освобождая ему время для занятий математикой.
И вышло так, что ранний результат Петроса в области дифференциальных уравнений не только не увел его в сторону, но и открыл ему путь в одно из самых известных содружеств в истории математики. Литлвуд был рад узнать, что сердце его талантливого греческого коллеги принадлежит, как и его собственное, теории чисел, и вскоре пригласил Петроса присоединиться к нему при визите к Харди. Они втроем часами говорили о математике. В течение этой и всех последующих встреч и Литлвуд, и Петрос всячески избегали любых упоминаний о том, что свело их вместе: Харди был фанатичным пацифистом и резко возражал против использования научных открытий для войны.
После заключения мира, когда Литлвуд окончательно вернулся в Кембридж, он попросил Петроса поработать вместе с ним и с Харди над статьей, которую они начинали с Рамануджаном. (Бедняга к этому времени был серьезно болен и почти все время проводил в санатории.) В это время оба великих специалиста по теории чисел обратили свои усилия на гипотезу Римана – эпицентр большинства недоказанных главных теорем в аналитическом подходе. Доказательство интуитивной гипотезы Бернхарда Римана о нулях его дзета-функции вызвало бы положительный эффект домино и породило бы доказательства бессчетных фундаментальных теорем теории чисел. Петрос предложение принял (покажите мне честолюбивого молодого математика, который бы отказался!), и они втроем совместно опубликовали две работы в 1918 и 1919 годах – те самые, которые нашел в библиографическом указателе мой друг Сэмми Эпштейн.
Ирония судьбы в том, что это были его последние опубликованные работы.
После первой статьи Харди, непогрешимый судья математического таланта, предложил Петросу принять должность в Тринити-колледже и остаться в Кембридже, войдя на постоянной основе в их элитную команду.
Петрос попросил время подумать. Конечно, предложение было невероятно лестным, и перспектива продолжить сотрудничество казалась на первый взгляд исключительно заманчивой. Постоянная работа в контакте с Харди и Литлвудом породит, без сомнения, великолепные работы, которые обеспечат его резкий взлет среди научной общественности. К тому же оба эти человека Петросу нравились. Общение с ними не только было приятно, но и чертовски стимулировало работу. Сам воздух, которым они дышали, был насыщен яркой и богатой математической мыслью.
Да, но несмотря на все это, перспектива остаться наполняла его тревогой.
Оставшись в Кембридже, он поплывет предсказуемым курсом. Он будет делать хорошие, даже исключительные работы, но его развитие будет определяться Харди и Литлвудом. Их проблемы будут его проблемами, и – хуже всего – их слава всегда будет затмевать его славу. Если они в конце концов докажут гипотезу Римана (Петрос надеялся, что так и будет), это станет событием величайшей важности, результатом, который потрясет мир. Но разве это будет его результат? На самом деле – разве даже третья часть почестей, причитающаяся на его долю, достанется ему целиком? Разве не выйдет скорее так, что его слава затмится славой двух его блестящих коллег?
Всякий, кто говорит, что учеными – даже адептами чистейшей науки, самыми абстрактными, парящими в горних высях математиками – движет исключительно Стремление К Истине Ради Блага Человечества, либо понятия не имеет, о чем говорит, либо нагло лжет. Да, наиболее возвышенно настроенные ученые вполне могут быть безразличны к материальной выгоде, но нет ни одного, которым не движет главным образом честолюбие и сильнейший дух соревнования. (Разумеется, в случае великих математических достижений число соперников ограничено, и чем более масштабно это достижение, тем сильнее ограничена группа. За приз сражается избранное меньшинство, лучшие из лучших, соревнование становится истинной гигантомахией – борьбой гигантов). Математик, пускаясь в серьезное исследование, может намереваться преследовать Истину, но мечтать он будет о Славе.
Мой дядя не был исключением – это он признал в разговоре со мной совершенно искренне. После Берлина и разочарования в «милой Изольде» он жаждал в математике великого, почти невероятного успеха, полного триумфа, который принесет ему мировую славу и (как он надеялся) повергнет жестокосердную деву перед ним на колени. И этот триумф, чтобы быть полным, должен принадлежать ему и только ему, а не быть поделенным между двоими или троими.
И еще против того, чтобы остаться в Кембридже, говорило время. Понимаете, математика – это игра людей молодых. Она одно из немногих занятий человека (и в этом она похожа на спорт), где молодость – неотъемлемое условие высших достижений. Петрос, как и всякий молодой математик, знал гнетущую статистику: практически никогда в истории его науки великое открытие не было сделано человеком тридцати пяти или сорока лет. Риман умер в тридцать девять, Нильс Хенрик Абель – в двадцать семь, а Эварист Галуа трагически погиб в двадцать, но их имена вписаны в историю математики золотом по мрамору. «Дзета-функция Римана», «Абелевы интегралы» и «Группы Галуа» – бессмертное наследие для математиков грядущих поколений. Пусть Эйлер и Гаусс работали и доказывали теоремы в пожилом возрасте, но их фундаментальные открытия были сделаны в ранней молодости. В любой другой области двадцатичетырехлетний Петрос был бы многообещающим новичком, и его ждали бы годы и годы богатой творческой жизни. А в математике он уже был на пике своего развития.
Он прикинул, что у него в лучшем случае есть еще лет десять, когда он может ошеломить человечество (а также «милую Изольду») великим, невероятным, колоссальным достижением. А потом его сила рано или поздно начнет увядать. Техника и знание, даст Бог, выживут, но искра, которая поджигает этот волшебный фейерверк, блестящая изобретательность и живой дух атаки, необходимые для истинно Великого Открытия (мечта о решении проблемы Гольдбаха все сильнее занимала его мысли), ослабеют, если не исчезнут совсем.
И после не слишком долгих размышлений Петрос решил, что Харди и Литлвуду придется дальше идти без него.
С этой минуты он не может позволить себе потерять ни одного дня. Впереди лежат самые плодотворные годы, неодолимо зовущие его. Он должен немедленно начать работу над проблемой.
А насчет того, что за проблема, все ясно. Это может быть только один из великих открытых вопросов, которые в случайном разговоре несколько лет назад упомянул Каратеодори, – ничто меньшее не устроило бы честолюбие Петроса. Из этих вопросов гипотеза Римана уже находилась в руках Харди и Литлвуда, и простая научная этика, не говоря уже об осторожности, требовала оставить ее в покое. Что касается последней теоремы Ферма, то методы, которые традиционно использовались для попыток ее доказательства, были, на вкус Петроса, слишком алгебраическими. Итак, выбор оказывался очень прост: машина, которая повезет его к исполнению мечты о славе и бессмертии, не может быть ничем иным, кроме как проблемой Гольдбаха с ее скромно звучащей формулировкой.
Предложение занять кафедру анализа в Мюнхенском университете пришло чуть раньше и оказалось очень вовремя. Эта должность была бы идеальной. Ранг профессора – косвенная награда за полезность метода Папахристоса для армии кайзера – даст Петросу свободу от излишней преподавательской нагрузки и обеспечит финансовую независимость от отца, чтобы у того не было искушения вернуть сына в Грецию и заставить заниматься семейным предприятием. В Мюнхене он будет избавлен от посторонних обязанностей. Несколько лекционных часов – не слишком большая потеря времени, напротив, живая связь с техникой анализа, которую он будет применять в своей работе.
Меньше всего Петросу хотелось, чтобы другие лезли в его задачу. Оставляя Кембридж, он намеренно скрыл свои следы дымовой завесой. Он не только не сказал Харди и Литлвуду, что отныне будет работать над проблемой Гольдбаха, но создал у них впечатление, что будет продолжать заниматься их любимой гипотезой Римана. И в этом отношении Мюнхен тоже был идеален: его математический факультет не был особенно прославленным, как Берлинский или почти легендарный Геттингенский, и потому Петрос будет изолирован от главных центров математических сплетен и назойливого любопытства.
Летом 1919 года Петрос въехал в темную квартиру на втором этаже (он считал, что излишек света несовместим с абсолютной сосредоточенностью) неподалеку он университета. Он познакомился с новыми коллегами и обговорил программу преподавания со своими ассистентами, которые почти все были старше его. Потом он организовал у себя дома рабочую обстановку, в которой отвлекающие моменты были сведены к минимуму. Его домоправительнице, еврейской даме средних лет, овдовевшей в последнюю войну, было абсолютно недвусмысленно сказано, что когда Петрос находится в кабинете, тревожить его нельзя ни под каким видом.
Прошло уже больше сорока лет, но мой дядя с исключительной ясностью помнит тот первый день, когда он начал работу.
Солнце еще не взошло, когда он уже сел за стол, взял толстую авторучку и написал на чистом белом листе бумаги:
УТВЕРЖДЕНИЕ. Любое четное число, большее 2, может быть представлено в виде суммы двух простых.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что данное утверждение ложно. Тогда существует целое число n , такое, что 2 n не может быть выражено в виде суммы двух простых чисел, т. е. для любого простого числа p ‹ 2 n число 2 n – p является составным…
После нескольких месяцев напряженной работы он начал оценивать истинные размеры проблемы и отметил наиболее очевидные тупики. Он уже мог очертить общую стратегию своего подхода и сформулировать некоторые промежуточные результаты, которые необходимо было доказать. Следуя военной терминологии, он называл их «господствующими высотами, которые надо занять перед решительной атакой на саму Проблему».
Разумеется, весь подход был основан на аналитическом методе.
Теория чисел как в аналитическом, так и в алгебраическом вариантах имеет один и тот же предмет изучения, а именно – свойства натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, а также их взаимоотношения. Как физические исследования часто сводятся к изучению элементарных частиц материи, так и многие главные проблемы высшей арифметики сводятся к вопросам простых чисел (натуральных чисел, не имеющих других делителей, кроме 1 и себя самих, например, 2, 3, 5, 7, 11…) – неделимых квантов числовой системы.
Древние греки, а вслед за ними и великие математики эпохи европейского Просвещения, такие как Пьер де Ферма, Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, нашли целые залежи интереснейших теорем о простых числах (мы уже упоминали доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел). И все же к середине девятнадцатого столетия самые фундаментальные свойства простых чисел оставались вне досягаемости математиков.
Главными среди этих вопросов были следующие два: «распределение» простых чисел (т.е. количество простых чисел, меньших заданного натурального n )и картина их следования, неуловимая формула, по которой, зная простое число p n ,можно найти следующее простое – p n +1 . Часто (быть может, бесконечно часто, согласно одной гипотезе) простые числа различаются только на 2, идут парами, например, 5 и 7, 11 и 13, 41 и 43 или 9857 и 9859 [13]. В других же случаях два последовательных простых числа могут быть разделены сотнями, тысячами, миллионами составных чисел – вообще-то очень просто доказать, что для любого наперед заданного натурального числа k можно найти идущие подряд k натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого [14].
Отсутствие видимого порядка в организации последовательности простых чисел мучило математиков много веков подряд и во многом придавало теории чисел такой захватывающий интерес. Да, это была великая загадка, достойная самых возвышенных умов: раз простые числа – строительные блоки для натуральных чисел, а натуральные числа – основа логического понимания космоса, как может быть, что их вид не определяется законом? Почему в этом случае не очевидна «божественная геометрия»?
Аналитическая теория чисел родилась в 1837 году вместе с поразительным доказательством Дирихле бесконечности множества простых чисел в арифметических прогрессиях. Но пика своего развития она достигла только к концу века. За несколько лет до Дирихле Карл Фридрих Гаусс высказал догадку об «асимптотической» формуле для числа простых чисел, меньших заданного целого n (асимптотическая – это значит дающая все более точный результат по мере роста n). Но ни он, ни кто-либо другой не смог дать даже намек на доказательство. Потом в 1859 году Бернхард Риман ввел бесконечный ряд комплексных чисел [15], с тех пор известный под названием «дзета-функции Римана», который обещал стать крайне полезным инструментом. Однако для эффективного применения этого инструмента специалистам по теории чисел пришлось оставить традиционные, алгебраические (так называемые элементарные) методы и прибегнуть к методам комплексного анализа, то есть к исчислению бесконечно малых на комплексной плоскости.
Прошло несколько десятилетий, и Адамар и Балле-Пуссен смогли доказать асимптотическую формулу Гаусса с помощью дзета-функции Римана (с тех пор этот результат известен как «Закон распределения простых чисел»). Аналитический подход вдруг сделался волшебным ключом к самым глубоким тайнам теории чисел.
Когда Петрос начал работу над проблемой Гольдбаха, аналитический подход был на пике возлагаемых на него надежд.
Потратив несколько первых месяцев на ознакомление с масштабами проблемы, Петрос решил, что будет действовать с помощью теории разложений (различных способов представления целого числа в виде суммы) – еще одного приложения аналитического метода. Помимо центральной для этого круга вопросов теоремы, доказанной Харди и Рамануджаном, существовала также гипотеза Рамануджана (одно из его знаменитых «предчувствий»), которую Петрос надеялся использовать как решающую ступень на подходе к проблеме Гольдбаха – если только ему удастся эту гипотезу доказать.
Он написал Литлвуду, спросив его как можно более осторожно, были ли какие-либо работы в этой области за последнее время, и постарался, чтобы вопрос выглядел простым «интересом коллеги». Литлвуд ответил отрицательно, прислав при ответе новую книгу Харди «Некоторые знаменитые проблемы теории чисел». В ней содержалось своего рода доказательство утверждения, которое называется «второй», или «другой», проблемой Гольдбаха