Страница:
Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды] переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества, и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом. Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны, низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных величин.
Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти затруднения.
Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.
Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно отношения производной функции к первоначальной.
Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес.
Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать, ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при таком способе действия во всей своей силе.
Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath. phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять первое,
то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы;
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом, остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд, исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких, в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории приращения и разности функций, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание, почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое, встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т. д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции, еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2 и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже. - Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения, что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, некоторым определенным образом выведенная первая производная функция первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного, что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как [здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел, следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и [ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости и приближения.
Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике, .имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е. отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности есть отношение между кривыми. Так как прямая линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член, получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение, например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были, согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной (schlechtgleichfennigen) скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления. Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с "Астрономией" Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон).
Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти затруднения.
Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.
Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно отношения производной функции к первоначальной.
Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес.
Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать, ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при таком способе действия во всей своей силе.
Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath. phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять первое,
то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения; следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие неправильно.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала, связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом основании, что они малы;
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов [ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом, остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд, исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких, в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории приращения и разности функций, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание, почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения, которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое, встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т. д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции, еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2 и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже. - Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения, что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, некоторым определенным образом выведенная первая производная функция первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного, что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как [здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел, следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и [ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости и приближения.
Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике, .имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е. отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности есть отношение между кривыми. Так как прямая линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету, т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член, получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но, впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение, например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были, согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том, имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать. Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной (schlechtgleichfennigen) скорости к равномерному ускорению, считается совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления. Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления, выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических построениях определений и положений и применять их в таком смысле для доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat. philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с "Астрономией" Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело обстоит не так, как это принимает Ньютон).