Лит.см. при статьях Индукция, Математическая индукция.
Ю. А. Гастев.
Бесконечно большая
Бесконе'чно больша'яв математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых,т.к. если уесть Б. б. величина, то обратная ей величина z = 1/ yявляется бесконечно малой. Тот факт, что переменная уявляется Б. б., записывают в виде lim y = Ґ. При этом символҐ («бесконечность») является просто условным обозначением того, что уесть Б. б. величина. Возможна и др. точка зрения, в силу которой Ґ является несобственным элементом, присоединяемым к множеству действительных чисел (см. Бесконечность в математике). Применительно к функции аргумента хразвёрнутое определение Б. б. звучит так: функция f (x), определённая в окрестности точки х 0,называется Б. б. при х,стремящемся к х 0,если для любого числа N> 0 найдётся такое число d>0, что для всех x ¹ x 0и таких, что |х - х 0|< d ,выполняется неравенство |f (x)| > N. Это свойство записывается в виде
С. Б. Стечкин.
Бесконечно малая
Бесконе'чно ма'лаяв математике, переменная величина, стремящаяся к пределу,равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y= 1/ xявляется Б. м. при аргументе х,стремящемся к бесконечности, а при х,стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой.Если предел переменной уконечен и равен а, то lim (y - a) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.
При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные уи z называются эквивалентными, если lim z/y= 1; если при этом уявляется Б. м., то уи zназываются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у,если z/yесть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z= о( у) (читается: «z есть омалое от у»). Если при этом уявляется Б. м., то говорят, что zесть Б. м. более высокого порядка, чем у.Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у,принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k> 0, если предел lim z/уксуществует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то zназывается Б. м. порядка выше k.Изучение порядков различного рода Б. м. - одна из важных задач математического анализа.
Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х,из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f( x) ,определённая в окрестности точки x 0,называется Б. м. при х,стремящемся к x 0 ,если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех x¹ x 0,удовлетворяющих условию |x - x 0| < d, выполняется неравенство |f (x)| < e. Этот факт записывается в виде
При изучении функции f ( x) вблизи точки x o за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного D х= х- х 0.Формула
D y= f’( x 0) D x+ о(Dх)
выражает, например, что приращение D yдифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy= f '( x 0) D x.
Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и «неделимых» метод.Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши.При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.
Лит.см. при ст. Анализ математический .
С. Б. Стечкин.
Бесконечно удалённые элементы
Бесконе'чно удалённые элеме'нтыв математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).
Происхождение термина «Б. у. э.» легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а' ( рис ., 1) и прямую b, пересекающую их соответственно в точках Ми М'.Будем поворачивать прямую bвокруг точки М'в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а '.Очевидно, по мере приближения прямой bк a'точка Мпересечения прямых aи bбудет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке».
Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости a. Для этой цели плоскость a пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а',параллельная прямой а( рис ., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удалённую точку прямой а.Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а,имеют одну общую бесконечно удалённую точку А,а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости се называют бесконечно удалённой прямой.
Плоскость a ,пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость.Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).
Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.
Лит.:Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.
Э. Г. Позняк.
Бесконечно удалённые элементы.
Бесконечное произведение
Бесконе'чное произведе'ние,произведение бесконечного числа сомножителей u 1, u 2, ..., u n,..., т. е. выражение вида
Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений
pn = u 1 u 2... u n
при n® Ґ, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р -его значением, и пишут:
Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:
а английский математик Дж. Валлис (17 в.) - формулу:
Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера,применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:
Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.
Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u n ¹ 0 для всех номеров n,чтобы u N> 0, начиная с некоторого номера N,и чтобы сходился ряд
Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.
Лит.:Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.
Бесконечность в математике
Бесконе'чностьв математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1966, с. 396). Материальная основа математического бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительности: Б. «Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» (там же, с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim a n= Ґ, или в теории множеств - бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математических Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон Б. действительного мира.
Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.
1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе. Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконечно малой концепция, по которой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «неделимых» (см. «Неделимых» метод ) ,трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.
2) Совсем в другой логической обстановке Б. появляется в математике в виде «несобственных» бесконечно удалённых геометрических образов (см. Бесконечно удалённые элементы ) .Здесь, например, бесконечно удалённая точка на прямой арассматривается как особый постоянный объект, «присоединённый» к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при котором бесконечно удалённой точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой а.
Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя «несобственными» числами +Ґ и -Ґ, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел 1, 2, 3,..., трансфинитными числами w, w + 1,..., 2w, 2w + 1,.... В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и «несобственными» бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные, - с другой, возникли термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная» Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном понимании, см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математического анализа, должны восприниматься как «потенциальные». Наряду с этим в надлежащей логической обстановке в математику вполне закономерно входят и «актуальные» бесконечно большие «несобственные» числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы + Ґ и -Ґ системы действительных чисел и т.д.).
В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных «несобственных» элементов.
а) С проективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удалённая точка». В обычной метрической системе координат этой точке естественно приписать абсциссу Ґ. Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении рациональных функций
где Р( х) и Q( x) - многочлены, в тех точках, где Q( x) имеет нуль более высокого порядка, чем Р( х) ,естественно положить f( x) = Ґ .Для несобственного элемента Ґ устанавливаются такие правила действий:
Ґ + а= Ґ, если аконечно;
Ґ + Ґ не имеет смысла;
Ґ · а= Ґ, если а ¹ 0;
Ґ · 0 не имеет смысла.
Неравенства с участием Ґ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше Ґ, чем конечное а.
б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами +Ґ и -Ґ. Тогда можно положить, что -Ґ < а< +Ґ для любого конечного а,и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для +Ґ и -Ґ устанавливаются такие правила действий:
(+Ґ) + а= +Ґ, если а¹ -Ґ;
(-Ґ) + а= -Ґ, если а¹ +Ґ;
(+Ґ) + (-Ґ) лишено смысла;
(+Ґ) ґ· а= +Ґ, если а> 0;
(+Ґ) ґ а= -Ґ, если а< 0;
(-Ґ) ґ·а = -Ґ, если a> 0;
(-Ґ) ґ а = +Ґ, если а < 0;
(+Ґ) ґ 0 и (Ґ) ґ 0 лишены смысла.
В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчёт, пользуемся мы в нём настоящей (не расширенной) числовой системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.
3) Основной интерес, но и основные трудности математического учения о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных множеств математических объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая ныне полная отчётливость и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в которое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что убесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения ув зависимости от какого-либо другого переменного х;например, говорят, что убесконечно мало при х® а, если при любом e > 0 существует такое d > 0, что из | х- a| < d вытекает |у| < e. В самое это определение уже входит предположение, что функция y= f( x) определена для бесконечного множества значений х(например, для всех действительных х,достаточно близких к а). О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств теория.
В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от nк n+ 1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента - действительного числа - приводит к изучению процесса образования его последовательных приближённых значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё нельзя считать законченным. См. Множеств теория, Логика, Математика.
А. Н. Колмогоров.
Бесконечность в философии
Бесконе'чностьв философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность процессов и явлений (см. Бесконечность в математике).
Проблема качественной Б. обсуждалась уже в антической философии, в частности в связи с космогонией и проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логического обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц). Глубокий философский анализ проблемы Б. дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную) и «дурную» Б. как безграничное увеличение количества и связавший категорию Б. с характеристикой процессов развития. Эти идеи были материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическую взаимосвязь Б. и конечного, противоречивую природу Б. Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Как писал Ф. Энгельс, «... форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548-49).
Применительно к космологическим проблемам количественная Б. рассматривается обычно как Б. материального мира в пространстве и времени.
Противоборствующими здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения, толкующая Б. как Б. бога, его вневременность или как продукт сознания, а с др. стороны, - точка зрения материализма, рассматривающего Б. как одно из свойств пространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным современной космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и временные характеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора системы отсчёта.
В физике Б. рассматривается как Б. «вглубь» в связи с проблемой структуры элементарных частиц.
Лит.:Философия естествознания, в. 1, М., 1966, с. 28, 191-207; Наан Г. И., Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии, М., 1965; его же. Типы бесконечного, в кн.: Эйнштейновский сборник 1967, М., 1967; Зельманов А. Л., О бесконечности материального мира, в кн.: Диалектика в науках о неживой природе, М., 1964.
И. С. Алексеев.
Бесконечный ряд
Бесконе'чный ряд(матем.), см. Ряд .
Бесконтактная система управления электроприводом
Бесконта'ктная систе'ма управле'ния электроприво'дом, электромеханическая система автоматического управления, которая не содержит замыкающих и размыкающих контактов в электрических цепях, питающих электропривод. В системах управления электроприводом стремятся избежать замыкания и размыкания электрических цепей контактами, т.к. они снижают надёжность и технико-экономические показатели электроприводов. Электрические контакты изнашиваются, подгорают, иногда привариваются, искрят, создают шум и радиопомехи. Основные достоинства Б. с. у. э. - надёжность, долговечность, снижение пожарной опасности, шумов и радиопомех, повышение быстродействия и снижение затрат труда на обслуживание электроприводов.
На практике наиболее широко применяют Б. с. у. э., использующие бесконтактные электрические аппараты,основными элементами которых служат тиристоры,а также транзисторы и магнитные усилители,работающие в ключевом режиме. Включение и отключение тока в главных цепях управления мощных электродвигателей часто выполняются узлами (системами) «управляемый преобразователь-двигатель» ( рис. 1 ). Электрические цепи, соединяющие преобразователь и двигатель, в этом случае не размыкаются. Преобразователь получает электрические сигналы управления и регулирует электрическое напряжение и силу тока в двигателе. Б. с. у. э., выполняющие командные, защитные, счётные и др. операции, состоят из бесконтактных преобразователей малой мощности, реле, датчиков и логических элементов.
Если напряжение на входных зажимах контактного (a) и бесконтактного (б) элементов систем управления электроприводами ( рис. 2 ) равно или близко к нулю, то контакты 1', 2', 3'реле 1, 2, 3замыкаются, а транзистор Токазывается запертым, и по обмотке управления ОУпротекает ток от источника питания Un.Если на один или несколько входов поступает сигнал в виде некоторого, например, отрицательного потенциала, реле обесточиваются, их контакты размыкаются, а транзистор открывается, и ОУ оказывается либо отключенной, либо зашунтированной малым внутренним сопротивлением открытого транзистора. При этом сила электрического тока уменьшается практически до нуля, но поступление тока в ОУ полностью не прекращается.
Лит.:Зимин Е. Н., Преображенский В. И. и Соколов Н. Г., Элементы и схемы бесконтактного управления металлорежущими станками, М.-Л., 1966; Системы регулируемого электропривода металлорежущих станков. Сб. ст., М., 1967; Автоматизация производства и промышленная электроника, т. 1, М., 1962, с. 102.
А. А. Сиротин.
Рис. 2. Элементы систем управления электроприводами: а - контактный; 1, 2, 3, - реле; б - бесконтактный; r - сопротивление, T - транзистор; Un - источник питания; OУ - обмотка управления.
Рис. 1. Блок-схема узла «бесконтактный управляемый преобразователь-двигатель»: U d- напряжение; i d- сила тока; n - частота вращения двигателя.
Бесконтактный электрический аппарат
Бесконта'ктный электри'ческий аппара'т,устройство, осуществляющее включение, отключение и переключение тока в электрической цепи не механическим замыканием (размыканием) контактов, а скачкообразным изменением внутреннего сопротивления управляемого элемента, включенного в цепь последовательно с нагрузкой. В качестве такого элемента применяют