Страница:
реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться
и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод
параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две
взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность,
точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и
остается основным методом составления технических чертежей.
Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным
из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем
изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения
системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.
В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции.
В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз
оговариваться.
Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей
стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров
путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного
плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее
практическим значением.
В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала
преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова
Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано
появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с
французского языка, а затем первого оригинального труда под названием
"Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного
изложению метода ортогональных проекций.
1) Теперь Петербургский государственный университет путей
сообщения.
Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те
годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил
начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще
при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и
военных учебных заведений.
Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай
Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском
технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904),
который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей
сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н.
г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные
примеры применения н. г. к решению инженерных задач.
Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти
столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период
наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов,
предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов
решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии
преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в
области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория
получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в
XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г.
необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться
исследовательской работе.
Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова
(1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и
Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед
Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию
начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная
геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых
Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду
аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова
(1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и
многих других1).
1. Как строится центральная проекция точки?
2. В каком случае центральная проекция прямой линии представляет собой
точку?
3. В чем заключается способ проецирования, называемый параллельным?
4. Как строится параллельная проекция прямой линии?
5. Может ли параллельная проекция прямой линии представлять собой
точку?
6. Если точка принадлежит данной прямой, то как взаимно располагаются
их проекции?
7. В каком случае в параллельной проекции отрезок прямой линии
проецируется в натуральную свою величину?
8. Что такое "метод Монжа"?
9. Как расшифровывается слово "ортогональный"?
1) Интересующихся более подробными сведениями отсылаем к
6--13-му изданиям или, например, к книге: Бубенников А. В., Громов М. Я.
Начертательная геометрия.-- М.: Высшая школа, 1965.
ГЛАВА II ТОЧКА И ПРЯМАЯ
§ 4. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1,2
Выше (§ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения
точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это
положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная
проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой
точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за
"плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной,
если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной,
если точка ниже этой плоскости.
На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1).
В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет
производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях
проекций.
На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их
за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена
горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость
называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной
плоскостью проекций. Плоскости проекций и 2 образуют систему 1 ,2.
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось
проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой
оси будем применять обозначение или обозначение
в виде дроби 2/1. Из четырех двугранных углов, образованных
плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют
обозначения 1 и 2.
На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1,
2. Проведя из А перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки А:
горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А".
Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2,
определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта
плоскость в пересечении с и 2 образует две взаимно перпендикулярные
прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций.
Следовательно, проекции неко-
рис.9 рис.10
1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по
начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.
15
торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси
проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.
Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя
перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в
пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции
точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной
системы плоскостей проекций.
Рис. 11 Рис. 12
Повернув пл. вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на
рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А'
расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии
связи. В результате указанного совмещения плоскостей , и 2 получается
чертеж, известный под названием эпюр1) (эпюр Монжа). Это чертеж в
системе 1,2 (или в системе двух прямоугольных проекций).
Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения
плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает
точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте
построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется
работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину,
изображенную на рис. 10.
Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно
плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние
точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от
плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси
проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам
А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ,
перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое
расстояние.
Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между
проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции,
получается возможность установить положение определяемой ими точки.
Рис. 14
Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в
основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж:
и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова
"чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением
(перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).
1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а
женскому роду этого слова во французском языке.
16
СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1, 2, 3
В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в
систему 1; 2 и другие плоскости проекций. Известно, что в практике
составления чертежей, например машин и их частей, чертеж преимущественно
содержит не два, а большее число изображений.
Рассмотрим введение в систему ^ 2 еще одной плоскости проекций (рис.
15): обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
называют профильной плоскостью проекций. Так же, как и пл. 2, пл. 3
расположена вертикально. Помимо оси проекций х, появляются еще оси z и у,
перпендикулярные к оси х. Буквой О обозначена точка пересечения всех трех
осей проекций. Так как ось х% 3, ось y% 2, ось z% 3 то в точке О
совпадают проекции оси х на пл. 3, оси у на пл. 2 и оси z на пл. .
На рис. 15 показана схема совмещения плоскостей 1, 2 и 3 в одну
плоскость. Для оси у дано два положения (рис. 17).
Наглядное изображение на рис. 16 и чертеж на рис. 18 содержат
горизонтальную, фронтальную и профильную проекции некоторой точки A.
Рис. 15 Рис. 16 Рис.17
Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20
Горизонтальная и фронтальная проекции (А1 и А") расположены
на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и
профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии
связи А"А".
Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано
на рис. 17. Можно воспользоваться или дутой окружности, проводимой из точки
О, или биссектрисой угла уОу.
Расстояние точки А от пл. измеряется на чертеже отрезком А"АХ или
отрезком А'"Ау, расстояние от 2 -- отрезком А'АХ или отрезком А'"Аг,
расстояние от 3 -- отрезком А'Ау или отрезком А"Аг. Поэтому проекцию А'"
можно построить и так, как показано на рис. 18, т. е. откладывая на линии
связи проекций А" и А" от оси z вправо отрезок, равный А'АХ. Такое
построение предпочтительно.
Расстояние от точки А до оси х (рис. 19) измеряется в пространстве
отрезком ААХ. Но отрезок ААХ равен отрезку A'"O (см. с. 12, пункт 8).
Поэтому для определения расстояния от точки А до оси х на чертеже (рис. 20)
надо взять отрезок 1Х.
17
Аналогично, расстояние от точки А до оси у выражается отрезком 1у и
расстояние от точки А до оси z -- отрезком /z (рис. 20).
Итак, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций могут
быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом
должен быть учтен его масштаб.
Рассмотрим примеры построения третьей проекции точки по двум заданным.
Пусть (рис. 21) точка В задана ее фронтальной и горизонтальной проекциями.
Введя ось z (рис. 22:
Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23
расстояние ОВХ произвольно, если нет каких-либо условий) и проведя
через В" линию связи, перпендикулярную к оси , откладываем на ней вправо от
этой оси отрезок B'"B-, равный В'ВХ.
На рис. 23 построена проекция С' по заданным проекциям С" и С'" (ход
построения указан стрелками).
ВОПРОСЫ К §§ 4-5
1. Что такое "система ·, 2" и как называются плоскости проекций и
.,?
2. Что называется осью проекций?
3. Как получается чертеж точки в системе ,, ..?
4. Что такое "система ·, .%, Яэ" и как называется плоскость проекций
,?
5. Что такое "линия связи"?
6. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде точек, выражает некоторую точку?
7. Как строится профильная проекция точки по ее фронтальной и
горизонтальной проекциям?
§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Модель положения точки в системе л1г 2, 3 (рис. 16) аналогична
модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1)
этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно
перпендикулярных плоскостей -- плоскостей координат. Прямые, по которым
пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка
пересечения осей координат называется началом координат и обозначается
буквой О 2). Для осей координат будем применять обозначения,
показанные на рис. 16.
Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных
углов, деля пространство на восемь частей -- восемь октантов 3).
На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков,
определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены
перпендикуляры к каждой из плоскостей
1) Иначе -- "декартовы координаты". Система координат
Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается
прямоугольная система. Декарт (1596--1650) - французский математик и
философ.
2) Начальная буква латинского слова "origo" -- начало.
3) Octo (лат.) -- восемь.
18
координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой
1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА"' (или
равного ему отрезка ОАХ на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу
масштаба. Также отрезок АА" (или равный ему отрезок ОАу на оси у) определит
.вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА'
(или равный ему отрезок OAZ на оси ) - третью координату, называемую
аппликатой 3).
При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х,
ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z.
Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом
координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам
сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих
трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки
ОАХ, АХА' и А'А или ОАУ, АуА'" и А'"А и т. п., т. е. точку А можно получить
шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.
На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения
средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z
взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла z.
В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей,
сокращаются вдвое.
Рис. 25
Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается
построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять
плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А
определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А'
определяется координатами х и у.
Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А
определяется координатами х = 7, у= 3, z = 5. Если масштаб для построения
чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой
точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси,
проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем
проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х.
Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по
данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАХ выражает абсциссу
точки А, отрезок АХА' -- ее ординату, отрезок АХА" - аппликату.
Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость,
параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая
плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны
заданной величине (рис. 26, плоскость а).
') Abscissa (лат.) - отсеченная, отделенная.
2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
проведенная.
3) Applicata (лат.) -- приложенная.
*) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в
§ 75).
19
Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная
соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и
ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ).
Она является линией пересечения двух плоскостей и , где --
геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит
геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны
между собой ординаты.
Рис. 26
Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис.
26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, -- по заданной
ординате и -- по заданной аппликате.
Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов
см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной
точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому
надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают
относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему
знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат,
называемую "правой". Правая система характеризуется тем, что поворот на 90°
"положительного" луча Ох (рис. 27) в сторону "положительного" луча Оу
происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость
хОу сверху).
В системе, называемой "левой", "положительный" луч Ох направлен от
точки О вправо.
При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не
плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных
плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани
прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для
такой системы координат встречается название "внутренняя".
§ 7. ТОЧКА В ЧЕТВЕРТЯХ И ОКТАНТАХ ПРОСТРАНСТВА
В § 4 было сказано, что плоскости 1 и 2 при пересечении образуют
четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертями пространства.
На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит
каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные
1 и -- 1, 2 и -- 2. Если, например, точка расположена во второй
четверти, то горизонтальная проекция получается на -- 1, а фронтальная --
на 2.
В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой
из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).
Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно -- на
бесконечно большом расстоянии от 1 и от 2). Плоскости проекций считают
непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,
а также на полуплоскостях и 2.
20
На рис. 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой
четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от и 2, то А'АХ = А"АХ.
На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е.
над -- % и сзади 2 (рис. 29). Точка В ближе к 2, чем к -- ,: на чертеже
В'ВХ < В"ВЖ. Там же
III
Рис. 28 Рис. 29
показана точка С, одинаково удаленная от -! и от 2: проекции С" и С'
совпадают между собой.
На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей
четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная
проекция -- под осью проекций. Так как D'DX > D"DX, то точка D
расположена от --2 дальше, чем от --.
На рис. 32 даны точки и F, расположенные в четвертой четверти. Точка
Е ближе к ,, чем к -- 2 (рис. 29): Е"ЕХ < Е'ЕХ. Точка F одинаково
удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX.
На рис. 33 в системе ,, 2 изображены точки А и В, расположенные
симметрично относительно пл. ,. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные
проекции
Рис. 31 Рис. 33
таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся
на равных расстояниях от оси проекций: А"АХ = В"ВХ.
В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей
пространства. Подробнее см. в § 41.
На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении
образуют восемь трехгранных углов -- восемь октантов. Нумерация октантов
указана на рис.27. Как видно из рис.28, четверти нумеруются как I--IV
октанты.
21
Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис.
27, получим следующую таблицу:
Например, точка (--20; + 15; --18) находится в восьмом октанте.
Совмещение плоскостей производится согласно рис. 34, т. е. пл. 3 отводится
против часовой стрелки, если смотреть на пл. ! по направлению от +z к О.
Рис. 34
На рис. 34 даны также чертежи точек: А, расположенной в первом октанте,
и С, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут
наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для
второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться
наложенными друг на друга.
1. Что такое прямоугольные декартовы координаты точки?
2. В какой последовательности записываются координаты в обозначении
точки?
3. Что такое квадранты или четверти пространства?
4. Что такое октанты?
5. Какие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте?
6. В чем различие между "правой" и "левой" системами координат?
Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена
в первой четверти, а другая -- в третьей?
§ 8. ОБРАЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
До сих пор мы встречались с двумя системами плоскостей проекций -- п1г
2 и ·, -, 3. В случае необходимости можно образовать и другие системы.
Например, введя в систему ^ - некоторую пл. 41 (рис.35), мы получим,
помимо системы -, 2 с проекциями А' и А" точки А, еще систему ,, 4 с
проекциями А и той же точки А.
Образуется ли при этом также система 2, 4? Нет: плоскости 2 и 4 не
и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод
параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две
взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность,
точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и
остается основным методом составления технических чертежей.
Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным
из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем
изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения
системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.
В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции.
В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз
оговариваться.
Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей
стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров
путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного
плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее
практическим значением.
В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала
преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова
Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано
появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с
французского языка, а затем первого оригинального труда под названием
"Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного
изложению метода ортогональных проекций.
1) Теперь Петербургский государственный университет путей
сообщения.
Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те
годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил
начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще
при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и
военных учебных заведений.
Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай
Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском
технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904),
который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей
сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н.
г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные
примеры применения н. г. к решению инженерных задач.
Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти
столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период
наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов,
предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов
решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии
преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в
области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория
получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в
XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г.
необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться
исследовательской работе.
Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова
(1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и
Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед
Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию
начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная
геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых
Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду
аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова
(1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и
многих других1).
1. Как строится центральная проекция точки?
2. В каком случае центральная проекция прямой линии представляет собой
точку?
3. В чем заключается способ проецирования, называемый параллельным?
4. Как строится параллельная проекция прямой линии?
5. Может ли параллельная проекция прямой линии представлять собой
точку?
6. Если точка принадлежит данной прямой, то как взаимно располагаются
их проекции?
7. В каком случае в параллельной проекции отрезок прямой линии
проецируется в натуральную свою величину?
8. Что такое "метод Монжа"?
9. Как расшифровывается слово "ортогональный"?
1) Интересующихся более подробными сведениями отсылаем к
6--13-му изданиям или, например, к книге: Бубенников А. В., Громов М. Я.
Начертательная геометрия.-- М.: Высшая школа, 1965.
ГЛАВА II ТОЧКА И ПРЯМАЯ
§ 4. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1,2
Выше (§ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения
точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это
положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная
проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой
точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за
"плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной,
если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной,
если точка ниже этой плоскости.
На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1).
В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет
производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях
проекций.
На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их
за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена
горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость
называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной
плоскостью проекций. Плоскости проекций и 2 образуют систему 1 ,2.
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось
проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой
оси будем применять обозначение или обозначение
в виде дроби 2/1. Из четырех двугранных углов, образованных
плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют
обозначения 1 и 2.
На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1,
2. Проведя из А перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки А:
горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А".
Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2,
определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта
плоскость в пересечении с и 2 образует две взаимно перпендикулярные
прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций.
Следовательно, проекции неко-
рис.9 рис.10
1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по
начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.
15
торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси
проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.
Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя
перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в
пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции
точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной
системы плоскостей проекций.
Рис. 11 Рис. 12
Повернув пл. вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на
рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А'
расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии
связи. В результате указанного совмещения плоскостей , и 2 получается
чертеж, известный под названием эпюр1) (эпюр Монжа). Это чертеж в
системе 1,2 (или в системе двух прямоугольных проекций).
Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения
плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает
точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте
построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется
работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину,
изображенную на рис. 10.
Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно
плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние
точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от
плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси
проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам
А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ,
перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое
расстояние.
Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между
проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции,
получается возможность установить положение определяемой ими точки.
Рис. 14
Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в
основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж:
и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова
"чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением
(перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).
1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а
женскому роду этого слова во французском языке.
16
СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1, 2, 3
В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в
систему 1; 2 и другие плоскости проекций. Известно, что в практике
составления чертежей, например машин и их частей, чертеж преимущественно
содержит не два, а большее число изображений.
Рассмотрим введение в систему ^ 2 еще одной плоскости проекций (рис.
15): обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
называют профильной плоскостью проекций. Так же, как и пл. 2, пл. 3
расположена вертикально. Помимо оси проекций х, появляются еще оси z и у,
перпендикулярные к оси х. Буквой О обозначена точка пересечения всех трех
осей проекций. Так как ось х% 3, ось y% 2, ось z% 3 то в точке О
совпадают проекции оси х на пл. 3, оси у на пл. 2 и оси z на пл. .
На рис. 15 показана схема совмещения плоскостей 1, 2 и 3 в одну
плоскость. Для оси у дано два положения (рис. 17).
Наглядное изображение на рис. 16 и чертеж на рис. 18 содержат
горизонтальную, фронтальную и профильную проекции некоторой точки A.
Рис. 15 Рис. 16 Рис.17
Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20
Горизонтальная и фронтальная проекции (А1 и А") расположены
на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и
профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии
связи А"А".
Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано
на рис. 17. Можно воспользоваться или дутой окружности, проводимой из точки
О, или биссектрисой угла уОу.
Расстояние точки А от пл. измеряется на чертеже отрезком А"АХ или
отрезком А'"Ау, расстояние от 2 -- отрезком А'АХ или отрезком А'"Аг,
расстояние от 3 -- отрезком А'Ау или отрезком А"Аг. Поэтому проекцию А'"
можно построить и так, как показано на рис. 18, т. е. откладывая на линии
связи проекций А" и А" от оси z вправо отрезок, равный А'АХ. Такое
построение предпочтительно.
Расстояние от точки А до оси х (рис. 19) измеряется в пространстве
отрезком ААХ. Но отрезок ААХ равен отрезку A'"O (см. с. 12, пункт 8).
Поэтому для определения расстояния от точки А до оси х на чертеже (рис. 20)
надо взять отрезок 1Х.
17
Аналогично, расстояние от точки А до оси у выражается отрезком 1у и
расстояние от точки А до оси z -- отрезком /z (рис. 20).
Итак, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций могут
быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом
должен быть учтен его масштаб.
Рассмотрим примеры построения третьей проекции точки по двум заданным.
Пусть (рис. 21) точка В задана ее фронтальной и горизонтальной проекциями.
Введя ось z (рис. 22:
Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23
расстояние ОВХ произвольно, если нет каких-либо условий) и проведя
через В" линию связи, перпендикулярную к оси , откладываем на ней вправо от
этой оси отрезок B'"B-, равный В'ВХ.
На рис. 23 построена проекция С' по заданным проекциям С" и С'" (ход
построения указан стрелками).
ВОПРОСЫ К §§ 4-5
1. Что такое "система ·, 2" и как называются плоскости проекций и
.,?
2. Что называется осью проекций?
3. Как получается чертеж точки в системе ,, ..?
4. Что такое "система ·, .%, Яэ" и как называется плоскость проекций
,?
5. Что такое "линия связи"?
6. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде точек, выражает некоторую точку?
7. Как строится профильная проекция точки по ее фронтальной и
горизонтальной проекциям?
§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Модель положения точки в системе л1г 2, 3 (рис. 16) аналогична
модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1)
этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно
перпендикулярных плоскостей -- плоскостей координат. Прямые, по которым
пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка
пересечения осей координат называется началом координат и обозначается
буквой О 2). Для осей координат будем применять обозначения,
показанные на рис. 16.
Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных
углов, деля пространство на восемь частей -- восемь октантов 3).
На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков,
определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены
перпендикуляры к каждой из плоскостей
1) Иначе -- "декартовы координаты". Система координат
Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается
прямоугольная система. Декарт (1596--1650) - французский математик и
философ.
2) Начальная буква латинского слова "origo" -- начало.
3) Octo (лат.) -- восемь.
18
координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой
1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА"' (или
равного ему отрезка ОАХ на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу
масштаба. Также отрезок АА" (или равный ему отрезок ОАу на оси у) определит
.вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА'
(или равный ему отрезок OAZ на оси ) - третью координату, называемую
аппликатой 3).
При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х,
ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z.
Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом
координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам
сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих
трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки
ОАХ, АХА' и А'А или ОАУ, АуА'" и А'"А и т. п., т. е. точку А можно получить
шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.
На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения
средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z
взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла z.
В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей,
сокращаются вдвое.
Рис. 25
Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается
построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять
плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А
определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А'
определяется координатами х и у.
Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А
определяется координатами х = 7, у= 3, z = 5. Если масштаб для построения
чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой
точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси,
проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем
проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х.
Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по
данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАХ выражает абсциссу
точки А, отрезок АХА' -- ее ординату, отрезок АХА" - аппликату.
Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость,
параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая
плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны
заданной величине (рис. 26, плоскость а).
') Abscissa (лат.) - отсеченная, отделенная.
2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
проведенная.
3) Applicata (лат.) -- приложенная.
*) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в
§ 75).
19
Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная
соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и
ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ).
Она является линией пересечения двух плоскостей и , где --
геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит
геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны
между собой ординаты.
Рис. 26
Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис.
26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, -- по заданной
ординате и -- по заданной аппликате.
Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов
см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной
точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому
надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают
относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему
знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат,
называемую "правой". Правая система характеризуется тем, что поворот на 90°
"положительного" луча Ох (рис. 27) в сторону "положительного" луча Оу
происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость
хОу сверху).
В системе, называемой "левой", "положительный" луч Ох направлен от
точки О вправо.
При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не
плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных
плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани
прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для
такой системы координат встречается название "внутренняя".
§ 7. ТОЧКА В ЧЕТВЕРТЯХ И ОКТАНТАХ ПРОСТРАНСТВА
В § 4 было сказано, что плоскости 1 и 2 при пересечении образуют
четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертями пространства.
На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит
каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные
1 и -- 1, 2 и -- 2. Если, например, точка расположена во второй
четверти, то горизонтальная проекция получается на -- 1, а фронтальная --
на 2.
В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой
из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).
Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно -- на
бесконечно большом расстоянии от 1 и от 2). Плоскости проекций считают
непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,
а также на полуплоскостях и 2.
20
На рис. 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой
четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от и 2, то А'АХ = А"АХ.
На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е.
над -- % и сзади 2 (рис. 29). Точка В ближе к 2, чем к -- ,: на чертеже
В'ВХ < В"ВЖ. Там же
III
Рис. 28 Рис. 29
показана точка С, одинаково удаленная от -! и от 2: проекции С" и С'
совпадают между собой.
На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей
четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная
проекция -- под осью проекций. Так как D'DX > D"DX, то точка D
расположена от --2 дальше, чем от --.
На рис. 32 даны точки и F, расположенные в четвертой четверти. Точка
Е ближе к ,, чем к -- 2 (рис. 29): Е"ЕХ < Е'ЕХ. Точка F одинаково
удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX.
На рис. 33 в системе ,, 2 изображены точки А и В, расположенные
симметрично относительно пл. ,. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные
проекции
Рис. 31 Рис. 33
таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся
на равных расстояниях от оси проекций: А"АХ = В"ВХ.
В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей
пространства. Подробнее см. в § 41.
На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении
образуют восемь трехгранных углов -- восемь октантов. Нумерация октантов
указана на рис.27. Как видно из рис.28, четверти нумеруются как I--IV
октанты.
21
Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис.
27, получим следующую таблицу:
Знаки координат | Знаки координат | ||||||
У | У | z | |||||
I | + | + | + | V | + | + | |
+ | _ | + | VI | -- | -- | + | |
III | + | _ | _ | VII | _ | _ | _ |
IV | + | + | - | VIII | - | + | - |
Например, точка (--20; + 15; --18) находится в восьмом октанте.
Совмещение плоскостей производится согласно рис. 34, т. е. пл. 3 отводится
против часовой стрелки, если смотреть на пл. ! по направлению от +z к О.
Рис. 34
На рис. 34 даны также чертежи точек: А, расположенной в первом октанте,
и С, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут
наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для
второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться
наложенными друг на друга.
1. Что такое прямоугольные декартовы координаты точки?
2. В какой последовательности записываются координаты в обозначении
точки?
3. Что такое квадранты или четверти пространства?
4. Что такое октанты?
5. Какие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте?
6. В чем различие между "правой" и "левой" системами координат?
Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена
в первой четверти, а другая -- в третьей?
§ 8. ОБРАЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
До сих пор мы встречались с двумя системами плоскостей проекций -- п1г
2 и ·, -, 3. В случае необходимости можно образовать и другие системы.
Например, введя в систему ^ - некоторую пл. 41 (рис.35), мы получим,
помимо системы -, 2 с проекциями А' и А" точки А, еще систему ,, 4 с
проекциями А и той же точки А.
Образуется ли при этом также система 2, 4? Нет: плоскости 2 и 4 не