Страница:
нее без искажения. Например, все элементы треугольника CDE, изображенного на
рис. 133, проецируются на пл. 2 без искажения; круг, изображенный на рис.
140, проецируется на пл. 1 без искажения.
55
Если же плоскость фигуры не параллельна плоскости проекций, то для
определения натурального вида (т. е. без искажения) этой фигуры применяют
способы, указанные далее, в главе V. Конечно, можно было бы и теперь, не
зная еще этих способов, построить, например, натуральный вид треугольника,
изображенного на рис. 112, определив длину каждой его стороны как длину
отрезка (см. § 13) и затем построив треугольник по найденные отрезкам.
Вместе с тем определились бы и углы данного треугольника. Так поступают,
например, при построении развертки
Рис. 140 Рис. 141
боковой поверхности пирамиды, призмы и др. (см. далее § 44). Если же
многоугольник расположен в проецирующей плоскости, то можно построить его
натуральный вид так, как показано на рис, 141.
Положим, требуется определить натуральный вид четырехугольника KPNM,
расположенного в фронтально-проецирующей пл. ос. Тогда, как это показано на
рис. 141 справа, можно взять в плоскости фигуры две оси прямоугольных
координат с началом хотя бы в точке К: ось абсцисс (К"Х", К'Х1)
параллельно пл. 2, ось ординат перпендикулярно к 2 (проекции этой оси
К"", К'Т), провести прямую KL (это можно сделать, например, параллельно
К"Х") и отложить на ней К1 = = К"Р", К2 -- К"М", КЗ = "". Затем на
перпендикулярах к прямой KL в точках 1,2 и. 3 отложим отрезки Р1 = F4, М2 --
М'5 и N3 = N'6. Построенный таким образом четырехугольник представляет
собой натуральный вид заданного.
При решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоская
фигура относительно Плоскостей проекций, приобретает существенное значение.
В качестве примера рассмотрим вопрос о построении четырех замечательных
точек треугольника.
Так как делению отрезка прямой в пространстве пополам отвечает такое же
деление проекций этого отрезка (см. § 12), то построение точки пересечения
медиан треугольника') может быть произведено на чертеже во всех случаях
непосредственно. .Достаточно (рис. 142) провести медианы на каждой из
проекций треугольника, и точка пересечения его медиан будет определена. При
этом можно ограничиться построением обеих проекций лишь одной из медиан
(например, A'D' и A"D") и одной проекции второй медианы (например, В"Е"); в
пересечении4 A"D" и В"Е" получаем точку М", а по ней находим на
A'D' точку М'.
Можно было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника, найти
на ней точку М на основании известного из геометрии свойства этой точки (она
делит каждую медиану в отношении 2:1).
Построение точки пересечения трех высот треугольника 2) и
точки перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через их
середины3), связано с проведением взаимно перпендикулярных
прямых.
*·) Точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника.
2) Ортоцентр треугольника.
Центр описанной окружности.
56
В § 15 были указаны условия, при которых перпендикулярные отрезки в
пространстве имеют своими проекциями также перпендикулярные отрезки. Если
плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник
СОЕ на рис. 133), то, опустив пер-. пендикуляры из точек С", D" и Е" на
противоположные им стороны, получаем проекции высот треугольника. Но в
треугольнике общего положения так поступить нельзя.
В частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл. 1,
а другая параллельна пл. 2 (рис. 143), проведя С"Е" перпендикулярно к A"B"
и В'Е' перпендикулярно к A'C', получаем в пространстве CF" AB и ВЕ" АС;
точка пересечения высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов.
В сймом же общем случае для проведения на проекционной! чертеже
перпендикулярных линий приходится прибегать к особым приемам, которые будут
изложены дальше.
Построение точки пересечения биссектрис треугольника ') также может
быть произведено непосредственно лишь в частных случаях расположения
треугольника относительно плоскостей проекций. Это объясняется Тем, что
деление пополам проекции какого-либо утла отвечает его делению пополам в
пространстве только в том случае, если стороны данного угла одинаково
наклонены к той плоскости проекций, на которой производится деление пополам
проекции угла (см. § 15).
Рис. 143
При построении проекций какого-либо многоугольника необходимо обратить
внимание на то, чтобы не нарушалось условие нахождения всех точек данной
фигуры в одной плоскости.
На рис. 144 даны полностью горизонтальная проекция некоторого
пятиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: А", В" и
Е". Справа
Рис. 144
на рис. 144 показано построение проекций остальных двух вершин, С" и
D", пятиугольника. Чтобы точки С и D лежали в плоскости, определенной тремя
точками А,
') Центр вписанной окружности.
57
В и Е, необходимо, чтобы они находились на прямых, лежащих в этой
плоскости. Этими прямыми являются диагонали AC, AD и BE, горизонтальные
проекции которых мы можем построить. На фронтальной проекции пятиугольника
мы можем провести лишь В"Е". Но в плоскости пятиугольника лежат точки
пересечения диагоналей К и М, горизонтальные проекции которых (К' и
М1) имеются, а фронтальные проекции получаются сразу, так как они
должны лежать на В"Е". По двум точкам строятся фронтальные проекции и
остальных двух диагоналей А"К" и А"М"; на них должны лежать точки С" и D",
которые определяются по их горизонтальным проекциям. ·
Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций,
проецируется на эту плоскость без искажения (см. рис. 140, где круг взят в
горизонтальной плоскости). Если плоскость круга расположена перпендикулярно
к плоскости проекций, то на эту плоскость круг проецируется в виде отрезка
прямой, равного диаметру круга.
Но если круг расположен плоскости, составляющей с плоскостью проекций
какой-либо острый угол , то проекцией круга является фигура, называемая
эллипсом.
Эллипсом называется также кривая, ограничивающая эллипс-фигуру: если
эллипс-фигура является проекцией круга, то эллипс-линия является проекцией
окружности. В дальнейшем изложении, говоря об эллипсе, будем подразумевать
проекцию окружности.
Эллипс относится к числу кривых, называемых кривыми второго порядка.
Уравнения таких кривых в декартовых координатах представляют собой уравнения
второго порядка. Кривая второго порядка пересекается с прямой линией в двух
точках. Далее мы встретимся еще с параболой и гиперболой, тоже кривыми
второго порядка.
Эллипс можно рассматривать как "сжатую" окружность. Это показано на
рис. 145, слева. Положим, что на радиусе ОВ отложен отрезок ОВ1 длиной b,
причем b < а (т. е. меньше радиуса окружности). Если теперь взять на
окружности какую-либо точку К и, проведя из К перпендикуляр на А 1 А2,
отметить на КМ точку
Рис. 145 Рис. 146
ку k1 так, чтобы МК1 :МК = b:а, то эта точка К, будет принадлежать
эллипсу. Так можно преобразовать каждую точку окружности в точку эллипса,
соблюдая одно и то же отношение b:а. Окружность как бы равномерно сжимается;
линия, в которую при этом преобразуется окружность, является эллипсом.
Отношение b: a называется коэффициентом сжатия эллипса. Если b приближается
к а; то эллипс расширяется и при b = а превращается в окружность.
Напомним (из курса черчения средней школы), что
1) отрезок А1А2=2а называется большой осью эллипса;
2) отрезок bib- = 2b называется малой осью эллипса;
3) большая и малая оси взаимно перпендикулярны;
точка пересечения осей называется центром эллипса;
58
5) отрезок прямой между двумя точками -эллипса, проходящий через -центр
эллипса, называется его диаметром;
6) точки A,, A2> В,, B2 называются вершинами эллипса;
7) эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра;
эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до
двух заданных точек Ft и F2 (рис. 145, справа) имеет одно и то же значение
2а (размер большой оси).
C'D' делит хорду M\N{, параллельную диаметру E'F', сопряженному с CD',
пополам. Но именно такие два диаметра эллипса, из которых каждый делит
пополам хорды, параллельные другому, являются сопряженными.
Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому;
исключение составляют оси эллипса, Из рассмотрения рис. 146 следует, что при
повороте окружности вокруг диаметра AtA2 на угол этот диаметр,
параллельный пл. itlt сохраняет в горизонтальной проекции свою величину и
становится большой осью эллипса (см. рис. 146, справа). Диаметр же В1В2,
повернутый на угол 1 к пл. -, проецируется на нее с сокращением:
Это соответствует отношению осей эллипса, т. е. его коэффициенту
сжатия.
Если в окружности провести какие-либо два взаимно перпендикулярных
диаметра, то в проекции, представляющей собой эллипс (рис. 146, справа),
проекции таких диаметров окружности оказываются диаметрами эллипса,
называемыми сопряженными. Если в окружности (рис. 146, слева) провести,
например, хорду [(, параллельную диаметру E'F', то диаметр C'D' разделит
эту хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Очевидно, что и в эллипсе
сохранится это свойство (см. рис. 146, справа): диаметр также являющиеся
парой сопряженных диаметров.
Рис. 147
Напомним, как производится построение эллипса по его осям (рис. 147,
слева). Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей,
проведенных радиусами а (большая полуось) и b (малая полуось). Если провести
какой-либо радиус ОМ, и прямые 1Л/„ и ЕМ, параллельные малой и
большой осям эллипса, то при пересечении этих прямых получится точка М,
принадлежащая эллипсу. Действительно,
Проводя ряд радиусов и повторяя указанное построение, получаем ряд
точек эллипса.
Построив какую-нибудь точку эллипса, можно построить еще три точки,
расположенные симметрично найденной относительно осей эллипса или его
центра.
На рис. 147 справа показано построение фокусов эллипса: засекая из
точки B, большую ось дугой, радиуса, равного большой полуоси oa 1, получаем
точки f 1 и F2 -- фокусы эллипса. Построив угол F 1КF2, где К -- любая точка
эллипса, проводим в нем биссектрису и перпендикулярно к ней в точке К
касательную к эллипсу. Прямая KN, перпендикулярная каса-тельной, является
нормалью1) к эллипсу в точке К.
') От normal is (лат.) -- прямолинейный.
59
Как построить оси эллипса, если известны его сопряженные диаметры?
Пусть получены сопряженные полудиаметры CA и СВ (рис. 148). Для
построения осей эллипса:
1) один из сопряженных полудиаметров, например CB, поворачиваем на угол
90° по направлению к другому (до положения CB2);
2) проводим отрезок AB2 и делим его пополам;
3) из точки К проводим окружность радиусом КС; ·
4) прямую, определяемую отрезком АВ2, продолжаем до пересечения с этой
окружностью в точках D и E;
5) проводим прямую DC, получаем направление большой оси эллипса;
6) проводим ЕС -- направление малой оси эллипса;
7) откладываем С1 .= АЕ -- большая полуось;
8) откладываем СЗ = AD -- малая полуось;
9) откладываем С2 = С;, С4 = СЗ, С5,= СА, Со = СВ.
Эллипс может быть проведен через восемь точек /, А, 3, В, 2,5,4 и 6 или
построен по большой и малой осям, как показано на рис. 147.
Итак, проведя прямые CD и СЕ, мы получили направления большой и малой
осей эллипса; точка A, принадлежащая эллипсу, делит диаметр ED на два
отрезка, из которых один (АЕ) равен большой полуоси этого эллипса, а другой
(AD) -- малой полуоси. Если (рис. 149)
Рис. 150 Рис. 151
взять оси координат и у соответственно по прямым CD и СЕ и из точки А
провести перпендикуляр AD к прямой CD, то координаты,,точки А могут быть
выражены следующим образом:
Отсюда
Это уравнение эллипса, у которого АЕ -- большая полуось, а АО -- малая
полуось.
На рис. 146 было показано построение горизонтальной проекции
окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к
пл. 1. Пусть теперь в такой
60
плоскости лежит эллипс с полуосями а и b. Его проекцией иногда может
оказаться окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда,
когда для угла между плоскостью, в которой лежит эллипс, и пл. 1 имеет
место соотношение![0x01 graphic]()
src="http://lib.ru/TEXTBOOKS/GEOMETRY/gordon-147.png">
(рис. 150). Полученная окружность будет служить проекцией ряда
эллипсов, если изменять угол и размер а, оставляя b неизменным. Представим
себе прямой круговой цилиндр с вертикальной осью (рис. 151); наклонные
сечения этого цилиндра будут эллипсами, малая ось которых равна диаметру
цилиндра.
1. Как изображается на чертеже фронтально-проецирующая плоскость,
проведенная через прямую общего положения?
2. Как построить проекции центра тяжести в заданном чертеже
треугольника?
3. Что могут представлять собой проекции круга в зависимости от
положения его плоскости относительно плоскости проекций?
4. Можно ли рассматривать эллипс как "сжатую" окружность?
5. Что такое коэффициент сжатия эллипса?
6. Имеет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии?
7. Какие диаметры эллипса называются: а) осями, б) сопряженными
диаметрами?
8. Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси?
ГЛАВА IV. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
§ 22. ОБЗОР ВЗАИМНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И
ПЛОСКОСТИ
Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой.
Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости
и параллельны (рис. 152), то всегда в каждой из них можно построить по две
пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости
были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.
Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости
между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например,
Рис. 152 Рис. 153
Рис. 154 Рис. 155
следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной
плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе
плоскости параллельны между собой (рис. 153, где h'0% h'0, f"o || f"o).
На рис. 154 показаны параллельные между собой фронтально-проецирующие
плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF. Их параллельность определяется
параллельностью фронтальных проекций А"В"С" и D"F"E". Если же эти плоскости
выразить их следами на 2 и ,, то так же, как на рис. 153, фронтальные
следы ока-
62
жутся взаимно параллельными и горизонтальные следы будут также взаимно
параллельны. Очевидно, если известно, что параллельные между собой плоскости
фронтально-проецирующие, то на чертеже можно в некоторых случаях
ограничиться только приведением их фронтальных следов так, как это показано
далее на рис. 166 ("1||"2). Для горизонтально-проецирующих плоекостей
(если известно, что они. взаимно параллельны) в аналогичных случаях
достаточно провести их горизонтальные следы -- один параллельно другому.
Рассмотрим случай взаимного пересечения плоскостей. В случае задания
плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если
хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости
пересекаются. Так, например, на рис. 155 f"o || f"o, но ' и а'
пересекаются: плоскости и пересекаются между собой.
Изложенное относится к плоскостям, заданным пересекающимися следами.
Если же обе плоскости имеют на и на 2 следы, параллельные оси х, то эти
плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными. Для решения
вопроса
Рис. 156 Рис. 157
о взаимном положении таких плоскостей можно построить третий след: если
следы обеих плоскостей на третьей плоскости проекций также параллельны друг
другу, то плоскости параллельны (рис. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o и "' ||
'"); если же третьи следы пересекаются, то плоскости пересекаются (рис.
157)1).
Так решается вопрос о взаимном положении двух плоскостей, заданных
следами. Если же плоскости заданы не следами, а каким-либо другим способом,
и надо узнать, пересекаются ли эти плоскости, то вообще следует прибегать к
некоторым вспомогательным построениям. Примеры этих построений будут даны
при дальнейшем изложении.
Рассмотрим случаи взаимного положения прямой линии и плоскости.
Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть
следующим: а) прямая лежит в плоскости, б) прямая пересекает плоскость, в)
прямая параллельна плоскости.
Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения
прямой и плоскости, и то прибегают к некоторым вспомогательным построениям,
в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости
переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой
вспомогательной прямой. Для этого (рис. 158) проводят через данную прямую АВ
некоторую вспомогательную плоскость и рассматривают взаимное положение
прямой пересечения плоскостей и и прямой АВ.
') Очевидно, что при такой, например, последовательности в расположении
параллельных оси следов: f"o, f"o, h'0, h'0 плоскости не могут быть
параллельны между собой и построение следов '" и '" излишне.
63
При этом возможны три случая:
1) Прямая MN сливается с прямой АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ принадлежит пл. .
2) Прямая пересекает прямую АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ пересекает пл. .
3) Прямая параллельна прямой АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ параллельна пл. .
Итак, указанный прием определения взаимного положения прямой и
плоскости заключается в следующем:
1) через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят
линию пересечения этой плоскости и данной плоскости;
2) устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения
плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой
и плоскости.
Для решения вопроса о взаимном положении плоскости и прямой мы
применили способ вспомогательных плоскостей, которым часто пользуются при
построениях, связанных со взаимным расположением различных поверхностей и
линий с поверхностями.
Подбор вспомогательных плоскостей обычно производят с таким расчетом,
чтобы построения были как можно более простыми. Может оказаться, например,
что плоскости горизонтальные или фронтальные, горизонтально- и
фронтально-проецирующие, вообще весьма удобные в качестве вспомогательных,
нельзя будет применить совсем или их применение вызовет усложнение
построения даже по сравнению с плоскостями общего положения, взятыми в
качестве вспомогательных. Решая ту или иную задачу с применением
вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все
возникающие при этом построения были возможно проще и чтобы этих построений
было как можно меньше.
§ 23. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ОДНОЙ
ИЛИ К ДВУМ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на
последнюю в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна
находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая
пересекает такую плоскость1).
На рис. 159 фронтальная проекция К" точки пересечения прямой АВ с
треугольником СОЕ определяется в пересечении проекций А"В" и С"Е", так как
треугольник проецируется на пл. 2 в виде прямой линий. Найдя точку К",
определяем положение проекции К'. Так как прямая АВ в направлении от К к В
находится под
Рис. 159 Рис. 160 Рис. 162
') Точку пересечения прямой с плоскостью называют также точкой встречи
прямой с плоскостью.
64
треугольником, то на чертеже часть горизонтальной проекции прямой
проведена штриховой линией.
На рис. 160 фронтальный след пл. является ее фронтальной проекцией.
Проекция К" определяется в пересечении проекции А"В" и следа ".
На рис. 161 дан пример построения проекций точки пересечения прямой с
горизонтально-проецирующей плоскостью.
Для большей наглядности изображают проекции отрезков прямой линии,
пересекающей плоскость, одни -- сплошными линиями, другие -- штриховыми,
руководствуясь при этом следующими соображениями:
1. Условно считают, что данная плоскость непрозрачна и точки и линии,
лежащие хотя бы и в первой четверти, расположенные для зрителя за
плоскостью, будут невидимыми; видимыми же будут точки и линии, расположенные
по одну сторону плоскости со зрителем, который, как мы будем считать,
находится в первом октанте и бесконечно далеко от соответствующей плоскости
проекций.
2. Видимые отрезки линий вычерчиваются сплошными линиями, а невидимые
-- штриховыми.
3. При пересечении прямой с плоскостью часть этой прямой делается для
зрителя невидимой; точка пересечения прямой с плоскостью служит границей
видимости линии.
4. Вопрос о видимости линии всегда можно свести к вопросу о видимости
точек. При этом не только плоскость может закрывать точку, но и точка может
закрывать другую точку (см. рис. 87).
5. Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей
прямой, то видимой будет только одна из них:
а) по отношению к пл. -- точка, наиболее удаленная от ,;
б) по отношению к пл. 2 -- точка, наиболее удаленная от 2;
в) по отношению к пл. 3 -- точка, наиболее удаленная 3.
6. Если чертеж содержит оси проекций, то для определения видимости
точек, расположенных на общей для них проецирующей прямой, служат расстояния
их соответствующих проекций от оси проекций:
а) относительно пл. видима точка, фронтальная проекция которой
находится дальше от оси х;
б) относительно пл. 2 видима точка, горизонтальная проекция которой
находится дальше от оси х;
в) относительно пл. 3 видима точка, горизонтальная проекция которой
находится дальше от оси у.
Как надо поступать в случае, если чертеж не содержит осей проекций?
Рассмотрим рис. 162. Точки 1 к 2 двух скрещивающихся прямых расположены на
общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. 2, а точки 3 и 4
-- на проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. п1.
Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет
собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой
AB, а точка 3 -- прямой CD. Так как 3"3' > 4"4', то видима относительно
пл. 1 точка 3, принадлежащая прямой CD, а точка 4 точкой 3 закрыта.
Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых AB и CD
представляет собой слившиеся проекции двух точек / и 2, из которых точка 1
принадлежит прямой AB, а точка 2 - прямой CD. Так как 1'1" > 2'2", то
видима относительно пл. 2 точка 1, закрывающая собой точку 2.
Это -- общий способ: так можно поступать и на чертежах с осями
проекций.
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей,
вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим
плоскостям. Так, прямая К1К2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой
плоскость, заданная треугольником ABC, и пл. , заданная прямыми DE и DF,
проходит через точки и К2, но в этих точках
65
прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. , т.е. точки К и Кг
принадлежат, обеим плоскостям.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух
плоскостей надо найти какие-либо две точки, комедия из которых принадлежит
обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.
Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять
специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей
перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии
пересечения упрощается. Начнем с такого случая.
На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна
рис. 133, проецируются на пл. 2 без искажения; круг, изображенный на рис.
140, проецируется на пл. 1 без искажения.
55
Если же плоскость фигуры не параллельна плоскости проекций, то для
определения натурального вида (т. е. без искажения) этой фигуры применяют
способы, указанные далее, в главе V. Конечно, можно было бы и теперь, не
зная еще этих способов, построить, например, натуральный вид треугольника,
изображенного на рис. 112, определив длину каждой его стороны как длину
отрезка (см. § 13) и затем построив треугольник по найденные отрезкам.
Вместе с тем определились бы и углы данного треугольника. Так поступают,
например, при построении развертки
Рис. 140 Рис. 141
боковой поверхности пирамиды, призмы и др. (см. далее § 44). Если же
многоугольник расположен в проецирующей плоскости, то можно построить его
натуральный вид так, как показано на рис, 141.
Положим, требуется определить натуральный вид четырехугольника KPNM,
расположенного в фронтально-проецирующей пл. ос. Тогда, как это показано на
рис. 141 справа, можно взять в плоскости фигуры две оси прямоугольных
координат с началом хотя бы в точке К: ось абсцисс (К"Х", К'Х1)
параллельно пл. 2, ось ординат перпендикулярно к 2 (проекции этой оси
К"", К'Т), провести прямую KL (это можно сделать, например, параллельно
К"Х") и отложить на ней К1 = = К"Р", К2 -- К"М", КЗ = "". Затем на
перпендикулярах к прямой KL в точках 1,2 и. 3 отложим отрезки Р1 = F4, М2 --
М'5 и N3 = N'6. Построенный таким образом четырехугольник представляет
собой натуральный вид заданного.
При решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоская
фигура относительно Плоскостей проекций, приобретает существенное значение.
В качестве примера рассмотрим вопрос о построении четырех замечательных
точек треугольника.
Так как делению отрезка прямой в пространстве пополам отвечает такое же
деление проекций этого отрезка (см. § 12), то построение точки пересечения
медиан треугольника') может быть произведено на чертеже во всех случаях
непосредственно. .Достаточно (рис. 142) провести медианы на каждой из
проекций треугольника, и точка пересечения его медиан будет определена. При
этом можно ограничиться построением обеих проекций лишь одной из медиан
(например, A'D' и A"D") и одной проекции второй медианы (например, В"Е"); в
пересечении4 A"D" и В"Е" получаем точку М", а по ней находим на
A'D' точку М'.
Можно было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника, найти
на ней точку М на основании известного из геометрии свойства этой точки (она
делит каждую медиану в отношении 2:1).
Построение точки пересечения трех высот треугольника 2) и
точки перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через их
середины3), связано с проведением взаимно перпендикулярных
прямых.
*·) Точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника.
2) Ортоцентр треугольника.
Центр описанной окружности.
56
В § 15 были указаны условия, при которых перпендикулярные отрезки в
пространстве имеют своими проекциями также перпендикулярные отрезки. Если
плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник
СОЕ на рис. 133), то, опустив пер-. пендикуляры из точек С", D" и Е" на
противоположные им стороны, получаем проекции высот треугольника. Но в
треугольнике общего положения так поступить нельзя.
В частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл. 1,
а другая параллельна пл. 2 (рис. 143), проведя С"Е" перпендикулярно к A"B"
и В'Е' перпендикулярно к A'C', получаем в пространстве CF" AB и ВЕ" АС;
точка пересечения высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов.
В сймом же общем случае для проведения на проекционной! чертеже
перпендикулярных линий приходится прибегать к особым приемам, которые будут
изложены дальше.
Построение точки пересечения биссектрис треугольника ') также может
быть произведено непосредственно лишь в частных случаях расположения
треугольника относительно плоскостей проекций. Это объясняется Тем, что
деление пополам проекции какого-либо утла отвечает его делению пополам в
пространстве только в том случае, если стороны данного угла одинаково
наклонены к той плоскости проекций, на которой производится деление пополам
проекции угла (см. § 15).
Рис. 143
При построении проекций какого-либо многоугольника необходимо обратить
внимание на то, чтобы не нарушалось условие нахождения всех точек данной
фигуры в одной плоскости.
На рис. 144 даны полностью горизонтальная проекция некоторого
пятиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: А", В" и
Е". Справа
Рис. 144
на рис. 144 показано построение проекций остальных двух вершин, С" и
D", пятиугольника. Чтобы точки С и D лежали в плоскости, определенной тремя
точками А,
') Центр вписанной окружности.
57
В и Е, необходимо, чтобы они находились на прямых, лежащих в этой
плоскости. Этими прямыми являются диагонали AC, AD и BE, горизонтальные
проекции которых мы можем построить. На фронтальной проекции пятиугольника
мы можем провести лишь В"Е". Но в плоскости пятиугольника лежат точки
пересечения диагоналей К и М, горизонтальные проекции которых (К' и
М1) имеются, а фронтальные проекции получаются сразу, так как они
должны лежать на В"Е". По двум точкам строятся фронтальные проекции и
остальных двух диагоналей А"К" и А"М"; на них должны лежать точки С" и D",
которые определяются по их горизонтальным проекциям. ·
Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций,
проецируется на эту плоскость без искажения (см. рис. 140, где круг взят в
горизонтальной плоскости). Если плоскость круга расположена перпендикулярно
к плоскости проекций, то на эту плоскость круг проецируется в виде отрезка
прямой, равного диаметру круга.
Но если круг расположен плоскости, составляющей с плоскостью проекций
какой-либо острый угол , то проекцией круга является фигура, называемая
эллипсом.
Эллипсом называется также кривая, ограничивающая эллипс-фигуру: если
эллипс-фигура является проекцией круга, то эллипс-линия является проекцией
окружности. В дальнейшем изложении, говоря об эллипсе, будем подразумевать
проекцию окружности.
Эллипс относится к числу кривых, называемых кривыми второго порядка.
Уравнения таких кривых в декартовых координатах представляют собой уравнения
второго порядка. Кривая второго порядка пересекается с прямой линией в двух
точках. Далее мы встретимся еще с параболой и гиперболой, тоже кривыми
второго порядка.
Эллипс можно рассматривать как "сжатую" окружность. Это показано на
рис. 145, слева. Положим, что на радиусе ОВ отложен отрезок ОВ1 длиной b,
причем b < а (т. е. меньше радиуса окружности). Если теперь взять на
окружности какую-либо точку К и, проведя из К перпендикуляр на А 1 А2,
отметить на КМ точку
Рис. 145 Рис. 146
ку k1 так, чтобы МК1 :МК = b:а, то эта точка К, будет принадлежать
эллипсу. Так можно преобразовать каждую точку окружности в точку эллипса,
соблюдая одно и то же отношение b:а. Окружность как бы равномерно сжимается;
линия, в которую при этом преобразуется окружность, является эллипсом.
Отношение b: a называется коэффициентом сжатия эллипса. Если b приближается
к а; то эллипс расширяется и при b = а превращается в окружность.
Напомним (из курса черчения средней школы), что
1) отрезок А1А2=2а называется большой осью эллипса;
2) отрезок bib- = 2b называется малой осью эллипса;
3) большая и малая оси взаимно перпендикулярны;
точка пересечения осей называется центром эллипса;
58
5) отрезок прямой между двумя точками -эллипса, проходящий через -центр
эллипса, называется его диаметром;
6) точки A,, A2> В,, B2 называются вершинами эллипса;
7) эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра;
эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до
двух заданных точек Ft и F2 (рис. 145, справа) имеет одно и то же значение
2а (размер большой оси).
C'D' делит хорду M\N{, параллельную диаметру E'F', сопряженному с CD',
пополам. Но именно такие два диаметра эллипса, из которых каждый делит
пополам хорды, параллельные другому, являются сопряженными.
Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому;
исключение составляют оси эллипса, Из рассмотрения рис. 146 следует, что при
повороте окружности вокруг диаметра AtA2 на угол этот диаметр,
параллельный пл. itlt сохраняет в горизонтальной проекции свою величину и
становится большой осью эллипса (см. рис. 146, справа). Диаметр же В1В2,
повернутый на угол 1 к пл. -, проецируется на нее с сокращением:
Это соответствует отношению осей эллипса, т. е. его коэффициенту
сжатия.
Если в окружности провести какие-либо два взаимно перпендикулярных
диаметра, то в проекции, представляющей собой эллипс (рис. 146, справа),
проекции таких диаметров окружности оказываются диаметрами эллипса,
называемыми сопряженными. Если в окружности (рис. 146, слева) провести,
например, хорду [(, параллельную диаметру E'F', то диаметр C'D' разделит
эту хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Очевидно, что и в эллипсе
сохранится это свойство (см. рис. 146, справа): диаметр также являющиеся
парой сопряженных диаметров.
Рис. 147
Напомним, как производится построение эллипса по его осям (рис. 147,
слева). Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей,
проведенных радиусами а (большая полуось) и b (малая полуось). Если провести
какой-либо радиус ОМ, и прямые 1Л/„ и ЕМ, параллельные малой и
большой осям эллипса, то при пересечении этих прямых получится точка М,
принадлежащая эллипсу. Действительно,
Проводя ряд радиусов и повторяя указанное построение, получаем ряд
точек эллипса.
Построив какую-нибудь точку эллипса, можно построить еще три точки,
расположенные симметрично найденной относительно осей эллипса или его
центра.
На рис. 147 справа показано построение фокусов эллипса: засекая из
точки B, большую ось дугой, радиуса, равного большой полуоси oa 1, получаем
точки f 1 и F2 -- фокусы эллипса. Построив угол F 1КF2, где К -- любая точка
эллипса, проводим в нем биссектрису и перпендикулярно к ней в точке К
касательную к эллипсу. Прямая KN, перпендикулярная каса-тельной, является
нормалью1) к эллипсу в точке К.
') От normal is (лат.) -- прямолинейный.
59
Как построить оси эллипса, если известны его сопряженные диаметры?
Пусть получены сопряженные полудиаметры CA и СВ (рис. 148). Для
построения осей эллипса:
1) один из сопряженных полудиаметров, например CB, поворачиваем на угол
90° по направлению к другому (до положения CB2);
2) проводим отрезок AB2 и делим его пополам;
3) из точки К проводим окружность радиусом КС; ·
4) прямую, определяемую отрезком АВ2, продолжаем до пересечения с этой
окружностью в точках D и E;
5) проводим прямую DC, получаем направление большой оси эллипса;
6) проводим ЕС -- направление малой оси эллипса;
7) откладываем С1 .= АЕ -- большая полуось;
8) откладываем СЗ = AD -- малая полуось;
9) откладываем С2 = С;, С4 = СЗ, С5,= СА, Со = СВ.
Эллипс может быть проведен через восемь точек /, А, 3, В, 2,5,4 и 6 или
построен по большой и малой осям, как показано на рис. 147.
Итак, проведя прямые CD и СЕ, мы получили направления большой и малой
осей эллипса; точка A, принадлежащая эллипсу, делит диаметр ED на два
отрезка, из которых один (АЕ) равен большой полуоси этого эллипса, а другой
(AD) -- малой полуоси. Если (рис. 149)
Рис. 150 Рис. 151
взять оси координат и у соответственно по прямым CD и СЕ и из точки А
провести перпендикуляр AD к прямой CD, то координаты,,точки А могут быть
выражены следующим образом:
Отсюда
Это уравнение эллипса, у которого АЕ -- большая полуось, а АО -- малая
полуось.
На рис. 146 было показано построение горизонтальной проекции
окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к
пл. 1. Пусть теперь в такой
60
плоскости лежит эллипс с полуосями а и b. Его проекцией иногда может
оказаться окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда,
когда для угла между плоскостью, в которой лежит эллипс, и пл. 1 имеет
место соотношение
(рис. 150). Полученная окружность будет служить проекцией ряда
эллипсов, если изменять угол и размер а, оставляя b неизменным. Представим
себе прямой круговой цилиндр с вертикальной осью (рис. 151); наклонные
сечения этого цилиндра будут эллипсами, малая ось которых равна диаметру
цилиндра.
1. Как изображается на чертеже фронтально-проецирующая плоскость,
проведенная через прямую общего положения?
2. Как построить проекции центра тяжести в заданном чертеже
треугольника?
3. Что могут представлять собой проекции круга в зависимости от
положения его плоскости относительно плоскости проекций?
4. Можно ли рассматривать эллипс как "сжатую" окружность?
5. Что такое коэффициент сжатия эллипса?
6. Имеет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии?
7. Какие диаметры эллипса называются: а) осями, б) сопряженными
диаметрами?
8. Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси?
ГЛАВА IV. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
§ 22. ОБЗОР ВЗАИМНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И
ПЛОСКОСТИ
Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой.
Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости
и параллельны (рис. 152), то всегда в каждой из них можно построить по две
пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости
были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.
Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости
между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например,
Рис. 152 Рис. 153
Рис. 154 Рис. 155
следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной
плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе
плоскости параллельны между собой (рис. 153, где h'0% h'0, f"o || f"o).
На рис. 154 показаны параллельные между собой фронтально-проецирующие
плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF. Их параллельность определяется
параллельностью фронтальных проекций А"В"С" и D"F"E". Если же эти плоскости
выразить их следами на 2 и ,, то так же, как на рис. 153, фронтальные
следы ока-
62
жутся взаимно параллельными и горизонтальные следы будут также взаимно
параллельны. Очевидно, если известно, что параллельные между собой плоскости
фронтально-проецирующие, то на чертеже можно в некоторых случаях
ограничиться только приведением их фронтальных следов так, как это показано
далее на рис. 166 ("1||"2). Для горизонтально-проецирующих плоекостей
(если известно, что они. взаимно параллельны) в аналогичных случаях
достаточно провести их горизонтальные следы -- один параллельно другому.
Рассмотрим случай взаимного пересечения плоскостей. В случае задания
плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если
хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости
пересекаются. Так, например, на рис. 155 f"o || f"o, но ' и а'
пересекаются: плоскости и пересекаются между собой.
Изложенное относится к плоскостям, заданным пересекающимися следами.
Если же обе плоскости имеют на и на 2 следы, параллельные оси х, то эти
плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными. Для решения
вопроса
Рис. 156 Рис. 157
о взаимном положении таких плоскостей можно построить третий след: если
следы обеих плоскостей на третьей плоскости проекций также параллельны друг
другу, то плоскости параллельны (рис. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o и "' ||
'"); если же третьи следы пересекаются, то плоскости пересекаются (рис.
157)1).
Так решается вопрос о взаимном положении двух плоскостей, заданных
следами. Если же плоскости заданы не следами, а каким-либо другим способом,
и надо узнать, пересекаются ли эти плоскости, то вообще следует прибегать к
некоторым вспомогательным построениям. Примеры этих построений будут даны
при дальнейшем изложении.
Рассмотрим случаи взаимного положения прямой линии и плоскости.
Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть
следующим: а) прямая лежит в плоскости, б) прямая пересекает плоскость, в)
прямая параллельна плоскости.
Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения
прямой и плоскости, и то прибегают к некоторым вспомогательным построениям,
в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости
переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой
вспомогательной прямой. Для этого (рис. 158) проводят через данную прямую АВ
некоторую вспомогательную плоскость и рассматривают взаимное положение
прямой пересечения плоскостей и и прямой АВ.
') Очевидно, что при такой, например, последовательности в расположении
параллельных оси следов: f"o, f"o, h'0, h'0 плоскости не могут быть
параллельны между собой и построение следов '" и '" излишне.
63
При этом возможны три случая:
1) Прямая MN сливается с прямой АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ принадлежит пл. .
2) Прямая пересекает прямую АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ пересекает пл. .
3) Прямая параллельна прямой АВ; это соответствует тому, что прямая
АВ параллельна пл. .
Итак, указанный прием определения взаимного положения прямой и
плоскости заключается в следующем:
1) через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят
линию пересечения этой плоскости и данной плоскости;
2) устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения
плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой
и плоскости.
Для решения вопроса о взаимном положении плоскости и прямой мы
применили способ вспомогательных плоскостей, которым часто пользуются при
построениях, связанных со взаимным расположением различных поверхностей и
линий с поверхностями.
Подбор вспомогательных плоскостей обычно производят с таким расчетом,
чтобы построения были как можно более простыми. Может оказаться, например,
что плоскости горизонтальные или фронтальные, горизонтально- и
фронтально-проецирующие, вообще весьма удобные в качестве вспомогательных,
нельзя будет применить совсем или их применение вызовет усложнение
построения даже по сравнению с плоскостями общего положения, взятыми в
качестве вспомогательных. Решая ту или иную задачу с применением
вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все
возникающие при этом построения были возможно проще и чтобы этих построений
было как можно меньше.
§ 23. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ОДНОЙ
ИЛИ К ДВУМ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на
последнюю в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна
находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая
пересекает такую плоскость1).
На рис. 159 фронтальная проекция К" точки пересечения прямой АВ с
треугольником СОЕ определяется в пересечении проекций А"В" и С"Е", так как
треугольник проецируется на пл. 2 в виде прямой линий. Найдя точку К",
определяем положение проекции К'. Так как прямая АВ в направлении от К к В
находится под
Рис. 159 Рис. 160 Рис. 162
') Точку пересечения прямой с плоскостью называют также точкой встречи
прямой с плоскостью.
64
треугольником, то на чертеже часть горизонтальной проекции прямой
проведена штриховой линией.
На рис. 160 фронтальный след пл. является ее фронтальной проекцией.
Проекция К" определяется в пересечении проекции А"В" и следа ".
На рис. 161 дан пример построения проекций точки пересечения прямой с
горизонтально-проецирующей плоскостью.
Для большей наглядности изображают проекции отрезков прямой линии,
пересекающей плоскость, одни -- сплошными линиями, другие -- штриховыми,
руководствуясь при этом следующими соображениями:
1. Условно считают, что данная плоскость непрозрачна и точки и линии,
лежащие хотя бы и в первой четверти, расположенные для зрителя за
плоскостью, будут невидимыми; видимыми же будут точки и линии, расположенные
по одну сторону плоскости со зрителем, который, как мы будем считать,
находится в первом октанте и бесконечно далеко от соответствующей плоскости
проекций.
2. Видимые отрезки линий вычерчиваются сплошными линиями, а невидимые
-- штриховыми.
3. При пересечении прямой с плоскостью часть этой прямой делается для
зрителя невидимой; точка пересечения прямой с плоскостью служит границей
видимости линии.
4. Вопрос о видимости линии всегда можно свести к вопросу о видимости
точек. При этом не только плоскость может закрывать точку, но и точка может
закрывать другую точку (см. рис. 87).
5. Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей
прямой, то видимой будет только одна из них:
а) по отношению к пл. -- точка, наиболее удаленная от ,;
б) по отношению к пл. 2 -- точка, наиболее удаленная от 2;
в) по отношению к пл. 3 -- точка, наиболее удаленная 3.
6. Если чертеж содержит оси проекций, то для определения видимости
точек, расположенных на общей для них проецирующей прямой, служат расстояния
их соответствующих проекций от оси проекций:
а) относительно пл. видима точка, фронтальная проекция которой
находится дальше от оси х;
б) относительно пл. 2 видима точка, горизонтальная проекция которой
находится дальше от оси х;
в) относительно пл. 3 видима точка, горизонтальная проекция которой
находится дальше от оси у.
Как надо поступать в случае, если чертеж не содержит осей проекций?
Рассмотрим рис. 162. Точки 1 к 2 двух скрещивающихся прямых расположены на
общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. 2, а точки 3 и 4
-- на проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. п1.
Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет
собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой
AB, а точка 3 -- прямой CD. Так как 3"3' > 4"4', то видима относительно
пл. 1 точка 3, принадлежащая прямой CD, а точка 4 точкой 3 закрыта.
Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых AB и CD
представляет собой слившиеся проекции двух точек / и 2, из которых точка 1
принадлежит прямой AB, а точка 2 - прямой CD. Так как 1'1" > 2'2", то
видима относительно пл. 2 точка 1, закрывающая собой точку 2.
Это -- общий способ: так можно поступать и на чертежах с осями
проекций.
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей,
вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим
плоскостям. Так, прямая К1К2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой
плоскость, заданная треугольником ABC, и пл. , заданная прямыми DE и DF,
проходит через точки и К2, но в этих точках
65
прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. , т.е. точки К и Кг
принадлежат, обеим плоскостям.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух
плоскостей надо найти какие-либо две точки, комедия из которых принадлежит
обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.
Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять
специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей
перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии
пересечения упрощается. Начнем с такого случая.
На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна