Страница:
точку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную
.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:
эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо
принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной
проекции прямой AM.
Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми
АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная
проекция -- точка К'.
45
Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве
горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"
на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как
проходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять
точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. .
К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем
горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям
проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската
плоскости2).
Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется
провести горизонталь через вершину А (рис. 112).
Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то
фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для
построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и
проводим прямую через точки А' и К'.
Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной
плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,
заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,.
Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.
Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"
горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости
сводится
Рис. 112 Рис. 113
к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному
следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали
параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция
горизонтали параллельна оси проекций.
Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
плоскости проекций п2.
Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение
выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112).
Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с
проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как
направление
') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать
также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых
встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает
обычному представлению только о горизонтальности.
2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
наибольшего ската", но понятие "скат" по отношению к плоскости не требует
добавления "наибольший)".
этой проекции известно: А'К'±А"А'. Затем строим фронтальную проекцию
фрон-тали -- прямую А"К".
Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости:
эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей
принадлежащие, и параллельна пл. 2.
Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.
108, справа, на котором изображена пл. и прямая MB, устанавливаем, что эта
прямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальному
следу ("нулевой" фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали
параллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному
следу плоскости.
Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям 1, 2 и 3
называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям
плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае
определяется наклон к пл. 1 , во втором - к пл. 2, в третьем - к пл. 3.
Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно,
соответственно брать ее следы.
Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 1
называется линией ската плоскости. :
Согласно правилам проецирования прямого угла (см. § 15) горизонтальная
проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции
горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная
проекция линии ската строится после горизонтальной и может занимать
различные положения в зависимости от задания плоскости. На рис. 114
изображена линия ската пл. а: ВК%h'о,. Tax как В'К также
перпендикулярна к h'о, то "BKB' есть линейный угол
Рис. 114
двугранного, образованного плоскостями и .. Следовательно, линия
ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к
плоскости проекций nt.
Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 2 служит для
определения угла между этой плоскостью и пл. 2, а линия наибольшего наклона
к· пл. 3 - для определения угла с пл. 3.
На рис. 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл. с
пл. , выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В' и, горизонтальной
в виде отрезка К'В'. Определить величину этого угла можно, построив
прямоугольный треугольник по катетам, равным К'В' и В"В'.
Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой
плоскости. Например, если (рис, 115) заданна линия ската KB, то, проведя
перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций
и проведя h'о% К'В', мы вполне определяем плоскость, для
которой KB является линией ската.
47
Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным
образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных
построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой
построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве
вспомогательных.
На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К' точки К. Требовалось
найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости,
заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В.
Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К
и лежащая л заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь MN:
ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К'. Затем
построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали.
Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N".
На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции A" точки А,
принадлежащей пл. а, найдена ее горизонтальная проекция (А1);
построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа
аналогичная задача решена при помощи' фронтали MN.
Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей
некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската
плоскости (AB) и горизонтальная проекция точки (К'). {Справа на рис. 118
показано построение: через точку К' проведена (перпендикулярная А'В')
горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по
точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая
проекция К".
На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской
кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. а, в которой эта
кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек,
находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции
кривой.
Стрелками показан ход построения фронтальной проекции A" по
горизонтальной проекции А'.
48
1. Как задается плоскость на чертеже?
2. Что такое след плоскости на плоскости проекций?
3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и
горизонтальная проекция фронтального следа плоскости?
4. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости?
5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
6. Что такое фронталь, горизонталь и'линия ската плоскости?
7. Может ли служить линия ската плоскости для определения угаа наклона
этой плоскости к плоскости проекций ·?
Определяет ли прямая линия плоскость, для которой эта прямая является
линией ската?
ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций
, 2, 3: 1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей
проекций, 2) плоскость перпендикулярна лишь к одной из них, 3) плоскость
перпендикулярна к двум плоскостям проекций.
Плоскости второго и третьего положений носят общее название
"проецирующие плоскости".
1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
является плоскостью общего положения (см. рис. 105).
Рассмотрим, например, плоскость, изображенную на рис. 112.
Эта плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к 2, ни к 3. То, что она
не перпендикулярна ни к 1, ни к 2, подтверждается видом проекций А'В'С и
А"В"С": если бы плоскость, определяемая треугольником ABC, была
перпендикулярна хотя бы к пь то (рис. 120) проекция А'В'С представляла бы
собой отрезок прямой.
Итак, рассматриваемая нами плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к
2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
этой плоскости АК не перпендикулярна к 3 (сравните о рис. 54, где
показана"прямая, перпендикулярная к 3), и, следовательно, пл. ABC не
перпендикулярна к 3.
Итак, на рис. 112 дан пример задания плоскости общего положения в
системе 1,2.
Другими примерами задания плоскости общего положения служат рис. 109,
110, 111, 113, 116, а также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
117, 119, на которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
(см. рис. 105) пересекает каждую из осей х, у, z. Следы плоскости общего
положения никогда не перпендикулярны к этим осям проекций.
Если следы плоскости общего положения h'о и f"о
образуют с осью одинаковые углы, то это означает, что углы между пл. и
плоскостями и 2 равны между собой. Действительно, если плоские углы
трехгранного угла равны между собой, то равны и лежащие против них
двугранные углы; углы, образуемые следами h'о и f"о
с осью (см. рис. 105), представляют собой плоские углы, против которых
соответственно расположены двугранные углы, образуемые пл. с плоскостями
2 и .
Рис. 120
Если плоскость общего положения должна быть одинаково наклонена к
плоскостям 1 , 2 и 3, то (см. рис. 105), очевидно, , -- = ,, т.е.
следы составляют с осями проекций углы 45°.
Рассматривая плоскость общего положения в пространстве в пределах
первой четверти или первого октанта, замечаем, что угол между горизонтальным
и фронтальным следами может быть острым (см. рис. 105) или тупым (рис. 121).
Пл. , изображенная на рис.121, проходит через все октанты, кроме
шестого.
Если чертеж плоскости общего положения строить по координатам точек
пересечения следов, то, очевидно, на рис. 121 должны быть заданы
положительные абсциссы и ордината точек Х и У и отрицательная аппликата
точки .
На рис. 122 изображен частный случай плоскости общего положения -- ее
следы h'о и f"о , на чертеже лежат на одной прямой.
Вспоминая схему совмещения плоскостей проекций (рис. 15 на с. 17), заметим,
что следы h'о и f"о, образуют равные углы с осью
не только на чертеже, но и в пространстве. Как показано на рис. 122 справа,
из равенства прямоугольных треугольников КК'Х и К"К'Х следует, что угол KX
К' равен углу ' ", . е. след f"о - образует . с осью
такой же угол, как и след h'о .
Отсюда пл. образует равные углы с плоскостями 1 и 2. Часть пл. ,
находящаяся в первой четверти, содержит в себе натуральный угол между
h'о и f"о (в нашем примере -- тупой).
На рис. 122 показано также построение третьего следа плоскости (р0) по
заданным двум ее следам h'0, и f",.Вследствие того, что следы h'0a и
f"о лежат на одной прямой, точка Z, сливается с точкой У и,
следовательно, точка У1 оказывается на таком же расстоянии от точки О, на
каком находится точка Z,; поэтому след р"'о, наклонен под углом 45° к оси
.у (и к оси z); именно такой наклон профильного следа будет получаться во
всех случаях построения
Рис.121![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-114.png">
Рис 122
плоскости, у которой на чертеже горизонтальный и фронтальный следы
лежат на одной прямой, пересекающей ось под острым углом.
Такая плоскость проходит через перпендикуляр к оси х, составляющий с
пл. 2 (или с 1 ) угол 45°. А так как этот перпендикуляр является
перпендикуляром к биссекторной плоскости двугранных углов, смежных с углом
1 2 , то рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
перпендикулярная к биссекторной плоскости второй и четвертой четвертей
пространства ')
') Интересующихся более подробным изложением отсылаем к предыдущим
изданиям этой книги.
50
2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
то возможны три случая частных положений.
а) Плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются горизонтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 123: плоскость задана проекциями треугольника ABC.
Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 2
равен углу между заданной плоскостью и пл. 2.
На рис. 124 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости
ее следами: слева дано наглядное изображение, в середине -- чертеж в системе
Рис. 123
1, 2 с указанием оси и следов f"о и h'о
справа -- без указания оси и, следовательно, следа f"о .
Фронтальный след перпендикулярен к пл. 1 и к оси проекций х.
Горизонтальный же след может составлять с осью проекций любой угол; этот
угол служит линейным углом двугранного между горизонтально-проецирующей
плоскостью и пл. 2.
Угол между hо и fо , а также угол между h0 и ро в пространстве
равен 90°.
Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
горизонтальная проекция должна быть на горизонтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек, расположенных в
горизонтально-проецирующей плоскости, будь то прямые линии, плоские кривые
или фигуры.
След hо" ' можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.
б) Плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются фронтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 125: плоскость задана проекциями треугольника DEF.
Фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 1 равен
углу между DEF и пл. 1.
Рис. 125 Рис. 126
На рис. 126 слева дано наглядное изображение, в середине -- .чертеж в
системе 1, 2 указанием оси проекций, справа -- без указания оси проекций.
Горизонтальный след перпендикулярен к пл. 2 и к оси проекций. Фронтальный
же след мо-
51
жет составлять с осью проекций любой угол; этот угол служит линейным
углом двугранного между фронтально-проецирующей плоскостью и пл. 2.
Угол между fо и hоy в пространстве равен 90°,
Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек. След fо " " (рис. 126) можно
рассматривать как фронтальную проекцию пл. .
в) Плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие
плоскости называются профильно-проецирующими.
На рис. 127 дан пример профильно-проецирующей плоскости: плоскость
задана проекциями треугольника ABC. Горизонталь этой плоскости расположена
перпендикулярно к пл. 3: проекции "D" и А'D ' взаимно
параллельны. Это служит признаком того, что перед нами
профильно-проецирующая плоскость, а не плоскость общего положения (сравните
с рис. 112).°
Профильная проекция треугольника ABC представляет собой отрезок прямой
линии. Угол 1 между этим отрезком и линией связи С"С" равен углу наклона
Рис. 128
плоскости треугольника к пл. 1 , а угол наклона плоскости треугольника
к пл.·2 равен 90° - 1.
На рис. 128 дан пример изображения профильно-проецирующей плоскости ее
следами.
Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси и,
следовательно, параллельны между собой.
Изображенная на рис. 107 справа плоскость также является
профильно-проецирующей.
Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций
(горизонтально-, фронтально- или профильно-проецирующая), может, в
частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно
называют осевой плоскостью.
Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость (рис.
129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
еще третий ее след р0д " '" или хотя бы положение одной точки,
принадлежащей этой плоскости и не лежащей на оси .х.
Рис. 129
Осевая плоскость может быть биссекторной; что значит, что осевая
плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостями проекций, пополам.
52
Как можно изобразить профильно-проецирующую плоскость на чертеже без
осей проекций? Так, как дано на рис. 127. Другой пример представлен на рис.
130: плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (AB)
перпендикулярна к пл. 3, а другая занимает произвольное положение.
3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
возможны три случая частных положений1).
Рис. 132
Рис. 133
Рис. 135 Рис. 136
а) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 2 и 3, т.. е. параллельна
плоскости 1 . Такие плоскости называются горизонтальными.
На рис. 131 дан пример горизонтальной плоскости, заданной проекциями
треугольника ABC. На рис. 132 справа изображена горизонтальная плоскость в
системе 1 , 2 при помощи фронтального следа. След (f0t = ") можно
рассматривать как фронтальную проекцию плоскости.
б) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 3, т. е. параллельна
плоскости 2. Такие плоскости называются фронтальными.
На рис. 133 дан пример фронтальной плоскости, заданной проекциями
треугольника CDE.
') Для таких плоскостей встречается общее название "плоскости уровня".
Однако это название отвечает обычному представлению только о
горизонтальности.
53
помощи следа (hо" '), который можно рассматривать как проекцию этой
плоскости на пл. 1 .
в) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 2, т. е. параллельна
плоскости 3. Такие плоскости называются профильными.
Пример изображения в системе 2, 3 дан на рис. 135: плоскость задана
проекциями треугольника EFG.
На рис. 136 дан пример изображения в системе 1, 2 при помощи следов.
Каждый из них можно рассматривать как проекцию плоскости на
соответствующей плоскости проекций. Профильная плоскость сочетает в себе
свойства фронтально- и горизонтально-проецирующей плоскостей.
1. Как располагаются в системе 1, 2 , 3 плоскость общего положения и
плоскости, называемые проецирующими?
2. Что такое фронтально-проецирующая плоскость,
горизонтально-проецирующая, профильно-проецирующая?
3. Как определить, является ли плоскость, заданная в системе ,, я-
пересекающимися или параллельными прямыми, плоскостью общего положения или
профильно-проецирующей?
4. Что представляет собой горизонтальная проекция
горизонтально-проецирующей плоскости и фронтальной плоскости?
5. Тот же вопрос в отношении фронтальной проекции
фронтально-проецирующей плоскости и горизонтальной плоскости.
6. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек,
расположенной в горизонтально-проецирующей или фронтальной плоскости?
7. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек,
расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?
Чему равен в пространстве угол между фронтальным и горизонтальным
следами горизонтально- и фронтально-проецирующей плоскостей?
ПРЯМУЮ ЛИНИЮ
В дальнейшем изложении будут иметь место случаи, когда придется
проводить
проецирующую плоскость через прямую линию согласно какому-либо условию.
Через прямую общего положения можно провести любую из таких плоскостей.
Примеры даны на рис. 137. Через заданную в системе 1, 2 прямую, проходящую
через точку К, проведены фронтально-проецирующая плоскость, выраженная ее
фронтальной проекцией ", горизонтально-проецирующая плоскость, выраженная
ее горизонтальной проекцией ', и профильно-проецирующая плоскость,
определяемая, помимо заданной прямой АК, еще прямой АВ, перпендикулярной к
пл. 3.
На рис. 138 плоскости, проведенные через заданную прямую, выражены
следами. Положение оси х или задается, или может быть выбрано.
54
Но через прямую общего положения нельзя провести ни фронтальную, ни
горизонтальную, ни профильную плоскость. Такие плоскости можно проводить
лишь через соответственно расположенные прямые: через горизонтальную прямую
про-
Рис. 139
вести горизонтальную плоскость,, через фронтальную прямую --
фронтальную плоскость, через профильную прямую -- профильную плоскость. На
рис. 139 изображены горизонтальная плоскость , проходящая через
горизонтальную прямую АВ, и фронтальная пл. , проходящая через фронтальную
прямую CD.
Построение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат
в одной плоскости, например, квадрата, круга, эллипса и т. д.) сводится к
построению проекций ряда точек, отрезков прямых и кривых линий, образующих
контуры проекций фигур. Зная координаты вершин, например, треугольника,
можно построить проекции этих точек, затем проекции сторон и получить таким
образом проекции фигуры.
Чертежи, содержащие проекции треугольника,, уже встречались (например,
рис. 110, 112 и др.). Если сравнить между собой рис. 110 и 112, то можно
заметить, что на рис. ПО одна из проекций, положим фронтальная, изображает
"лицевую" сторону треугольника, а горизонтальная - "тыльную". А на рис. 112
каждая из проекций изображает треугольник с одной и той же его стороны.
Признаком может служить порядок обхода вершин: на рис. 110 для фронтальной
проекции по часовой стрелке (считая от А" к С"), а для горизонтальной --
против часовой стрелки; на рис. 112 для обеих проекций обход в одном
направлении - в данном случае по часовой стрелке.
В общем случае в системе 1, 2 , 3 проекции какого-либо
многоугольника представляют собой также многоугольники с тем же числом
сторон; при этом плоскость этого многоугольника является плоскостью общего
положения. Но ,если в системе 1, 2 обе проекции, например, треугольника
представляют собой треугольник, то его плоскость может оказаться плоскостью
общего положения или профильно-проецирующей: на рис. 112 - плоскость общего
положения, а на рис. 127 - профильно-проецирующая. Определителем служит, как
было сказано на с. 52 в пояснении к рис. 127, горизонталь (или фронталь):
если ее проекции на , и 2 взаимно параллельны, то плоскость
профильно-проецирующая (рис. 127); если же не параллельны, то плоскость
общего положения (например, рис. 112, 115, слева).
Если проекция многоугольника на 1 или на 2 представляет собой отрезок
прямой, то плоскость этого многоугольника соответственно перпендикулярна к
1 или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
горизонтально-проецирующая, на рис. 125 -- фронтально-проецирующая.
Фигура, расположенная параллельно плоскости проекций, проецируется на
.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:
эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо
принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.
Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной
проекции прямой AM.
Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми
АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная
проекция -- точка К'.
45
Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве
горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"
на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как
проходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять
точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. .
К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем
горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям
проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската
плоскости2).
Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется
провести горизонталь через вершину А (рис. 112).
Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то
фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для
построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и
проводим прямую через точки А' и К'.
Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной
плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,
заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,.
Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.
Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"
горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости
сводится
Рис. 112 Рис. 113
к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному
следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали
параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция
горизонтали параллельна оси проекций.
Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные
плоскости проекций п2.
Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение
выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112).
Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с
проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как
направление
') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать
также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и
параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых
встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает
обычному представлению только о горизонтальности.
2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
наибольшего ската", но понятие "скат" по отношению к плоскости не требует
добавления "наибольший)".
этой проекции известно: А'К'±А"А'. Затем строим фронтальную проекцию
фрон-тали -- прямую А"К".
Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости:
эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей
принадлежащие, и параллельна пл. 2.
Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.
108, справа, на котором изображена пл. и прямая MB, устанавливаем, что эта
прямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальному
следу ("нулевой" фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали
параллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному
следу плоскости.
Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям 1, 2 и 3
называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям
плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае
определяется наклон к пл. 1 , во втором - к пл. 2, в третьем - к пл. 3.
Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно,
соответственно брать ее следы.
Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 1
называется линией ската плоскости. :
Согласно правилам проецирования прямого угла (см. § 15) горизонтальная
проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции
горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная
проекция линии ската строится после горизонтальной и может занимать
различные положения в зависимости от задания плоскости. На рис. 114
изображена линия ската пл. а: ВК%h'о,. Tax как В'К также
перпендикулярна к h'о, то "BKB' есть линейный угол
Рис. 114
двугранного, образованного плоскостями и .. Следовательно, линия
ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к
плоскости проекций nt.
Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 2 служит для
определения угла между этой плоскостью и пл. 2, а линия наибольшего наклона
к· пл. 3 - для определения угла с пл. 3.
На рис. 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл. с
пл. , выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В' и, горизонтальной
в виде отрезка К'В'. Определить величину этого угла можно, построив
прямоугольный треугольник по катетам, равным К'В' и В"В'.
Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой
плоскости. Например, если (рис, 115) заданна линия ската KB, то, проведя
перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций
и проведя h'о% К'В', мы вполне определяем плоскость, для
которой KB является линией ската.
47
Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным
образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных
построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой
построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве
вспомогательных.
На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К' точки К. Требовалось
найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости,
заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В.
Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К
и лежащая л заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь MN:
ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К'. Затем
построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали.
Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N".
На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции A" точки А,
принадлежащей пл. а, найдена ее горизонтальная проекция (А1);
построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа
аналогичная задача решена при помощи' фронтали MN.
Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей
некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската
плоскости (AB) и горизонтальная проекция точки (К'). {Справа на рис. 118
показано построение: через точку К' проведена (перпендикулярная А'В')
горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по
точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая
проекция К".
На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской
кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. а, в которой эта
кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек,
находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции
кривой.
Стрелками показан ход построения фронтальной проекции A" по
горизонтальной проекции А'.
48
1. Как задается плоскость на чертеже?
2. Что такое след плоскости на плоскости проекций?
3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и
горизонтальная проекция фронтального следа плоскости?
4. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости?
5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
6. Что такое фронталь, горизонталь и'линия ската плоскости?
7. Может ли служить линия ската плоскости для определения угаа наклона
этой плоскости к плоскости проекций ·?
Определяет ли прямая линия плоскость, для которой эта прямая является
линией ската?
ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций
, 2, 3: 1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей
проекций, 2) плоскость перпендикулярна лишь к одной из них, 3) плоскость
перпендикулярна к двум плоскостям проекций.
Плоскости второго и третьего положений носят общее название
"проецирующие плоскости".
1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
является плоскостью общего положения (см. рис. 105).
Рассмотрим, например, плоскость, изображенную на рис. 112.
Эта плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к 2, ни к 3. То, что она
не перпендикулярна ни к 1, ни к 2, подтверждается видом проекций А'В'С и
А"В"С": если бы плоскость, определяемая треугольником ABC, была
перпендикулярна хотя бы к пь то (рис. 120) проекция А'В'С представляла бы
собой отрезок прямой.
Итак, рассматриваемая нами плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к
2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
этой плоскости АК не перпендикулярна к 3 (сравните о рис. 54, где
показана"прямая, перпендикулярная к 3), и, следовательно, пл. ABC не
перпендикулярна к 3.
Итак, на рис. 112 дан пример задания плоскости общего положения в
системе 1,2.
Другими примерами задания плоскости общего положения служат рис. 109,
110, 111, 113, 116, а также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
117, 119, на которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
(см. рис. 105) пересекает каждую из осей х, у, z. Следы плоскости общего
положения никогда не перпендикулярны к этим осям проекций.
Если следы плоскости общего положения h'о и f"о
образуют с осью одинаковые углы, то это означает, что углы между пл. и
плоскостями и 2 равны между собой. Действительно, если плоские углы
трехгранного угла равны между собой, то равны и лежащие против них
двугранные углы; углы, образуемые следами h'о и f"о
с осью (см. рис. 105), представляют собой плоские углы, против которых
соответственно расположены двугранные углы, образуемые пл. с плоскостями
2 и .
Рис. 120
Если плоскость общего положения должна быть одинаково наклонена к
плоскостям 1 , 2 и 3, то (см. рис. 105), очевидно, , -- = ,, т.е.
следы составляют с осями проекций углы 45°.
Рассматривая плоскость общего положения в пространстве в пределах
первой четверти или первого октанта, замечаем, что угол между горизонтальным
и фронтальным следами может быть острым (см. рис. 105) или тупым (рис. 121).
Пл. , изображенная на рис.121, проходит через все октанты, кроме
шестого.
Если чертеж плоскости общего положения строить по координатам точек
пересечения следов, то, очевидно, на рис. 121 должны быть заданы
положительные абсциссы и ордината точек Х и У и отрицательная аппликата
точки .
На рис. 122 изображен частный случай плоскости общего положения -- ее
следы h'о и f"о , на чертеже лежат на одной прямой.
Вспоминая схему совмещения плоскостей проекций (рис. 15 на с. 17), заметим,
что следы h'о и f"о, образуют равные углы с осью
не только на чертеже, но и в пространстве. Как показано на рис. 122 справа,
из равенства прямоугольных треугольников КК'Х и К"К'Х следует, что угол KX
К' равен углу ' ", . е. след f"о - образует . с осью
такой же угол, как и след h'о .
Отсюда пл. образует равные углы с плоскостями 1 и 2. Часть пл. ,
находящаяся в первой четверти, содержит в себе натуральный угол между
h'о и f"о (в нашем примере -- тупой).
На рис. 122 показано также построение третьего следа плоскости (р0) по
заданным двум ее следам h'0, и f",.Вследствие того, что следы h'0a и
f"о лежат на одной прямой, точка Z, сливается с точкой У и,
следовательно, точка У1 оказывается на таком же расстоянии от точки О, на
каком находится точка Z,; поэтому след р"'о, наклонен под углом 45° к оси
.у (и к оси z); именно такой наклон профильного следа будет получаться во
всех случаях построения
Рис.121
Рис 122
плоскости, у которой на чертеже горизонтальный и фронтальный следы
лежат на одной прямой, пересекающей ось под острым углом.
Такая плоскость проходит через перпендикуляр к оси х, составляющий с
пл. 2 (или с 1 ) угол 45°. А так как этот перпендикуляр является
перпендикуляром к биссекторной плоскости двугранных углов, смежных с углом
1 2 , то рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
перпендикулярная к биссекторной плоскости второй и четвертой четвертей
пространства ')
') Интересующихся более подробным изложением отсылаем к предыдущим
изданиям этой книги.
50
2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
то возможны три случая частных положений.
а) Плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются горизонтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 123: плоскость задана проекциями треугольника ABC.
Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 2
равен углу между заданной плоскостью и пл. 2.
На рис. 124 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости
ее следами: слева дано наглядное изображение, в середине -- чертеж в системе
Рис. 123
1, 2 с указанием оси и следов f"о и h'о
справа -- без указания оси и, следовательно, следа f"о .
Фронтальный след перпендикулярен к пл. 1 и к оси проекций х.
Горизонтальный же след может составлять с осью проекций любой угол; этот
угол служит линейным углом двугранного между горизонтально-проецирующей
плоскостью и пл. 2.
Угол между hо и fо , а также угол между h0 и ро в пространстве
равен 90°.
Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
горизонтальная проекция должна быть на горизонтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек, расположенных в
горизонтально-проецирующей плоскости, будь то прямые линии, плоские кривые
или фигуры.
След hо" ' можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.
б) Плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Такие
плоскости называются фронтально-проецирующими.
Пример дан на рис. 125: плоскость задана проекциями треугольника DEF.
Фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 1 равен
углу между DEF и пл. 1.
Рис. 125 Рис. 126
На рис. 126 слева дано наглядное изображение, в середине -- .чертеж в
системе 1, 2 указанием оси проекций, справа -- без указания оси проекций.
Горизонтальный след перпендикулярен к пл. 2 и к оси проекций. Фронтальный
же след мо-
51
жет составлять с осью проекций любой угол; этот угол служит линейным
углом двугранного между фронтально-проецирующей плоскостью и пл. 2.
Угол между fо и hоy в пространстве равен 90°,
Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее
фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости. Это
относится и к любой системе точек. След fо " " (рис. 126) можно
рассматривать как фронтальную проекцию пл. .
в) Плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие
плоскости называются профильно-проецирующими.
На рис. 127 дан пример профильно-проецирующей плоскости: плоскость
задана проекциями треугольника ABC. Горизонталь этой плоскости расположена
перпендикулярно к пл. 3: проекции "D" и А'D ' взаимно
параллельны. Это служит признаком того, что перед нами
профильно-проецирующая плоскость, а не плоскость общего положения (сравните
с рис. 112).°
Профильная проекция треугольника ABC представляет собой отрезок прямой
линии. Угол 1 между этим отрезком и линией связи С"С" равен углу наклона
Рис. 128
плоскости треугольника к пл. 1 , а угол наклона плоскости треугольника
к пл.·2 равен 90° - 1.
На рис. 128 дан пример изображения профильно-проецирующей плоскости ее
следами.
Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси и,
следовательно, параллельны между собой.
Изображенная на рис. 107 справа плоскость также является
профильно-проецирующей.
Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций
(горизонтально-, фронтально- или профильно-проецирующая), может, в
частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно
называют осевой плоскостью.
Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость (рис.
129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
еще третий ее след р0д " '" или хотя бы положение одной точки,
принадлежащей этой плоскости и не лежащей на оси .х.
Рис. 129
Осевая плоскость может быть биссекторной; что значит, что осевая
плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостями проекций, пополам.
52
Как можно изобразить профильно-проецирующую плоскость на чертеже без
осей проекций? Так, как дано на рис. 127. Другой пример представлен на рис.
130: плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (AB)
перпендикулярна к пл. 3, а другая занимает произвольное положение.
3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
возможны три случая частных положений1).
Рис. 132
Рис. 133
Рис. 135 Рис. 136
а) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 2 и 3, т.. е. параллельна
плоскости 1 . Такие плоскости называются горизонтальными.
На рис. 131 дан пример горизонтальной плоскости, заданной проекциями
треугольника ABC. На рис. 132 справа изображена горизонтальная плоскость в
системе 1 , 2 при помощи фронтального следа. След (f0t = ") можно
рассматривать как фронтальную проекцию плоскости.
б) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 3, т. е. параллельна
плоскости 2. Такие плоскости называются фронтальными.
На рис. 133 дан пример фронтальной плоскости, заданной проекциями
треугольника CDE.
') Для таких плоскостей встречается общее название "плоскости уровня".
Однако это название отвечает обычному представлению только о
горизонтальности.
53
помощи следа (hо" '), который можно рассматривать как проекцию этой
плоскости на пл. 1 .
в) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 2, т. е. параллельна
плоскости 3. Такие плоскости называются профильными.
Пример изображения в системе 2, 3 дан на рис. 135: плоскость задана
проекциями треугольника EFG.
На рис. 136 дан пример изображения в системе 1, 2 при помощи следов.
Каждый из них можно рассматривать как проекцию плоскости на
соответствующей плоскости проекций. Профильная плоскость сочетает в себе
свойства фронтально- и горизонтально-проецирующей плоскостей.
1. Как располагаются в системе 1, 2 , 3 плоскость общего положения и
плоскости, называемые проецирующими?
2. Что такое фронтально-проецирующая плоскость,
горизонтально-проецирующая, профильно-проецирующая?
3. Как определить, является ли плоскость, заданная в системе ,, я-
пересекающимися или параллельными прямыми, плоскостью общего положения или
профильно-проецирующей?
4. Что представляет собой горизонтальная проекция
горизонтально-проецирующей плоскости и фронтальной плоскости?
5. Тот же вопрос в отношении фронтальной проекции
фронтально-проецирующей плоскости и горизонтальной плоскости.
6. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек,
расположенной в горизонтально-проецирующей или фронтальной плоскости?
7. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек,
расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?
Чему равен в пространстве угол между фронтальным и горизонтальным
следами горизонтально- и фронтально-проецирующей плоскостей?
ПРЯМУЮ ЛИНИЮ
В дальнейшем изложении будут иметь место случаи, когда придется
проводить
проецирующую плоскость через прямую линию согласно какому-либо условию.
Через прямую общего положения можно провести любую из таких плоскостей.
Примеры даны на рис. 137. Через заданную в системе 1, 2 прямую, проходящую
через точку К, проведены фронтально-проецирующая плоскость, выраженная ее
фронтальной проекцией ", горизонтально-проецирующая плоскость, выраженная
ее горизонтальной проекцией ', и профильно-проецирующая плоскость,
определяемая, помимо заданной прямой АК, еще прямой АВ, перпендикулярной к
пл. 3.
На рис. 138 плоскости, проведенные через заданную прямую, выражены
следами. Положение оси х или задается, или может быть выбрано.
54
Но через прямую общего положения нельзя провести ни фронтальную, ни
горизонтальную, ни профильную плоскость. Такие плоскости можно проводить
лишь через соответственно расположенные прямые: через горизонтальную прямую
про-
Рис. 139
вести горизонтальную плоскость,, через фронтальную прямую --
фронтальную плоскость, через профильную прямую -- профильную плоскость. На
рис. 139 изображены горизонтальная плоскость , проходящая через
горизонтальную прямую АВ, и фронтальная пл. , проходящая через фронтальную
прямую CD.
Построение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат
в одной плоскости, например, квадрата, круга, эллипса и т. д.) сводится к
построению проекций ряда точек, отрезков прямых и кривых линий, образующих
контуры проекций фигур. Зная координаты вершин, например, треугольника,
можно построить проекции этих точек, затем проекции сторон и получить таким
образом проекции фигуры.
Чертежи, содержащие проекции треугольника,, уже встречались (например,
рис. 110, 112 и др.). Если сравнить между собой рис. 110 и 112, то можно
заметить, что на рис. ПО одна из проекций, положим фронтальная, изображает
"лицевую" сторону треугольника, а горизонтальная - "тыльную". А на рис. 112
каждая из проекций изображает треугольник с одной и той же его стороны.
Признаком может служить порядок обхода вершин: на рис. 110 для фронтальной
проекции по часовой стрелке (считая от А" к С"), а для горизонтальной --
против часовой стрелки; на рис. 112 для обеих проекций обход в одном
направлении - в данном случае по часовой стрелке.
В общем случае в системе 1, 2 , 3 проекции какого-либо
многоугольника представляют собой также многоугольники с тем же числом
сторон; при этом плоскость этого многоугольника является плоскостью общего
положения. Но ,если в системе 1, 2 обе проекции, например, треугольника
представляют собой треугольник, то его плоскость может оказаться плоскостью
общего положения или профильно-проецирующей: на рис. 112 - плоскость общего
положения, а на рис. 127 - профильно-проецирующая. Определителем служит, как
было сказано на с. 52 в пояснении к рис. 127, горизонталь (или фронталь):
если ее проекции на , и 2 взаимно параллельны, то плоскость
профильно-проецирующая (рис. 127); если же не параллельны, то плоскость
общего положения (например, рис. 112, 115, слева).
Если проекция многоугольника на 1 или на 2 представляет собой отрезок
прямой, то плоскость этого многоугольника соответственно перпендикулярна к
1 или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
горизонтально-проецирующая, на рис. 125 -- фронтально-проецирующая.
Фигура, расположенная параллельно плоскости проекций, проецируется на