БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ТО)

  Два непрерывных отображения f, g: X® Yназываются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений f _t: X® Y,непрерывно зависящих от параметра tО [0, 1], что f ₀= fи f ₁= g(непрерывная зависимость от tозначает, что формула F(x, t) = f _t(x), хО X, tО [0, 1] определяет непрерывное отображение F: Хґ [0, 1] ® Y; это отображение, а также семейство {f _t}называют гомотопией, связывающей fс g). Совокупность всех непрерывных отображений X® Yраспадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Хв Yобозначается символом [ X, Y]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [ X, Y] составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества [ X, Y] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Хи Yназываются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f: Х® Yи g: Y® Х, что непрерывные отображения gЧf: Х® Хи fЧg: Y® Yгомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).

  Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f: A® Y; точнее, если для fраспространение g: Х® Yсуществует, то для любой гомотопии f _t: A® Y (с f ₀= f)существует распространение g _t: Х® Yтакое, что g ₀= g. Поэтому вместо fможно рассматривать его гомотопический класс [f]и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h, то есть такие, что h(f ₀)= h(f ₁),если отображения f ₀и f ₁гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.

  Для любого топологического пространства Yформулы h(X)= [ X, Y] и h(f) = [j f],где f : X ₁® X ₂и j : X ₂® Y,определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y. Это - стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h( X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Хнекоторую точку x ₀и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x ₀в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Yбыло топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н-пространствами. Таким образом, каждое Н-пространство Yзадаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X)= [ X, Y], значениями которого являются группы.

  Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Yзадаёт по формулам h(X) =[ Y, X], h(f)= [ f j], где f: X ₁® X ₂и j : Y® X ₁, некоторый функтор h. Чтобы h(X)было группой, нужно, чтобы Yобладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко- Н-пространствами. Примером ко- Н-пространства является n-мepная сфера S ⁿ(при n³ 1). Таким образом, для любого топологического пространства Хформула p _n X =[ S ⁿ, X] определяет некоторую группу p _n X, n³ 1, которая называется n-й гомотопической группой пространства X. При n= 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n> 1 группа p _n Xкоммутативна. Если p ₁ X  = {1}, то Хназывается односвязным.

  Клеточное пространство Хназывается пространством K( G, n), если p _i (X) =0 при i¹ nи p _n X= G; такое клеточное пространство существует для любого n³ 1 и любой группы G(коммутативной при n> 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n> 1 (а также при n= 1, если группа Gкоммутативна) пространство K( G, n) оказывается Н-пространством и потому представляет некоторую группу H ⁿ (X; G)= [ X; K(G, n)]. Эта группа называется n-мepной группой когомологий топологического пространства Хс группой коэффициентов G. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К-функтор KO(X)= [ Х, BO], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO, группы ориентированных кобордизмов W ⁿ Xи т.п.

  Если Gявляется кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G)групп H ⁿ(X; G)является алгеброй над G. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G= Z _p, где Z _p- циклическая группа порядка р) входит действие на Н*(Х; G)некоторой некоммутативной алгебры _p, называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H ⁿ(X; G),а с другой - установить связи между группами H ⁿ(X; G)и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами p _n X), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

  Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий H _n(X; G), являющиеся гомотопическими группами p _n M(X, G)некоторого клеточного пространства M(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространству Хи группе G. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.

  Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.

4. Кусочно-линейная топология

 Подмножество Р О  называется конусом с вершиной аи основанием В, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab, где bО В.Подмножество ХО  называется полиэдром, если любая его точка обладает в Хокрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f: X® Yполиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки хО X.Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

  Подмножество ХО  тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов , пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:

  а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности nс коэффициентами из данной группы Gназываются n-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C _n (K; G);

  б) выбросив из упорядоченного n-мерного симплекса s вершину с номером i, 0 Ј iЈ n,получим упорядоченный ( n-1)-мерный симплекс, который обозначается символом s ^{( i)}; цепь  называется границей s; по линейности отображение  распространяется до гомоморфизма  : C _n(K; G)® C _{n -1} (K; G);

  в) цепи с, для которых  = 0, называются циклами, они составляют группу циклов Z _n(K; G);

  г) цепи вида  называются границами, они составляют группу границ B _n(K; G);

  д) доказывается, что B _n(K; G)М Z _n(K; G)(граница является циклом); поэтому определена факторгруппа

  H _n(K; G) = Z _n(K; G)/ B _n(K; G).

  Оказывается, что группа H _n(K; G)изоморфна группе гомологий H _n(X; G)полиэдра X, триангуляцией которого является К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G), даёт группы когомологий.

  С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.

  Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).

  Произвольному открытому покрытию { U _a} каждого топологического пространства Хможно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы U _aпокрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Хи, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.

  5. Топология многообразий

 Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству . В этой окрестности точки задаются nчислами x ₁,… , x _n,называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в , называются гомеоморфизмом перехода.

  Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из  называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, - s-гомеоморфизмом.

  Пусть a = t, pили s.Топологическое многообразие называется a-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются a-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт a-структуру на топологическом многообразии X. Таким образом, t-многообразие - это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. a-отображением a-многообразия называются называется при a = tпроизвольное непрерывное отображение, при a = s -произвольное кусочно-линейное отображение, при a = s -произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное a-отображение, обратное к которому также является a-отображением, называется a-гомеоморфизмом (при a = sтакже диффеоморфизмом), a-многообразия Хи Yназываются a-гомеоморфными (при a = s -диффеоморфными), если существует хотя бы один a-гомеоморфизм X® Y. Предметом теории a-многообразий является изучение a-многообразий и их a-отображений; при этом a-гомеоморфные a-многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т.

  Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой - резко стимулировала развитие самой алгебраической Т.

  Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в , не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N³ 2 n+ 1). Аналогичный результат верен и при a = t, p.

  Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое a-многообразие, где a = pили s,является a’-многообразием, где a’ = tили p. Ответ на обратный вопрос: на каких a’-многообразиях можно ввести a-структуру (такое a’-многообразие при a’ = pназывается сглаживаемым, а при a’ = t - триангулируемым), а если можно, то сколько? - зависит от размерности n.

 Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S ¹(компактное многообразие) и прямая линия  (некомпактное многообразие). Для любого a = p, sна t-многообразиях S ¹и  существует единственная a-структура.

  Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная a-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S ²и тор T ².Пусть Хи Y- два связных n-мерных a-многообразия. Вырежем в Хи Yпо шару (при n =2 - диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n= 2 - окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим a-многообразие. Оно называется связной суммой a-многообразий Хи Yи обозначается X# Y. Например, T ²# T ²имеет вид кренделя. Сфера S ⁿявляется нулём этого сложения, то есть  S ⁿ# X= Хдля любого X. В частности, S ²# T ² = T ². Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S ²# T ²# …# T ², число pслагаемых T ²называется родом поверхности. Для сферы p= 0, для тора p= 1 и т. д. Поверхность рода pможно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p«ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме P ²# ¼ # P ²некоторого числа проективных плоскостей P ². Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов .

  На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом a = p, sтакже существует единственная a-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S ³). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S ³.

  Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности a-структур (a = p, s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

  Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n³ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Хвкладывается как гладкая ( n-мepная) поверхность в ; и касательные векторы к Хсоставляют некоторое новое гладкое многообразие TX,которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Хназывается топологическое пространство Е,для которого задано такое непрерывное отображение p : Е® Х, что для каждой точки хО Хпрообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие { U _a} пространства X, что для любого a прообраз p ^-1( U _a) гомеоморфен произведению U _aґ , причём существует гомеоморфизм p ^-1( U _a) ® U _aґ , линейно отображающий каждый слой p ^-1 (x), xО U _a ,на векторное пространство {х}ґ . При Е= TXнепрерывное отображение p сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем p ^-1 (x)будет пространство, касательное к Хв точке х.Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Хопределяет некоторый элемент группы KO(X).Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Хв группе KO(X)определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого a. При a = pроль группы KO(X)играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X),а при a = tроль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X).Каждое a-многообразие Хопределяет в соответствующей группе [ КО(Х), KPL(X)или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его a-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X)® KPL(X)® KTop(X), и оказывается, что на n-мерном ( n³ 5) компактном и связном a'-многообразии X, где a' = t, p, тогда и только тогда можно ввести a-структуру (a = р,если a' = t,и a = s,если a' = p) ,когда его a'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [ KPL(X)при a' = tи KO(X)при a' = p]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества [ X, Y _a], где Y _a- некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при a = sтопологическое пространство Y _aобозначается обычно символом PL/O, а при a = p -символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности a-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/Oдовольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что p _i( PL/O) = 0 при iЈ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности nЈ 7 сглаживаемо, а при nЈ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PLоказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K($ ₂, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H ³( X, $ ₂). Такие структуры заведомо существуют, если H ⁴( X, $ ₂) = 0, но при H ⁴( X, $ ₂) ¹ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.

  В частности, на сфере S ⁿсуществует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S ⁿможет быть много, например, на S ⁷существует 28 различных гладких структур. На торе T ⁿ(топологических произведении nэкземпляров окружности S ¹) существует при n³ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.

  Задачу описания (с точностью до a-гомеоморфизма) всех n-мерpных ( n³ 5) связных компактных a-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности a-многообразий и условия a-гомеоморфности гомотопически эквивалентных a-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных a-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для