Страница:
Действительно, складывая почленно + = 90° и 2 + = 90°, получим
1 + 2 + + = 180°, . е. + 2 < 180°, а так как + < 90°
(см. с. 33), 1 + 2 > 90°. Если взять :1 + 2 = 90°, то получится
профильно-проецирующая плоскость, а если взять , + 2 = 180°, то получится
профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего
положения, а частного.
§ 30. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Построение плоскости , перпендикулярной к плоскости о, может быть
произведено двумя путями: 1) пл. проводится через прямую, перпендикулярную
к пл. а; 2) пл. проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. ос или
параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются
дополнительные условия.
На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к
плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит
то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно,
искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости
треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты
фрон-
Рис. 193 Рис. 194
таль CN и горизонталь СМ: если B"F" % С"" и В'F'%С'М', то BF%пл. CDE.
Образованная пересекающимися прямыми А В и ВF плоскость перпендикулярна
к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис.
194 горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку К
перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником ABC. Здесь
дополнительным условием явля-
77
лась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к
пл. ABC и к пл. ,. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая
плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к
прямой, принадлежащей пл. ABC, то пл. перпендикулярна к пл. ABC.
Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить
признаком перпендикулярности самих плоскостей?
К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная
перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых
горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при
взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих
плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость ,
перпендикулярную к плоскости общего положения а.
Если пл. перпендикулярна к пл. 1 и к пл. , то % h'o как к линии
пересечения пл. и пл. ,. Отсюда h'o% и, следовательно, h'o % ', как
к одной из прямых в пл. .
Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего
положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей
плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Рис. 196
Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно
перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как
здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого
параграфа.
В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной
перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности
самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения -- профильная
и профильно-проецирующая
§ 31. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ И МЕЖДУ ДВУМЯ
ПЛОСКОСТЯМИ
Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и
плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной
плоскости.
Об углах между прямой и плоскостями проекций см, § 13.
На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол
образован отрезком BD данной прямой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0.
78
Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл. выполнено на
рис. 198. Пл. задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью
(проекции P"F" и PF).
Построение выполнено в следующем порядке:
а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а;
в) найдена точка пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
г) через точки D" и Е", D' и проведены прямые, чем определяются
проекции прямой АВ на пл. .
Рис. 197 Рис. 198
Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл.
, а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла.
Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно
упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как
в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью
определяется без дополнительных построений.
Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных
угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между и , показанного на рис. 199,
построим его линейный угол, для чего пересечем ребро двугранного угла
плоскостью , перпендикулярной к .
Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана
треугольником , пл. -- треугольником .
а) Построена пл. % , проходящая через точку N (пл. задана ее
фронталью NF и горизонталью ).
79
б) Построена линия пересечения плоскостей и (прямая E); так как
пл. проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего
взята вспо-
могательная плоскость .
в) Найдена линия пересечения плоскостей и (прямая NG); здесь также
надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ).
Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G'
представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его
фронтальную проекцию.
На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный
угол, образуемый пл. с плоскостью проекций к,. Так как для получения
линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного
угла, то для получения утла наклона пл. к пл. , проведена пл. ,
перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл. и
пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o.
На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а
горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может
быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и
''.
1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости?
2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к
плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения
перпендикуляра с плоскостью?
3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через
точку на прямой и через точку вне прямой)?
4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при
помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему
к,, я- дополнительной плоскости проекций)?
5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных
следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих
плоскостей?
7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность
плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В
каком случае в системе ·, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей
выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов?
8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их
одноименные следы взаимно перпендикулярны?
9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо
выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?
Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций
линейного угла для данного двугранного?
ГЛАВА V. СПОСОБЫ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ И ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКИХ ФИГУР
Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно
плоскостей проекций (см. §§11, 19) значительно упрощает построения и
решение задач, а подчас позволяет получить ответ или непосредственно по
данному чертежу, или при помощи простейших построений.
Например, определение расстояния точки А до горизонтально-проецирующей
плоскости (рис. 201), заданной треугольником BCD, сводится к проведению
перпендикуляра из проекции А' к проекции, выраженной отрезком B'D'. Искомое
расстояние определяется отрезком А'К'.
Излагаемые в настоящей главе способы дают возможность переходить от
общих положений прямых линий и плоских фигур в системе 1, 2 к частным в
той же системе или в дополнительной.
Достигается это:
1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в
каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ
перемены плоскостей проекций);
2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном
положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ
вращения и частный случай его -- способ совмещения).
Введение дополнительных 'плоскостей проекций в систему 1; 2
рассматривалось в § 8, а примеры построений в дополнительных системах были
приведены в §§ 13 и 15. Теперь рассмотрим это подробнее.
ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1)
Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей
проекций2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских
фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2
дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы
двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Рис. 2011) Мы применяем распространенное название "перемена
плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций и - остаются и
лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. ·
2) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей
проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия",
1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в
трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.
Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее
удобное для выполнения требуемого построения. .
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей
задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или
4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4
-фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не
позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению
основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3%
1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы
переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл.
4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким
образом, производится последовательный переход от системы 1 2 к системе
3, 4 через промежуточную систему 3, 1.
Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно
перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную
к 4.
При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же
условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы
плоскостей 1 и 2 (см. § 7).
Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта
лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы
числитель, и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону
оси, где должны размещаться соответствующие проекции.
Введение в систему 1, 2 одной дополнительной плоскости проекций. В
большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему 1, 2 в
качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию,
отвечающему цели построения. Примером может служить пл. 3 на рис. 77: так
как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и
пл. 1, то пл. 3 была расположена перпендикулярно к пл. (образовалась
система 3, ) и || АВ.
На рис. 202 также выбор пл. 3 подчинен цели -- определить угол между
прямой CD и плоскостью проекций 2. Поэтому 3% 2 и в то же время пл. 3
параллельна прямой CD (ось 3/2% C"D"). Кроме искомого угла 2 определилась
и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').
И в случае, изображенном на рис. 203, выбор пл. 3 вполне зависит от
задания: определить натуральный вид ABC. Так как в данном случае
плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к пл. 2, то для его
изображения без искажения надо ввести в систему ,, 2 дополнительную
плоскость, отвечающую двум условиям: 3 % 2 (для образования системы 2,
з) и з II ABC (что дает возможность изобразить ABC без искажения). Новая
ось 2/3 проведена параллельно проекций А"С"В". Для построения проекции
A'"B'"C"" от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек A', B' и С
от оси 2/ 1. Натуральный вид ABC выражается новой его проекцией
A'"B'"C'".
Рис. 202 Рис. 203
82
Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. 3 не уточнен и
она может быть любой горизонтально-проецирующей, или
фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было
строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения - получить
проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и СО, лежащих в общей
для них профильной плоскости'). На рис. 204 показана
горизонтально-проецирующая пл. П3 в качестве дополнительной плоскости
проекций.
Взаимное положение новых проекций A'."B'" и C'"D'" определяет взаимное
положение заданных прямых: в данном случае прямые между собой пересекаются.
Проекцией точки пересечения на пл. п3 является точка К'"; по ней находим
проекции К' и К".
Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например,
преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе
ь, 2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.
Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость п3 проведена так, что
плоскость общего положения, заданная треугольником ABC, стала
перпендикулярной к пл. 3. Как же это получено?
В треугольнике ЛВС проведена горизонталь AD. Плоскость,
перпендикулярная к AD, перпендикулярна к ABC и в то же время к пл. 1, (так
как AD% 1). Этому удовлетворяет пл. 3, ABC. проецируется на нее в
отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рик 206),
то пл. 3 следует провести перпенди-
') То, что прямые АВ и СО пересекаются, следует из сравнения положений
точек A и В, С и D.
83
кулярно к следу h' о, т. е. к линии пересечения пл. и пл.
1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. е. явится
дополнительной плоскостью проекций) и к пл. . Теперь надо построить след
пл. на пл. п3. Так как %3, то проекция на пл. 3 любой точки пл.
получится на прямой пересечения пл. с пл. 3, т. е. на следе '". На рис.
206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"о; построена ее проекция
'" (" ="'), через которую, а также через точку пересечения следа
h' о , с осью 3/1 проходит след '".
Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению угла 1 наклона
заданных плоскостей к пл. 1. Если же взять пл. 3 (рис. 207),
перпендикулярную к пл. 2 и к плоскости, заданной треугольником ABC (для
чего надо провести ось 2/3 перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то
определится угол 2 наклона плоскости ABC к пл. 2. ·
Рассмотрим введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций
на следующем примере.
Пусть требуется заданную в системе 1, 2 прямую общего положения АВ
расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли
достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь
такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в
системе 1, 2 окажется плоскостью общего положения, т. е. не
перпендикулярной ни к 1, ни к 2. Но этим нарушится условие введения
дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22).
Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены
плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы 1, 2
перейти к системе 3, 1( в которой 3% 1 и 3 || АВ, а затем перейти к
системе 3, 4, где 4% 3 и 4% АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан
на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и
АIV точки А, В'" и B|V точки В. Прямая
общего положения в системе 1, 2 оказалась перпендикулярной к
дополнительной плоскости проекций 4 с переходом через промежуточную стадию
параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости 3. Так как
пл. 3 расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек А и В от пл.
3 равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось 3/4
перпендикулярно к А'"В'" (что соответствует в пространстве
перпендикулярности пл. 4 к прямой АВ) и отложив отрезок А IV3,
равный А'2, получаем обе проекции, А IV и BIV, в одной
точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ% 4.![]()
height="203" alt="0x01 graphic" src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-192.png">
На рис. 210 дан пример построения натурального вида ABC. Здесь также
введены две дополнительные плоскости проекций 3 и 4, но по такой схеме:
3 % 1 и 3 % ABC, а 4 %3 и 4 || ABC. Заключительная стадия построения
свелась к проведению пл. 4 || пл. ABC (так как требовалось определить
натуральный вид ABC); промежуточной стадией была перпендикулярность
дополнительной плоскости 3 к пл. ABC. Эта промежуточная стадия повторяет
построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии
построения на рис. 210 ось 3/ 4 II С'" А'" В"', т. е. пл.
4 проведена параллельно пл. ABC, что и приводит к определению натурального
вида, выражаемого проекцией A IV B IV
C IV .
Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости ABC и
пл. 4, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно
ABC и пл. 3. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить
перпендикулярность (АВ% 4), предварительно потребовалось положение
параллельности (АВ || 3).![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-193.png">
ВОПРОСЫ К §§ 32-33
1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V?
2. В чем заключается основное различие этих способов?
3. В чем заключается способ, известный под названием "способ перемены
плоскостей проекций"?
4. Какое положение в системе пг, л2 должна занять плоскость проекций
я-, вводимая для образования системы -к,, ,
5. Какое положение в системе ,, - займет плоскость проекций к, при
последовательных переходах от ,, - через тс,, тс, к тс,, л.,?
6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с
плоскостями я· и ·,, вводя дополнительные плоскости проекций?
7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему ,, п2,
чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к
пл. яц или к пл. ?
8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных
плоскостей в систему it], я-, чтобы заданная прямая общего положения
оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?
' 9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры,
плоскость которой есть плоскость общего положения.
СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ ')
При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения) каждая
точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси
вращения (плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр
которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр
вращения), а радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до
центра (это радиус вращения). Если какая-либо из точек данной системы
находится на оси вращения, то при вращении системы эта точка считается
неподвижной.
*) Подробное изложение способа вращения дал в свое время В. И. К у д
ю м о в в книге "Курс начертательной геометрии", в отделе, посвященном
ортогональным проекциям.
Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае выгодно
расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при
этом упрощаются построения.
Рис. 211
Действительно, если ось вращения перпендикулярна, например, к пл. 2,
то плоскость, в которой происходит вращение точки, параллельна пл. 2.
Следовательно, траектория точки проецируется на пл. 2 без искажения, а на
пл. 1 -- в виде отрезка прямой линии (рис. 211).
ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ОСИ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
1. Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
212). Через точку А проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
следовательно, параллельная пл. 1. При вращении точка А описывает в пл.
окружность радиуса R; величина радиуса выражается длиной перпендикуляра,
проведенного из точки А на ось. Окружность, описанная в пространстве точкой
А, проецируется на пл. 1 без искажения. Так как пл. перпендикулярна к
пл. 2, то проекции точек окружности на пл. 2 расположатся на ", т. е. на
прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции оси вращения. Чертеж дан на
рис. 212 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси,
спроецирована без искажения на пл. 1 Из точки О', как из центра, проведена
окружность радиуса R = О'А'!"No; на пл. 2 эта окружность изображена
отрезком прямой, равным 2R.
Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214
На рис. 213 изображено вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной к
пл. 2. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на пл.
2. Из точки 0", как из центра, проведена окружность радиуса R= О'А'; на пл.
эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.
86
Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении
точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций,
одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к
проекции оси вращения.
На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на
угол вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл. 2. Из
точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу
и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А --
точка
.
2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordonStrangeNoGraphicData">
. Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол по
заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек
указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной
проекции оси вращения
Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка
) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол . Для нахождения
точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота)
проведена дуга радиусом О'В"
Рис. 215 Рис. 216
и в этой дуге отложена хорда В1![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordonStrangeNoGraphicData">
, равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же
угол_.
Далее, из точек
' и
' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения
фронтальных проекций; получены проекции![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordonStrangeNoGraphicData">
" и
".
Отрезки прямых между точками![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordonStrangeNoGraphicData">
" и
" и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и
горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение А В.___·
Так как в треугольниках '' и А' В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О'
1 + 2 + + = 180°, . е. + 2 < 180°, а так как + < 90°
(см. с. 33), 1 + 2 > 90°. Если взять :1 + 2 = 90°, то получится
профильно-проецирующая плоскость, а если взять , + 2 = 180°, то получится
профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего
положения, а частного.
§ 30. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Построение плоскости , перпендикулярной к плоскости о, может быть
произведено двумя путями: 1) пл. проводится через прямую, перпендикулярную
к пл. а; 2) пл. проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. ос или
параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются
дополнительные условия.
На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к
плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит
то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно,
искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости
треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты
фрон-
Рис. 193 Рис. 194
таль CN и горизонталь СМ: если B"F" % С"" и В'F'%С'М', то BF%пл. CDE.
Образованная пересекающимися прямыми А В и ВF плоскость перпендикулярна
к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис.
194 горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку К
перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником ABC. Здесь
дополнительным условием явля-
77
лась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к
пл. ABC и к пл. ,. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая
плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к
прямой, принадлежащей пл. ABC, то пл. перпендикулярна к пл. ABC.
Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить
признаком перпендикулярности самих плоскостей?
К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная
перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых
горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при
взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих
плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость ,
перпендикулярную к плоскости общего положения а.
Если пл. перпендикулярна к пл. 1 и к пл. , то % h'o как к линии
пересечения пл. и пл. ,. Отсюда h'o% и, следовательно, h'o % ', как
к одной из прямых в пл. .
Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего
положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей
плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной
перпендикулярности этих плоскостей.
Рис. 196
Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно
перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как
здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого
параграфа.
В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной
перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности
самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения -- профильная
и профильно-проецирующая
§ 31. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ И МЕЖДУ ДВУМЯ
ПЛОСКОСТЯМИ
Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и
плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной
плоскости.
Об углах между прямой и плоскостями проекций см, § 13.
На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол
образован отрезком BD данной прямой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0.
78
Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл. выполнено на
рис. 198. Пл. задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью
(проекции P"F" и PF).
Построение выполнено в следующем порядке:
а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а;
в) найдена точка пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего
проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;
г) через точки D" и Е", D' и проведены прямые, чем определяются
проекции прямой АВ на пл. .
Рис. 197 Рис. 198
Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл.
, а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла.
Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно
упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как
в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью
определяется без дополнительных построений.
Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных
угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между и , показанного на рис. 199,
построим его линейный угол, для чего пересечем ребро двугранного угла
плоскостью , перпендикулярной к .
Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана
треугольником , пл. -- треугольником .
а) Построена пл. % , проходящая через точку N (пл. задана ее
фронталью NF и горизонталью ).
79
б) Построена линия пересечения плоскостей и (прямая E); так как
пл. проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего
взята вспо-
могательная плоскость .
в) Найдена линия пересечения плоскостей и (прямая NG); здесь также
надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ).
Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G'
представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его
фронтальную проекцию.
На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный
угол, образуемый пл. с плоскостью проекций к,. Так как для получения
линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного
угла, то для получения утла наклона пл. к пл. , проведена пл. ,
перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл. и
пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o.
На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а
горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может
быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и
''.
1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости?
2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к
плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения
перпендикуляра с плоскостью?
3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через
точку на прямой и через точку вне прямой)?
4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при
помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему
к,, я- дополнительной плоскости проекций)?
5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных
следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих
плоскостей?
7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность
плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В
каком случае в системе ·, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей
выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов?
8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их
одноименные следы взаимно перпендикулярны?
9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо
выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?
Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций
линейного угла для данного двугранного?
ГЛАВА V. СПОСОБЫ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ И ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКИХ ФИГУР
Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно
плоскостей проекций (см. §§11, 19) значительно упрощает построения и
решение задач, а подчас позволяет получить ответ или непосредственно по
данному чертежу, или при помощи простейших построений.
Например, определение расстояния точки А до горизонтально-проецирующей
плоскости (рис. 201), заданной треугольником BCD, сводится к проведению
перпендикуляра из проекции А' к проекции, выраженной отрезком B'D'. Искомое
расстояние определяется отрезком А'К'.
Излагаемые в настоящей главе способы дают возможность переходить от
общих положений прямых линий и плоских фигур в системе 1, 2 к частным в
той же системе или в дополнительной.
Достигается это:
1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в
каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ
перемены плоскостей проекций);
2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном
положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ
вращения и частный случай его -- способ совмещения).
Введение дополнительных 'плоскостей проекций в систему 1; 2
рассматривалось в § 8, а примеры построений в дополнительных системах были
приведены в §§ 13 и 15. Теперь рассмотрим это подробнее.
ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1)
Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей
проекций2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских
фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2
дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы
двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Рис. 2011) Мы применяем распространенное название "перемена
плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций и - остаются и
лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. ·
2) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей
проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия",
1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в
трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.
Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее
удобное для выполнения требуемого построения. .
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей
задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или
4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4
-фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не
позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению
основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3%
1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы
переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл.
4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким
образом, производится последовательный переход от системы 1 2 к системе
3, 4 через промежуточную систему 3, 1.
Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно
перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную
к 4.
При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же
условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы
плоскостей 1 и 2 (см. § 7).
Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта
лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы
числитель, и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону
оси, где должны размещаться соответствующие проекции.
Введение в систему 1, 2 одной дополнительной плоскости проекций. В
большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему 1, 2 в
качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию,
отвечающему цели построения. Примером может служить пл. 3 на рис. 77: так
как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и
пл. 1, то пл. 3 была расположена перпендикулярно к пл. (образовалась
система 3, ) и || АВ.
На рис. 202 также выбор пл. 3 подчинен цели -- определить угол между
прямой CD и плоскостью проекций 2. Поэтому 3% 2 и в то же время пл. 3
параллельна прямой CD (ось 3/2% C"D"). Кроме искомого угла 2 определилась
и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').
И в случае, изображенном на рис. 203, выбор пл. 3 вполне зависит от
задания: определить натуральный вид ABC. Так как в данном случае
плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к пл. 2, то для его
изображения без искажения надо ввести в систему ,, 2 дополнительную
плоскость, отвечающую двум условиям: 3 % 2 (для образования системы 2,
з) и з II ABC (что дает возможность изобразить ABC без искажения). Новая
ось 2/3 проведена параллельно проекций А"С"В". Для построения проекции
A'"B'"C"" от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек A', B' и С
от оси 2/ 1. Натуральный вид ABC выражается новой его проекцией
A'"B'"C'".
Рис. 202 Рис. 203
82
Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. 3 не уточнен и
она может быть любой горизонтально-проецирующей, или
фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было
строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения - получить
проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и СО, лежащих в общей
для них профильной плоскости'). На рис. 204 показана
горизонтально-проецирующая пл. П3 в качестве дополнительной плоскости
проекций.
Взаимное положение новых проекций A'."B'" и C'"D'" определяет взаимное
положение заданных прямых: в данном случае прямые между собой пересекаются.
Проекцией точки пересечения на пл. п3 является точка К'"; по ней находим
проекции К' и К".
Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например,
преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе
ь, 2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.
Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость п3 проведена так, что
плоскость общего положения, заданная треугольником ABC, стала
перпендикулярной к пл. 3. Как же это получено?
В треугольнике ЛВС проведена горизонталь AD. Плоскость,
перпендикулярная к AD, перпендикулярна к ABC и в то же время к пл. 1, (так
как AD% 1). Этому удовлетворяет пл. 3, ABC. проецируется на нее в
отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рик 206),
то пл. 3 следует провести перпенди-
') То, что прямые АВ и СО пересекаются, следует из сравнения положений
точек A и В, С и D.
83
кулярно к следу h' о, т. е. к линии пересечения пл. и пл.
1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. е. явится
дополнительной плоскостью проекций) и к пл. . Теперь надо построить след
пл. на пл. п3. Так как %3, то проекция на пл. 3 любой точки пл.
получится на прямой пересечения пл. с пл. 3, т. е. на следе '". На рис.
206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"о; построена ее проекция
'" (" ="'), через которую, а также через точку пересечения следа
h' о , с осью 3/1 проходит след '".
Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению угла 1 наклона
заданных плоскостей к пл. 1. Если же взять пл. 3 (рис. 207),
перпендикулярную к пл. 2 и к плоскости, заданной треугольником ABC (для
чего надо провести ось 2/3 перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то
определится угол 2 наклона плоскости ABC к пл. 2. ·
Рассмотрим введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций
на следующем примере.
Пусть требуется заданную в системе 1, 2 прямую общего положения АВ
расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли
достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь
такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в
системе 1, 2 окажется плоскостью общего положения, т. е. не
перпендикулярной ни к 1, ни к 2. Но этим нарушится условие введения
дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22).
Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены
плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы 1, 2
перейти к системе 3, 1( в которой 3% 1 и 3 || АВ, а затем перейти к
системе 3, 4, где 4% 3 и 4% АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан
на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и
АIV точки А, В'" и B|V точки В. Прямая
общего положения в системе 1, 2 оказалась перпендикулярной к
дополнительной плоскости проекций 4 с переходом через промежуточную стадию
параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости 3. Так как
пл. 3 расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек А и В от пл.
3 равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось 3/4
перпендикулярно к А'"В'" (что соответствует в пространстве
перпендикулярности пл. 4 к прямой АВ) и отложив отрезок А IV3,
равный А'2, получаем обе проекции, А IV и BIV, в одной
точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ% 4.
На рис. 210 дан пример построения натурального вида ABC. Здесь также
введены две дополнительные плоскости проекций 3 и 4, но по такой схеме:
3 % 1 и 3 % ABC, а 4 %3 и 4 || ABC. Заключительная стадия построения
свелась к проведению пл. 4 || пл. ABC (так как требовалось определить
натуральный вид ABC); промежуточной стадией была перпендикулярность
дополнительной плоскости 3 к пл. ABC. Эта промежуточная стадия повторяет
построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии
построения на рис. 210 ось 3/ 4 II С'" А'" В"', т. е. пл.
4 проведена параллельно пл. ABC, что и приводит к определению натурального
вида, выражаемого проекцией A IV B IV
C IV .
Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости ABC и
пл. 4, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно
ABC и пл. 3. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить
перпендикулярность (АВ% 4), предварительно потребовалось положение
параллельности (АВ || 3).
ВОПРОСЫ К §§ 32-33
1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V?
2. В чем заключается основное различие этих способов?
3. В чем заключается способ, известный под названием "способ перемены
плоскостей проекций"?
4. Какое положение в системе пг, л2 должна занять плоскость проекций
я-, вводимая для образования системы -к,, ,
5. Какое положение в системе ,, - займет плоскость проекций к, при
последовательных переходах от ,, - через тс,, тс, к тс,, л.,?
6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с
плоскостями я· и ·,, вводя дополнительные плоскости проекций?
7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему ,, п2,
чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к
пл. яц или к пл. ?
8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных
плоскостей в систему it], я-, чтобы заданная прямая общего положения
оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?
' 9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры,
плоскость которой есть плоскость общего положения.
СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ ')
При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения) каждая
точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси
вращения (плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр
которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр
вращения), а радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до
центра (это радиус вращения). Если какая-либо из точек данной системы
находится на оси вращения, то при вращении системы эта точка считается
неподвижной.
*) Подробное изложение способа вращения дал в свое время В. И. К у д
ю м о в в книге "Курс начертательной геометрии", в отделе, посвященном
ортогональным проекциям.
Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае выгодно
расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при
этом упрощаются построения.
Рис. 211
Действительно, если ось вращения перпендикулярна, например, к пл. 2,
то плоскость, в которой происходит вращение точки, параллельна пл. 2.
Следовательно, траектория точки проецируется на пл. 2 без искажения, а на
пл. 1 -- в виде отрезка прямой линии (рис. 211).
ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ОСИ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
1. Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
212). Через точку А проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
следовательно, параллельная пл. 1. При вращении точка А описывает в пл.
окружность радиуса R; величина радиуса выражается длиной перпендикуляра,
проведенного из точки А на ось. Окружность, описанная в пространстве точкой
А, проецируется на пл. 1 без искажения. Так как пл. перпендикулярна к
пл. 2, то проекции точек окружности на пл. 2 расположатся на ", т. е. на
прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции оси вращения. Чертеж дан на
рис. 212 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси,
спроецирована без искажения на пл. 1 Из точки О', как из центра, проведена
окружность радиуса R = О'А'!"No; на пл. 2 эта окружность изображена
отрезком прямой, равным 2R.
Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214
На рис. 213 изображено вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной к
пл. 2. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на пл.
2. Из точки 0", как из центра, проведена окружность радиуса R= О'А'; на пл.
эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.
86
Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении
точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций,
одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к
проекции оси вращения.
На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на
угол вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл. 2. Из
точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу
и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А --
точка
.
2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение
. Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол по
заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек
указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной
проекции оси вращения
Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка
) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол . Для нахождения
точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота)
проведена дуга радиусом О'В"
Рис. 215 Рис. 216
и в этой дуге отложена хорда В1
, равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же
угол_.
Далее, из точек
' и
' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения
фронтальных проекций; получены проекции
" и
".
Отрезки прямых между точками
" и
" и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и
горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение А В.___·
Так как в треугольниках '' и А' В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О'