24. Новый год и раньше (т. е. по старому стилю) встречали 1 января.
Однако старое 1 января (старый Новый год) сейчас, т. е. по новому стилю, попадает на 14 января, поэтому никакого противоречия и недоразумения здесь нет. В условии задачи создаётся видимость противоречия за счёт того, что в одних и тех же словах смешиваются различные понятия: Новый год по новому стилю и Новый год по старому стилю. И действительно, Новый год по новому стилю в старом стиле приходился бы на 19 декабря, а Новый год по старому стилю в новом стиле приходится на 14 января.
25.
Но Правдолюб и не в центре, так как, будучи Правдолюбом, на поставленный вопрос «Кто ты?» он не мог бы ответить так, как ответил – «Дипломат».
Значит, Правдолюб стоит справа и, следовательно, рядом с ним, т. е. в центре находится Лжец, а слева стоит Дипломат.
28. Последовательность переливаний представлена в следующей табл. 9, где I – ведро, объёмом 10 л; II – ведро, объёмом 7 л; III – ведро, объёмом 3 л:
29. Катя придёт к поезду первой, а Андрей, скорее всего, опоздает на поезд, так как он придёт на вокзал к тому времени, когда на его часах будет 8 ч 05 мин. А на самом деле, ещё на 10 мин больше – 8 ч 15 мин. Катя постарается прийти по своим часам к 7 ч 50 мин, а на самом деле это будет 7 ч 45 мин.
30. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Но сначала на основе запутанного ответа динозавра следует построить следующую схему (возраст черепахи в прошлом примем за x):
Преобразуем:
110 – x= 10 x– 110,
110 + 110 = 10 x+ x,
220 = 11 x,
x= 220 : 11 = 20.
Следовательно, черепахе в прошлом было 20 лет, динозавру сейчас в 10 раз больше.
Ответ: динозавру 200 лет.
31. Сумма диаметров малых полуокружностей: (AC)+ (CD)+ (DB), равна диаметру большой полуокружности: AB, но ввиду того, что длина полуокружности равна половине произведения числа «пи» на диаметр, пройденные автомобилями расстояния будут совершенно одинаковыми. Следовательно, отставание милицейского автомобиля от угонщика не уменьшится, и погоня на этом участке не увенчается успехом.
32. Для решения этой задачи надо составить простую схему (обозначим нынешний возраст Кати как x):
33. Все правдивые верно утверждали, что всё написанное – правда, но и все лжецы ложно утверждали, что всё написанное ими – правда. Таким образом, все 35 сочинений оказались с утверждением о правдивости написанного.
34. У каждого человека 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прабабушек и прадедушек, 16 прапрабабушек и прапрадедушек. Чтобы узнать, сколько было прапрабабушек и прапрадедушек у всех прапрабабушек и прапрадедушек каждого из нас, надо: 16 · 16 = 256. Этот результат получается, конечно же, если исключить случаи кровосмешения, т. е. браки между различными родственниками.
Если принять в расчёт, что одно поколение – это примерно 25 лет, то восемь поколений (о которых шла речь в условии задачи) соответствуют 200 годам, т. е. 200 лет назад каждые 256 человек на Земле были родственниками каждого из нас. За 400 лет число наших предков составит: 256 · 256 = 65 536 человек, т. е. 400 лет назад у каждого из нас было 65 536 живущих на планете родственников. Если же «открутить» историю на 1 000 лет назад, то получится, что всё население Земли того времени являлось родственниками каждому из нас. Значит, действительно все люди, по большому счёту, – братья.
35. Можно попытаться, используя инерцию бутылки, резким движением выдернуть платок из-под неё. Но, скорее всего, ничего не получится: положение бутылки слишком неустойчиво. Однако вспомним, что сила трения уменьшается при вибрациях. Кулаком одной руки надо равномерно и несильно стучать по столу недалеко от бутылки, а другой рукой – аккуратно тянуть платок. При определённой частоте и силе ударов по столу платок начнёт плавно выскальзывать из-под бутылки. При этом важно обратить внимание на то, чтобы у края платка была не очень большая кромка: она, как правило, сбивает бутылку в последний момент. Поэтому лучше, чтобы платок вообще был без кромки.
36. С помощью единственной чёрточки один из знаков плюс превратится в цифру четыре, в результате чего получается равенство:
545 + 5 = 550.
38.
40. Нельзя, так как через 72 ч, т. е. через трое суток, будет опять 12 ч ночи, а солнце ночью не светит (если дело не происходит за полярным кругом в полярный день).
41. У хозяйки 25 р., у мальчика 2 р. Всего 27 р., значит те 2 р., которые получил мальчик, входят в 27 р. А в условии задачи к 27 р. прибавлено 2 р., которые у мальчика, и поэтому получается 29 р.
Надо к 27 р. не прибавлять 2 р., а отнимать.
42. Посмотрев на оборот последней страницы тетради по математике, где приводится система мер и весов, вы увидите, что 1 л равен 1 дм 3. Следовательно, в бассейн налили 1 000 000 дм 3воды, или 1 000 м 3воды (т. к. 1 м равен 10 дм). Зная площадь бассейна (1 га = 10 000 м 2) и объём налитой в него воды, легко вычислить его глубину:
43. Для сравнения указанных величин надо привести квадратный корень и кубический к корню одной степени. Это может быть корень шестой степени. Соответственно, изменятся и подкоренные выражения. Получится
и
. Корень шестой степени из девяти немного больше такого же корня из восьми, следовательно,
больше, чем
.44. Обозначим стоимость линейки как x. Тогда у одного мальчика не хватает до стоимости линейки: x– 24 к., а у другого: x– 2 к.
При сложении своих денег они всё равно не смогли купить линейку.
Составим простое неравенство:
( x– 24) + ( x– 2) < x.
Преобразуем:
x– 24 + x– 2 < x,
2 x– 26 < x,
2 x– x< 26,
x< 26.
Итак, линейка стоит меньше 26 к., но больше 24 к., так как по условию у одного мальчика не хватает до её стоимости 24 к.
О т в е т: линейка стоит 25 к.
45. Надо спросить любого депутата: «Вы консерватор?» Если он ответил «да», то сегодня чётное число, а если «нет», то нечётное. По чётным числам консерваторы скажут правдивое «да», а либералы, говоря неправду, тоже произнесут «да». По нечётным числам, наоборот, консерваторы, отвечая на вопрос, скажут «нет», но либералы, говорящие в эти дни только правду, тоже скажут «нет».
46. На первый взгляд может показаться, что бутылка стоит 1 р., а пробка 10 к., но тогда бутылка дороже пробки на 90 к., а не на 1 р., как по условию. На самом деле, бутылка стоит 1 р. 05 к., а пробка стоит 5 к.
47. На первый взгляд может показаться, что Оля проходит 30 ступенек – в два раза меньше, чем Катя, так как она живёт в два раза ниже её. На самом деле это не так. Когда Катя поднимается на четвёртый этаж, она преодолевает 3 лестничных пролёта между этажами. Значит между двумя этажами 20 ступенек: 60 : 3 = 20. Оля поднимается с первого этажа на второй, следовательно, она преодолевает 20 ступенек.
48. Это число 91, которое при переворачивании вверх ногами превращается в 16. При этом оно уменьшается на 75 : 91 – 16 = 75.
При решении этой задачи надо учитывать, что при переворачивании числа его цифры не только переворачиваются, но и меняются местами.
49. На развёрнутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.
50. Три человека: дед, отец и сын – это два отца и два сына – поймали трёх зайцев, каждый по одному.
51. Эффект этой задачи-фокуса заключается в том, что увеличение любого трёхзначного числа до шестизначного путём его дублирования равносильно умножению этого трёхзначного числа на 1 001. Кроме того, произведение чисел 13, 11 и 7 также равно 1 001. Следовательно, если получившееся шестизначное число разделить в любой последовательности на эти три числа (13, 11, 7), то получится исходное трёхзначное число.
52.
О т в е т: двумя языками овладели: 90 – 22 = 68 школьников.
54. Любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на неё сбоку, представляет собой прямоугольник. Как известно, диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Точно так же цилиндр делится пополам эллипсом. Из наполненной водой посуды цилиндрической формы надо отливать воду до тех пор, пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где её дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в посуде останется ровно половина воды:
С 6 ч утра одного дня до 10 ч вечера другого дня проходит 40 ч, значит за это время часовая и минутная стрелки должны совпасть 40 раз. Но три часа из этих 40 ч составляют исключение: это 12 ч одного дня, 24 ч того же дня и 12 ч другого дня. Представим себе, что в 12 ч стрелки совпали, в следующий раз минутная стрелка догонит часовую не в первом часу, а в начале второго, т. е. с 12 ч до 1 ч (неважно – дня или ночи) совпадения стрелок не происходит. Следовательно, часовая и минутная стрелки с 6 ч утра одного дня до 10 ч вечера другого дня совпадут 37 раз.
56. Скорость теплохода примем за x, а скорость реки за у. Поскольку от Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход плывёт по течению, то его собственная скорость и скорость реки складываются, т. е. до Астрахани он плывёт со скоростью: x+ у. На обратном пути теплоход плывёт против течения, т. е. со скоростью x– у. Как известно, расстояние равно произведению скорости на время. Зная, что теплоход проделывал один и тот же путь за 5 и за 7 суток, можно составить уравнение:
5 ( x+ у) = 7 ( x– у).
Преобразуем:
5 x+ 5 у= 7 x– 7 у,
7 у+ 5 у= 7 x– 5 x,
12 у= 2 x,
6 у= x.
Как видим, собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости реки. Значит, по течению (от Нижнего Новгорода до Астрахани) он плывёт со скоростью в 7 раз большей скорости реки, ведь в этом случае скорости теплохода и реки складываются. Поскольку плот плывёт только по течению, то его скорость равна скорости реки, а значит, она в 7 раз меньше, чем скорость теплохода на пути в Астрахань. Следовательно, и времени на тот же путь плот затратит в 7 раз больше, чем теплоход: 5 · 7 = 35.
Ответ: расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани плот пройдёт за 35 суток.
57. Можно сходу ответить, что 12 куриц за 12 дней снесут 12 яиц.
Однако это не так. Если три курицы за три дня несут три яйца, значит одна курица за те же три дня несёт одно яйцо. Следовательно, за 12 дней она снесёт: 12 : 3 = 4 яйца. Если же куриц будет 12, то за 12 дней они снесут: 12 · 4 = 48 яиц.
58. 111 – 11 = 100.
59. Конечно же, это рассуждение не верно. Видимость его правильности и убедительности создаётся за счёт того, что в нём почти незаметно смешиваются и подменяются понятия «сутки» и «день», а вернее – «рабочий день». А это совершенно разные понятия, ведь сутки – это 24 ч, а рабочий день – это 8 ч. В году 365 суток, и это то время, в которое мы и работаем, и отдыхаем, и спим. В рассуждении же понятие «365 суток» подменяется понятием «365 дней», и предполагается, что все эти дни (а на самом деле – сутки) заняты только работой. Далее из этих «365 дней» вычитается время, затрачиваемое на сон, на отдых и т. д., а это время надо вычитать не из дней (причём рабочих дней), а из суток. Тогда количество дней (рабочих) останется прежним, и недоразумения не возникнет.
60. Надо взять второй наполненный стакан слева и перелить его во второй пустой стакан справа, тогда наполненные и пустые стаканы будут чередоваться:
62. Это слово «неправильно». Оно всегда так и пишется – «неправильно». Эффект этой задачи-шутки заключается в том, что в ней слово «неправильно» употребляется в двух разных смыслах.
63. Попугай действительно может повторять каждое услышанное слово, но он глух и не слышит ни одного слова.
64. Конечно же, спичку, так как без неё нельзя зажечь ни свечу, ни керосиновую лампу. Вопрос задачи двусмыслен, ведь его можно понимать то ли как выбор между свечой и керосиновой лампой, то ли как последовательность в зажигании чего-либо (сначала спичка, потом – от неё – всё остальное).
65. Может показаться, что Пётр будет спать 14 ч, но на самом деле он сможет поспать всего 2 ч, потому что будильник прозвонит в девять часов вечера. Простой механический будильник не различает дня и ночи и всегда звонит в то время, на которое его поставили.
Если бы это был электронный будильник компьютерного типа, который можно программировать, тогда Петру удалось бы проспать с 7 ч вечера до 9 ч утра.
66. Логическая закономерность, что отрицание истины является ложью, а отрицание лжи – истиной, действует только тогда, когда речь идёт об одном и том же предмете. В данном случае речь должна идти об одном и том же предложении. Если бы это было так, то одно утверждение обязательно было бы истинным, а другое ложным, или наоборот. Но в задаче речь идёт о двух разных предложениях. Поэтому нет ничего удивительного в том, что они оба являются ложными.
67. Сумма восьми цифр, равная двум может получиться в том случае, если одна из этих цифр двойка, а остальные – нули. Такое восьмизначное число только одно. Это 20 000 000. Но сумма восьми цифр, равная двум, также может получиться в том случае, если две из этих цифр единицы, а остальные нули. Таких восьмизначных чисел семь: 11 000 000, 10 100 000, 10 010 000, 10 001 000, 10 000 100, 10 000 010, 10 000 001.
О т в е т: существует восемь восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум.
68. Периметр фигуры – это сумма длин всех её сторон. В данной фигуре 12 сторон. Если её периметр равен 6, то одна сторона равна: 6 : 12 = 0,5. Фигура состоит из 5 одинаковых квадратов, со стороной 0,5. Площадь одного квадрата равна: 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, площадь всей фигуры равна: 0,25 · 5 = 1,25.
69. Затруднение при решении может возникнуть из-за необычно сформулированного условия задачи. Сама же задача очень проста.
Требуется всего лишь записать математически то, что выражено в ней словами, т. е. распутать её словесное условие. Сумма квадратов чисел 2 и 3 – это: 2 2+ 3 2. Куб суммы квадратов чисел 2 и 3 – это: (2 2+ 3 2) 3.
Сумма кубов этих чисел – это: 2 3+ 3 3. Квадрат этой суммы – это: (2 3+ 3 3) 2. Надо найти разность первого и второго: (2 2+ 3 2) 3– (2 3+ 3 3)2 = (4 + 9) 3– (8 + 27) 2= 133 – 352 = 2 197 – 1 225 = 972.
70. Это число 2. Половина этого числа равна 1, а половина от половины этого числа (т. е. единицы) равна 0,5, т. е. тоже половине.
71. Рассуждение неверно. Совершено необязательно, что Саша Иванов со временем побывает на Марсе. Внешняя правильность этого рассуждения создаётся за счёт употребления в нём одного слова («человек») в двух разных смыслах: в широком (абстрактный представитель человечества) и в узком (конкретный, данный, именно этот человек).
72. Как видим по условию, для получения оранжевой краски требуется в три раза больше жёлтой краски, чем красной: 6 : 2 = 3. Значит из имеющегося количества жёлтой и красной красок надо взять в три раза больше жёлтой краски, чем красной, т. е. 3 г жёлтой и 1 г красной.
О т в е т: можно получить 4 г оранжевой краски.
73.
Можно убрать и другие 2 спички.
75. Сначала надо выяснить, каков общий возраст всех игроков команды: 22 · 11 = 242. Возраст выбывшего игрока примем за x. После того, как он выбыл общий возраст игроков команды стал равен: 242 – x. Поскольку игроков стало 10 и их средний возраст известен (21 год), можно составить уравнение:
(242 – x) : 10 = 21,
242 – x= 210,
x= 242 – 210 = 32.
Ответ: выбывшему игроку 32 года.
76. Рассуждение, конечно же, неверно. Эффект его внешней правильности достигается благодаря употреблению понятия «возраст отца» в двух разных смыслах: возраст отца как возраст человека, который является этим отцом, и возраст отца как число лет отцовства. Кстати, во втором значении понятие «возраст», как правило, не употребляется: обычно под словосочетанием «возраст отца» понимается возраст этого человека, а не что-либо иное.
77. Сначала надо разделить 24 кг гвоздей на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг гвоздей на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.
78. Это был четверг. В этот день Пётр правдиво сказал, что вчера (т. е. в среду) он лгал, а Иван солгал насчёт того, что вчера (т. е. в среду) он лгал, ведь по условию в среду он говорит правду.
79. Это число 147.
80.
81. В 1 001 раз. Для того чтобы установить это, надо шестизначное число, полученное путём дублирования трёхзначного числа, разделить на это трёхзначное число, получится 1 001 (см. также задачу 51).
82. Ошибка данного рассуждения заключается в утверждении, что если бы не было времени, то не было бы ни одного дня, а значит, всегда стояла бы ночь. Как раз наоборот – если бы не было времени, то не могло бы быть ни одного дня и ни одной ночи, ведь понятие ночи (как и понятие дня) относится именно ко времени (и день, и ночь – это некие временные интервалы).
83. Примем число яблок, которые взяла Настя из первой корзины, за x, тогда в первой корзине осталось: 12 – xяблок. Именно столько яблок и взяла Маша из второй корзины. Значит во второй корзине осталось: 12 – (12 – x) яблок. В двух корзинах вместе осталось: (12 – x) + 12 – (12 – x) = 12 – x+ 12 – 12 + x= 12.
Ответ: в двух корзинах вместе осталось 12 яблок.
84. Этого не может сказать ни одна свинья, ведь свиньи, как известно, не говорят. Эта не очень серьёзная задача основана на двусмысленности вопроса: «Сколько свиней могут сказать…?» Слово «сказать» в этом вопросе можно понимать буквально – говорить членораздельной человеческой речью, а также его можно воспринимать в переносном значении – кто-то говорит от имени или за тех, которые сами говорить не могут (не умеют).
85. Сапожник и плотник – это одно лицо. В этом легко убедиться, составив простую схему:
отец (сапожника)
сапожник (сын отца сапожника) = плотник
86. Рассуждение неверно. Ошибка заключается в смешивании двух совершенно различных ситуаций в одних и тех же словах. Когда рабочие строят дом, их усилия складываются, поэтому работа идёт быстрее и выполняется за более короткий срок. Когда корабли пересекают Атлантический океан, то их «усилия» не складываются: каждый корабль преодолевает океан всё равно в одиночку, и поэтому время, затраченное на переправу через океан, не уменьшается при увеличении количества кораблей.
87. Стрелка у весов была сдвинута не вправо от нуля, а влево, т. е. весы показывали на 1 кг меньше. Значит, Петин портфель весит 3 кг, а Сашин – 4 кг. Вместе их портфели весят 7 кг. Когда они их взвесили, весы показали на 1 кг меньше, т. е. 6 кг.
88. На первый взгляд может показаться, что подобным образом можно расположить только 9 кружочков, но ведь в условии не сказано, что ряды кружочков должны быть горизонтальными или вертикальными. Они могут быть какими угодно. Расположить кружочки можно различными способами:
Данный вопрос можно понимать буквально: надо ли рождаться на свет для того, чтобы заниматься каким-либо видом деятельности; а также данный вопрос можно понимать в переносном смысле: является ли талант композитора (художника, писателя, учёного) врождённым, данным от природы или же он приобретается во время жизни упорным трудом.
92. Рассуждение, конечно же, неверно. Его внешняя правильность основана на почти незаметном исключении ещё одного варианта, который в данном рассуждении также необходимо было рассмотреть. Это вариант, когда не видит ни один глаз. Именно он и был пропущен: «Без правого глаза мы видим, без левого тоже, значит, глаза необязательны для зрения». Правильное утверждение должно быть таким: «Без правого глаза мы видим, без левого тоже видим, но без двух вместе не видим, значит, мы видим или одним глазом, или другим, или двумя вместе, но мы не можем видеть без глаз, которые, таким образом, необходимы для зрения».
93. На первый взгляд может показаться, что попугаю можно задать до 99 вопросов. На самом же деле можно обойтись гораздо меньшим числом вопросов. Спросим его так: «Тебе больше 50 лет?» Если он ответит «да», то его возраст от 51 до 99 лет; если же он ответит «нет», то ему от 1 года до 50 лет. Количество вариантов его возраста после первого же вопроса сокращается вдвое. Следующий подобный вопрос: «Тебе больше (можно спросить – меньше) 25 лет?»,
«Тебе больше (меньше) 75 лет?» (в зависимости от ответа на первый вопрос) сокращает число вариантов в четыре раза и т. д. В итоге попугаю надо задать всего 7 вопросов.
94. Этот рисунок можно видеть по-разному. Присмотритесь к нему внимательно, и вы заметите, как изображение будет переворачиваться то в одну, то в другую сторону, как бы переливаться на ваших глазах.
В одном случае мы видим шесть кубиков – три сверху, два посередине и один снизу, а в другом случае мы видим один кубик – в середине рисунка. Таким образом, всего на рисунке изображено семь кубиков.
95. Тереть телёнка можно сколь угодно долго, однако сколько телёнка ни три, у него всё равно будет четыре ноги. Эта задача-шутка основана на том, что числительное «три» имеет омоним – глагол в повелительном наклонении.
96. Рассказчик разделил верёвку не поперёк, как, скорее всего, может показаться, а вдоль, сделав из неё две верёвки одинаковой длины. Когда он связал две части вместе, верёвка стала в два раза длиннее, чем была сначала.
97. При вычитании меньшего числа из большего действует одна закономерность: сумма всех цифр разности всегда будет равна 18 (независимо от исходных чисел). Кроме того, второй цифрой разности всегда будет 9. Таким образом, зная последнюю цифру разности (или первую) можно безошибочно установить всю разность.