Страница:
Пока мы остаемся в области арифметических формул, все эти различные интерпретации "числа" равно хороши. И только тогда, когда мы начинаем эмпирическое употребление чисел в перечислении, мы находим основание для предпочтения одной интерпретации всем другим. Когда мы покупаем что-нибудь в магазине и продавец говорит: "Три шиллинга", его "три" не является только математическим символом, обозначающим "третий термин от начала какой-либо последовательности";
его "три" не может быть определено его арифметическими свойствами. Ясно, что вне арифметики его интерпретация "трех" является предпочтительным перед всеми другими, которые допускаются как возможные системой Пеано. Такие утверждения, как: "люди имеют 10 пальцев", "собаки имеют 4 ноги", "Нью-Йорк имеет 10000000 жителей", требуют такого определения чисел, которое не может быть получено на основе только того, что эти числа удовлетворяют формулам арифметики. Такое определение является, следовательно, наиболее удовлетворительной "интерпретацией" числовых символов.
Такая ситуация возникает всякий раз, когда математика применяется к эмпирическому материалу. Возьмем, например, геометрию, но не как логическое упражнение в выведении следствий из произвольно принятых аксиом, а как науку, помогающую в землемерном деле, в составлении карт, в инженерном деле или в астрономии. Такое практическое использование геометрии связано с затруднением, которое хотя в какой-то степени иногда и признается, но никогда всерьез не принимается. Геометрия, излагаемая математиками, пользуется точками, линиями, плоскостями и окружностями, но было бы банальностью говорить, что никаких таких объектов нет в природе. Когда в землемерном деле употребляется процесс триангуляции, то признается, что наши треугольники не имеют строго прямых линий для своих сторон, как не имеют и точных точек для своих углов, но при интерпретации говорят, что стороны приблизительно являются прямыми линиями, а углы -приблизительно точками. Значение этого приближения не совсем ясно, пока считается, что не существует вполне точных прямых линий или точек, к которым наши кое-как намеченные линии и точки могли бы приближаться. Мы можем считать, что чувственные линии и точки имеют приблизительно свойства, установленные в определениях и аксиомах Евклида, но если мы не можем установить в каких-то границах, каково это приближение, то такая точка зрения делает вычисление неопределенным и неудовлетворительным.
Эта проблема точности математики и неточности чувств является весьма древней проблемой, которую Платон пытался разрешить с помощью фантастической гипотезы воспоминания. В новое время эта проблема, как и некоторые другие неразрешенные проблемы, была забыта благодаря тому, что с ней сжились, как иногда не замечают дурной запах потому, что в течение долгого времени привыкают к нему. Ясно, что если геометрия должна применяться к чувственно воспринимаемому миру, то мы должны найти определения точек, линий, плоскостей и так далее в терминах чувственных данных или же мы должны быть в состоянии вывести из чувственных данных существование невоспринимаемых сущностей, имеющих такие свойства, в которых нуждается геометрия. Нахождение путей или пути к выполнению того или другого является проблемой эмпирической интерпретации геометрии.
Существует и неэмпирическая интерпретация, которая оставляет геометрию в сфере чистой математики. Совокупность всех упорядоченных триад реальных чисел образует трехмерное евклидово пространство. При такой интерпретации вся евклидова геометрия дедуцируется из арифметики. Даже неевклидова геометрия допускает подобную арифметическую интерпретацию. Можно показать, что как евклидова геометрия, так и любая форма неевклидовой геометрии могут применяться ко всякому классу, имеющему одно и то же количество терминов в качестве реальных чисел; вопрос о количестве измерений и о том, будет ли получающаяся в результате геометрия евклидовой или неевклидовой, будет зависеть от того упорядочивающего отношения, которое мы выберем; существует (в логическом смысле) бесконечное количество упорядочивающих отношений, и только соображения эмпирического удобства могут привести нас к выбору одного из них как заслуживающего особого внимания. Все это имеет значение при обсуждении вопроса о том, какая интерпретация чистой геометрии лучше для инженера или физика. Это показывает также, что в эмпирической интерпретации само упорядочивающее отношение, а не только упорядочиваемые термины, должно быть определено с помощью эмпирических терминов.
Очень сходные соображения применимы и ко времени, которое, однако, поскольку дело касается этого нашего вопроса, является не столь трудной проблемой, как пространство. В математической физике время трактуется как состоящее из моментов, хотя озадаченного этим обстоятельством студента уверяют, что моменты суть математические фикции. Никаких попыток не предпринимается, чтобы показать ему, чем полезны фикции или как они относятся к тому, что не является фикцией. Он обнаруживает, что с помощью этой фантастики можно исчислять то, что происходит на самом деле, и спустя некоторое время он, вероятно, перестает беспокоиться по поводу того, почему это так получается.
Моменты не всегда рассматривались как фикция; Ньютон считал их столь же "реальными", как реальны Солнце и Луна. Когда этот взгляд был отвергнут, оказалось легко перейти к противоположной крайности и забыть, что полезная фикция является, по-видимому, не только простой фикцией. Существуют различные степени фиктивности. Попробуем на один момент рассматривать индивидуального человека как нечто отнюдь не фиктивное; что тогда скажем мы о различных совокупностях людей, к которым он принадлежит? Большинство будет испытывать колебания в признании семьи фиктивной единицей, но как обстоит дело с политической партией или с клубом игроков в крикет? Как обстоит дело с совокупностью людей, которую мы называем словом "Смит" и к которой, как мы предполагаем, принадлежит наш индивидуум? Если вы верите в астрологию, вы будете придавать определенное значение совокупности людей, рожденных под определенной планетой; если же вы не верите в нее, вы будете считать такую совокупность людей фиктивной. Эти различения не являются логическими; с логической точки зрения все совокупности индивидуумов одинаково реальны или одинаково фиктивны. Значение этих различий практическое, а не логическое: имеются некоторые совокупности, о которых можно сказать много полезного, тогда как о других совокупностях этого сказать нельзя.
Когда мы говорим, что моменты суть полезные фикции, мы имеем в виду, что существуют такие сущности, которым как индивидуальным людям мы склонны приписывать высокую степень "реальности" (что бы это ни значило), и что в сравнении с ними моменты имеют ту меньшую степень "реальности", какую имеет клуб игроков в крикет по отношению к его членам; но мы хотим также сказать, что о моментах, как и о семьях, в противоположность "искусственным" совокупностям людей можно сказать много практически важного.
Все это очень неопределенно, и проблема интерпретации есть проблема подстановки чего-либо определенного, причем мы всегда должны помнить, что как бы мы ни определяли "моменты", они должны иметь свойства, требуемые в математической физике. Когда имеется две интерпретации, которые обе удовлетворяют этому требованию, выбор одной из них есть дело вкуса и удобства; не бывает так, чтобы одна интерпретация была "правильной", а другая "неправильной".
В классической физике технический аппарат состоит из точек, моментов и частиц. Признается, что имеется отношение из трех членов, то есть отношение, когда некая точка занимается в некий момент, и то, что занимает точку в некий момент, называется "частицей". Технически признается также, что частицы неразрушимы, так что все то, что занимает точку в данный момент, занимает какую-то точку в каждый другой момент. Когда я говорю, что это признается, я имею в виду не то, что это утверждается как факт, а что техника основывается на предположении, что никакого вреда не произойдет, если мы будем трактовать это как факт. Из этого все ещё исходят в макроскопической физике, но в микроскопической физике "частицы" постепенно исчезали. "Материя" в старом её понимании больше не нужна; нужна "энергия", которая не определяется, за исключением тех случаев, когда дело идет о её законах и об отношении изменений в её распределении к нашим ощущениям, особенно когда дело идет об отношении частот к цветовым восприятиям.
Вообще говоря, мы можем сказать, что основной технический аппарат современной физики есть четырехмерное многообразие "событий", упорядоченных пространственно-временными отношениями, которые могут быть разложены на пространственные и временные компоненты многими способами, выбор между которыми произволен. Поскольку математический анализ ещё используется, то технически признается, что пространство-время является непрерывным, но не ясно, насколько это допущение является чем-то большим, чем математически удобным построением. Не ясно также, имеют ли "события" то определенное положение в пространстве-времени, которое используется для того, чтобы характеризовать частицу в какой-либо момент. Все это делает вопрос об интерпретации современной физики очень трудным, но при отсутствии какой-либо интерпретации мы не можем сказать, что он утверждается квантовой физикой.
Понятие "интерпретации" в его логическом аспекте несколько отличается от того довольно неопределенного и трудного понятия, которое мы рассматривали в начале этой главы. Там мы имели дело с символическими утверждениями, о которых известно, что они имеют связь с наблюдаемыми явлениями и ведут к результатам, подтверждаемым наблюдением, но которые несколько неопределенны по значению, кроме тех случаев, когда их связь с наблюдением определяет их. В этом случае мы можем сказать, как мы говорили в начале этой главы, что мы вполне уверены в истинности наших формул, но совсем не уверены в их значении. В логике же мы идем совершенно другим путем. Наши формулы не рассматриваются как "истинные" или как "ложные", но как гипотезы, содержащие переменные величины. Совокупность тех значений переменных, которые делают гипотезу истинной, есть "интерпретация". Слово "точка" в геометрии может быть интерпретировано как обозначающее "упорядоченную триаду реальных чисел" или, как мы увидим, как обозначающее то, что мы назовем "полным комплексом сосуществования"; оно может также быть интерпретировано и с помощью бесконечного количества других способов. Общим для всех этих способов является то, что удовлетворяет аксиомам геометрии.
Как в чистой, так и в прикладной математике мы часто имеем собрания формул, которые все логически выводятся из небольшого числа начальных формул, которые могут быть названы "аксиомами". Эти аксиомы могут рассматриваться как залоги для всей системы, и мы можем концентрировать каше внимание исключительно на них. Аксиомы состоят частично из терминов, имеющих известное определение, частично из терминов, которые в любой интерпретации останутся переменными, и частично из терминов, которые, будучи пока ещё неопределенными, потребуют определений, когда аксиомы будут "интерпретированы". Процесс интерпретации состоит в нахождении постоянного значения для этого класса терминов. Это значение может быть придано им или с помощью вербального определения или же с помощью наглядного определения. Оно должно быть таким, чтобы при этой интерпретации аксиомы были истинными. (До интерпретации они ни истинны, ни ложны.) Таким образом, оказывается, что все их следствия также истинны.
Предположим, например, что мы хотим интерпретировать формулы арифметики. В пяти аксиомах Пеано (приведенных выше) имеются: во-первых, логические термины, такие, как "есть" и "тождественно с", значение которых предполагается известным; во-вторых, переменные, такие, как а и s" которые должны остаться переменными после интерпретации; в-третьих, термины "О", "число" и "следующее за"" для которых интерпретация должна найти такое постоянное значение, которое сделало бы эти пять аксиом истинными. Как мы видели, существует бесконечное количество интерпретаций, удовлетворяющих этим условиям, но среди них есть только одно, которое удовлетворяет также и эмпирическим утверждениям перечисления, таким, как: "У меня 10 пальцев". В этом случае, следовательно, существует одна интерпретация, которая является гораздо более удобной, чем любая из остальных.
Как мы видели в отношении геометрии, имеющийся набор аксиом допускает два способа интерпретации - один логический и один эмпирический. Все номинальные определения, если их проследить достаточно далеко, должны привести в конце концов к терминам, имеющим только наглядные определения, и в случае эмпирической науки эмпирические термины должны зависеть от терминов, наглядные определения которых даются в восприятии. Солнце астронома, например, сильно отличается от того, что видим мы, но оно должно иметь определение, полученное из наглядного определения слова "солнце", которое мы познали ещё в детстве. Таким образом, эмпирическая интерпретация набора аксиом, когда она является полной, должна всегда включать в себя термины, имеющие наглядное определение, полученное из чувственного опыта. Оно не будет, конечно, содержать только такие термины, так как в нем всегда будут также и логические термины; но эмпирическим интерпретация делает только наличие в нем терминов, полученных из опыта.
К вопросу об интерпретации незаслуженно относились с пренебрежением. Пока мы остаемся в области математических формул, все кажется определенным, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определенность в какой-то степени иллюзорна. Пока этот вопрос не выяснен, мы не можем сказать с какой-либо точностью, что, собствен но, утверждает та или иная конкретная наука.
ГЛАВА 2.
МИНИМАЛЬНЫЕ СЛОВАРИ.
В этой главе мы рассмотрим лингвистическую технику, которая очень полезна в анализе научных понятий. Как правило, существует несколько способов, с помощью которых слова, употребляемые в науке, могут быть определены небольшим числом терминов из числа этих слов. Эти немногие термины могут иметь или наглядные, или номинальные определения с помощью слов, не принадлежащих к данной науке, или - пока наука не "интерпретирована" в рассмотренном в предыдущей главе смысле - могут быть оставлены как бы без наглядного и без номинального определения и рассматриваться просто как набор терминов, имеющих те свойства, которые наука приписывает своим основоположным терминам. Такой набор начальных слов я называю "минимальным словарем" данной науки, если только (a) каждое иное слово, употребляемое в науке, имеет номинальное определение с помощью слов этого минимального словаря и (b) ни одно из этих начальных слов не имеет номинального определения с помощью других начальных слов.
Все, о чем говорится в науке, может быть сказано посредством слов минимального словаря, ибо всякий раз, когда появляется слово, имеющее номинальное определение, мы можем подставить вместо него предложение, содержащее определение; если это предложение содержит слова с номинальным определением, мы можем снова подставить новое определяющее предложение и так далее, пока ни одно из оставшихся слов не будет иметь номинальных определений. Действительно, определяемые термины являются излишними и только неопределяемые термины неизбежны. Но вопрос о том, какие термины должны остаться неопределенными, является отчасти произвольным. Возьмем, например, исчисление высказываний, которое является простейшим и самым законченным образцом формальной системы. Мы можем взять слова "или" и "не" или "и" и "не" как неопределенные; вместо двух таких неопределенных терминов мы можем взять один, например "не этот или не тот" или "не этот и не тот". Таким образом, вообще мы не можем сказать, что такое-то слово должно включаться в минимальный словарь такой-то науки, но можем, самое большее, сказать, что существует один или больше минимальных словарей, в которые оно включается.
В качестве примера возьмем географию. При этом я буду исходить из того, что словарь геометрии уже установлен; тогда нашей первой явно географической потребностью является метод установления широты и долготы. Для этого будет достаточно иметь в качестве части нашего минимального словаря слова: "Гринвич", "Северный полюс" и "к западу от"; но ясно, что любая другая точка годилась бы для этого совершенно так же, как Гринвич и Южный полюс годился бы так же, как Северный полюс. Отношение "к западу от" не является на самом деле необходимым, ибо линия, параллельная широте, является окружностью на земной поверхности в плоскости, перпендикулярной диаметру, проходящему через Северный полюс. Остальные слова, употребляемые в физической географии, такие, как "суша", "вода", "гора" или "равнина", могут теперь быть определены в терминах химии, физики или геометрии. Таким образом, по-видимому, только два слова - "Гринвич" и "Северный полюс" необходимы для того, чтобы сделать географию наукой о поверхности Земли, а не какого-либо другого сфероида. Именно благодаря наличию этих двух слов (или двух других, служащих той же цели) география может рассказать об открытиях путешественников. Именно эти два слова участвуют везде, где упоминаются широта и долгота.
Как показывает этот пример, наука, по мере того как она становится более систематической, нуждается во все меньшем и меньшем минимальном словаре. Древние знали много географических фактов до того, как научились определять широту и долготу, но для того чтобы выразить эти факты, они нуждались в большем числе неопределенных слов, чем нуждаемся мы. Поскольку Земля есть сфероид, а не сфера, нет надобности, чтобы "Северный полюс" оставался неопределенным: мы можем определить два полюса как крайние точки самого короткого диаметра Земли, а Северный полюс определить как полюс, ближайший к Гринвичу. Этим путем мы приходим к тому, что "Гринвич" остается единственным неопределенным термином, характерным для географии. Сама Земля определяется как "сфероид, поверхность которого образуется сушей и водой, ограниченными атмосферой, и на поверхности которого расположен Гринвич". Но здесь мы, на пути к уменьшению нашего минимального словаря, достигаем, по-видимому, предела: если мы хотим быть уверенными в том, что речь идет о Земле, мы должны упомянуть какую-либо точку, находящуюся на её поверхности, или иметь определенное геометрическое отношение к ней, а точка должна быть такой, которую мы можем узнать. Поэтому, будь то "Нью-Йорк", "Москва" или "Тимбукту", пригодные для этой цели совершенно так же, как и "Гринвич", все равно какой-то пункт должен быть включен в минимальный словарь географии.
Наш разговор о Гринвиче выясняет и ещё один момент, именно то, что термины, официально не определенные в науке, могут не быть тождественными с терминами, не определенными для того или иного человека. Если вы никогда не видели Гринвич, то слово "Гринвич" не может для вас иметь наглядного определения; следовательно, вы не можете понять это слово, если оно не имеет номинального определения. Действительно, вы живете в пункте, называемом "P", то для вас P занимает место Гринвича и ваша официальная долгота определяет для вас меридиан Гринвича, а не долготу p. Такие соображения, однако, являются донаучными и обычно игнорируются в анализе научных понятий. Для определенных целей они не могут игнорироваться, особенно когда мы рассматриваем отношение науки к чувственному опыту; но, как правило, игнорирование их не опасно.
Рассмотрим теперь вопрос о минимальных словарях для астрономии. Астрономия состоит из двух частей: одна представляет собой вид космической географии, другая - применение физики. Утверждения, касающиеся величины и орбит планет, относятся к космической географии, тогда как теории тяготения Ньютона и Эйнштейна относятся к физике. Разница в том, что в географической части мы имеем дело с утверждениями фактов относительно того, что и где находится, тогда как в части, являющейся физикой, мы имеем дело с законами. Так как я буду здесь рассматривать физику саму по себе, рассмотрим сначала географическую часть астрономии. В этой части, поскольку она находится на элементарной стадии развития, мы нуждаемся в собственных именах для Солнца, Луны, планет и всех звезд и туманностей. Количество собственных имен может, однако, быть постепенно уменьшено, по мере того как наука астрономии развивается. "Меркурий" может быть определен как "планета, ближайшая к Солнцу", "Венера" - как "вторая планета", "Земля" - как "третья планета" и так далее Созвездия определяются по их координатам, а отдельные звезды и созвездия - по порядку их яркости.
В этой системе "Солнце" останется частью нашего минимального словаря, и нам понадобится то, что необходимо для определения звездных координат. Слова "Полярная звезда" не будут необходимы, поскольку эта звезда может быть определена как "звезда без суточного вращения", но нам понадобится какое-либо другое небесное тело для выполнения той функции, которую в земной географии выполняет точка "Гринвич". Таким образом, официальная астрономия смогла бы (по- видимому) обходиться только двумя собственными именами, именно "Солнцем" и, скажем, "Сириусом". "Луна", например, может быть определена как "тело, координаты которого в такой-то момент времени являются такими-то". С помощью этого словаря мы можем в известном смысле сформулировать все что астроном хочет сказать, точно так же, как с помощью трех неопределенных терминов Пеано мы можем изложить
всю арифметику.
Но точно так же, как система Пеано оказывается несостоятельной, когда мы переходим к счету, так и наша официальная астрономия оказывается несостоятельной, когда мы пытаемся связать её с наблюдением. Есть два существенно необходимых предложения, которые она не включает в себя, именно: "Вот это - Солнце" и "Вот это - Сириус". Мы создали словарь для абстрактной астрономии, но не для астрономии как записи наблюдений.
Платон, который интересовался астрономией только как собранием законов, хотел, чтобы она была полностью освобождена от чувственного материала; те, кто интересуется существующими действительными небесными телами, будут, говорил он, наказаны в следующем воплощении тем, что будут птицами. Эта точка зрения сейчас не принимается людьми науки, но её, или нечто очень похожее на нее, можно найти в трудах Карнапа и некоторых других логических позитивистов. Я думаю, что они не придерживаются сознательного такого взгляда и решительно его отвергли бы; но увлечение словесной формой, в противоположность значению слов, сделала их незащищенными от платоновского соблазна и странным образом повела их к гибельному для их теории результату или к тому, что эмпирист должен считать таким результатом. Астрономия не является только совокупностью слов и предложений;
она есть совокупность слов и предложений, выбранных из других, столь же лингвистически пригодных, потому что они описывают мир, связанный с чувственным опытом. Пока чувственный опыт игнорируется, нет никакого основания заниматься изучением какого-то большого небесного тела, имеющего такое-то количество планет на таких-то расстояниях от него. И такие предложения, как: "Это есть Солнце", являются предложениями, в форме которых в познание проникает чувственный опыт.
Каждая развившаяся эмпирическая наука имеет два аспекта: с одной стороны, она состоит из системы различными способами взаимосвязанных предложений (высказываний), часто содержащей небольшое число избранных предложений, из которых могут быть выведены остальные предложения; с другой стороны, она является попыткой описания некоторой части или стороны вселенной. В первом аспекте суть дела заключается не в истинности или ложности каких-то предложений, а в их взаимосвязи. Например, если бы сила тяготения изменялась прямо пропорционально расстоянию, то планеты (если бы они существовали) вращались бы вокруг Солнца (если бы оно существовало) по эллипсам, в которых Солнце находилось бы в центре, а не в фокусе. Это предложение не является частью описательной астрономии. Имеется и другое сходное предложение, также не являющееся частью описательной астрономии, говорящее, что если сила тяготения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, то планеты (если они существуют) будут вращаться вокруг Солнца (если оно существует) по эллипсам, в которых Солнце будет находиться в фокусе. Это отличается от следующих двух утверждений: 1) сила тяготения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния и 2) планеты вращаются по эллипсам вокруг Солнца, находящегося в их фокусе. Первое предложение является гипотетическим; два последних утверждают как антецедент, так и консеквент первого гипотетического предложения. Сделать это им позволяет обращение к наблюдению.
Обращение к наблюдению делается в таких утверждениях, как "Это есть Солнце"; такие утверждения, следовательно, являются существенными для истинности астрономии. Подобные утверждения никогда не появляются на стадии завершения астрономической теории, ко они появляются, когда теория находится в периоде становления. Например, после наблюдений солнечного затмения в 1919 году стало известно, что на фотографиях некоторые звезды получились с такими-то смещениями в отношении Солнца. Это было утверждение о положении некоторых точек на фотографической пластинке, наблюденных некоторыми астрономами в некоторый момент времени; это предложение первоначально относилось не к астрономии, а к биографии астрономов, и все же оно было свидетельством в пользу важной астрономической теории.
его "три" не может быть определено его арифметическими свойствами. Ясно, что вне арифметики его интерпретация "трех" является предпочтительным перед всеми другими, которые допускаются как возможные системой Пеано. Такие утверждения, как: "люди имеют 10 пальцев", "собаки имеют 4 ноги", "Нью-Йорк имеет 10000000 жителей", требуют такого определения чисел, которое не может быть получено на основе только того, что эти числа удовлетворяют формулам арифметики. Такое определение является, следовательно, наиболее удовлетворительной "интерпретацией" числовых символов.
Такая ситуация возникает всякий раз, когда математика применяется к эмпирическому материалу. Возьмем, например, геометрию, но не как логическое упражнение в выведении следствий из произвольно принятых аксиом, а как науку, помогающую в землемерном деле, в составлении карт, в инженерном деле или в астрономии. Такое практическое использование геометрии связано с затруднением, которое хотя в какой-то степени иногда и признается, но никогда всерьез не принимается. Геометрия, излагаемая математиками, пользуется точками, линиями, плоскостями и окружностями, но было бы банальностью говорить, что никаких таких объектов нет в природе. Когда в землемерном деле употребляется процесс триангуляции, то признается, что наши треугольники не имеют строго прямых линий для своих сторон, как не имеют и точных точек для своих углов, но при интерпретации говорят, что стороны приблизительно являются прямыми линиями, а углы -приблизительно точками. Значение этого приближения не совсем ясно, пока считается, что не существует вполне точных прямых линий или точек, к которым наши кое-как намеченные линии и точки могли бы приближаться. Мы можем считать, что чувственные линии и точки имеют приблизительно свойства, установленные в определениях и аксиомах Евклида, но если мы не можем установить в каких-то границах, каково это приближение, то такая точка зрения делает вычисление неопределенным и неудовлетворительным.
Эта проблема точности математики и неточности чувств является весьма древней проблемой, которую Платон пытался разрешить с помощью фантастической гипотезы воспоминания. В новое время эта проблема, как и некоторые другие неразрешенные проблемы, была забыта благодаря тому, что с ней сжились, как иногда не замечают дурной запах потому, что в течение долгого времени привыкают к нему. Ясно, что если геометрия должна применяться к чувственно воспринимаемому миру, то мы должны найти определения точек, линий, плоскостей и так далее в терминах чувственных данных или же мы должны быть в состоянии вывести из чувственных данных существование невоспринимаемых сущностей, имеющих такие свойства, в которых нуждается геометрия. Нахождение путей или пути к выполнению того или другого является проблемой эмпирической интерпретации геометрии.
Существует и неэмпирическая интерпретация, которая оставляет геометрию в сфере чистой математики. Совокупность всех упорядоченных триад реальных чисел образует трехмерное евклидово пространство. При такой интерпретации вся евклидова геометрия дедуцируется из арифметики. Даже неевклидова геометрия допускает подобную арифметическую интерпретацию. Можно показать, что как евклидова геометрия, так и любая форма неевклидовой геометрии могут применяться ко всякому классу, имеющему одно и то же количество терминов в качестве реальных чисел; вопрос о количестве измерений и о том, будет ли получающаяся в результате геометрия евклидовой или неевклидовой, будет зависеть от того упорядочивающего отношения, которое мы выберем; существует (в логическом смысле) бесконечное количество упорядочивающих отношений, и только соображения эмпирического удобства могут привести нас к выбору одного из них как заслуживающего особого внимания. Все это имеет значение при обсуждении вопроса о том, какая интерпретация чистой геометрии лучше для инженера или физика. Это показывает также, что в эмпирической интерпретации само упорядочивающее отношение, а не только упорядочиваемые термины, должно быть определено с помощью эмпирических терминов.
Очень сходные соображения применимы и ко времени, которое, однако, поскольку дело касается этого нашего вопроса, является не столь трудной проблемой, как пространство. В математической физике время трактуется как состоящее из моментов, хотя озадаченного этим обстоятельством студента уверяют, что моменты суть математические фикции. Никаких попыток не предпринимается, чтобы показать ему, чем полезны фикции или как они относятся к тому, что не является фикцией. Он обнаруживает, что с помощью этой фантастики можно исчислять то, что происходит на самом деле, и спустя некоторое время он, вероятно, перестает беспокоиться по поводу того, почему это так получается.
Моменты не всегда рассматривались как фикция; Ньютон считал их столь же "реальными", как реальны Солнце и Луна. Когда этот взгляд был отвергнут, оказалось легко перейти к противоположной крайности и забыть, что полезная фикция является, по-видимому, не только простой фикцией. Существуют различные степени фиктивности. Попробуем на один момент рассматривать индивидуального человека как нечто отнюдь не фиктивное; что тогда скажем мы о различных совокупностях людей, к которым он принадлежит? Большинство будет испытывать колебания в признании семьи фиктивной единицей, но как обстоит дело с политической партией или с клубом игроков в крикет? Как обстоит дело с совокупностью людей, которую мы называем словом "Смит" и к которой, как мы предполагаем, принадлежит наш индивидуум? Если вы верите в астрологию, вы будете придавать определенное значение совокупности людей, рожденных под определенной планетой; если же вы не верите в нее, вы будете считать такую совокупность людей фиктивной. Эти различения не являются логическими; с логической точки зрения все совокупности индивидуумов одинаково реальны или одинаково фиктивны. Значение этих различий практическое, а не логическое: имеются некоторые совокупности, о которых можно сказать много полезного, тогда как о других совокупностях этого сказать нельзя.
Когда мы говорим, что моменты суть полезные фикции, мы имеем в виду, что существуют такие сущности, которым как индивидуальным людям мы склонны приписывать высокую степень "реальности" (что бы это ни значило), и что в сравнении с ними моменты имеют ту меньшую степень "реальности", какую имеет клуб игроков в крикет по отношению к его членам; но мы хотим также сказать, что о моментах, как и о семьях, в противоположность "искусственным" совокупностям людей можно сказать много практически важного.
Все это очень неопределенно, и проблема интерпретации есть проблема подстановки чего-либо определенного, причем мы всегда должны помнить, что как бы мы ни определяли "моменты", они должны иметь свойства, требуемые в математической физике. Когда имеется две интерпретации, которые обе удовлетворяют этому требованию, выбор одной из них есть дело вкуса и удобства; не бывает так, чтобы одна интерпретация была "правильной", а другая "неправильной".
В классической физике технический аппарат состоит из точек, моментов и частиц. Признается, что имеется отношение из трех членов, то есть отношение, когда некая точка занимается в некий момент, и то, что занимает точку в некий момент, называется "частицей". Технически признается также, что частицы неразрушимы, так что все то, что занимает точку в данный момент, занимает какую-то точку в каждый другой момент. Когда я говорю, что это признается, я имею в виду не то, что это утверждается как факт, а что техника основывается на предположении, что никакого вреда не произойдет, если мы будем трактовать это как факт. Из этого все ещё исходят в макроскопической физике, но в микроскопической физике "частицы" постепенно исчезали. "Материя" в старом её понимании больше не нужна; нужна "энергия", которая не определяется, за исключением тех случаев, когда дело идет о её законах и об отношении изменений в её распределении к нашим ощущениям, особенно когда дело идет об отношении частот к цветовым восприятиям.
Вообще говоря, мы можем сказать, что основной технический аппарат современной физики есть четырехмерное многообразие "событий", упорядоченных пространственно-временными отношениями, которые могут быть разложены на пространственные и временные компоненты многими способами, выбор между которыми произволен. Поскольку математический анализ ещё используется, то технически признается, что пространство-время является непрерывным, но не ясно, насколько это допущение является чем-то большим, чем математически удобным построением. Не ясно также, имеют ли "события" то определенное положение в пространстве-времени, которое используется для того, чтобы характеризовать частицу в какой-либо момент. Все это делает вопрос об интерпретации современной физики очень трудным, но при отсутствии какой-либо интерпретации мы не можем сказать, что он утверждается квантовой физикой.
Понятие "интерпретации" в его логическом аспекте несколько отличается от того довольно неопределенного и трудного понятия, которое мы рассматривали в начале этой главы. Там мы имели дело с символическими утверждениями, о которых известно, что они имеют связь с наблюдаемыми явлениями и ведут к результатам, подтверждаемым наблюдением, но которые несколько неопределенны по значению, кроме тех случаев, когда их связь с наблюдением определяет их. В этом случае мы можем сказать, как мы говорили в начале этой главы, что мы вполне уверены в истинности наших формул, но совсем не уверены в их значении. В логике же мы идем совершенно другим путем. Наши формулы не рассматриваются как "истинные" или как "ложные", но как гипотезы, содержащие переменные величины. Совокупность тех значений переменных, которые делают гипотезу истинной, есть "интерпретация". Слово "точка" в геометрии может быть интерпретировано как обозначающее "упорядоченную триаду реальных чисел" или, как мы увидим, как обозначающее то, что мы назовем "полным комплексом сосуществования"; оно может также быть интерпретировано и с помощью бесконечного количества других способов. Общим для всех этих способов является то, что удовлетворяет аксиомам геометрии.
Как в чистой, так и в прикладной математике мы часто имеем собрания формул, которые все логически выводятся из небольшого числа начальных формул, которые могут быть названы "аксиомами". Эти аксиомы могут рассматриваться как залоги для всей системы, и мы можем концентрировать каше внимание исключительно на них. Аксиомы состоят частично из терминов, имеющих известное определение, частично из терминов, которые в любой интерпретации останутся переменными, и частично из терминов, которые, будучи пока ещё неопределенными, потребуют определений, когда аксиомы будут "интерпретированы". Процесс интерпретации состоит в нахождении постоянного значения для этого класса терминов. Это значение может быть придано им или с помощью вербального определения или же с помощью наглядного определения. Оно должно быть таким, чтобы при этой интерпретации аксиомы были истинными. (До интерпретации они ни истинны, ни ложны.) Таким образом, оказывается, что все их следствия также истинны.
Предположим, например, что мы хотим интерпретировать формулы арифметики. В пяти аксиомах Пеано (приведенных выше) имеются: во-первых, логические термины, такие, как "есть" и "тождественно с", значение которых предполагается известным; во-вторых, переменные, такие, как а и s" которые должны остаться переменными после интерпретации; в-третьих, термины "О", "число" и "следующее за"" для которых интерпретация должна найти такое постоянное значение, которое сделало бы эти пять аксиом истинными. Как мы видели, существует бесконечное количество интерпретаций, удовлетворяющих этим условиям, но среди них есть только одно, которое удовлетворяет также и эмпирическим утверждениям перечисления, таким, как: "У меня 10 пальцев". В этом случае, следовательно, существует одна интерпретация, которая является гораздо более удобной, чем любая из остальных.
Как мы видели в отношении геометрии, имеющийся набор аксиом допускает два способа интерпретации - один логический и один эмпирический. Все номинальные определения, если их проследить достаточно далеко, должны привести в конце концов к терминам, имеющим только наглядные определения, и в случае эмпирической науки эмпирические термины должны зависеть от терминов, наглядные определения которых даются в восприятии. Солнце астронома, например, сильно отличается от того, что видим мы, но оно должно иметь определение, полученное из наглядного определения слова "солнце", которое мы познали ещё в детстве. Таким образом, эмпирическая интерпретация набора аксиом, когда она является полной, должна всегда включать в себя термины, имеющие наглядное определение, полученное из чувственного опыта. Оно не будет, конечно, содержать только такие термины, так как в нем всегда будут также и логические термины; но эмпирическим интерпретация делает только наличие в нем терминов, полученных из опыта.
К вопросу об интерпретации незаслуженно относились с пренебрежением. Пока мы остаемся в области математических формул, все кажется определенным, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определенность в какой-то степени иллюзорна. Пока этот вопрос не выяснен, мы не можем сказать с какой-либо точностью, что, собствен но, утверждает та или иная конкретная наука.
ГЛАВА 2.
МИНИМАЛЬНЫЕ СЛОВАРИ.
В этой главе мы рассмотрим лингвистическую технику, которая очень полезна в анализе научных понятий. Как правило, существует несколько способов, с помощью которых слова, употребляемые в науке, могут быть определены небольшим числом терминов из числа этих слов. Эти немногие термины могут иметь или наглядные, или номинальные определения с помощью слов, не принадлежащих к данной науке, или - пока наука не "интерпретирована" в рассмотренном в предыдущей главе смысле - могут быть оставлены как бы без наглядного и без номинального определения и рассматриваться просто как набор терминов, имеющих те свойства, которые наука приписывает своим основоположным терминам. Такой набор начальных слов я называю "минимальным словарем" данной науки, если только (a) каждое иное слово, употребляемое в науке, имеет номинальное определение с помощью слов этого минимального словаря и (b) ни одно из этих начальных слов не имеет номинального определения с помощью других начальных слов.
Все, о чем говорится в науке, может быть сказано посредством слов минимального словаря, ибо всякий раз, когда появляется слово, имеющее номинальное определение, мы можем подставить вместо него предложение, содержащее определение; если это предложение содержит слова с номинальным определением, мы можем снова подставить новое определяющее предложение и так далее, пока ни одно из оставшихся слов не будет иметь номинальных определений. Действительно, определяемые термины являются излишними и только неопределяемые термины неизбежны. Но вопрос о том, какие термины должны остаться неопределенными, является отчасти произвольным. Возьмем, например, исчисление высказываний, которое является простейшим и самым законченным образцом формальной системы. Мы можем взять слова "или" и "не" или "и" и "не" как неопределенные; вместо двух таких неопределенных терминов мы можем взять один, например "не этот или не тот" или "не этот и не тот". Таким образом, вообще мы не можем сказать, что такое-то слово должно включаться в минимальный словарь такой-то науки, но можем, самое большее, сказать, что существует один или больше минимальных словарей, в которые оно включается.
В качестве примера возьмем географию. При этом я буду исходить из того, что словарь геометрии уже установлен; тогда нашей первой явно географической потребностью является метод установления широты и долготы. Для этого будет достаточно иметь в качестве части нашего минимального словаря слова: "Гринвич", "Северный полюс" и "к западу от"; но ясно, что любая другая точка годилась бы для этого совершенно так же, как Гринвич и Южный полюс годился бы так же, как Северный полюс. Отношение "к западу от" не является на самом деле необходимым, ибо линия, параллельная широте, является окружностью на земной поверхности в плоскости, перпендикулярной диаметру, проходящему через Северный полюс. Остальные слова, употребляемые в физической географии, такие, как "суша", "вода", "гора" или "равнина", могут теперь быть определены в терминах химии, физики или геометрии. Таким образом, по-видимому, только два слова - "Гринвич" и "Северный полюс" необходимы для того, чтобы сделать географию наукой о поверхности Земли, а не какого-либо другого сфероида. Именно благодаря наличию этих двух слов (или двух других, служащих той же цели) география может рассказать об открытиях путешественников. Именно эти два слова участвуют везде, где упоминаются широта и долгота.
Как показывает этот пример, наука, по мере того как она становится более систематической, нуждается во все меньшем и меньшем минимальном словаре. Древние знали много географических фактов до того, как научились определять широту и долготу, но для того чтобы выразить эти факты, они нуждались в большем числе неопределенных слов, чем нуждаемся мы. Поскольку Земля есть сфероид, а не сфера, нет надобности, чтобы "Северный полюс" оставался неопределенным: мы можем определить два полюса как крайние точки самого короткого диаметра Земли, а Северный полюс определить как полюс, ближайший к Гринвичу. Этим путем мы приходим к тому, что "Гринвич" остается единственным неопределенным термином, характерным для географии. Сама Земля определяется как "сфероид, поверхность которого образуется сушей и водой, ограниченными атмосферой, и на поверхности которого расположен Гринвич". Но здесь мы, на пути к уменьшению нашего минимального словаря, достигаем, по-видимому, предела: если мы хотим быть уверенными в том, что речь идет о Земле, мы должны упомянуть какую-либо точку, находящуюся на её поверхности, или иметь определенное геометрическое отношение к ней, а точка должна быть такой, которую мы можем узнать. Поэтому, будь то "Нью-Йорк", "Москва" или "Тимбукту", пригодные для этой цели совершенно так же, как и "Гринвич", все равно какой-то пункт должен быть включен в минимальный словарь географии.
Наш разговор о Гринвиче выясняет и ещё один момент, именно то, что термины, официально не определенные в науке, могут не быть тождественными с терминами, не определенными для того или иного человека. Если вы никогда не видели Гринвич, то слово "Гринвич" не может для вас иметь наглядного определения; следовательно, вы не можете понять это слово, если оно не имеет номинального определения. Действительно, вы живете в пункте, называемом "P", то для вас P занимает место Гринвича и ваша официальная долгота определяет для вас меридиан Гринвича, а не долготу p. Такие соображения, однако, являются донаучными и обычно игнорируются в анализе научных понятий. Для определенных целей они не могут игнорироваться, особенно когда мы рассматриваем отношение науки к чувственному опыту; но, как правило, игнорирование их не опасно.
Рассмотрим теперь вопрос о минимальных словарях для астрономии. Астрономия состоит из двух частей: одна представляет собой вид космической географии, другая - применение физики. Утверждения, касающиеся величины и орбит планет, относятся к космической географии, тогда как теории тяготения Ньютона и Эйнштейна относятся к физике. Разница в том, что в географической части мы имеем дело с утверждениями фактов относительно того, что и где находится, тогда как в части, являющейся физикой, мы имеем дело с законами. Так как я буду здесь рассматривать физику саму по себе, рассмотрим сначала географическую часть астрономии. В этой части, поскольку она находится на элементарной стадии развития, мы нуждаемся в собственных именах для Солнца, Луны, планет и всех звезд и туманностей. Количество собственных имен может, однако, быть постепенно уменьшено, по мере того как наука астрономии развивается. "Меркурий" может быть определен как "планета, ближайшая к Солнцу", "Венера" - как "вторая планета", "Земля" - как "третья планета" и так далее Созвездия определяются по их координатам, а отдельные звезды и созвездия - по порядку их яркости.
В этой системе "Солнце" останется частью нашего минимального словаря, и нам понадобится то, что необходимо для определения звездных координат. Слова "Полярная звезда" не будут необходимы, поскольку эта звезда может быть определена как "звезда без суточного вращения", но нам понадобится какое-либо другое небесное тело для выполнения той функции, которую в земной географии выполняет точка "Гринвич". Таким образом, официальная астрономия смогла бы (по- видимому) обходиться только двумя собственными именами, именно "Солнцем" и, скажем, "Сириусом". "Луна", например, может быть определена как "тело, координаты которого в такой-то момент времени являются такими-то". С помощью этого словаря мы можем в известном смысле сформулировать все что астроном хочет сказать, точно так же, как с помощью трех неопределенных терминов Пеано мы можем изложить
всю арифметику.
Но точно так же, как система Пеано оказывается несостоятельной, когда мы переходим к счету, так и наша официальная астрономия оказывается несостоятельной, когда мы пытаемся связать её с наблюдением. Есть два существенно необходимых предложения, которые она не включает в себя, именно: "Вот это - Солнце" и "Вот это - Сириус". Мы создали словарь для абстрактной астрономии, но не для астрономии как записи наблюдений.
Платон, который интересовался астрономией только как собранием законов, хотел, чтобы она была полностью освобождена от чувственного материала; те, кто интересуется существующими действительными небесными телами, будут, говорил он, наказаны в следующем воплощении тем, что будут птицами. Эта точка зрения сейчас не принимается людьми науки, но её, или нечто очень похожее на нее, можно найти в трудах Карнапа и некоторых других логических позитивистов. Я думаю, что они не придерживаются сознательного такого взгляда и решительно его отвергли бы; но увлечение словесной формой, в противоположность значению слов, сделала их незащищенными от платоновского соблазна и странным образом повела их к гибельному для их теории результату или к тому, что эмпирист должен считать таким результатом. Астрономия не является только совокупностью слов и предложений;
она есть совокупность слов и предложений, выбранных из других, столь же лингвистически пригодных, потому что они описывают мир, связанный с чувственным опытом. Пока чувственный опыт игнорируется, нет никакого основания заниматься изучением какого-то большого небесного тела, имеющего такое-то количество планет на таких-то расстояниях от него. И такие предложения, как: "Это есть Солнце", являются предложениями, в форме которых в познание проникает чувственный опыт.
Каждая развившаяся эмпирическая наука имеет два аспекта: с одной стороны, она состоит из системы различными способами взаимосвязанных предложений (высказываний), часто содержащей небольшое число избранных предложений, из которых могут быть выведены остальные предложения; с другой стороны, она является попыткой описания некоторой части или стороны вселенной. В первом аспекте суть дела заключается не в истинности или ложности каких-то предложений, а в их взаимосвязи. Например, если бы сила тяготения изменялась прямо пропорционально расстоянию, то планеты (если бы они существовали) вращались бы вокруг Солнца (если бы оно существовало) по эллипсам, в которых Солнце находилось бы в центре, а не в фокусе. Это предложение не является частью описательной астрономии. Имеется и другое сходное предложение, также не являющееся частью описательной астрономии, говорящее, что если сила тяготения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, то планеты (если они существуют) будут вращаться вокруг Солнца (если оно существует) по эллипсам, в которых Солнце будет находиться в фокусе. Это отличается от следующих двух утверждений: 1) сила тяготения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния и 2) планеты вращаются по эллипсам вокруг Солнца, находящегося в их фокусе. Первое предложение является гипотетическим; два последних утверждают как антецедент, так и консеквент первого гипотетического предложения. Сделать это им позволяет обращение к наблюдению.
Обращение к наблюдению делается в таких утверждениях, как "Это есть Солнце"; такие утверждения, следовательно, являются существенными для истинности астрономии. Подобные утверждения никогда не появляются на стадии завершения астрономической теории, ко они появляются, когда теория находится в периоде становления. Например, после наблюдений солнечного затмения в 1919 году стало известно, что на фотографиях некоторые звезды получились с такими-то смещениями в отношении Солнца. Это было утверждение о положении некоторых точек на фотографической пластинке, наблюденных некоторыми астрономами в некоторый момент времени; это предложение первоначально относилось не к астрономии, а к биографии астрономов, и все же оно было свидетельством в пользу важной астрономической теории.