БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (КА)

М> 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R, отклонениями которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОусферы, отнесённой к географическим координатам j (широта) и l (долгота).

  Уравнения любой К. п. имеют вид

x = f ₁(j, l), y = f ₂(j, l), (1)

  где f ₁и f ₂- функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Изображения меридианов l = constи параллелей j = constв данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в которых фигурируют не прямоугольные координаты х, уплоскости, а какие-либо иные. Некоторые К. п. [например, перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2 ) перспективно-цилиндрические ( рис. 7 ) и др.] можно определить геометрическими построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, из которых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию.

  Краткие исторические сведения.Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается гномоническая проекция , примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт ( Гиппарх , Птолемей и др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатором , используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция ). В 17-18 вв., когда широкая организация топографических съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значительной территории, К. п. разрабатывались как основа для топографических карт (французский картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассини ), а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт , Л. Эйлер , Ж. Лагранж и др.). Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции . Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. п. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт , П. Л. Чебышев , Д. А. Граве и др.). В трудах советских картографов В. В. Каврайского , Н. А. Урмаева и др. разработаны новые группы К. и., отдельные их варианты (до стадии практического использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др.

  Теория искажений.Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это - так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: m _max= аи m _min= b. Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные.

  Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений.

  Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат.Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера в этих точках не имеет каких-либо особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно иногда применять не географические координаты, а другие, в которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота на них а = const) и альмукантараты (где полярные расстояния z = const), аналогичны географическим меридианам и параллелям, но их полюс Z ₀не совпадает с географическим полюсом P ₀( рис. 1 ). Переход от географических координат j, lлюбой точки сферы к её сферическим координатам z, aпри заданном положении полюса Z ₀(j ₀, l ₀)осуществляется по формулам сферической тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), называется нормальной, или прямой ( j ₀= p/2). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в которых вместо j, lфигурируют z, a, то эта проекция называется поперечной при j ₀= 0, l ₀и косой, если 0 < j ₀< p/2. Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана нормальная (а), поперечная (б) и косая (в) ортографические проекции сферы (поверхности шара).

  Классификация картографических проекций по характеру искажений.В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, стереографическая проекция .

 В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

  Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.

  При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты ( рис. 3 ); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а , 3б и др.

  Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей,являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.

  Цилиндрические проекции ( рис. 3 ) - проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.

  Конические проекции ( рис. 4 ) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях. Используются также как геодезические проекции .

 Азимутальные проекции ( рис. 5 ) - проекции, в которых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.

  Псевдоконические проекции ( рис. 6 ) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России.

  Псевдоцилиндрические проекции ( рис. 8 ) - проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми.

  Поликонические проекции ( рис. 9 ) - проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты.

  Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.

  Использование и выбор картографических проекцийзависят главным образом от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих. При этом возможно некоторое нарушение определяющих условий этих проекций ( w є 0или р є 1), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из которых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в которых искажения в каком-либо смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена.

  К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел.

  Преобразование проекций.Рассматривая две К. п., заданные соответствующими системами уравнений: x = f ₁(j, l), y = f ₂(j, l)и X = g ₁(j, l), Y = g ₂(j, l), можно, исключая из этих уравнении j и l, установить переход от одной из них к другой:

Х = F ₁(x, у), Y = F ₂(x, у).

Эти формулы при конкретизации вида функций F ₁, F ₂, во-первых, дают общий метод получения так называемых производных проекций; во-вторых, составляют теоретическую основу всевозможных способов технических приёмов составления карт (см. Географические карты ). Например, аффинные и дробно-линейные преобразования осуществляются при помощи картографических трансформаторов . Однако более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п. - актуальная проблема современной картографии.

  Лит.:Витковский В., Картография. (Теория картографических проекций), СПБ. 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, М. - Л., 1934; его же, Избр. труды, т. 2, в. 1-3, [М.], 1958-60; Урмаев Н. А., Математическая картография, М., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, М., 1947; Граур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968.

  Г. А. Мещеряков.

4б. Конические проекции. Равнопромежуточная.

Рис. 8б. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая синусоидальная проекция В. В. Каврайского.

Рис. 9а. Поликонические проекции. Простая.

Рис. 5в. Азимутальные проекции. Равновеликая (слева - поперечная, справа - косая).

3б. Цилиндрические проекции. Равнопромежуточная (прямоугольная).

Рис. 6. Псевдоконическая равновеликая проекция Бонна.

Рис. 8а. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая проекция Мольвейде.

4а. Конические проекции. Равноугольная.

Рис. 5б. Азимутальные проекции. Равнопромежуточная (слева - поперечная, справа - косая).

Рис. 7. Косая перспективно-цилиндрическая проекция М. Д. Соловьёва.

2. Шар и его ортографические проекции.

Рис. 9б. Поликонические проекции. Произвольная проекция Г. А. Гинзбурга.

4в. Конические проекции. Равновеликая.

Рис. 5а. Азимутальные проекции. Равноугольная (стереографическая) слева - поперечная, справа - косая.

3в. Цилиндрические проекции. Равновеликая (изоцилиндрическая).

Рис. 8г. Псевдоцилиндрические проекции. Проекция БСАМ.

3а. Цилиндрические проекции. Равноугольная Меркатора.

1. Сети сферических координатных линий.

Рис. 8в. Псевдоцилиндрические проекции. Произвольная проекция ЦНИИГАиК.

Картографические способы изображения

Картографи'ческие спо'собы изображе'ния,графические методы, используемые на картах для показа пространственного размещения явлений, их сочетаний, связей и развития. С этой целью в картографии применяют особую знаковую систему - картографические символы (знаки), многообразие которых обобщено и систематизировано в относительно небольшом числе К. с. и. К основным способам относятся: значки, линейные знаки, изолинии, качественный фон, локализованные диаграммы, точечный способ, ареалы, знаки движения, картодиаграммы и картограммы.

  Способ значков (внемасштабных знаков) используют для объектов, не выражающихся в масштабе карты, и вообще для передачи явлений, локализованных в пунктах. Значки указывают местоположение и вид объектов, а также могут характеризовать их величину, значение, изменение во времени и т.д. (например, значки населённых пунктов, обозначающие тип поселений, численность населения и административное значение). Для передачи характеристик картографируемых объектов используются форма, величина и цвет значков. По форме значки могут быть геометрическими, буквенными и наглядными, напоминающими по рисунку изображаемый объект

(см. Казахская ССР , экономическая карта; карты к ст. Каменный век ).

Часто употребляют значки геометрической формы, площадь которых пропорциональна количественному показателю объектов, например числу рабочих при картографировании промышленных предприятий или промышленных пунктов.

  Линейные значки применяют для передачи, во-первых, геометрических линий - политико-административных границ, линий электропередачи и т.д., во-вторых, для объектов линейного протяжения, не выражающихся по ширине в масштабе карты, например для дорог, рек и т.п. Качественные и количественные характеристики линейных объектов передают рисунком (например, различным пунктиром), цветом и шириной значков

(см. схему к ст. Казахская железная дорога и ст. Кавказ , орографическую схему).

  Способ изолиний применяется для передачи количественных характеристик непрерывных и постепенно изменяющихся в пространстве явлений (например, рельефа, климатических явлений и др.). См. рис. 1 , а также ст. Изолинии .

 Способ качественного фона показывает разделение территории (её районирование) по тем или иным природным, экономическим или политико-административным признакам. Используется для качественной характеристики явлений, сплошных на земной поверхности (например, для почвенного покрова) или имеющих массовое рассредоточенное распространение (например, для населения). Первоначально разрабатывают классификацию картографируемого явления: далее в соответствии с принятой классификацией делят территорию на однородные в качественном отношении участки (районы, области и т.п.), после чего однотипные участки окрашивают в присвоенный для данного типа цвет или покрывают штриховкой (см. карты обзорную и экономическую к ст. Канада ).

 Локализованные диаграммы (т. е. диаграммы, отнесённые к определённым пунктам, точкам) употребляют для характеристик сезонных и других периодических явлений (годового хода температур, осадков, динамики снегового покрова и т.д.), повторяемости и скорости ветров разного направления (в виде роз ветров), повторяемости и скорости морских течений и т.п. ( рис. 2 ).

  Точечный способ используют для картографирования массовых рассредоточенных явлений (сельское население, посевные площади, животноводство и т.п.). Для этого обозначают определённое количество объектов (единиц) посредством точки (вернее, небольшого кружка), располагаемой на карте, где эти объекты фактически размещены. В результате на карту наносят некоторое количество точек равной величины и одинакового значения, группировка (густота) которых даёт наглядную картину размещения явления, а число позволяет определить его размеры (количество объектов) ( рис. 3 ).

  Ареалы, т. е. области распространения тех или иных явлений (различных видов растений и животных, пахотных земель и т.п.), обозначаются на картах оконтуриванием участка сплошной или пунктирной линией определённого рисунка; окрашиванием или штриховкой ареала и т.д.; многообразие приёмов оформления ареалов позволяет сочетать на одной и той же карте ряд ареалов, даже если они перекрывают друг друга ( рис. 4 ).

  Знаки движения применимы к природным и социальным явлениям (морские течения, перелёты птиц, миграции населения, перевозка грузов, направления ударов войск и т.п.). Распространённые графического приёмы, во-первых, векторы (стрелки), различия которых по форме, величине и цвету могут характеризовать скорость, устойчивость, мощность и другие особенности явлений, во-вторых, ленты (полосы) для потоков пассажиров, грузов и т.п., располагаемые вдоль трасс движения; ширина лент обычно выражает мощность потока (см. карту к ст. Индийский океан ).

 Картодиаграммы и картограммы служат для перевода в наглядный пространственный образ статистических данных (например, по населению), обрабатываемых или публикуемых не по отдельным пунктам или объектам, а суммарно - применительно к административному (или другому территориальному) делению. Первые показывают распределение явления посредством диаграмм, размещаемых внутри единиц территориальной сетки и выражающих суммарную величину явления (например, количество пашни) в пределах каждой территориальной единицы (см. рис. 5 ). Картограммой называют способ изображения средней интенсивности какого-либо явления (средней плотности населения, процента распаханности территории и т.п.) в пределах определённых территориальных единиц, чаще всего административных. При этом каждую территориальную единицу раскрашивают пли штрихуют так, чтобы по насыщенности цвета или силе штриховки можно было судить об интенсивности явления (см. рис. 6 ).

  К. А. Салищев.

Рис. 4. Картографирование пахотных земель. Способ ареалов.

Рис. 2. Способ локализованной диаграммы.

Рис. 3. Картографирование пахотных земель. Точечный способ.

Рис. 1. Способ изолиний.

Рис. 5. Картографирование пахотных земель. Картодиаграмма.

Рис. 6. Картографирование пахотных земель. Картограмма.

Картографический метод

Картографи'ческий ме'тодисследований, применение географических карт для научного анализа, познания и прогноза явлений. К. м. используют для исследования закономерностей пространственного размещения явлений, их взаимосвязей, зависимостей и развития. Многообразие приёмов анализа и обработки карт, свойственное К. м., можно объединить в следующие основные способы: 1. Визуальный анализ, заключающийся в непосредственном зрительном исследовании по картам пространственного размещения, сочетаний, связей и динамики явлений. 2. Графические приёмы анализа, состоящие в построении по картам профилей и разрезов (дающих наглядное представление о вертикальной структуре явлений), блок-диаграмм (совмещающих перспективное изображение местности с её вертикальными разрезами), различного рода графиков и диаграмм (например, гипсографических кривых ) и т.п. 3. Картометрические работы, заключающиеся в определении по картам координат, расстояний, длин, высот, площадей, объёмов, углов и др. количественных характеристик объектов, изображенных на карте (с оценкой точности получаемых результатов). 4. Математико-статистический анализ, применяемый: а) для исследования по картам любых однородных явлений (температур воздуха, плотности сельского населения, урожайности и т.п.), их размещения и временных изменений, определяемых многими факторами с неизвестной функциональной зависимостью; б) для выяснения формы и тесноты связей между различными явлениями (посредством вычисления корреляционных зависимостей - коэффициентов корреляции, корреляционных отношений и т.д.). 5. Математическое моделирование, имеющее целью создание пространственных математических моделей, т. е. математическое описание явлений (или процессов) по исходным данным, снятым с карты, и последующее исследование моделей для интерпретации и объяснения явлений; в частности, разработана методика составления аппроксимирующих уравнений поверхностей - реальных (например, рельефа земной поверхности) или абстрактных (например, годового слоя осадков). 6. Переработка (преобразование) карт для получения производных карт, специально предназначаемых и удобных для конкретного исследования (например, составление по гипсометрической карте производной карты крутизны склонов для изучения и прогнозирования процессов эрозии).

  Для К. м. обычно совместное применение указанных выше способов в их различных комбинациях. Многие из них теперь связаны с использованием электронно-вычислительных машин для автоматической обработки данных, снятых с карты «ручным» способом. Вместе с тем входят в употребление способы для автоматического получения по карте данных, необходимых для исследования, и для их сопряжённой автоматической обработки (например, для автоматического определения площадей по картам).

  Лит.:Берлянт А. М., Картографический метод исследования, в сборнике: Итоги науки. Картография 1967-1969, в. 4. М., 1970; Салищев К. А., Картография, 2 изд., М., 1971.

  К. А. Салищев.

Картографический трансформатор

Картографи'ческий трансформа'тор,прибор для преобразования картографических проекций. В механическом К. т. эластичная плёнка, на которую перенесена проекция исходного материала, растягивается до совмещения картографических сеток материала и оригинала. Преобразованное изображение фотографируется или перерисовывается.

  В оптико-механическом К. т. (например, в фототрансформаторах с щелевым устройством) осуществляются сложные преобразования картографических проекций. Изображение исходного материала 1, расположенного на предметной плоскости 2, проецируется объективом 3на картинную плоскость 4. Изображение на картинной плоскости перемещается в направлении XX вследствие перемещения объектива. Преобразование исходной проекции осуществляется фиксацией развёртки изображения на фотоматериал