), нитрогруппа (—NO
2), аминогруппа (—NH
2) и др. Ф. а. служит для подтверждения предполагаемого строения вещества или механизма реакции, для установления процентного содержания в смеси отдельных соединений известного строения. В химических методах используются характерные реакции функциональных групп, например образование окрашенного комплекса при взаимодействии спиртов с гексанитратоцератом аммония ROH + (NH
4)
2Ce (NO
3)
6® (NH
4)
2Ce (OR)(NO
3)
5+ HNO
3, восстановление нитрогруппы в аминогруппу, которая легко идентифицируется. Многие функциональные группы могут быть обнаружены и количественно оценены также методами ядерного магнитного резонанса, масс-спектрометрии, инфракрасной (ИК) спектроскопии; например, по специально разработанным диаграммам поглощения ИК излучения функциональными группами (карты Колтгепа) осуществляется идентификация последних, а по интенсивности поглощения производится оценка количественного их содержания.Лит.:Бобранский Б., Количественный анализ органических соединений, пер. с польск., М., 1961; Терентьев А. П., Органический анализ. Избр. труды, М., 1966; Черонис Н. Д., Ма Т. С., Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа, пер. с англ., М., 1973; Климова В. А., Основные микрометоды анализа органических соединений, М., 1975.
Ю. А. Клячко.
вронскиан
, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраических кривых, и
якобиан
, используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функций многих переменных. Производная Ф. о.
D(
x) = |
a
ik(
x)|
n-го порядка равна сумме
nФ. о., матрицы которых получаются из матрицы ||
a
ik(
x)|| соответственно дифференцированием элементов первого, второго,...,
n-го столбца. Например, если
,
то
.
Иногда термин «Ф. о.» применяется для обозначения якобиана.
фонема
служит различению разных слов и
морфем
или проведению границ между ними.
Ф. изучаются и рассматриваются не только при описании единиц языка, но и самого языка как системы. Основная Ф. языка: коммуникативная, или Ф. общения, познавательная, отражательная, перформативная, фатическая (установление контакта без установки на передачу информации), номинативная — наречение или называние предметов и явлений действительности, экспрессивная, или Ф. выражения, аппелятивная, или Ф. обращения. В числе Ф. языка указывают также на уровневые Ф. — фонологические, морфологические, грамматические и др. С функциональной точки зрения система языка есть многомерное образование, дифференцируемое как по формам проявления (устный и письменный язык), так и по социальной предназначенности (литературный язык, социальные диалекты, арго и пр.), по эстетической направленности (поэтический язык), по конкретным задачам общения (специальные терминологические системы).
Е. С. Кубрякова.
предела
lim
a
n, если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции нет. В 1905 А.
Лебег
предложил общее определение аналитически изобразимой Ф. как Ф., значения которой получаются из значений
xи постоянных величин при помощи арифметических действий и предельных переходов. Все т. н. элементарные Ф. sin
x, cos
x,
a
x,
, log
x, arctg
xи т. п. аналитически изобразимы. Например, cos
xпредставляется формулой:
.
В 1885 К.
Вейерштрасс
установил аналитическую изобразимость любой
непрерывной функции
. Именно, он показал, что всякая Ф., непрерывная на каком-нибудь отрезке, является пределом последовательности многочленов вида
c
0+
c
1x+
c
2x
2+...+
c
nx
n.
Кроме описанного здесь аналитического способа задания Ф. при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии Ф. cos
xопределяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в
xрадианов, а Ф.
в алгебре как число, квадрат которого равен
x. Возможность задания этих Ф. при помощи аналитических формул устанавливается лишь при более углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле y(
x), равной 1, если
x— число рациональное, и 0, если
x— число иррациональное. Впервые эта Ф. была введена этим «бесформульным» способом, но впоследствии для неё была найдена и аналитическая формула:
.
Существуют, однако, и такие Ф., которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.
К Ф., заданным одной аналитической формулой, примыкают Ф., которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Ф.
f(
x), заданная так:
f(
x) =
x, если
xЈ 1, и
f(
x) =
x
2, если
x> 1. Приведённое выше «бесформульное» задание функции Дирихле y(
x) также принадлежит к этому типу.
Ф.
y=
f(
x) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (
x,
у) плоскости, у которых
xпринадлежит области задания Ф., а
у=
f(
x). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто начерчен на плоскости (
рис.
), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.
Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Ф. должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Ф., однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).
В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами
xи
узаведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины
xи соответствующее ему значение
у. В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям
xсоответствующие значения
у. Тогда говорят о «табличном» задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитической формулы (см.
Интерполяция
) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р.
Бойлем
и Э.
Мариоттом
формулы
pv=
С, связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать именно то множество значений
x, которое внесено в таблицу, и табличные значения
усчитать абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Ф. нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных
x,
у,
zсоответствует определённое значение четвёртой переменной
u. Тогда говорят, что
uесть (однозначная) Ф. аргументов
x,
у,
z, и пишут
u=
f(
x,
у,
z). Формулы
u=
x+ 2
y,
u= (
x+
у) sin
zдают примеры аналитического задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Ф. нескольких аргументов. Ф. двух аргументов
z=
f(
x,
y) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (
x,
у,
z) пространства, у которых (
x,
у) принадлежит области задания Ф., а
z=
f(
x,
у). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.
Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу
xплоскости соотнести его площадь
у, то
убудет функцией
x, хотя
xуже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару
xтрёхмерного пространства соотнести его центр
у, то здесь уже ни
x, ни
yне будут числами.
Общее определение однозначной Ф. можно сформулировать так: пусть
А= {
x} и
В= {
у} — два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и
М— множество упорядоченных пар (
x,
у) (где
xО
А,
уО
В) такое, что каждый элемент
xО
Авходит в одну и только одну пару из
М; тогда
Мзадаёт на
Афункцию
y=
f(
x), значение которой для каждого отдельного
x
0О
Аесть элемент
y
0О
В, входящий в единственную пару из
М, имеющую
x
0своим первым элементом.
При указанном расширении понятия Ф. стирается различие между Ф. одного и нескольких аргументов. Например, всякую Ф. трёх числовых переменных
x,
у,
zможно считать Ф. одного аргумента — точки (
x,
у,
z) трёхмерного пространства. Более того, такие обобщения понятия Ф., как функционал или оператор (см.
Функциональный анализ
), также охватываются приведённым определением.
Как и остальные понятия математики, понятие Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П.
Ферма
«Введение и изучение плоских и телесных мест» говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р.
Декарта
(1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И.
Барроу
(«Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И.
Ньютона
, Однако термин «Ф.» впервые появляется лишь в 1692 у Г.
Лейбница
и притом не совсем в современном понимании его. Лейбниц называет Ф. различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек и т. п.). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» Г.
Лопиталя
(1696) термин «Ф.» не употреблялся.
Первое определение Ф. в смысле, близком к современному, встречается у И.
Бернулли
(1718): «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Ф. аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л.
Эйлера
(см. «Введение в анализ бесконечных», 1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Эйлеру было не чуждо и современное понимание Ф., которое не связывает понятие Ф. с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Всё же в 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Ф. и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д.
Бернулли
(1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую Ф. в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал
на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой Ф. аналитическое выражение, в то время как Ф. может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Ф. допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Ф., которая всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, Эйлер считал, что разложение Ф. в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» Ф., представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.
Эти ошибочные взгляды мешали развитию теории тригонометрических рядов, и лишь в работах Ж.
Фурье
(1822) и П.
Дирихле
(1829) правильные по существу идеи Д. Бернулли получили дальнейшее развитие.
С начала 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Ф. без упоминания об её аналитическом изображении. В руководстве французского математика С. Лакруа (1810) говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция
fxобозначает функцию совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений, подчиненных или нет общему закону и соответствующих всем значениям
x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной
X». Близко к современному и определение Н. И.
Лобачевского
(«Об исчезании тригонометрических строк», 1834):»... Общее понятие требует, чтобы функцией от
xназывать число, которое дается для каждого
xи вместе с
xпостепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, понимать как бы данными вместе». Т. о., современное определение Ф., свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле и высказанное в 1837, неоднократно предлагалось и до него.
В заключение отметим следующее важное открытие, принадлежащее Д. Е.
Меньшову
: всякая конечная измеримая (по Лебегу) на отрезке Ф. (см.
Измеримые функции
) разлагается в тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Т. к. обычно встречаемые Ф. измеримы, то можно сказать, что практически всякая Ф. изобразима аналитически с точностью до множества меры нуль.
Лит.:Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М.,1975
И. П. Натансон.
Рис. к ст. Функция.