Топология
Тополо'гия(от греч. tо'pos - место и ¼ логия ) -часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.
I. Общая топология
Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.
Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Хназывают такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Ж и всё Хоткрыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством.В топологическом пространстве Хможно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки xО Xназывают произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество AМ Xназывают замкнутым, если его дополнение Х\ Аоткрыто; замыканием множества Аназывают наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то Аназывают всюду плотным в Хи т.д.
По определению, Ж и Хявляются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Хнет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Хназывают связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное - из нескольких.
Любое подмножество
Атопологического пространства
Хобладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с
Аоткрытых множеств из
X. Снабженное этой структурой
Аназывают подпространством пространства
X. Каждое
метрическое пространство
становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество
n-мерного евклидова пространства
является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.
Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств
произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в
могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в
, например, сфер могут быть очень сложно устроенными).
Открытым покрытием топологического пространства
Хназывают семейство его открытых множеств, объединением которого является всё
X. Топологическое пространство
Хназывают компактным (в другой терминологии -бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне - Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество
компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.
Открытое покрытие { V b} называют вписанным в покрытие { U a}, если для любого b существует a такое, что V bМ U a .Покрытие { V b} называют локально конечным, если каждая точка хО Хобладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X, в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X,совпадает с Т., заданной в X.
Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число
kтакое, что найдётся
kего элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число
n,обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства
Хможно вписать открытое покрытие кратности Ј
n+ 1, обозначается символом dim
Хи называется размерностью
X. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dim
Хсовпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim
=
n. Возможны и др. числовые функции топологического пространства
X, отличающиеся от dim
X, но в простейших случаях совпадающие с dim
X. Их изучение составляет предмет общей теории размерности - наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.
Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T 2, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.
Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки
x
0
Хи любого не содержащего её замкнутого множества
F
Хсуществовала непрерывная функция
g : Х®
[0, 1], равная нулю в
x
0и единице на
F.
Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из
- сфера
S
n).
Отображение f : X® Yтопологическое пространства Хв топологическое пространство Yназывают непрерывным отображением, если для любого открытого множества VМ Yмножество f -1( V) открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f -1: Y® Xнепрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Хи Y, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х® Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).
Пусть {
Х
a} - произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество
Хвсех семейств вида {
х
a}
,где
x
a
X
a(прямое произведение множеств
X
a). Для любого a формула
определяет некоторое отображение
(называется проекцией). Вообще говоря, в
Хможно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения
p
aнепрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество
Хназывается топологическим произведением топологических пространств
Х
aи обозначается символом
ПХ
a(а в случае конечного числа сомножителей - символом
X
1ґ ... ґ
X
n). В явном виде открытые множества пространства
Хможно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида
, где
U
aоткрыто в
X
a. Топологическое пространство
Хобладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений
f
a:
Y®
X
aсуществует единственное непрерывное отображение
f:
Y®
X, для которого
при всех a. Пространство
является топологическим произведением
nэкземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.
Если
Х- топологическое пространство, а
Y- произвольное множество и если задано отображение
p:
X®
Yпространства
Хна множество
Y(например, если
Yявляется фактормножеством
Хпо некоторому отношению эквивалентности, а
pпредставляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом
хО
Хего класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в
Yтопологической структуры, относительно которой отображение
pнепрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в
Yвсе те множества
VМ
Y,для которых множество
f
1(
V) М
Хоткрыто в
X. Снабженное этой топологической структурой множество
Yназывается факторпространством топологического пространства
Х(по отношению к
p). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение
f:
Y®
Zтогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение
:
X®
Z.Непрерывное отображение
p:
X®
Yназывается факторным, если топологическое пространство
Yявляется по отношению к
pфакторпространством топологического пространства
X. Непрерывное отображение
p:
X®
Yназывается открытым, если для любого открытого множества
UМ
Хмножество
p(U)открыто в
Y, и замкнутым, если для любого замкнутого множества
FМ
Хмножество
p(F)замкнуто в
Y. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения
f:
Х®
Y, для которых
f(X)=
Y, являются факторными.
Пусть Х- топологическое пространство, А- его подпространство и f: A® Y- непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Хи Yнепересекающимися, введём в их объединении ХИ Yтопологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Хи Y. Далее, введём в пространстве ХИ Yнаименьшее отношение эквивалентности, в котором a~ f(a)для любой точки aО А. Соответствующее факторпространство обозначается символом XИ fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Хк топологическому пространству Yпо Апосредством непрерывного отображения f. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Yсостоит из одной точки, то пространство ХИ fYобозначается символом Х/Аи о нём говорят, что оно получено из Хстягиванием Ав точку. Например, если Х- диск, а А- его граничная окружность, то Х/Агомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология
Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
Подмножества
Аи
Вметрических пространства
Хназываются близкими (обозначение
Ad
B)
,если для любого e > 0 существуют точки
aО
Аи
bО
В,расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве
Хназывается такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) Ж
X(символом
обозначается отрицание отношения d; 2)
A
B
1и
A
B
2Ы
A
(
B
1U
B
2)
; 3)
{
x}
{
y} Ы
x¹
y; 4) если
А
В, то существует такое множество
С
В, что
А
(
Х \
С)
.Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости
Хв пространство близости
Yназывается близостно непрерывным, если образы близких в
Хмножеств близки в
Y. Пространства близости
Хи
Yназываются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение
X®
Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество
uМ
xоткрытым, если {
x}
(
X\
U) для любой точки
хО
U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства
Хвсе структуры близости на
X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии - би-компактными расширениями)
вХ- компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими
Хв качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению
вХ,характеризуется тем, что
Аd
Втогда и только тогда, когда замыкания множеств
Аи
Впересекаются в
bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве
Хсуществует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.
Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Хможно определить в терминах отношения «точки хи унаходятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Хесть не что иное как произвольное подмножество Uпрямого произведения Хґ X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D М Хґ X, то есть множеством точек вида ( х, х), хО X.Для любого отношения Uопределено обратное отношение U -1= {( х, у); ( у, х) О U} и для любых двух отношений Uи Vопределена их композиция UЧ V= {( х, у); существует zО Хтакое, что ( х, z) О U, ( z, y) О V}. Семейство отношений { U} называется (отделимой) равномерной структурой на Х(а отношения Uназывается окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с Uокружением диагонали является и U -1; 4) для любого окружения диагонали Uсуществует такое окружение диагонали W, что Wo WМ U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X® Yравномерного пространства Хв равномерное пространство Yназывается равномерно непрерывным, если прообраз при отображении fґ f: Хґ Х® Yґ Yлюбого окружения диагонали VМ Yґ Yсодержит некоторое окружение диагонали из Хґ X. Равномерные пространства Хи Yназываются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х® Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.
В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Хопределяет некоторую структуру близости: Аd Втогда и только тогда, когда ( Aґ В) З U¹ Ж для любого окружения диагонали UМ Xґ X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология
Пусть каждому топологическому пространству
Х(из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект
h(X)(группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению
f:
X®
Y -некоторый гомоморфизм
h(f):
h(X)®
h(Y)(или
h(f):
h(Y)®
h(X),являющийся тождественным гомоморфизмом, когда
fпредставляет собой тождественное отображение. Если
h(f
1
f
2)
= h(f
1)
h(f
2)(или, соответственно,
h(f
1
f
2)
= h(f
2)
h(f
1),то говорят, что
hпредставляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения
f : A®
Yподпространства
AМ Х в некоторое топологическое пространство
Yнайти непрерывное отображение
g : X®
Y, совпадающее на
Aс
f, то есть такое, что
f
=
gЧi, где
i
:
А®
Х
-отображение вложения (
i(a)=
адля любой точки а О
A). Если такое непрерывное отображение
gсуществует, то для любого функтора (кофунктора)
hсуществует такой гомоморфизм (j:
h(X)®
h(Y)(гомоморфизм j:
h(Y)®
h(X)), что
h(f) =j
h(i)(соответственно
h(f) =
h(i)
j); им будет гомоморфизм j
= h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора
h) влечёт несуществование отображения
g. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор
h, значение которого на шаре
E
nявляется тривиальной, а на ограничивающей шар сфере
S
n-1- нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции - непрерывного отображения
р:
E
n®
S
n-1, неподвижного на
S
n-1, то есть такого, что композиция
рЧi,где
i:
S
n1
®
E
n
-отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если
рсуществует, то тождественное отображение группы
h(S
n-1)будет композицией отображений
h(i):
h(S
n-1)®
h(E
n)и
h(p):
h(E
n)®
h(S
n-1),что при тривиальной группе
h(E
n)невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при
n
=2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение
f:
E
n®
E
nимеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение
f(x) = химеет в
E
nхотя бы одно решение (если
f(x)¹
xдля всех
хО
E
n, то, приняв за
р(х)точку из
S
n-1, коллинеарную точкам
f(x)и
хи такую, что отрезок с концами
f(x)и
р(х)содержит
х, получим ретракцию
р:
E
n®
S
n-1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.
Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (j тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X).Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.
Топологическое пространство Хназывается клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X 0М ¼ М X n-1М X nМ ¼ (называется остовами клеточного пространства X), объединением которых является всё X, причём выполнены следующие условия: 1) множество UМ Xтогда и только тогда открыто в X, когда для любого nмножество UЗ X nоткрыто в X n; 2) X nполучается из X n-1приклеиванием некоторого семейства n-мepных шаров по их граничным ( n-1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X n-1); 3) X 0состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа полиэдров , см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).