Страница:
в-третьих, как в самом себе внешне положенное переходит количественную бесконечность.
А. ЧИСЛО (DIE ZAHL)
Количество есть определенное количество или, иначе говоря, имеет границу и как непрерывная и как дискретная величина. Различие этих видов не имеет здесь сначала никакого значения.
Количество как снятое для-себя-бытие уже само по себе безразлично к своей границе. Но тем самым ему также не безразлично быть границей, или определенным количеством; ибо оно содержит внутри себя "одно", абсолютную определенность, как свой собственный момент, который, следовательно, как положенный в его непрерывности или единице, есть его граница, остающаяся, однако, "одним", которым она вообще стала.
Это "одно" есть, стало быть, принцип определенного количества, но "одно" как количественное "одно". Благодаря этому оно, во-первых, непрерывно, единица (Einheit); во-вторых, оно дискретно, оно в-себе-сущее (как в непрерывной величине) или положенное (как в дискретной величине) множество "одних", которые равны между собой, обладают указанной выше непрерывностью, имеют одну и ту же единицу. В-третьих, это "одно" есть также отрицание многих "одних" как простая граница, есть исключение из себя своего инобытия, определение себя по отношению к другим определенным количествам. Поскольку "одно" есть граница, а) соотносящаяся с собой, р) охватывающая и у) исключающая иное.
Определенное количество, полностью положенное в этих определениях, есть число. Полная положенность заключается в наличном бытии границы как множества и, стало быть, в ее отличии от единицы. Число выступает поэтому как дискретная величина, но в единице оно обладает непрерывностью. Оно есть поэтому и определенное количество в совершенной определенности, так как в числе граница дана как определенное множество, имеющее своим принципом "одно", то, что безусловно определенно. Непрерывность, в которой "одно" есть лишь в себе, как снятое (положенное как единица), есть форма неопределенности.
Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще; его граница есть его абстрактная, простая определенность. Но так как оно число, эта граница положена как многообразная внутри себя самой. Число содержит те многие "одни", которые составляют его наличное бытие, но содержит их не неопределенным образом, а определенность границы относится именно к нему; граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие "многие", и охватываемые ею "одни" суть определенное множество, численность, для которой как дискретности, какова она в числе, другим служит единица, ее непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
Что касается численности, то следует еще рассмотреть подробнее, каким образом многие "одни", из которых она состоит, заключены в границе. О численности правильно говорится, что она состоит из "многих", ибо "одни" находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только положенные вместе с исключающей границей, к которой они безразличны. Но граница не безразлична к ним. При [рассмотрении нами] наличного бытия отношение к нему границы оказалось прежде всего таким, что наличное бытие как утвердительное оставалось по ею сторону своей границы, а граница, отрицание, находилась вне его, у его края; точно так же во многих "одних" прерыв их и исключение других "одних" выступает как определенное, которое имеет место вне охватываемых "одних". Но там оказалось, что граница пронизывает наличное бытие, простирается столь же далеко, как оно, и что вследствие этого нечто ограничено по своему определению, т. е. конечно. - В числе как количестве представляют себе, например, сто так, что только сотое "одно" ограничивает "многие" таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это правильно; с другой же, из ста "одних" никакое не обладает преимуществом, так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может обойтись ни без одного из них; прочие "одни", следовательно, не составляют в сравнении с сотым "одним" такого наличного бытия, которое находилось бы вне границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему, ограничивающему "одному", а сама составляет это ограничение, которое есть некое определенное количество; "многие" составляют одно число, одну двойку, один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее "одно" есть определенность в отношении другого, отличение данного числа от других. Но это отличие не становится качественной определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнительной внешней рефлексии. Число как "одно" остается возвращенным к себе и безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное определение; оно составляет его в-себе-определен-ность, но в то же время и его собственную внешность. - Число есть, таким образом, нумерическое "одно" как абсолютно определенное "одно", которое имеет в то же время форму простой непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно внешнее. Как такое "одно", которое есть число, оно, далее, имеет определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и численность сама есть множество "одних", т. е. в нем самом имеется этот абсолютно внешний характер. - Это противоречие числа или определенного количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества, - качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает свое развитие.
Примечание 1
[Арифметические действия. Кантовские априорные синтетические суждения созерцания]
Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени. Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и одинакового способа и совершенства ограничения или определенности. Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника, четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в "одном", определенность самостоятельную (das fur sich Bestinuntsein), а не с помощью чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда, пространственная величина имеет определенность, соответствующую "одному"; однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится линией; так как она по своему существу есть лишь "одно" пространства, то она в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная опре-[еленность, "одно". Поскольку самостоятельная определенность
должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как некоторое множество "одних", и она должна получить внутри себя границу, определение многих "одних", т. е. величину линии - и точно так же других пространственных определений - следует брать как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы такого соотнесения - это [четыре] арифметических действия. Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить некоторое внимание.
В силу своего принципа, "одного", число есть вообще нечто внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое исчисление есть про-дуцирование чисел, счет или, говоря более определенно, сосчиты-вание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано откуда-то извне и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, - это то, с которым мы познакомились, - различие между единицей и численностью; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных; поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным арифметическим действием), причем само определение действия независимо от этой противоположности.
После этих замечаний укажем виды исчисления. 1. Первое порождение числа это сочетание "многих", как таковых, т. е. "многих", каждое из которых положено лишь как "одно", - нумерование. Так как "одни" внешни друг другу, то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли сочетано то или иное количество ["одних"], есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешняя. - Различие между численностью и единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит основой системы чисел-двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.
Возникшие посредством нумерования числа снова подвергаются нумерованию; поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это - сложение. - Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 "одних"; результат этого действия сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на пальцах и т. д., что 7х5 = 35, что к одной семерке прибавляется еще одна семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От этого труда - считать, находить суммы, умножать - навсегда избавила готовая таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
Кант рассматривает (во Введении к "Критике чистого разума", раздел V) положение 7+5-12 как синтетическое положение. "На первый взгляд, - говорит он, - может показаться (конечно!), что это положение 7+5-12 чисто аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти" Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными "одни", численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. "Однако, - продолжает Кант, - присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых". "Сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12". При переходе от указаний задачи к результату сумма действительно не мыслится, понятие не расчленяется. "Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы числа пять, данного в созерцании, к понятию семи" а0, - прибавляет он. Пять действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, "одного"; но 7 точно так же не понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чужцое понятия соединение этих двух чисел; такое столь чуждое понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с таким же правом, как и нумерование, начинающее с "одного", - синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к требованию вообще нумеровать, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
Столь же бессодержательно, как выражение "синтезирование", и определение, что это синтезирование совершается a priori. Правда, счет не есть определение ощущений, единственно которое, согласно кантовскому определению созерцания, и остается на долю a posteriori, и счет действительно есть занятие на почве абстрактного созерцания, т. е. такого, которое определено категорией "одного" и при котором абстрагируются как от всех остальных определений ощущений, так и от понятий. "A priori" - это вообще нечто лишь смутное. Определение эмоций - влечение, склонность и т. д. - в такой же мере имеет в себе момент априорности, в какой пространство и время как существующие, [т. е. ] временное и пространственное, определены a posteriori.
В связи с этим можно прибавить, что в утверждении Канта о синтетическом характере основоположений чистой геометрии также нет ничего основательного. Указывая, что многие из них действительно аналогичны, он в доказательство представления о синтетичности других приводит только одну аксиому - что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. "В самом деле, мое понятие прямой содержит только качество, но ничего не говорит о количестве. Следовательно, понятие кратчайшего [расстояния] целиком присоединяется извне, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии. Поэтому здесь необходимо прибегать к помощи созерцания, посредством которого только и возможен синтез". - Но и здесь дело идет вовсе не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а она уже есть нечто пространственное, созерцаемое. Определение (или, если угодно, понятие) прямой линии ведь и состоит только в том, что она безусловно простая линия, т. е. что в своем выхождении вовне себя (в так называемом движении точки) она безусловно соотносится с собой, что в ее протяжении не положено никакой разницы определения, никакого соотношения с какой-либо другой точкой или линией вне ее; она безусловно простое направление внутри себя. Это простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно дать аналитическую дефиницию прямой линии, то это только из-за таких определении, как простота или соотношение с самой собой, и лишь потому, что при определении рефлексия сначала имеет дело главным образом с некоей множественностью, с определением через иное. Но само по себе нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения внутри себя как чего-то такого, что не определяется через иное. Дефиниция Эвклида не содержит ничего другого, кроме этой простоты.-Но переход этого качества в количественное определение (кратчайшего расстояния), который будто бы составляет синтез, исключительно и всецело аналитичен.
Линия как пространственная есть количество вообще; самое простое, что можно сказать об определенном количестве, это - "наименьшее", а применительно к линии - "кратчайшее". Геометрия может принимать эти определения как следствия из дефиниции; но Архимед в своих книгах о шаре и цилиндре (см. перев. Гаубера, стр. 4) поступил всего целесообразнее, установив указанное определение прямой линии как аксиому, столь же правильно, как это сделал Эвклид, признав аксиомой определение, касающееся параллельных линий, так как развитие этого определения, для того чтобы оно стало дефиницией, также потребовало бы [определений ], не непосредственно принадлежащих пространственности, а более абстрактных качественных определении (подобно тому как до этого потребовались такие определения, как простота) - одинаковости направления и т. п. Эти древние [мыслители] и своим наукам сообщили пластический характер, их изложение строго держалось специфики их предмета и поэтому исключало из себя все, что было бы ему чуждо.
Понятие, которое Кант выставил в своем учении об априорных синтетических суждениях, - понятие о различенном, которое также нераздельно, о тождественном, которое в самом себе есть нераздельное различие, принадлежит великому и бессмертному в его философии. В созерцании это понятие, разумеется, также имеется, ибо оно само понятие, и все в себе есть понятие; но те определения, которые выделены в приведенных примерах, не выражают его; число и счет-это скорее такое тождество и продуцирование такого тождества, которое безусловно есть лишь внешнее тождество, лишь поверхностный синтез, единство "одних", таких "одних", которые скорее положены как в сам"" себе не тождественные друг другу, а внешние, сами по себе раздельные. В основе определения прямой линии, согласно которому она кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лежать скорее лишь момент абстрактного тождества, лишенного различия в самом себе.
Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующее ему отрицательное арифметическое действие, вычитание, есть также совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь как вообще неравные в отношении друг друга.
2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел. Благодаря этому равенству числа эти суть единицы, и в числе появляется различие между единицей и численностью. Умножение имеет задачей сложить численность единиц, которые сами суть некая численность. При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три - единица, или, наоборот, трижды четыре. - Мы уже указали выше, что сначала находят произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.; позднее становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.
Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу, а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу, коща говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще не равны. Дальнейшее равенство - это равенство самой единицы и численности; таким образом, продвижение к равенству определений, заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие [здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при формальном равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают. - Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью, составляющему определение второго арифметического действия, однако они выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как существование, есть важное условие философствования о реальных предметах, необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе, есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу, видно из его понятия, каким оно получилось выше.
А. ЧИСЛО (DIE ZAHL)
Количество есть определенное количество или, иначе говоря, имеет границу и как непрерывная и как дискретная величина. Различие этих видов не имеет здесь сначала никакого значения.
Количество как снятое для-себя-бытие уже само по себе безразлично к своей границе. Но тем самым ему также не безразлично быть границей, или определенным количеством; ибо оно содержит внутри себя "одно", абсолютную определенность, как свой собственный момент, который, следовательно, как положенный в его непрерывности или единице, есть его граница, остающаяся, однако, "одним", которым она вообще стала.
Это "одно" есть, стало быть, принцип определенного количества, но "одно" как количественное "одно". Благодаря этому оно, во-первых, непрерывно, единица (Einheit); во-вторых, оно дискретно, оно в-себе-сущее (как в непрерывной величине) или положенное (как в дискретной величине) множество "одних", которые равны между собой, обладают указанной выше непрерывностью, имеют одну и ту же единицу. В-третьих, это "одно" есть также отрицание многих "одних" как простая граница, есть исключение из себя своего инобытия, определение себя по отношению к другим определенным количествам. Поскольку "одно" есть граница, а) соотносящаяся с собой, р) охватывающая и у) исключающая иное.
Определенное количество, полностью положенное в этих определениях, есть число. Полная положенность заключается в наличном бытии границы как множества и, стало быть, в ее отличии от единицы. Число выступает поэтому как дискретная величина, но в единице оно обладает непрерывностью. Оно есть поэтому и определенное количество в совершенной определенности, так как в числе граница дана как определенное множество, имеющее своим принципом "одно", то, что безусловно определенно. Непрерывность, в которой "одно" есть лишь в себе, как снятое (положенное как единица), есть форма неопределенности.
Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще; его граница есть его абстрактная, простая определенность. Но так как оно число, эта граница положена как многообразная внутри себя самой. Число содержит те многие "одни", которые составляют его наличное бытие, но содержит их не неопределенным образом, а определенность границы относится именно к нему; граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие "многие", и охватываемые ею "одни" суть определенное множество, численность, для которой как дискретности, какова она в числе, другим служит единица, ее непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
Что касается численности, то следует еще рассмотреть подробнее, каким образом многие "одни", из которых она состоит, заключены в границе. О численности правильно говорится, что она состоит из "многих", ибо "одни" находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только положенные вместе с исключающей границей, к которой они безразличны. Но граница не безразлична к ним. При [рассмотрении нами] наличного бытия отношение к нему границы оказалось прежде всего таким, что наличное бытие как утвердительное оставалось по ею сторону своей границы, а граница, отрицание, находилась вне его, у его края; точно так же во многих "одних" прерыв их и исключение других "одних" выступает как определенное, которое имеет место вне охватываемых "одних". Но там оказалось, что граница пронизывает наличное бытие, простирается столь же далеко, как оно, и что вследствие этого нечто ограничено по своему определению, т. е. конечно. - В числе как количестве представляют себе, например, сто так, что только сотое "одно" ограничивает "многие" таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это правильно; с другой же, из ста "одних" никакое не обладает преимуществом, так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может обойтись ни без одного из них; прочие "одни", следовательно, не составляют в сравнении с сотым "одним" такого наличного бытия, которое находилось бы вне границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему, ограничивающему "одному", а сама составляет это ограничение, которое есть некое определенное количество; "многие" составляют одно число, одну двойку, один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее "одно" есть определенность в отношении другого, отличение данного числа от других. Но это отличие не становится качественной определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнительной внешней рефлексии. Число как "одно" остается возвращенным к себе и безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное определение; оно составляет его в-себе-определен-ность, но в то же время и его собственную внешность. - Число есть, таким образом, нумерическое "одно" как абсолютно определенное "одно", которое имеет в то же время форму простой непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно внешнее. Как такое "одно", которое есть число, оно, далее, имеет определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и численность сама есть множество "одних", т. е. в нем самом имеется этот абсолютно внешний характер. - Это противоречие числа или определенного количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества, - качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает свое развитие.
Примечание 1
[Арифметические действия. Кантовские априорные синтетические суждения созерцания]
Пространственная и числовая величины обычно рассматриваются как два вида величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени. Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и одинакового способа и совершенства ограничения или определенности. Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника, четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в "одном", определенность самостоятельную (das fur sich Bestinuntsein), а не с помощью чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда, пространственная величина имеет определенность, соответствующую "одному"; однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится линией; так как она по своему существу есть лишь "одно" пространства, то она в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная опре-[еленность, "одно". Поскольку самостоятельная определенность
должна сохраниться в вовне-себя-бытии, приходится представлять линию как некоторое множество "одних", и она должна получить внутри себя границу, определение многих "одних", т. е. величину линии - и точно так же других пространственных определений - следует брать как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы такого соотнесения - это [четыре] арифметических действия. Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить некоторое внимание.
В силу своего принципа, "одного", число есть вообще нечто внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое исчисление есть про-дуцирование чисел, счет или, говоря более определенно, сосчиты-вание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано откуда-то извне и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, - это то, с которым мы познакомились, - различие между единицей и численностью; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных; поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным арифметическим действием), причем само определение действия независимо от этой противоположности.
После этих замечаний укажем виды исчисления. 1. Первое порождение числа это сочетание "многих", как таковых, т. е. "многих", каждое из которых положено лишь как "одно", - нумерование. Так как "одни" внешни друг другу, то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли сочетано то или иное количество ["одних"], есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешняя. - Различие между численностью и единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит основой системы чисел-двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.
Возникшие посредством нумерования числа снова подвергаются нумерованию; поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это - сложение. - Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 "одних"; результат этого действия сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на пальцах и т. д., что 7х5 = 35, что к одной семерке прибавляется еще одна семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От этого труда - считать, находить суммы, умножать - навсегда избавила готовая таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
Кант рассматривает (во Введении к "Критике чистого разума", раздел V) положение 7+5-12 как синтетическое положение. "На первый взгляд, - говорит он, - может показаться (конечно!), что это положение 7+5-12 чисто аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти" Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными "одни", численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. "Однако, - продолжает Кант, - присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых". "Сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12". При переходе от указаний задачи к результату сумма действительно не мыслится, понятие не расчленяется. "Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы числа пять, данного в созерцании, к понятию семи" а0, - прибавляет он. Пять действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, "одного"; но 7 точно так же не понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чужцое понятия соединение этих двух чисел; такое столь чуждое понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с таким же правом, как и нумерование, начинающее с "одного", - синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к требованию вообще нумеровать, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
Столь же бессодержательно, как выражение "синтезирование", и определение, что это синтезирование совершается a priori. Правда, счет не есть определение ощущений, единственно которое, согласно кантовскому определению созерцания, и остается на долю a posteriori, и счет действительно есть занятие на почве абстрактного созерцания, т. е. такого, которое определено категорией "одного" и при котором абстрагируются как от всех остальных определений ощущений, так и от понятий. "A priori" - это вообще нечто лишь смутное. Определение эмоций - влечение, склонность и т. д. - в такой же мере имеет в себе момент априорности, в какой пространство и время как существующие, [т. е. ] временное и пространственное, определены a posteriori.
В связи с этим можно прибавить, что в утверждении Канта о синтетическом характере основоположений чистой геометрии также нет ничего основательного. Указывая, что многие из них действительно аналогичны, он в доказательство представления о синтетичности других приводит только одну аксиому - что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. "В самом деле, мое понятие прямой содержит только качество, но ничего не говорит о количестве. Следовательно, понятие кратчайшего [расстояния] целиком присоединяется извне, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии. Поэтому здесь необходимо прибегать к помощи созерцания, посредством которого только и возможен синтез". - Но и здесь дело идет вовсе не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а она уже есть нечто пространственное, созерцаемое. Определение (или, если угодно, понятие) прямой линии ведь и состоит только в том, что она безусловно простая линия, т. е. что в своем выхождении вовне себя (в так называемом движении точки) она безусловно соотносится с собой, что в ее протяжении не положено никакой разницы определения, никакого соотношения с какой-либо другой точкой или линией вне ее; она безусловно простое направление внутри себя. Это простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно дать аналитическую дефиницию прямой линии, то это только из-за таких определении, как простота или соотношение с самой собой, и лишь потому, что при определении рефлексия сначала имеет дело главным образом с некоей множественностью, с определением через иное. Но само по себе нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения внутри себя как чего-то такого, что не определяется через иное. Дефиниция Эвклида не содержит ничего другого, кроме этой простоты.-Но переход этого качества в количественное определение (кратчайшего расстояния), который будто бы составляет синтез, исключительно и всецело аналитичен.
Линия как пространственная есть количество вообще; самое простое, что можно сказать об определенном количестве, это - "наименьшее", а применительно к линии - "кратчайшее". Геометрия может принимать эти определения как следствия из дефиниции; но Архимед в своих книгах о шаре и цилиндре (см. перев. Гаубера, стр. 4) поступил всего целесообразнее, установив указанное определение прямой линии как аксиому, столь же правильно, как это сделал Эвклид, признав аксиомой определение, касающееся параллельных линий, так как развитие этого определения, для того чтобы оно стало дефиницией, также потребовало бы [определений ], не непосредственно принадлежащих пространственности, а более абстрактных качественных определении (подобно тому как до этого потребовались такие определения, как простота) - одинаковости направления и т. п. Эти древние [мыслители] и своим наукам сообщили пластический характер, их изложение строго держалось специфики их предмета и поэтому исключало из себя все, что было бы ему чуждо.
Понятие, которое Кант выставил в своем учении об априорных синтетических суждениях, - понятие о различенном, которое также нераздельно, о тождественном, которое в самом себе есть нераздельное различие, принадлежит великому и бессмертному в его философии. В созерцании это понятие, разумеется, также имеется, ибо оно само понятие, и все в себе есть понятие; но те определения, которые выделены в приведенных примерах, не выражают его; число и счет-это скорее такое тождество и продуцирование такого тождества, которое безусловно есть лишь внешнее тождество, лишь поверхностный синтез, единство "одних", таких "одних", которые скорее положены как в сам"" себе не тождественные друг другу, а внешние, сами по себе раздельные. В основе определения прямой линии, согласно которому она кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лежать скорее лишь момент абстрактного тождества, лишенного различия в самом себе.
Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующее ему отрицательное арифметическое действие, вычитание, есть также совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь как вообще неравные в отношении друг друга.
2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел. Благодаря этому равенству числа эти суть единицы, и в числе появляется различие между единицей и численностью. Умножение имеет задачей сложить численность единиц, которые сами суть некая численность. При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три - единица, или, наоборот, трижды четыре. - Мы уже указали выше, что сначала находят произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.; позднее становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.
Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу, а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу, коща говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще не равны. Дальнейшее равенство - это равенство самой единицы и численности; таким образом, продвижение к равенству определений, заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие [здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при формальном равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают. - Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью, составляющему определение второго арифметического действия, однако они выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как существование, есть важное условие философствования о реальных предметах, необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе, есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу, видно из его понятия, каким оно получилось выше.