где диэлектрическая проницаемость e (w) представляет собой комплексную функцию и равна:
; (4)
пределы интегрирования t ³ 0 вытекают из условия причинности. Соотношение (4), определённое для действительных значений w, может быть продолжено в область комплексных значений переменного аргумента со. Если положить w = w’ +
iw’’, где w’ и w’’ - действительные числа, определяющие соответственно действительную и мнимую части w, то в интеграле выражения (4) возникает множитель
е
-
w
''
t, обеспечивающий сходимость интеграла при (w’’ > 0,
. Т. о., из условия причинности следует, что функция e(w) является
аналитической функцией
в верхней полуплоскости комплексного переменного со (w’’ > 0). Переход в «нефизическую» область комплексных значений со имеет глубокий смысл, т. к. для аналитических функций справедлива
Коши теорема
, позволяющая выразить значение функции для какого-либо значения переменного через интеграл Коши от этой функции. Выбирая действительное значение переменного, можно получить соотношения для реально измеряемых физических величин. Так были получены дисперсионные соотношения, позволяющие выразить, например, действительная часть (Re) диэлектрической проницаемости через интеграл от её мнимой части (Im):
, (5)
где символ Розначает т. н. главное значение интеграла, т. е. исключающее особую точку w '= w. Существенно, что реальная и мнимая части e(w) могут быть непосредственно измерены на опыте [Im e(w) связана с поглощением электромагнитных волн].
Установление аналитических свойств амплитуды рассеяния частиц представляет значительно более сложную задачу. Основополагающие работы в этом направлении были сделаны Н. Н. Боголюбовым на основе сформулированного им для метода S-мaтрицы принципа микропричинности. Рассмотрим реакцию упругого рассеяния, в результате которой две частицы «а» и «b» с начальными четырёхмерными импульсами p aи p bпереходят в состояние с четырёхмерными импульсами соответственно р’ аи p' b[четырёхмерный импульс частицы включает энергию частицы Еи её пространств, импульс р, а квадрат четырёхмерного импульса ( p 2) в единицах измерения, в которых скорость света с= 1, определяется как p 2= Е 2– p 2 и равен квадрату массы частицы: p 2= M 2]. Закон сохранения энергии и импульса в реакции рассеяния может быть записан в виде равенства p a+ p b= p' a+ р’ b. Наиболее просто упругое рассеяние частиц выглядит в с. ц. и. сталкивающихся частиц. В этой системе p a+ p b= p' a+ p’ b= 0, т. е. импульсы частиц после столкновения направлены в противоположные стороны и равны по абсолютной величине начальным импульсам:
| p a| = | p b| = | p’ a| = | р’ b| (см. рис. 2 ).
Амплитуда рассеяния является функцией двух переменных: энергии системы Еи угла J, на который в результате рассеяния отклоняется одна из частиц. Эти переменные могут быть выражены через 2 независимые релятивистски инвариантные величины
s = ( p a+ p b) 2= ( p’ a+ p’ b) 2,
t = ( p’ a– p a) 2= ( p’ b– p b) 2.
В с. ц. и. величина sравна квадрату полной энергии системы: s= ( E a+ E b) 2, а величина tравна (с обратным знаком) квадрату переданного (трёхмерного) импульса, t= – ( p’ a– p a) 2, и выражается через угол рассеяния J: t= – 2 p 2(1 – cosJ), где р- импульс частиц в с. ц. и. Наряду с величинами s, tвводится третья релятивистски инвариантная величина и.
u= ( р’ b– p a) 2= ( р’ b– p b) 2, (6’)
которая в силу закона сохранения энергии-импульса связана с величинами sи t соотношением: s+ t+ u= 2 m a+ 2 m b, где ma, m b- массы частиц «а» и «b». В процессах упругого рассеяния частиц область изменения величины sограничена неравенством s³ ( m a+ m b), а область изменения t- неравенствами 0 > t> -4 p 2. Эту область изменения переменных называется физической областью. Амплитуда рассеяния при фиксированной передаче импульса tможет быть продолжена в комплексную область по энергетической переменной sи оказывается связанной с амплитудой рассеяния античастиц . Эта связь заключается в следующем. Рассмотрим наряду с реакцией упругого рассеяния какого-либо частиц, например p ±-мезонов на протонах:
p +( p) + р( q) ® p +( p') + р( q') (I)
(в скобках указаны четырёхмерные импульсы частиц), реакцию рассеяния
p -(- р) + р( q) ® p -(- p’) + р( q), (II)
получающуюся из (1) переносом символа p-мезона из одной части равенства в другую с одновременной заменой частицы (p +) на античастицу (p -) и знаков их четырёхмерных импульсов: р® - р, p'® - p'. При переходе от процесса (I) к процессу (II) переменная tостаётся неизменной, а sи именяются местами. Физической области обоих процессов соответствуют двум различным неперекрывающимся областям изменения кинематических переменных s, и. Доказательство Боголюбовым аналитичности амплитуды в комплексной плоскости переменной sпозволяет утверждать, что амплитуды процессов I и II являются предельными значениями единой аналитической функции Ft( s) в разных областях изменения переменной sс разрезами на вещественной оси ( рис. 4 ). Правый разрез определяется условием s³ ( М+ m)' (где Ми m, - массы протона и пиона), а левый разрез - условием u= 2 M 2+ 2m 2- s- t³ ( M+ m 2). На «верхнем берегу» правого разреза Ft( s) совпадает с амплитудой T( s, t) процесса (I):
,
а на «нижнем берегу» левого разреза - с амплитудой процесса (II):
.
Отсюда вытекает соотношение т. н. перекрёстной симметрии (или кроссинг-симметрии):
.
Это соотношение связывает значение амплитуды одного процесса в его физической области со значением амплитуды др. процесса вне физической области последнего. Поэтому соотношение перекрёстной симметрии не имело бы смысла, если бы не существовало продолжения амплитуды процесса (1) из его физической области на левый разрез.
Для определения особых точек аналитической функции Ft( s) важнейшее значение имеет продолжение условия унитарности S-maтрицы в «нефизическую» область кинематических переменных (лежащую вне «физических» областей, определяемых законами сохранения энергии и импульса для начальных и конечных состояний). Так, если две частицы «а» и «b» могут переходить в результате С. в. в виртуальную частицу «с»: а + b ® с, то из условия унитарности следует, что амплитуда процесса рассеяния а + b ® а + b будет иметь полюс по переменной sпри значении s= mc2, где mc- масса частицы «с». Этот полюс при mc< ma+ m bлежит в «нефизической» области процесса упругого рассеяния а + b ® а + b [«физическая» область, как уже отмечалось, начинается с s= ( m a+ m b) 2]. Если же mc> ma+ m b, частица «с» нестабильна относительно распада (за счёт С. в.) с ® а + b, т. е. является резонансом, и полюс амплитуды расположен на «нефизическом» листе римановой поверхности, соответствующем аналитическому продолжению амплитуды через разрез в комплексной плоскости s(см. Аналитические функции ).
Тот факт, что особенности амплитуды, связанные с образованием виртуальных частиц, лежат в «нефизической» области, имеет простой смысл. Действительно, рождение виртуальных частиц сопровождается нарушением закона сохранения энергии, происходящим на короткое время в соответствии с соотношением неопределённостей. Поскольку физические области определяются законами сохранения энергии-импульса и условием стабильности начальных и конечных частиц в процессах С. в., образованию виртуальных состояний соответствуют значения кинематических переменных, лежащие вне этих областей. Т. о., именно в «нефизических» областях кинематических переменных содержится информация о процессах обмена виртуальными частицами, посредством которого и осуществляется С. в.
Помимо полюсов, амплитуда рассеяния может иметь и другие особые точки. Так, при энергии, соответствующей порогу к.-л. неупругого процесса, например а + b ® с + d [т. е. при s= ( mc+ m d) 2}, амплитуда реакции а + b ® а + b имеет точку ветвления. При ( mc + m d) > ( ma+ m b) эти особенности лежат в физической области процесса а + b ® а + b и приводят к нерегулярностям в поведении эффективного сечения рассеяния частиц а + b вблизи порога рождения частиц с и d, вызванным появлением нового канала реакции.
Если предположить, что амплитуда рассеяния как функция переменных s, t, uимеет только те особые точки, которые возникают из обобщённого условия унитарности S-мaтрицы, то можно прийти к заключению, что единая аналитическая функция f( s, u, t) в разных областях изменения переменных описывает три различных процесса:
а + b ® с + d, (I)
+ b ®
+ d, (II)
+ b ®
+ с (III)
(значком «тильда» над символом частицы помечены античастицы), а также обратные им реакции. Хотя это предположение и не обосновано строго на основе принципов квантовой теории поля (как это сделано, например, для связи каналов рассеяния p ++ р ® p ++ p и p -+ p ® p -+ p при фиксированных переданных импульсах) и справедливость его подтверждается только на основе рассмотрения низших порядков теории возмущения, оно тем не менее часто принимается в виде постулата современной теории.
Предположение о том, что единая аналитическая функция в разных областях изменения своих переменных соответствует амплитудам физических процессов (I), (II), (III), позволяет написать для неё дисперсионные соотношения по двум комплексным переменным ( s, t), ( s, u), ( t, u) - т. н. двойное спектральное представление Манделстама, с помощью которого может быть осуществлено аналитическое продолжение амплитуды в области изменения переменных s, t, и, отвечающих «нефизическим» областям реакций (I), (II), (III). Тем самым это представление становится основой динамического описания С. в., не использующего теорию возмущений. Действительно, как уже отмечалось, обмену виртуальными частицами (посредством которого и осуществляется С. в.) отвечают особенности амплитуды, лежащие в «нефизических» областях. Т. о., «нефизическую» область одного канала реакции может существенно определять поведение амплитуды в «физической» области др. канала.
Строгие результаты квантовой теории поля для сильных взаимодействий
На основе квантовой теории поля были строго получены некоторые результаты, вытекающие из аналитических свойств амплитуды рассеяния. Аналитичность амплитуды по энергии позволяет записать дисперсионные соотношения, с помощью которых действительная часть амплитуды рассеяния под нулевым углом выражается через интеграл от мнимой части амплитуды. Поскольку, согласно оптической теореме, мнимая часть амплитуды упругого рассеяния вперёд в «физической» области (на правом разрезе комплексной плоскости s) связана с полным сечением рассеяния частицы, а на левом разрезе (благодаря перекрёстной симметрии) выражается через полное сечение рассеяния античастицы, действительная часть амплитуды может быть представлена в виде дисперсионного интеграла, в который входит разность сечений для частиц и античастиц на одной и той же мишени. Помимо этого, в дисперсионное соотношение входит вклад от полюсов, лежащих в «нефизической» области (например, в случае p N-рассеяния - от полюса, отвечающего виртуальному превращению p + N ® N ® p + N). Одно из важных следствий дисперсионных соотношений - возможность определить из экспериментальных данных константу взаимодействия нуклонов с пионами и проверить её универсальность в различных реакциях. Другое следствие относится к асимптотическому поведению полных сечений рассеяния частиц и античастиц при высоких энергиях. Исходя из предположения о том, что упругое рассеяние адронов высокой энергии носит характер дифракционные рассеяния с постоянным радиусом (см. выше), а полные сечения стремятся с ростом энергии к постоянным пределам, И. Я. Померанчук на основе дисперсионных соотношений доказал теорему о равенстве этих пределов для полных сечений рассеяния частиц и античастиц на одной и той же мишени [например, s (p ++ р) ® (p -+ р)].
На основе принципов квантовой теории поля было показано, что амплитуда рассеяния является аналитической функцией переменного
z= cosJ внутри эллипса, большая полуось которого выходит в «нефизическую» область
z> 1 и определяется наименьшей массой частиц, существующих в
t-kaнале реакции (т. е. частиц, переносящих С. в.). Из аналитичности амплитуды в этом эллипсе вытекает, что парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие столкновению частиц с относительным орбитальным моментом
l, экспоненциально убывают при больших 1, начиная с величины, пропорциональной
, где m - наименьшая масса частиц, переносящих взаимодействие. Этот результат соответствует качественным соображениям, согласно которым радиус взаимодействия, обусловленного обменом какими-либо частицами, обратно пропорционален массе частиц, переносящих взаимодействие. Действительно, если взаимодействие имеет радиус
R
0, то максимальный орбитальный момент
l
0при столкновении частиц с импульсом
р, при котором ещё происходит взаимодействие, определяется соотношением |
p|
R
0»
, т. е.
R
0~
ln
s/m. Т. о., аналитические свойства амплитуды рассеяния как функции переданного импульса позволяют установить максимальный радиус взаимодействия, который, однако, может расти с ростом энергии пропорционально ln
s. Отсюда следует, что полное сечение взаимодействия не может увеличиваться с ростом энергии быстрее, чем ln
2
s, а дифракционных конус в упругом рассеянии - сужаться быстрее, чем ln
2
s. Из аналитических свойств амплитуды рассеяния и короткодействующего характера С. в. вытекает ряд теорем, например равенство дифференциальный сечений рассеяния частиц и античастиц на одной мишени, обобщение теоремы Померанчука на случай растущих с увеличением энергии сечений и радиусов взаимодействия и др.
На основе дисперсионных соотношений и условия унитарности развита теория, описывающая в области энергий приблизительно до 1 Гэвпроцессы рождения p-мезонов g-квантами (т. н. фоторождение), процессы рассеяния p-мезонов на нуклонах и p-мезонах и др.
Реджевские траектории - основа динамической систематики частицАмплитуда рассеяния частицы выражается через парциальные амплитуды
f
l(
E), отвечающие различным орбитальным моментам
lстолкновения. По самому квантомеханическому смыслу величины
lмогут принимать лишь целые положительные значения. Однако для случая рассеяния частицы на каком-либо сферически симметричном потенциале парциальные амплитуды можно формально продолжить в область комплексных значений
l. При этом можно показать, что парциальная амплитуда является аналитической функцией
lв правой полуплоскости комплексного переменного
l(точнее, при Re
l> -
1/
2). Метод аналитического продолжения по
lввёл итальянский физик Т. Редже. Он показал, что для короткодействующих потенциалов (в том числе для потенциала Юкавы
и суперпозиции таких потенциалов) особенностями парциальной амплитуды правее линии Re
l= -
1/
2могут являться только полюсы
l
i=
l
i(
E), положение которых в комплексной плоскости зависит от энергии. Эти полюсы, называются полюсами Редже, имеют простой физический смысл. Стабильные связанные состояния и резонансы непосредственно получаются из полюсов Редже. Если при некоторых значениях энергии
Е=
E
nниже порога (т. е. при
Е< 0 для рассеяния частицы на внешнем поле, обращающемся в 0 на Ґ, или при
Е<
ma+
m
bдля процессов столкновения частиц «а» и «b») величина
l
i(
E
n) равна целому положительному числу
l, то это означает, что система имеет стабильные связанные состояния с орбитальным моментом
l. Если при значениях энергии
Е=
E
r(выше порога) Re
l
i(
Er) равна целому положительному числу, то это означает, что система имеет резонансы. Функция
l
i(
E) называется реджевской траекторией. Заметим, что выше порога реакции она является комплексной. Учёт обменного взаимодействия приводит к тому, что для связанных состояний и резонансов с чётными орбитальными моментами будет одна траектория Редже, а для нечётных - другая.
Приведём пример траектории Редже для рассеяния электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного атома. Уровни энергии в этом случае определяются формулой Бора:
( n- главное квантовое число, Z- атомный номер; см. Атом ), что даёт зависимость:
,
в которой целым положительным значениям lотвечают определённые уровни энергии системы E n.
Для значений Е> 0 (выше порога) l( E) равна
(где
k- волновое число, связанное с энергией соотношением
. Т. к. Re
l(
E) для
Е> 0 не равна целому положительному числу, это означает, что система не имеет резонансных состояний.
Траектории Редже явились основой систематики ядерно-стабильных частиц и резонансов. В отличие от систематики, основанной на симметрии частиц, эта систематика опирается на динамику взаимодействия. При помощи реджевской траектории a. ( Е) можно систематизировать частицы с одинаковыми внутренними характеристиками и отличающимися на чётное число значениями спина. Группы частиц, объединённые в супермультиплеты, должны, следовательно, повторяться с различными значениями спинов (отличающимися на чётное число). Т. е. наряду с октетом барионов со спином 1/ 2должны существовать октеты барионов со спином 5/ 2, 9/ 2и т. д. Т. о., получается некоторый аналог периодической системы Менделеева и реджевские траектории, объединяющие частицы с одинаковыми внутренними характеристиками, аналогичны её столбцам.
Как показывает опыт, реджевские траектории для частиц являются приближённо линейными функциями от квадрата их масс ( рис. 5 ). Траектория, на которой лежат резонансы с квантовыми числами (кроме l) вакуума ( I= J= 0, чётность Р= + 1), играет важную роль для феноменологического описания процессов рассеяния, определяя полное сечение при очень высоких энергиях (она называются вакуумной траекторией, или траекторией Померанчука). Процессы, в которых происходит передача заряда, странности и др. квантовых чисел (например, p -+ р® p q+ n), при феноменологическом анализе описываются траекториями Редже с соответствующими квантовыми числами («реджеонами»).
В релятивистской теории наряду с полюсами Редже появляются и точки ветвления. Однако структура особенностей в комплексной l-плоскости до конца ещё не выяснена.
На основе предположений о характере особенностей парциальных амплитуд построены различные реджеонные модели для описания процессов рассеяния и множеств. рождения при высоких энергиях.
Для изучения процессов С. в. успешно используются также мультипериферическая модель и описание реакций с помощью квазипотенциалов, учитывающих поглощение частиц.
На основе дисперсионных соотношений и предположения о характере особенностей в l-плоскости построены правила сумм, которые интегрально связывают резонансы в одном канале реакции с резонансами перекрёстного канала (т. н. «глобальная дуальность»). Дальнейшим развитием этого подхода является гипотеза локальной дуальности, согласно которой амплитуда процесса в каждом канале реакции определяется при низких энергиях резонансами, существующими в этом канале, а при высоких энергиях - резонансами из перекрёстных каналов. Гипотеза дуальности является отправной точкой для построения различных дуальных моделей.
Использование идей симметрии для динамического описания сильных взаимодействий
Существует несколько весьма плодотворных направлений в теории С. в., основанных на использовании внутренних симметрий С. в. для динамического описания процессов. К этим направлениям относится, в частности, т. н. алгебра токов, в которой сделаны шаги по объединению методов теории групп для рассмотрения симметрий и теоретико-полевых представлений, использующихся в методе дисперсионных соотношений. Идея алгебры токов основана на существовании сохраняющихся токов адронов. Одним из таких токов является электромагнитный (векторный) ток, закон сохранения которого отвечает закону сохранения электрического заряда. Благодаря изотопической инвариантности С. в. можно предполагать далее, что сохраняется заряженный векторный ток, являющийся изотоническим «партнёром» электромагнитного тока и отвечающий, например, переходам нейтрона в протон (и обратным переходам); сохранение такого заряженного векторного тока хорошо проверено в слабых взаимодействиях адронов с лептонами. Учитывая SU(3)-симметрию С. в., можно предполагать также сохранение некоторых др. векторных токов, в частности отвечающих переходам нуклонов в гипероны. Помимо векторных токов, существуют т. н. аксиально-векторные токи адронов (например, заряженный аксиально-векторный ток, соответствующий переходу нейтрон-протон, наряду с заряженным векторным током определяет слабые взаимодействия нуклонов). Аксиально-векторный ток адронов, строго говоря, не является сохраняющимся. Однако в соответствии с экспериментальными данными можно предполагать, что его нарушение минимально и исчезает в условиях, когда можно пренебречь массой пиона (на этом предположении основана т. н. теория частично сохраняющегося аксиально-векторного тока, ряд следствий из которой хорошо согласуется с опытными данными). Исходя из SU(3)-симметрии С. в., можно установить связи (коммутационные соотношения) между операторами, соответствующими векторным и аксиально-векторным токам, которые и являются основой теории, названной алгеброй токов. Хотя строгого обоснования этих соотношений не существует (оно получается, например, с привлечением гипотезы кварков), использование их на основе теоретико-полевых методов приводит к ряду важных предсказаний, оправдывающихся на опыте. Особенно плодотворным оказывается применение алгебры токов к процессам взаимодействия (слабым и электромагнитным) лептонов с адронами.
Важным направлением в теории С. в. является теория т. н. калибровочных (компенсирующих) полей. Согласно этой теории, сохраняющимся в С. в. величинам (таким, как барионный и электрический заряды, изотопический спин, гиперзаряд) отвечает взаимодействие, переносимое частицами со спином, равным единице (векторными мезонами). Поскольку известно, что электромагнитные взаимодействия переносятся фотонами (имеющими спин 1) и существуют веские основания предполагать, что слабые взаимодействия переносятся векторными частицами (т. н. промежуточными векторными бозонами), успешное развитие калибровочных теорий С. в. позволяет предполагать наличие глубокой внутренней связи между всеми тремя типами взаимодействий и надеяться на создание единой теории этих взаимодействий.
Лит.:Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; Логунов А. А., Нгуен Ван Хьеу, Основные тенденции в развитии теории сильных взаимодействий, «Физика элементарных частиц, и атомного ядра (ЭЧАЯ)», 1974, т. 5, в. 3; Логунов А. А., Месшвиришвили М. А., Хрусталев О. А., Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов, гам же, 1972, т. 3, в. 1; Теория сильных взаимодействий при больших энергиях. Сб. статей, пер. с англ., М., 1963; Швебер С., Бете Г., Гофман Ф., Мезоны и поля, пер. с нем., т. 2, М., 1957; Коллинз П., Сквайре Ю. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971; Фейнман P., Взаимодействие фотонов с адронами, пер. с англ., М., 1975; Иден Р., Соударения элементарных частиц при высоких энергиях, пер. с англ., М., 1970.
А. А. Логунов, С. С. Герштейн.
Рис. 3. Дифференциальные сечения рассеяния при различных энергиях Е протонов (p) и антипротонов (p) на протонах как функция квадрата переданного импульса: - t = 2p 2(1 - cosJ, где p - импульс, a J - угол рассеяния в системе центра инерции частиц. Угловая зависимость сечения такая же, как при дифракции на «чёрном» шарике с плавно уменьшающейся к краям поглощательной способностью (на шарике с «размытым» краем).