Страница:
На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь
других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить
отрезок АВ и в этих положениях.
На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.
Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена
ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет
которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние
определяется гипотенузой О'А*.
Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной
к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в §
10, и была указана его величина ( ~ 35°). Ее можно определить, если
рассмотреть хотя
Рис. 76 Рис. 77
бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и
2А'В' равны каждый 45° (см. § 10).
34
Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором
катет '*=. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол
-"35°15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3.
Если применить то, что было сказано в § 8, т. е. дополнить систему 1,
2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит
его натуральную величину и угол с пл. 1.
Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ
и угол его с пл. 1. В систему 1 , 2 введена пл. 4 % 1 так, что 4
II АВ. Возникла дополнительная система 4, 1. В ней АВ \\ 4 (ось 4/
1 || А'В1); проекция выражает
натуральную величину отрезка АВ.
Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирования
относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между
собой. Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие
плоскости ос и параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с
плоскостью проекций 0 получаются параллельные между собой проекции А°В° и
C°D°.
Однако, хотя А°В° \\ C°D° (рис. 78), прямые, для которых А°В° и
С0D0 являются проекциями, могут быть не параллельны
между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C1D1.
Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что
горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой,
фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции
параллельны между собой.
Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две
прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно
параллельны?
Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80
Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех
плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой
проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность
прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и
может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей
проекций.
Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями
А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не
параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций,
построенных по заданным проекциям.
Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости
проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны.
На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные
прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей
35
проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных
обозначений.
Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную
данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через
точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной
L'M'.
Рис. 81
В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые
расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.
,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их
одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является
проекцией точки пересечения этих прямых.
Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD,
то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных
прямых.
Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между
собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения,
независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций.
Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения
одноименных
Рис. 82 Рис. 85
проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей
оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки
оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна
из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже
не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые
пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие.
Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD
параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено
построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в
данном отношении.
36
Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для
них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные
проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не
параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые
общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но
точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной
линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой.
Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.
Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций
скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из
которых одна
принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых.
Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а
точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково
удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями
L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88).
Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но
расстояния этих точек от пл. 2 различны.
Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой
точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее
направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2
точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и
М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'.
Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках1).
1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций виде
прямой линии.
2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол
проецируется на нее в виде прямого же угла.
Положим, что сторона СВ прямого угла АСВ (рис. 89) параллельна
плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна Ѱ°. Пусть вторая
сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А°С° в точке К. Проводим
в плоскости проекций через точку К прямую параллельно Ѱ°. Прямая KL также
параллель-
') Для точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на
одной и той же проецирующей прямой, встречается название "конкурирующие".
37
на СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно теореме о трех
перпендикулярах угол C°KL -- также прямой1). Следовательно, и
угол А°С°В° -- прямой.
Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные
(пп. 3 и 4).
3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из
сторон этого угла параллельна плоскости проекций.
4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол
тоже прямой
Рис. 91 Рис. 92
На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на
рис. 90, в пространстве прямые.
В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций
представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла
перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона
параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС
перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3.
Пользуясь сведениями о·проецировании прямого угла, о дополнении системы
я,, 2 системой 4, , (§ 8) и о расположении проекций прямой, параллельной
одной из плоскостей проекций (§ 11), мы можем выполнить следующее
построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла
данную прямую под углом 90°. Решение показано на рис. 92, где слева дано
исходное положение, в середине показано образование, кроме си-
') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL±C°K, то KLJL
С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C°K.
2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
предыдущим изданиям книги.
38
стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа
выполнено построение прямой AKLBC.
Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4/1,
параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде
прямого же угла AIVKIVBIV. Построив
проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим
AIVKIV % BIV CIV, а затем
получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан
стрелками).
Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы
определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка
АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить
величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить
построение, применив хотя бы способ, изложенный в § 13. . ·
5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости
проекций, то проекция тупого угла на эту плоскость представляет собой тупой
угол, а проекция острого угла -- острый угол.
Предположим, что прямая СВ (рис. 93) параллельна плоскости проекций.
Рассмотрим тупой угол КСВ или острый угол МСВ и проведем в плоскости этого
угла прямую CL% СВ. Так как угол LCB-- прямой, то его проекция -- угол LC°B°
Рис. 93 Рис. 94
представляет собой также прямой угол. Этот угол заключен внутри угла
КѰ° и заключает внутри себя угол МѰ°, следовательно, угол КѰ° --
тупой, а угол МѰ° -- острый. Таким образом, проекция угла представляет
собой угол с тем же названием (прямой, тупой или острый), что и сам угол,
если хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций. Вообще же
проекция любого угла может представлять собой или острый, или прямой, или
тупой угол, в зависимости от положения утла относительно плоскости проекций.
6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
проекция равна по величине проецируемому углу.
Это следует из равенства углов с параллельными и одинаково
направленными сторонами.
Поэтому, например, угол между прямой АВ (рис. 50, с. 27) и пл. 2 легко
определить: это - угол между проекцией А 'В' и осью х; таким же образом угол
между CD и пл. 1 (рис. 51) определится как угол между C"D" и осью х, угол
между EF (рис. 52) и пл. 2 -- как угол между E"'F'" и осью z.
Для прямого угла равенство между его проекцией и самим углом имеет
место и тогда, когда лишь одна сторона прямого угла параллельна плоскости
проекций.
Но для острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При
этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого
больше проецируемого угла.
Пусть (рис.94) угол А 1ВС -- острый и его сторона СВ параллельна пл.
0; Ѱ° || СВ. Пл. , проведенная через точку С перпендикулярно к СВ,
перпендикуляр-
39
на к пл. 0, пересекая последнюю по прямой п°, проходящей через С° и
перпендикулярной к Ѱ°, Если провести через точку В различные прямые под
тем же самым острым углом к прямой СВ, то все эти прямые будут пересекать
пл. в точках, проекции которых расположатся на прямой п°. Положим, что
прямые АВ и А1В составляют с прямой СВ равные между собой утлы: " ABC = "А
1ВС. Если при этом АВ параллельна плоскости 0, то" А°В°С°=" ABC. Если же
сторона А 1В не параллельна 0, то проекция точки At получится на прямой и°
ближе к С°, чем проекция точки А. Следовательно, проекция угла A1BC
представляет собой угол, меньший угла А°В°С°, т. е. "А 10°Ѱ
< "А1BC
7. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково
наклонены к ней. то деление проекции угла на этой плоскости пополам
соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
8. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и
его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью
проекций равные углы').
9. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то
угол-проекция не может равняться проецируемому углу.
Это (рис. 95) можно устаноэить путем совмещения угла MKN с пл. я„
при вращении вокруг прямой . При этом угол ° окажется внутри угла МК^,
а вершины К„ и К° -- на общем перпендикуляре к .
Рис. 95 Рис. 96
10. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу
не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.
Из рис.96 видно, что все углы, например острый угол и тупой угол
MKNit стороны которых соответственно расположены в проецирующих плоскостях
и , имеют своей проекцией угол, равный углу MLN, причем эти углы могут
приближаться к 0° и к 180°. Очевидно, среди этих углов может оказаться угол,
равный своей проекции.
Пример построения такого угла дан в § 38.
1. Как построить на чертеже прямоугольные треугольники для определения
длины отрезка прямой линии общего положения и ее углов с плоскостями
проекций и -?
2. Каким условиям должны отвечать углы между прямой общего положения и
плоскостями проекций , и 2?
Какое свойство параллельного проецирования относится к параллельным
прямым?
') Интересующихся доказательством положений 7 и 8 отсылаем к предыдущим
изданиям книги.
40
4. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе ,, ,
определить, параллельны ли между собой эти прямые?
5. Как изображаются в системе я,, лг две пересекающиеся прямые линии?
6. Как следует истолковывать точку пересечения проекций двух
скрещивающихся прямых?
7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла?
8. В каком случае проекция тупого или острого угла обязательно является
углом с тем же названием (тупой или острый)?
9. Может ли проекция острого или тупого угла, у которого одна сторона
параллельна плоскости проекций, равняться самому углу в пространстве?
10. В каком случае деление проекции угла пополам соответствует такому
делению самого угла в пространстве?
11. Может ли угол-проекция на некоторой плоскости проекций равняться
проецируемому углу, стороны которого составляют с этой плоскостью равные
углы?
12. Может ли острый или тупой угол, стороны которого не параллельны
плоскости проекций, равняться своей проекции на этой плоскости?
ГЛАВА III. ПЛОСКОСТЬ
§ 16. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ
Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой и
точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя
параллельными прямыми.
В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:
а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б)
проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух
пересекающихся прямых (рис.99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис.
100).
Каждое из представленных на рис. 97--100 заданий плоскости может быть
преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97)
прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы
можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную
прямой АВ.
Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101
Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской
фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл.
определена точками А, В к С (рис. 101). Проведя прямые линии через
одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D,
взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит, пл, ; проводя прямую через
точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. (например, через
точку С), получаем еще одну прямую в пл. .
Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки,
принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.
В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости
проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются
между собой.
42
Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по
которым она пересекает плоскости проекций. На рис. 102 дан пример построения
таких прямых для случая, когда некоторая пл. задана двумя пересекающимися
прямыми АВ и СВ.
Для построения прямой, по которой пл. пересечет пл. ,, достаточно
построить две точки, принадлежащие одновременно плоскостям и 1.
Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на пл. 1 т. е. точки
пересечения этих прямых с пл. ,. Построив Проекции этих следов и проведя
через точки
Рис. 102 Рис. 103 Рис. 104
,' и 2 прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения
плоскостей и 1|.
Линия пересечения плоскостей и 2 определяется фронтальными следами
прямых АВ " СВ.
Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций,
называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или, короче,
следами плоскости.
На рис. 103 изображена пл. о, пересекающая горизонтальную плоскость
проекций по прямой, обозначенной h'о и фронтальную плоскость --
по прямой f"о. Прямая h'о называется горизонтальным
следом плоскости, прямая f"о -- фронтальным следом плоскости.
Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси получается точка
пересечения следов плоскости'). Так, на рис. 103 следы f"о и
h'о пересекаются на оси в точке, обозначенной Ха.
След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на
этой плоскости. След h'о " hо (рис. 103) сливается со своей
горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на
оси проекций. След f"о "fо сливается со своей фронтальной
проекцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси
проекций.
На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов. Можно
ограничиться обозначением только самих следов (рис. 104). Такой чертеж
нагляден и представляет удобства при некоторых построениях.
При построении следов плоскости точка их пересечения может быть
использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между
собой в точке на оси проекций (см. рис. 102).
Угол между следами на чертеже не равен углу, образованному следами
плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов находится
вершина трехгранного угла,
') Для нее встречается название "точка схода следов".
43
две грани которого совпадают с плоскостями проекций (рис. 103). Но
сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.
Поэтому угол, образованный следами f"о и h'о на
чертеже (рис. 104), всегда больше угла между этими следами в пространстве.
Если рассматривать плоскость в системе ль 2, 3, то в общем случае
плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 105: пл. а пересекает оси
х, у и z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. След
"'"р o называется профильным следом плоскости.
Так как точки Х„ , и " лежат соответственно на осях х, у и z,
то для построения чертежа плоскости в
системе ль 2, 3 достаточно иметь заданными отрезки ОХК OYa и
О2„ т. е. знать координаты точек Х„ У" и Z" в системе осей х, у,
z. Дело сводится лишь к Одной координате для каждой из этих точек, так как
две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки . надо
знать лишь ее аппликату: абсцисса и ордината этой точки равны нулю.
Рис. 105 Рис. 107
Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости?
Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.
1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие данной плоскости.
2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой
плоскости или параллельной ей.
Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми
АВ и СВ, а пл. -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе-
Рис. 106
нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в
данной плоскости.
Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними
следах плоскости (рис. 107).
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 108).
Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для
построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой
плоскости. Это не требуется.
Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,
заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM
должна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекции
А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и
затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна
пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),
заведомо принадлежащие этой плоскости.
Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того
чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной
плоскости, и на этой прямой берут точку.
Рис. 109 Рис. 110
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее
горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в
плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110).
Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы
точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в
данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают
других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить
отрезок АВ и в этих положениях.
На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.
Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена
ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет
которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние
определяется гипотенузой О'А*.
Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной
к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в §
10, и была указана его величина ( ~ 35°). Ее можно определить, если
рассмотреть хотя
Рис. 76 Рис. 77
бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и
2А'В' равны каждый 45° (см. § 10).
34
Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором
катет '*=. Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол
-"35°15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3.
Если применить то, что было сказано в § 8, т. е. дополнить систему 1,
2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит
его натуральную величину и угол с пл. 1.
Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ
и угол его с пл. 1. В систему 1 , 2 введена пл. 4 % 1 так, что 4
II АВ. Возникла дополнительная система 4, 1. В ней АВ \\ 4 (ось 4/
1 || А'В1); проекция выражает
натуральную величину отрезка АВ.
Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирования
относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между
собой. Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие
плоскости ос и параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с
плоскостью проекций 0 получаются параллельные между собой проекции А°В° и
C°D°.
Однако, хотя А°В° \\ C°D° (рис. 78), прямые, для которых А°В° и
С0D0 являются проекциями, могут быть не параллельны
между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C1D1.
Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что
горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой,
фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции
параллельны между собой.
Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две
прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно
параллельны?
Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80
Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех
плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой
проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность
прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и
может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей
проекций.
Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями
А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не
параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций,
построенных по заданным проекциям.
Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости
проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны.
На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные
прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей
35
проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных
обозначений.
Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную
данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через
точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной
L'M'.
Рис. 81
В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые
расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.
,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их
одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является
проекцией точки пересечения этих прямых.
Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD,
то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных
прямых.
Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между
собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения,
независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций.
Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения
одноименных
Рис. 82 Рис. 85
проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей
оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки
оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна
из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже
не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые
пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие.
Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD
параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено
построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в
данном отношении.
36
Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для
них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные
проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не
параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые
общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но
точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной
линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой.
Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.
Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций
скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из
которых одна
принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых.
Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а
точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково
удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями
L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88).
Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но
расстояния этих точек от пл. 2 различны.
Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой
точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее
направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2
точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и
М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'.
Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках1).
1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций виде
прямой линии.
2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол
проецируется на нее в виде прямого же угла.
Положим, что сторона СВ прямого угла АСВ (рис. 89) параллельна
плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна Ѱ°. Пусть вторая
сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А°С° в точке К. Проводим
в плоскости проекций через точку К прямую параллельно Ѱ°. Прямая KL также
параллель-
') Для точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на
одной и той же проецирующей прямой, встречается название "конкурирующие".
37
на СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно теореме о трех
перпендикулярах угол C°KL -- также прямой1). Следовательно, и
угол А°С°В° -- прямой.
Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные
(пп. 3 и 4).
3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из
сторон этого угла параллельна плоскости проекций.
4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол
тоже прямой
Рис. 91 Рис. 92
На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на
рис. 90, в пространстве прямые.
В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций
представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла
перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона
параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС
перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3.
Пользуясь сведениями о·проецировании прямого угла, о дополнении системы
я,, 2 системой 4, , (§ 8) и о расположении проекций прямой, параллельной
одной из плоскостей проекций (§ 11), мы можем выполнить следующее
построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла
данную прямую под углом 90°. Решение показано на рис. 92, где слева дано
исходное положение, в середине показано образование, кроме си-
') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL±C°K, то KLJL
С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C°K.
2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
предыдущим изданиям книги.
38
стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа
выполнено построение прямой AKLBC.
Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4/1,
параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде
прямого же угла AIVKIVBIV. Построив
проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим
AIVKIV % BIV CIV, а затем
получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан
стрелками).
Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы
определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка
АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить
величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить
построение, применив хотя бы способ, изложенный в § 13. . ·
5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости
проекций, то проекция тупого угла на эту плоскость представляет собой тупой
угол, а проекция острого угла -- острый угол.
Предположим, что прямая СВ (рис. 93) параллельна плоскости проекций.
Рассмотрим тупой угол КСВ или острый угол МСВ и проведем в плоскости этого
угла прямую CL% СВ. Так как угол LCB-- прямой, то его проекция -- угол LC°B°
Рис. 93 Рис. 94
представляет собой также прямой угол. Этот угол заключен внутри угла
КѰ° и заключает внутри себя угол МѰ°, следовательно, угол КѰ° --
тупой, а угол МѰ° -- острый. Таким образом, проекция угла представляет
собой угол с тем же названием (прямой, тупой или острый), что и сам угол,
если хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций. Вообще же
проекция любого угла может представлять собой или острый, или прямой, или
тупой угол, в зависимости от положения утла относительно плоскости проекций.
6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
проекция равна по величине проецируемому углу.
Это следует из равенства углов с параллельными и одинаково
направленными сторонами.
Поэтому, например, угол между прямой АВ (рис. 50, с. 27) и пл. 2 легко
определить: это - угол между проекцией А 'В' и осью х; таким же образом угол
между CD и пл. 1 (рис. 51) определится как угол между C"D" и осью х, угол
между EF (рис. 52) и пл. 2 -- как угол между E"'F'" и осью z.
Для прямого угла равенство между его проекцией и самим углом имеет
место и тогда, когда лишь одна сторона прямого угла параллельна плоскости
проекций.
Но для острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При
этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого
больше проецируемого угла.
Пусть (рис.94) угол А 1ВС -- острый и его сторона СВ параллельна пл.
0; Ѱ° || СВ. Пл. , проведенная через точку С перпендикулярно к СВ,
перпендикуляр-
39
на к пл. 0, пересекая последнюю по прямой п°, проходящей через С° и
перпендикулярной к Ѱ°, Если провести через точку В различные прямые под
тем же самым острым углом к прямой СВ, то все эти прямые будут пересекать
пл. в точках, проекции которых расположатся на прямой п°. Положим, что
прямые АВ и А1В составляют с прямой СВ равные между собой утлы: " ABC = "А
1ВС. Если при этом АВ параллельна плоскости 0, то" А°В°С°=" ABC. Если же
сторона А 1В не параллельна 0, то проекция точки At получится на прямой и°
ближе к С°, чем проекция точки А. Следовательно, проекция угла A1BC
представляет собой угол, меньший угла А°В°С°, т. е. "А 10°Ѱ
< "А1BC
7. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково
наклонены к ней. то деление проекции угла на этой плоскости пополам
соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
8. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и
его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью
проекций равные углы').
9. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то
угол-проекция не может равняться проецируемому углу.
Это (рис. 95) можно устаноэить путем совмещения угла MKN с пл. я„
при вращении вокруг прямой . При этом угол ° окажется внутри угла МК^,
а вершины К„ и К° -- на общем перпендикуляре к .
Рис. 95 Рис. 96
10. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу
не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.
Из рис.96 видно, что все углы, например острый угол и тупой угол
MKNit стороны которых соответственно расположены в проецирующих плоскостях
и , имеют своей проекцией угол, равный углу MLN, причем эти углы могут
приближаться к 0° и к 180°. Очевидно, среди этих углов может оказаться угол,
равный своей проекции.
Пример построения такого угла дан в § 38.
1. Как построить на чертеже прямоугольные треугольники для определения
длины отрезка прямой линии общего положения и ее углов с плоскостями
проекций и -?
2. Каким условиям должны отвечать углы между прямой общего положения и
плоскостями проекций , и 2?
Какое свойство параллельного проецирования относится к параллельным
прямым?
') Интересующихся доказательством положений 7 и 8 отсылаем к предыдущим
изданиям книги.
40
4. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе ,, ,
определить, параллельны ли между собой эти прямые?
5. Как изображаются в системе я,, лг две пересекающиеся прямые линии?
6. Как следует истолковывать точку пересечения проекций двух
скрещивающихся прямых?
7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла?
8. В каком случае проекция тупого или острого угла обязательно является
углом с тем же названием (тупой или острый)?
9. Может ли проекция острого или тупого угла, у которого одна сторона
параллельна плоскости проекций, равняться самому углу в пространстве?
10. В каком случае деление проекции угла пополам соответствует такому
делению самого угла в пространстве?
11. Может ли угол-проекция на некоторой плоскости проекций равняться
проецируемому углу, стороны которого составляют с этой плоскостью равные
углы?
12. Может ли острый или тупой угол, стороны которого не параллельны
плоскости проекций, равняться своей проекции на этой плоскости?
ГЛАВА III. ПЛОСКОСТЬ
§ 16. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ
Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой и
точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя
параллельными прямыми.
В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:
а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б)
проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух
пересекающихся прямых (рис.99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис.
100).
Каждое из представленных на рис. 97--100 заданий плоскости может быть
преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97)
прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы
можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную
прямой АВ.
Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101
Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской
фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл.
определена точками А, В к С (рис. 101). Проведя прямые линии через
одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D,
взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит, пл, ; проводя прямую через
точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. (например, через
точку С), получаем еще одну прямую в пл. .
Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки,
принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.
В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости
проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются
между собой.
42
Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по
которым она пересекает плоскости проекций. На рис. 102 дан пример построения
таких прямых для случая, когда некоторая пл. задана двумя пересекающимися
прямыми АВ и СВ.
Для построения прямой, по которой пл. пересечет пл. ,, достаточно
построить две точки, принадлежащие одновременно плоскостям и 1.
Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на пл. 1 т. е. точки
пересечения этих прямых с пл. ,. Построив Проекции этих следов и проведя
через точки
Рис. 102 Рис. 103 Рис. 104
,' и 2 прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения
плоскостей и 1|.
Линия пересечения плоскостей и 2 определяется фронтальными следами
прямых АВ " СВ.
Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций,
называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или, короче,
следами плоскости.
На рис. 103 изображена пл. о, пересекающая горизонтальную плоскость
проекций по прямой, обозначенной h'о и фронтальную плоскость --
по прямой f"о. Прямая h'о называется горизонтальным
следом плоскости, прямая f"о -- фронтальным следом плоскости.
Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси получается точка
пересечения следов плоскости'). Так, на рис. 103 следы f"о и
h'о пересекаются на оси в точке, обозначенной Ха.
След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на
этой плоскости. След h'о " hо (рис. 103) сливается со своей
горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на
оси проекций. След f"о "fо сливается со своей фронтальной
проекцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси
проекций.
На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов. Можно
ограничиться обозначением только самих следов (рис. 104). Такой чертеж
нагляден и представляет удобства при некоторых построениях.
При построении следов плоскости точка их пересечения может быть
использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между
собой в точке на оси проекций (см. рис. 102).
Угол между следами на чертеже не равен углу, образованному следами
плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов находится
вершина трехгранного угла,
') Для нее встречается название "точка схода следов".
43
две грани которого совпадают с плоскостями проекций (рис. 103). Но
сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.
Поэтому угол, образованный следами f"о и h'о на
чертеже (рис. 104), всегда больше угла между этими следами в пространстве.
Если рассматривать плоскость в системе ль 2, 3, то в общем случае
плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 105: пл. а пересекает оси
х, у и z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. След
"'"р o называется профильным следом плоскости.
Так как точки Х„ , и " лежат соответственно на осях х, у и z,
то для построения чертежа плоскости в
системе ль 2, 3 достаточно иметь заданными отрезки ОХК OYa и
О2„ т. е. знать координаты точек Х„ У" и Z" в системе осей х, у,
z. Дело сводится лишь к Одной координате для каждой из этих точек, так как
две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки . надо
знать лишь ее аппликату: абсцисса и ордината этой точки равны нулю.
Рис. 105 Рис. 107
Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости?
Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.
1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
принадлежащие данной плоскости.
2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой
плоскости или параллельной ей.
Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми
АВ и СВ, а пл. -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе-
Рис. 106
нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в
данной плоскости.
Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними
следах плоскости (рис. 107).
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит
Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.
Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно
прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она
параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую
точку (рис. 108).
Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для
построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой
плоскости. Это не требуется.
Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,
заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM
должна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекции
А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и
затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна
пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),
заведомо принадлежащие этой плоскости.
Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того
чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной
плоскости, и на этой прямой берут точку.
Рис. 109 Рис. 110
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее
горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в
плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110).
Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы
точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в
данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают