---------------------------------------------------------------
OCR: Сергей Болдырев
---------------------------------------------------------------
Предисловие редактора к двадцать четвертому изданию 6
Предисловие к восемнадцатому изданию 7
Принятые обозначения 8
Введение 9
Глава I. Образование проекций 10
§ 1. Проекции центральные 10
§ 2. Проекции параллельные 11
§ 3. Метод Монжа 13
Вопросы к главе I 14
Глава П. Точка и прямая 15
§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций ,, 2 15
§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3 17
Вопросы к §§ 4-5 18
§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат .... 18
§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства 20
Вопросы к §§6-7 22
§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций 22
§ 9. Чертежи без указания осей проекций 24
Вопросы к §§ 8-9 25
§ 10. Проекции отрезка прямой линии 25
§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
про
екций 27
§ 12. Точка на прямой. Следы прямой 29
Вопросы к §§ 10-12 32
§ 13. Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего
положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1 и 2 · · · 32
§ 14. Взаимное положение двух прямых 35
§ 15. О проекциях плоских углов 37
Вопросы к §§ 13-15 40
Глава III. Плоскость 42
§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже 42
§ 17. Следы плоскости 43
§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения 44
Вопросы к §§ 16-18 49
§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций 49
Вопросы к § 19 54
§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию 54
§ 21. Построение проекций плоских фигур 55
Вопросы к §§ 20-21 61
Глава ГУ. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
.... 62
§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
плоскости 62
§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
или
к двум плоскостям проекций 64
§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей 65
Вопросы §§ 22-24 68
§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения 69
§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
пересечения
прямых линий с плоскостью 70
Вопросы к §§ 25-26 72
§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой ...
72
§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей 73
Вопросы к §§ 27-28 74
§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 74
§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей 77
§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
плоскостями 78
Вопросы к §§ 29-31 80
Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения 81
§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения отно
сительно плоскостей проекций 81
§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 81
Вопросы к §§ 32-33 85
§ 34. Основы способа вращения 85
§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, перпендику
лярной к плоскости проекций 86
Вопросы к §§ 34-35 90
§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
вращения,
перпендикулярных к плоскости 1 или 2 90
§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
параллельной
плоскости проекций, и вокруг следа плоскости .... 92
Вопросы к §§ 36-37 96
§ 38. Примеры решения задач с применением способов перемены плоскостей
проекций и вращения 96
Вопросы к § 38 106
Глава VI. Изображение многогранников 107
§ 39. Построение проекций многогранников 107
§ 40. Чертежи призм и пирамид 108
§ 41. Система расположения изображений на технических чертежах 112
§ 42. Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией .... 114
Вопросы к §§ 39 --42 118
§ 43. Пересечение одной многогранной поверхности другою 118
§ 44. Общие приемы развертывания гранных поверхностей (призмы и
пирамиды) 121
Вопросы к §§ 43-44 124
Глава VII. Кривые линии 125
§ 45. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании 125
§ 46. Плоские кривые линии 127
§ 47. Пространственные кривые линии 130
Вопросы §§ 45-47 131
§ 48. Винтовые линии -- цилиндрические и конические 131
Вопросы к § 48 136
Глава VIII. Кривые поверхности 137
§ 49. Общие сведения о кривых поверхностях 137
§ 50. Обзор некоторых кривых поверхностей, их задание и изображение на
чертежах , 139
A. Поверхности линейчатые развертываемые 139
Б. Поверхности линейчатые неразвертываемые 143
B. Поверхности нелинейчатые 148
Г. Поверхности, задаваемые каркасом 149
Д. Поверхности графические 149
Вопросы к §§ 49-50 150
§ 51. Поверхности вращения 150
Вопросы § 51 156
§ 52. Винтовые поверхности и винты 157
Вопросы § 52 163
§ 53. Проведение плоскостей, касательных кривым поверхностям 164
§ 54. Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной
осью 166
Вопросы к §§ 53-54 169
Глава IX. Пересечение кривых поверхностей плоскостью и прямой линией
.... 170
§ 55. Общие приемы построения линии пересечения кривой поверхности плос
костью 170
§ .56. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение
раз
вертки.. 171
Вопросы к §§ 55-56 176
§ 57. Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение
развертки 176
Вопросы к § 57 185
§ 58. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения "линии
среза"
на поверхности комбинированного тела вращения 185
§ 59. Пересечение кривых поверхностей прямой линией 189
Вопросы к §§ 58-59 192
Глава X. Пересечение одной поверхности другою, ю которых хотя бы одна
кривая 194
§ 60. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности
другою 194
§ 61. Подбор вспомогательных секущих плоскостей в случаях, когда они
могут
пересекать обе поверхности по прямым линиям 195
§ 62. Применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных пло
скостям проекций 200
Вопросы к §§ 60-62 201
§ 63. Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою . .
. 202
§ 64. Применение вспомогательных секущих сфер 206
§ 65. Проецирование линии пересечения двух поверхностей вращения
второго
порядка на плоскость, параллельную их общей плоскости симметрии . . 211
Вопросы §§ 63 -- 65 216
§ 66. Примеры построения линий пересечения одной поверхности другою . .
. 217
§ 67. Пересечение кривой линии с кривой поверхностью 225
Вопросы к §§ 66-61 . 226
Глава XI. Развертывание кривых поверхностей 227
Развертывание цилиндрических и конических поверхностей 227
Условное развертывание сферической поверхности 229
§ 70. Примеры построения разверток некоторых форм 231
Вопросы к главе XI 233
Глава XII. Аксонометрические проекции 234
Общие сведения 234
§ 72. Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения
и углы между осями 238
§ 73. Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности .
. . 243
Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях ...
251
Некоторые косоугольные аксонометрические проекции 255
Вопросы к главе XII 258
§ 76. О родственном соответствии и его применении к решению некоторых
задач 259
Вопросы к § 76 265
Добавление. Начертательная геометрия и машинная графика. (А. А.
Чекмарев) 266
Список дополнительной литературы 272
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
К ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Министерством
общего и профессионального образования РФ, для машиностроительных,
приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов.
Одним из направлений перестройки высшей школы является усиление
самостоятельности, предоставляемой студентам при изучении той или иной
дисциплины. При изучении начертательной геометрии этому будет способствовать
настоящее издание "Курс начертательной геометрии", а также новое издание
"Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В.О. Гордона, Ю.Б.
Иванова, Т.Е. Солнцевой. Совместное их использование даст студентам
возможность не только понять и осмыслить весь курс, уяснить план и ход
решения задач, приведенных в задачнике в качестве примеров, но и
самостоятельно проверить свои решения, сверив их с помещенными в конце
задачника ответами.
Для повторения и закрепления изучаемого материала в целях самопроверки
к материалу каждого параграфа имеется значительное число вопросов.
В конце книги помещено небольшое дополнение, написанное профессором
А.А. Чекмаревым "Начертательная геометрия и машинная графика", о применении
персональных компьютеров для решения на экране монитора графических задач
начертательной геометрии.
В настоящем издании указана учебная литература для желающих
ознакомиться с различными вариантами изложения разделов программы и с
некоторыми дополнительными вопросами начертательной геометрии. В книге
указана также литература, относящаяся к машинной графике.
Профессор Ю.Б. Иванов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
После 14-го издания учебника (1962 г.), пересмотренного и сокращенного,
следовали стереотипные выпуски. Настоящее издание книги значительно
переработано, прежде всего с целью согласования с пособием "Сборник задач по
курсу начертательной геометрии" В. О. Гордона, Ю. Б. Иванова и Т. Е.
Солнцевой. В связи с этим из учебника исключен соответствующий материал --
задачи для самостоятельного решения и некоторые примеры построений,
включенные в упомянутый выше сборник. В этом же сборнике приведены ответы на
все задачи в графической форме.
Учтены также пожелания, высказанные по содержанию и объему учебника.
В основу учебника, как и прежде, положена программа, утвержденная
Министерством высшего и среднего специального образования СССР для
машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических
специальностей втузов. Поэтому в книге изложены "Система ортогональных
проекций" и "Аксонометрия".
Пожелания о сокращении объема с тем, чтобы он соответствовал времени,
отводимому по учебному плану на курс начертательной геометрии, конечно, не
могли быть удовлетворены за счет программного материала. Но такое сокращение
было в поле зрения автора. В то же время переработка книги позволила ввести
местами новый материал для более полного изложения "некоторых разделов
программы и обоснования отдельных положений. Значительно увеличено число
вопросов для повторения изучаемого материала и самопроверки.
Обозначения, принятые в книге при первом издании (1936 г.), в основном
введены еще в XIX столетии отечественными учеными Н. И. Макаровым и В. И.
Кур-дюмовым и применяются, как показывает опыт, в учебной работе и в учебной
литературе без каких-либо осложнений. Эти обозначения просты, выразительны и
не загромождают чертежи. Очевидно, на сегодняшний день нельзя указать
систему обозначений, которая могла бы считаться апробированной в качестве
обладающей безусловными достоинствами для внедрения ее в учебную практику.
Если "старым" обозначениям присущи некоторые недостатки, то не меньшие, а
подчас и значительно большие недостатки присущи так называемым "новым"
системам.
Как и в предыдущих изданиях (начиная с 14-го), в книге помещена таблица
для сопоставления обозначений в учебной литературе сегодняшнего дня.
В этом издании указана литература, преимущественно учебная, для
желающих ознакомиться с вариантами изложения разделов программы и некоторыми
дополнительными вопросами.
В работе по подготовке книги к переизданию автором учтены советы и
замечания А. В. Бубенникова, Ю. Б. Иванова, Л. А. Ольховского и др., которым
автор приносит сердечную благодарность. Автор благодарен В. П. Панченко за
помощь в подготовке чертежей.
Хотя работа над книгой со времени кончины М. А. Семенцова-Огиевского
(1950 г.) выпала на мою долю и книга с тех пор претерпела ряд существенных
изменений и дополнений, наши имена стоят рядом в заглавии в память о нашей
долголетней дружбе и совместной работе.
В. Гордон
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Точки в пространстве -- прописными буквами латинского алфавита A, B, С,
..., а так
же цифрами.
Последовательность точек (и других элементов) -- подстрочными
индексами·. a1, А2,
А3...
Линии в пространстве - по точкам, определяющим линию, и строчными
буквами ла-
тинского алфавита a, b, c, ...
Поверхности -- римскими цифрами, а также прописными буквами русского
алфавита:
цилиндр -- Ц, конус -- К, сфера -- Сф., ...
Плоскости проекций -- строчной буквой греческого алфавита .
Произвольная
плоскость -- , горизонтапьная -- , фронтальная -- 2, профильная
(или
дополнительная) -- Пз, любая дополнительная -- 4, 5,...
Оси проекций -- строчными буквами х, у, z или (при введении
дополнительных пло-
скостей) 2/, 2/3, 2/5, ... Начапо координат - прописной буквой
О.
Проекции точек::
на произвольную плоскость -- A0, Bo,
Co,...; на горизонтальную плоскость --A', B', С',...; на
фронтальную плоскость 2 -- A", В", C"...;
на профильную плоскость Пз -- А'", В'", C'" .. на дополнительную плоскость
4 -- АIV , BIV , CIV ...
10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
того:
горизонтапьная линия -- буквой h;
фронтальная линия -- буквой f; профильная линия -- буквой р.
11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
горизонтальный след плоскости -- h0a;
фронтальный след плоскости -- foa;
профильный след плоскости -- oa
В тех случаях, когда плоскость не требует наименования, обозначение
следов упрощено - ho, fo, po".
Для проецирующих плоскостей задается проекция плоскости:
' -- горизонтально-проецирующая плоскость;
" -- фронтально-проецирующая плоскость;
'"-- профильно-проецирующая плоскость.
Точки схода следов плоскости -- прописными буквами , , с индексом
соответствую-щей плоскости: , У, .
12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
новом поло-
жении точки --![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-0.dib">
плоскости --![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-1.dib">
следов плоскости --![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-2.dib">
. После
второго вращения соответственно .![]()
alt="0x01 graphic" src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-3.png">
Новое положение точки схода следов при вращении плоскости a --
13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
а, а проекция
любого элемента на эту плоскость -- с индексом а.
ВВЕДЕНИЕ
В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит
начертательная геометрия.
Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование
способов построения изображений пространственных форм на плоскости и
способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям
этих форм1).
Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной
геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное
расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать
геометрические свойства, присущие изображаемому предмету.
Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного
воображения, развивает его.
Наконец, начертательная· геометрия передает ряд своих выводов в
практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и
точность, а следовательно; и возможность осуществления изображенных
предметов.
Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии,
основаны на методе проекций 2).
Рассмотрение метода проекций начинают с построения. проекций точки, так
как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается
ряд точек, принадлежащих этой форме.
*) Пространственные формы можно изображать не только на плоской, но и
на-какой-либо другой поверхности, например цилиндрической или сферической,
что изучается в специальных отделах начертательной геометрии.
2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
вперед, вдаль (от projicere-- бросить, выставить вперед). В дальнейшем
изложении в смысле "построить проекции" будет применяться слово
"проецировать", а не слово "проектировать", как это имело место раньше.
ГЛАВА I ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ
§ 1. ПРОЕКЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ
Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо
задаться плоскостью проекций и центром проекций -- точкой, не лежащей в этой
плоскости (рис. 1: плоскость 0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя
через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. 0, получаем точку А°. Так
же поступаем, например, с точками В и С. Точки А°, В°, С° являются
центральными проекциями точек А, В, С на пл. 0: они получаются в
пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC
с плоскостью проекций').
Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется
параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются,
но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но
бесконечно удаленную (D").
Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем
новую проекцию точки А -- точку A°1 Если же взять центр S2 на той же
проецирующей прямой SA, то проекция А° останется неизменной (А°" А°).
Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно
построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А°), нельзя по ней
определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка
проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного
решения, очевидно, необходимы дополнительные условия.
Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При
этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую
поверхность 2)
*) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную
проекцию -- полярной.
) В связи с этим центральные проекции также называют коническими.
Понятие о конической поверхности см. в стереометрии.
10
или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании
прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все
точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).
Рис. 3 Рис. 4
Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей
поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4,
проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей
поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию
на плоскости проекций.
От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию
поверхности и тела.
Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным.
Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их
проведения должно быть указано некоторое направление (см. стрелку на рис.
5). Так построенные проекции называются параллельными.
Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай
центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.
Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку
пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному
направлению, с плоскостью проекций.
Рис. 5 Рис. 6
Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить
проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6).
При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют
цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют
цилиндрическими1).
Понятие о цилиндрической поверхности см. в стереометрии.
В параллельных проекциях, так же как и в центральных:
1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит
плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой;
2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою
проекцию;
3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества
точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая (рис. 5:
точка D° служит проекцией точек D, D1, D2);
4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества
линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости (рис. 7:
отрезок А°В° служит проекцией отрезков АВ и А1В1 и отрезка А2В2 плоской
кривой линии); для единственного решения необходимы дополнительные условия;
5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки
и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;
Рис. 7
6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит
проекции этой прямой (рис. 8: точка К принадлежит прямой, проекции К°
принадлежит проекции этой прямой).
Кроме перечисленных свойств для параллельных проекций можно указать еще
следующие:
7) если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис.
8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (A°, она же
В°);
8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется
на эту плоскость в натуральную свою величину (рис. 8: CD = C°D°, как отрезки
параллельных между параллельными).
В дальнейшем будут рассмотрены еще некоторые свойства параллельных
проекций, показывающие, какие натуральные соотношения в рассматриваемых
предметах сохраняются в проекциях этих предметов.
Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно
строить параллельные проекции поверхности и тела.
Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом
случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не
равный 90°; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к пл. пр.
При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя
удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле
предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом
лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не
цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается
(при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не
параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же
зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные
проекции, в основе которых лежит центральное проецирование 1).
1) Перспективные проекции в программу данного курса не
входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная
геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной
геометрии.--М.: ГТТИ, 1931.
12
Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных
проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений,
объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на
условность, указанную выше.
§ 3. МЕТОД МОНЖА
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских
изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних
времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись
преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники
первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего
точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить
место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и
путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно
накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были
приведены в систему и развиты в труде французского ученого о ц ж а,
изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive".
Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский
геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и
государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления
Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже,
участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из
министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее
защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не
сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного
им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для
выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа
стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание
книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После
OCR: Сергей Болдырев
---------------------------------------------------------------
Предисловие редактора к двадцать четвертому изданию 6
Предисловие к восемнадцатому изданию 7
Принятые обозначения 8
Введение 9
Глава I. Образование проекций 10
§ 1. Проекции центральные 10
§ 2. Проекции параллельные 11
§ 3. Метод Монжа 13
Вопросы к главе I 14
Глава П. Точка и прямая 15
§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций ,, 2 15
§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3 17
Вопросы к §§ 4-5 18
§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат .... 18
§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства 20
Вопросы к §§6-7 22
§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций 22
§ 9. Чертежи без указания осей проекций 24
Вопросы к §§ 8-9 25
§ 10. Проекции отрезка прямой линии 25
§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
про
екций 27
§ 12. Точка на прямой. Следы прямой 29
Вопросы к §§ 10-12 32
§ 13. Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего
положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1 и 2 · · · 32
§ 14. Взаимное положение двух прямых 35
§ 15. О проекциях плоских углов 37
Вопросы к §§ 13-15 40
Глава III. Плоскость 42
§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже 42
§ 17. Следы плоскости 43
§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения 44
Вопросы к §§ 16-18 49
§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций 49
Вопросы к § 19 54
§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию 54
§ 21. Построение проекций плоских фигур 55
Вопросы к §§ 20-21 61
Глава ГУ. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
.... 62
§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
плоскости 62
§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
или
к двум плоскостям проекций 64
§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей 65
Вопросы §§ 22-24 68
§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения 69
§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
пересечения
прямых линий с плоскостью 70
Вопросы к §§ 25-26 72
§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой ...
72
§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей 73
Вопросы к §§ 27-28 74
§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 74
§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей 77
§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
плоскостями 78
Вопросы к §§ 29-31 80
Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения 81
§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения отно
сительно плоскостей проекций 81
§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 81
Вопросы к §§ 32-33 85
§ 34. Основы способа вращения 85
§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, перпендику
лярной к плоскости проекций 86
Вопросы к §§ 34-35 90
§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
вращения,
перпендикулярных к плоскости 1 или 2 90
§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
параллельной
плоскости проекций, и вокруг следа плоскости .... 92
Вопросы к §§ 36-37 96
§ 38. Примеры решения задач с применением способов перемены плоскостей
проекций и вращения 96
Вопросы к § 38 106
Глава VI. Изображение многогранников 107
§ 39. Построение проекций многогранников 107
§ 40. Чертежи призм и пирамид 108
§ 41. Система расположения изображений на технических чертежах 112
§ 42. Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией .... 114
Вопросы к §§ 39 --42 118
§ 43. Пересечение одной многогранной поверхности другою 118
§ 44. Общие приемы развертывания гранных поверхностей (призмы и
пирамиды) 121
Вопросы к §§ 43-44 124
Глава VII. Кривые линии 125
§ 45. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании 125
§ 46. Плоские кривые линии 127
§ 47. Пространственные кривые линии 130
Вопросы §§ 45-47 131
§ 48. Винтовые линии -- цилиндрические и конические 131
Вопросы к § 48 136
Глава VIII. Кривые поверхности 137
§ 49. Общие сведения о кривых поверхностях 137
§ 50. Обзор некоторых кривых поверхностей, их задание и изображение на
чертежах , 139
A. Поверхности линейчатые развертываемые 139
Б. Поверхности линейчатые неразвертываемые 143
B. Поверхности нелинейчатые 148
Г. Поверхности, задаваемые каркасом 149
Д. Поверхности графические 149
Вопросы к §§ 49-50 150
§ 51. Поверхности вращения 150
Вопросы § 51 156
§ 52. Винтовые поверхности и винты 157
Вопросы § 52 163
§ 53. Проведение плоскостей, касательных кривым поверхностям 164
§ 54. Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной
осью 166
Вопросы к §§ 53-54 169
Глава IX. Пересечение кривых поверхностей плоскостью и прямой линией
.... 170
§ 55. Общие приемы построения линии пересечения кривой поверхности плос
костью 170
§ .56. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение
раз
вертки.. 171
Вопросы к §§ 55-56 176
§ 57. Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение
развертки 176
Вопросы к § 57 185
§ 58. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения "линии
среза"
на поверхности комбинированного тела вращения 185
§ 59. Пересечение кривых поверхностей прямой линией 189
Вопросы к §§ 58-59 192
Глава X. Пересечение одной поверхности другою, ю которых хотя бы одна
кривая 194
§ 60. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности
другою 194
§ 61. Подбор вспомогательных секущих плоскостей в случаях, когда они
могут
пересекать обе поверхности по прямым линиям 195
§ 62. Применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных пло
скостям проекций 200
Вопросы к §§ 60-62 201
§ 63. Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою . .
. 202
§ 64. Применение вспомогательных секущих сфер 206
§ 65. Проецирование линии пересечения двух поверхностей вращения
второго
порядка на плоскость, параллельную их общей плоскости симметрии . . 211
Вопросы §§ 63 -- 65 216
§ 66. Примеры построения линий пересечения одной поверхности другою . .
. 217
§ 67. Пересечение кривой линии с кривой поверхностью 225
Вопросы к §§ 66-61 . 226
Глава XI. Развертывание кривых поверхностей 227
Развертывание цилиндрических и конических поверхностей 227
Условное развертывание сферической поверхности 229
§ 70. Примеры построения разверток некоторых форм 231
Вопросы к главе XI 233
Глава XII. Аксонометрические проекции 234
Общие сведения 234
§ 72. Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения
и углы между осями 238
§ 73. Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности .
. . 243
Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях ...
251
Некоторые косоугольные аксонометрические проекции 255
Вопросы к главе XII 258
§ 76. О родственном соответствии и его применении к решению некоторых
задач 259
Вопросы к § 76 265
Добавление. Начертательная геометрия и машинная графика. (А. А.
Чекмарев) 266
Список дополнительной литературы 272
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
К ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Министерством
общего и профессионального образования РФ, для машиностроительных,
приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов.
Одним из направлений перестройки высшей школы является усиление
самостоятельности, предоставляемой студентам при изучении той или иной
дисциплины. При изучении начертательной геометрии этому будет способствовать
настоящее издание "Курс начертательной геометрии", а также новое издание
"Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В.О. Гордона, Ю.Б.
Иванова, Т.Е. Солнцевой. Совместное их использование даст студентам
возможность не только понять и осмыслить весь курс, уяснить план и ход
решения задач, приведенных в задачнике в качестве примеров, но и
самостоятельно проверить свои решения, сверив их с помещенными в конце
задачника ответами.
Для повторения и закрепления изучаемого материала в целях самопроверки
к материалу каждого параграфа имеется значительное число вопросов.
В конце книги помещено небольшое дополнение, написанное профессором
А.А. Чекмаревым "Начертательная геометрия и машинная графика", о применении
персональных компьютеров для решения на экране монитора графических задач
начертательной геометрии.
В настоящем издании указана учебная литература для желающих
ознакомиться с различными вариантами изложения разделов программы и с
некоторыми дополнительными вопросами начертательной геометрии. В книге
указана также литература, относящаяся к машинной графике.
Профессор Ю.Б. Иванов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
После 14-го издания учебника (1962 г.), пересмотренного и сокращенного,
следовали стереотипные выпуски. Настоящее издание книги значительно
переработано, прежде всего с целью согласования с пособием "Сборник задач по
курсу начертательной геометрии" В. О. Гордона, Ю. Б. Иванова и Т. Е.
Солнцевой. В связи с этим из учебника исключен соответствующий материал --
задачи для самостоятельного решения и некоторые примеры построений,
включенные в упомянутый выше сборник. В этом же сборнике приведены ответы на
все задачи в графической форме.
Учтены также пожелания, высказанные по содержанию и объему учебника.
В основу учебника, как и прежде, положена программа, утвержденная
Министерством высшего и среднего специального образования СССР для
машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических
специальностей втузов. Поэтому в книге изложены "Система ортогональных
проекций" и "Аксонометрия".
Пожелания о сокращении объема с тем, чтобы он соответствовал времени,
отводимому по учебному плану на курс начертательной геометрии, конечно, не
могли быть удовлетворены за счет программного материала. Но такое сокращение
было в поле зрения автора. В то же время переработка книги позволила ввести
местами новый материал для более полного изложения "некоторых разделов
программы и обоснования отдельных положений. Значительно увеличено число
вопросов для повторения изучаемого материала и самопроверки.
Обозначения, принятые в книге при первом издании (1936 г.), в основном
введены еще в XIX столетии отечественными учеными Н. И. Макаровым и В. И.
Кур-дюмовым и применяются, как показывает опыт, в учебной работе и в учебной
литературе без каких-либо осложнений. Эти обозначения просты, выразительны и
не загромождают чертежи. Очевидно, на сегодняшний день нельзя указать
систему обозначений, которая могла бы считаться апробированной в качестве
обладающей безусловными достоинствами для внедрения ее в учебную практику.
Если "старым" обозначениям присущи некоторые недостатки, то не меньшие, а
подчас и значительно большие недостатки присущи так называемым "новым"
системам.
Как и в предыдущих изданиях (начиная с 14-го), в книге помещена таблица
для сопоставления обозначений в учебной литературе сегодняшнего дня.
В этом издании указана литература, преимущественно учебная, для
желающих ознакомиться с вариантами изложения разделов программы и некоторыми
дополнительными вопросами.
В работе по подготовке книги к переизданию автором учтены советы и
замечания А. В. Бубенникова, Ю. Б. Иванова, Л. А. Ольховского и др., которым
автор приносит сердечную благодарность. Автор благодарен В. П. Панченко за
помощь в подготовке чертежей.
Хотя работа над книгой со времени кончины М. А. Семенцова-Огиевского
(1950 г.) выпала на мою долю и книга с тех пор претерпела ряд существенных
изменений и дополнений, наши имена стоят рядом в заглавии в память о нашей
долголетней дружбе и совместной работе.
В. Гордон
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Точки в пространстве -- прописными буквами латинского алфавита A, B, С,
..., а так
же цифрами.
Последовательность точек (и других элементов) -- подстрочными
индексами·. a1, А2,
А3...
Линии в пространстве - по точкам, определяющим линию, и строчными
буквами ла-
тинского алфавита a, b, c, ...
Поверхности -- римскими цифрами, а также прописными буквами русского
алфавита:
цилиндр -- Ц, конус -- К, сфера -- Сф., ...
Плоскости проекций -- строчной буквой греческого алфавита .
Произвольная
плоскость -- , горизонтапьная -- , фронтальная -- 2, профильная
(или
дополнительная) -- Пз, любая дополнительная -- 4, 5,...
Оси проекций -- строчными буквами х, у, z или (при введении
дополнительных пло-
скостей) 2/, 2/3, 2/5, ... Начапо координат - прописной буквой
О.
Проекции точек::
на произвольную плоскость -- A0, Bo,
Co,...; на горизонтальную плоскость --A', B', С',...; на
фронтальную плоскость 2 -- A", В", C"...;
на профильную плоскость Пз -- А'", В'", C'" .. на дополнительную плоскость
4 -- АIV , BIV , CIV ...
10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
того:
горизонтапьная линия -- буквой h;
фронтальная линия -- буквой f; профильная линия -- буквой р.
11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
горизонтальный след плоскости -- h0a;
фронтальный след плоскости -- foa;
профильный след плоскости -- oa
В тех случаях, когда плоскость не требует наименования, обозначение
следов упрощено - ho, fo, po".
Для проецирующих плоскостей задается проекция плоскости:
' -- горизонтально-проецирующая плоскость;
" -- фронтально-проецирующая плоскость;
'"-- профильно-проецирующая плоскость.
Точки схода следов плоскости -- прописными буквами , , с индексом
соответствую-щей плоскости: , У, .
12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
новом поло-
жении точки --
плоскости --
следов плоскости --
. После
второго вращения соответственно .
Новое положение точки схода следов при вращении плоскости a --
13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
а, а проекция
любого элемента на эту плоскость -- с индексом а.
ВВЕДЕНИЕ
В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит
начертательная геометрия.
Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование
способов построения изображений пространственных форм на плоскости и
способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям
этих форм1).
Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной
геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное
расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать
геометрические свойства, присущие изображаемому предмету.
Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного
воображения, развивает его.
Наконец, начертательная· геометрия передает ряд своих выводов в
практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и
точность, а следовательно; и возможность осуществления изображенных
предметов.
Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии,
основаны на методе проекций 2).
Рассмотрение метода проекций начинают с построения. проекций точки, так
как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается
ряд точек, принадлежащих этой форме.
*) Пространственные формы можно изображать не только на плоской, но и
на-какой-либо другой поверхности, например цилиндрической или сферической,
что изучается в специальных отделах начертательной геометрии.
2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
вперед, вдаль (от projicere-- бросить, выставить вперед). В дальнейшем
изложении в смысле "построить проекции" будет применяться слово
"проецировать", а не слово "проектировать", как это имело место раньше.
ГЛАВА I ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ
§ 1. ПРОЕКЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ
Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо
задаться плоскостью проекций и центром проекций -- точкой, не лежащей в этой
плоскости (рис. 1: плоскость 0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя
через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. 0, получаем точку А°. Так
же поступаем, например, с точками В и С. Точки А°, В°, С° являются
центральными проекциями точек А, В, С на пл. 0: они получаются в
пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC
с плоскостью проекций').
Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется
параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются,
но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но
бесконечно удаленную (D").
Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем
новую проекцию точки А -- точку A°1 Если же взять центр S2 на той же
проецирующей прямой SA, то проекция А° останется неизменной (А°" А°).
Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно
построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А°), нельзя по ней
определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка
проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного
решения, очевидно, необходимы дополнительные условия.
Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При
этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую
поверхность 2)
*) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную
проекцию -- полярной.
) В связи с этим центральные проекции также называют коническими.
Понятие о конической поверхности см. в стереометрии.
10
или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании
прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все
точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).
Рис. 3 Рис. 4
Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей
поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4,
проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей
поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию
на плоскости проекций.
От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию
поверхности и тела.
Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным.
Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их
проведения должно быть указано некоторое направление (см. стрелку на рис.
5). Так построенные проекции называются параллельными.
Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай
центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.
Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку
пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному
направлению, с плоскостью проекций.
Рис. 5 Рис. 6
Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить
проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6).
При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют
цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют
цилиндрическими1).
Понятие о цилиндрической поверхности см. в стереометрии.
В параллельных проекциях, так же как и в центральных:
1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит
плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой;
2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою
проекцию;
3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества
точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая (рис. 5:
точка D° служит проекцией точек D, D1, D2);
4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества
линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости (рис. 7:
отрезок А°В° служит проекцией отрезков АВ и А1В1 и отрезка А2В2 плоской
кривой линии); для единственного решения необходимы дополнительные условия;
5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки
и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;
Рис. 7
6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит
проекции этой прямой (рис. 8: точка К принадлежит прямой, проекции К°
принадлежит проекции этой прямой).
Кроме перечисленных свойств для параллельных проекций можно указать еще
следующие:
7) если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис.
8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (A°, она же
В°);
8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется
на эту плоскость в натуральную свою величину (рис. 8: CD = C°D°, как отрезки
параллельных между параллельными).
В дальнейшем будут рассмотрены еще некоторые свойства параллельных
проекций, показывающие, какие натуральные соотношения в рассматриваемых
предметах сохраняются в проекциях этих предметов.
Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно
строить параллельные проекции поверхности и тела.
Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом
случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не
равный 90°; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к пл. пр.
При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя
удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле
предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом
лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не
цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается
(при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не
параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же
зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные
проекции, в основе которых лежит центральное проецирование 1).
1) Перспективные проекции в программу данного курса не
входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная
геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной
геометрии.--М.: ГТТИ, 1931.
12
Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных
проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений,
объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на
условность, указанную выше.
§ 3. МЕТОД МОНЖА
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских
изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних
времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись
преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники
первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего
точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить
место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и
путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно
накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были
приведены в систему и развиты в труде французского ученого о ц ж а,
изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive".
Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский
геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и
государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления
Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже,
участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из
министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее
защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не
сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного
им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для
выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа
стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание
книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После