Страница:
Самодовольство и обновление
По сути, мне безразлична судьба готовых вещей: что ждет их в будущем, сохранят ли их «потомки» (есть ли будущее у наших потомков - тоже вопрос…). Меня интересует не то, что я сделал, а то, чего я не сделал, не довел до конца. Тогда, в прошлом, перед моим мысленным взором развернулась огромная картина будущего труда. Из той обширной программы мне удалось выполнить, как своими усилиями, так и с помощью друзей и учеников, лишь ничтожно малую часть. Позднее, неожиданно для меня самого, эта программа пережила обновление, и вместе с ней изменилось мое собственное представление о математике, мой подход к математическому труду. Прежде я, как правило, брался за серьезные задачи по заложению основ в той или иной области математики - труд кропотливый и тщательный. Нынче же темы, о которых я говорил, выходят на первый план. Пришла пора исследовать тайны, влекущие меня за собой с особенной силой: например, загадки «мотивов» или проблемы «геометрического» описания группы Галуа Q/Q. Само собою, попутно мне так или иначе предстоит заложить кое-где основы будущих зданий - по крайней мере, набросать план в общих чертах. «Долгий поход сквозь теорию Галуа», как и книга, которую я пишу сейчас, «В погоне за стеками», уже содержит такие наброски. И все же, это работа совсем иного толка: цель не та, и самый стиль изложения изменился.
Иначе говоря, в эти последние годы, лишь изредка оборачиваясь в сторону математических ручьев и долин, я видел сквозь туман тайные, призрачные очертания неведомых зданий и предчувствовал их несказанную красоту. Я знал, что эта красота - не для меня одного, что я должен о ней рассказать. Самый смысл ее - в том, чтобы ее увидели люди, чтобы знание о ней усваивалось, передавалось из уст в уста… Но рассказать о ней словами, хотя бы себе самому - значит развить сюжет, придать картине глубину перспективы; это труд. Конечно же, я знаю, что мне одному и за сотню лет не завершить этой работы. Но подобает ли нам беречь и высчитывать годы - те, что нам осталось прожить, открывая мир? Месяцы ли, годы ли заберет у меня математика - моя ли это забота? Другая работа тем временем будет ждать моих рук - труд, на сей раз предназначенный лишь мне одному. Жизнь моя сама выберет себе русло, и я не волен, да и не в силах, стать на пути у текущих лет.
Примечания
(1). (Добавлено в марте 1984 г.) Кажется, здесь я немного перегнул палку. Утверждать, будто «стиль» и «метод» моей работы остались прежними, в то время как мой стиль изложения в математике преобразился до неузнаваемости, - это уже чересчур. Возьмем пример: вот уже год, как я размышляю над книгой «В погоне за стеками». За работой я почти не отрываюсь от пишущей машинки и все, что «выходит из-под пера» (по всем признакам, «черновой» вариант!), собираюсь публиковать как есть, безо всякой отделки. (Разумеется, чтобы облегчить труд читателя, в текст будут включены сравнительно короткие примечания, содержащие необходимые ссылки, поправки и проч.) Ни ножниц, ни клея для тщательной подготовки «окончательного» варианта рукописи (совершенного по форме: такого, чтобы в нем нельзя было уловить и следов кропотливого труда исследователя-чернорабочего) - это ли не перемена «стиля» и «метода»! Изложение мыслей на бумаге - та же математика; эти два вида работы («придумывать» и «записывать») так тесно связаны между собой, что разделить их во времени невозможно.
(2). (Добавлено в марте 1984 г.) Перечитывая два последних абзаца, я ощутил некоторую неловкость. В тот момент, когда я их писал, мне, очевидно, и в голову не приходило, что все сказанное может относиться и ко мне, а не только к другим. Я замечал те или иные вещи в других людях - и позднее, с течением лет, не раз убеждался в справедливости своих догадок. Но вот, даже изложив (и не без злорадства, как водится) свои открытия на бумаге, применять их к себе я так и не научился. Теперь, разбираясь в своих воспоминаниях, я увидел, что в прошлом я и сам не раз испытывал презрение к своему ближнему: это чувство не обошло меня стороной. Глядя на других, я отмечал, что в людях оно идет от скрытого презрения к себе самому. Было бы странно, если бы я оказался единственным исключением из этого правила. Это противоречило бы как здравому смыслу, так и моему личному
Примечания
опыту: я слишком хорошо знаю за собой обыкновение, глядя «вдаль», закрывать глаза на то, что творится у меня под носом - в первую очередь, в моей собственной душе. Однако, пока это лишь умозаключения - то есть не более, чем повод еще раз оглянуться на себя и на свое прошлое. Если и есть во мне это презрение к себе самому, то оно, должно быть, нарочно скрывается от меня: во всяком случае, до сих пор мне не удалось его обнаружить. Воистину, нет конца загадкам души человеческой! Но разрешить ту, с которой я только что столкнулся, мне сейчас представляется особенно важным: именно потому, что она все это время ускользала от моего взгляда {86} .
(3). Здесь уместно поговорить, в частности, о покойных гипотезах Морделла, Тэйта и Шафаревича. Все три были доказаны в прошлом году в работе Фалтингса длиной в сорок страниц. Это случилось в тот самый момент, когда все, кто «разбирается» в данной области, дружно сошлись на том, что эти гипотезы находятся «вне пределов досягаемости» научной мысли. Вышло так, что «главная» гипотеза, на которой основана моя программа по «анабелевой алгебраической геометрии», по смыслу близка как раз к гипотезе Морделла. (Более того, похоже на то, что последняя вытекает из первой. Однако, никто не обратил на это внимания - верно, солидные люди не приняли всерьез этой программы, которая вообще немало для меня значит…)
(4). Впрочем, и в наши дни встречаются сомнительные доказательства. Например, доказательство Грауэрта теоремы конечности, получившей его имя. Несколько лет кряду его никто не мог прочесть, при том, что добровольцев хватало. Путаница разрешилась благодаря другим, более прозрачным доказательствам, которые появились позднее; некоторые из них в определенном смысле пошли дальше исходного. Похожая, но уже совсем из ряда вон выходящая история произошла с «решением» так называемой проблемы четырех красок. Его «вычислили» при помощи компьютера (и нескольких миллионов долларов). В то время как настоящее доказательство в математике всегда идет от внутреннего убеждения человека, от ясного понимания той или иной ситуации, здесь речь идет о расчете, основанном на доверии к машине, лишенной способности мыслить и понимать. Математик, взявшийся за эту
Примечания
работу, не понимает ее устройства; может ли он поручиться за результат? Даже если расчет будет подтвержден при проверке на других компьютерах, другими программами, я все равно не соглашусь признать проблему четырех красок закрытой. Это означало бы только, что можно оставить поиски контрпримера. Вопрос о настоящем доказательстве (разумеется, о таком, чтобы его можно было прочесть!) даже при этих условиях остается открытым.
(5). Это тем более примечательно, что вплоть до 1957 г. некоторые из членов группы Бурбаки относились ко мне не без некоторой настороженности. В конце концов они со мной смирились, хотя, думается мне, не без колебаний. Надо мной добродушно подшучивали, называя «опасным специалистом» (по функциональному анализу). Картан, должно быть, относился ко мне сдержаннее: иногда я чувствовал это. Кажется, в первые годы нашего знакомства он находил, что я склонен к поверхностным и безосновательным обобщениям. Помню, как он удивился, обнаружив в первой (и последней), чуть длинноватой, редакции главы, которую я написал для Бурбаки (речь шла о дифференциальном исчислении на многообразиях) какие-то содержательные мысли: в свое время, когда я предложил взять этот раздел на себя, он явно не был особенно рад. (Потом я еще раз вернулся к этим мыслям - намного позднее, когда развивал формализм вычетов с точки зрения когерентной двойственности.) Впрочем, на сборах Бурбаки я и сам нередко чувствовал себя потерянно, особенно во время совместных чтений по главам. Следить за ходом лекций и дискуссий в том ритме, в котором они обыкновенно проистекали, определенно было мне не по силам. Возможно, я и в самом деле не гожусь для совместной работы. То, что я с таким трудом вписывался в общий ритм, могло вызывать у Картана и прочих некоторую настороженность, но насмешки или снисходительное пренебрежение - никогда (разве что Вейль пару раз прошелся на мой счет, но это уж решительно особый случай!). Все эти годы Картан был со мною неизменно приветлив. Таков он был со всеми: сердечность, мягкость в отношениях с людьми, тонкий юмор для меня неотделимы от его образа.
(6). Среди друзей, которые помогли мне избавиться от этой иллюзии, я, конечно же, должен упомянуть и Пьера Самюэля. Как и Клода Шевалле, я раньше знал его в основном по Бурбаки; как и Шевалле,
Примечания
в группе «Survivre et Vivre» он играл важную роль. Мне кажется, что Самюэля мысль о превосходстве ученых над простыми смертными не особенно занимала, и не то, чтобы он был склонен к этому заблуждению. В «Survivre et Vivre» он многое сделал в основном, думается мне, благодаря своему здравому смыслу и неизменно веселому настроению. Это чувствовалось всегда - во время совместной работы, в ходе разнообразных дискуссий, просто в дружеской беседе. И, конечно, ему с особенным изяществом удавалась роль «несносного реформиста» в группе весьма критической, радикальной направленности. Он оставался в «Survivre et Vivre» еще какое-то время после моего ухода и редактировал там одноименный бюллетень. Позднее, почувствовав, что его присутствие стало излишним, он также вышел из группы (чтобы присоединиться к «Les Amis de la Тегге»). Он расстался с товарищами по группе мирно и дружелюбно, никого не задев.
У нас с Самюэлем было много общего: мы оба принадлежали к одному и тому же тесному кругу, давно знали друг друга, говорили на одном языке. И все же, в те бурные годы мне было чему у него поучиться (это при том, что ученик из меня решительно никудышный). В этом смысле с ним все было, как с Шевалле, хотя они ничуть не похожи. Он отнюдь не пытался нарочно излечить меня от моих «меритократических» слабостей, не критиковал их и не рассуждал о морали. Просто то, как он жил, как он держал себя, действовало на меня лучше всяких лекарств.
Вообще, мне кажется, что только таким способом я и учился у людей в тот период. Личный пример спасал положение там, где ни разъяснения, ни дискуссии не помогли бы. То, как мои друзья поступали в тех или иных ситуациях, самый их образ жизни, какая-то особая чувствительность, которой мне недоставало, - что-то из этого мне все-таки «передалось». В связи с этим, кроме Шевалле и Самюэля, я мог бы назвать еще несколько имен. Это прежде всего Дени Гедж (в группе «Survivre et Vivre» пользовавшийся большим авторитетом), Даниэль Сибони (напротив, державшийся в стороне от группы, и лишь искоса, пренебрежительно-насмешливо, следивший за ее развитием), Гордон Эдварде (при его участии это «движение» зародилось в июне 1970 г. в Монреале, а позже он творил чудеса усердия, добиваясь выхода американского издания бюллетеня «Survivre et Vivre» на английском языке), Жан Делор (врач, фактически мой ровесник, человек тонкий и душевный, который тепло относился ко мне, как и все наши друзья по «Survivre et Vivre»), Фред Снелл (тоже врач, из Буффало; он обосновался в Соединенных Штатах, и я в свое время гостил у него в загородном домике, когда приезжал туда по делам).
Из тех, кого я только что перечислил, пятеро были математиками, двое - врачами, и все - учеными. Итак, ближайший круг моего общения в те годы составляли по-прежнему ученые, и прежде всего математики.
(7). Предыдущий абзац, первый во всем введении, я сначала было вычеркнул целиком, а потом много раз пытался переправить. Выбор слов мне никак не удавался, и дело продвигалось как-то против шерсти. Явно прослеживалось влияние какой-то силы, которая побуждала меня поторопиться, поскорее закончить разговор об этой истории. Дескать, отчитайся об этом пустяковом случае для очистки совести, а там уже пора перейти к вещам серьезным. Что это, как не знакомые признаки внутреннего сопротивления? На этот раз оно пытается удержать меня от того, чтобы я внимательно рассмотрел этот эпизод и раскрыл для себя его значение, недвусмысленно говорящее о моей собственной внутренней позиции. Совершенно аналогичная ситуация уже была описана в начале введения (§2). Там речь шла об одном из определяющих моментов в математической работе, о минуте, когда противоречие, и весь его смысл, вдруг открывается твоим глазам. В этом случае роль внутреннего сопротивления играет инерция ума, который всегда неохотно расстается с ошибочным или недостаточно широким видением (самолюбия нашего это, однако же, не затрагивает). Но в жизни сопротивление более активно, а то и изобретательно, в то время как эта инерция в математике - просто пассивная сила. И вот когда я, ломая голову в поисках слов, преодолел внутреннее сопротивление, открытие явилось мне во всей своей ясности и простоте. И тогда - как будто тяжелый камень упал с души: наступила минута освобождения. И оно ощущалось острее, чем в математике. Но это было не просто преходящее чувство. Скорее, это пронзительное, благодарное восприятие того, что ты видишь в себе и перед собой. А видишь ты не что иное, как свободу: открытую дверь и сбитый замок.
(8). Как станет ясно в дальнейшем, эта двусмысленность отнюдь не «исчезла вскоре после моего пробуждения в 1970 г.». Тут прием отступления, типичный для моей тактики в этом вопросе. Пускай все приобретения с потерями остаются за демаркационной линией 1970-го г.; зато там уже, впереди, мое поведение будет безупречным!
(9). Это не совсем точно. Как выяснится дальше, среди моих ближайших коллег по крайней мере одно исключение да найдется. Здесь видна характерная «леность» памяти, зачастую предпочитающей как-то «замять» факты, если они не укладываются в привычные рамки.
(10). Например, я уже потерял счет случаям, когда, отправляя письмо коллеге или бывшему ученику (которого считал своим другом), я так и не получал ответа. Письмо могло быть каким угодно - математическим, деловым, просто личным. Похоже, что дело не в том, как эти люди относились ко мне лично. Скорее, это признак перемены нравов, ведь о том же мне говорили многие. Правда, им-то не отвечали незнакомые люди, да и речь шла в основном о письмах чисто математического содержания…
(п). Конечно, тут я мог и позабыть - не говоря уже о том, что моя тогдашняя «зацикленность» отнюдь не располагала ни к попыткам заговорить со мной о чем-нибудь в этом роде, ни к тому, чтобы подобный разговор мне запомнился. Одно несомненно: затронуть в беседе этот вопрос (даже не называя страха страхом…) само по себе было бы крайне необычно. Вероятно, в этом смысле ничего не изменилось и по сей день, в особенности в «высших кругах».
Значит ли это, что страх в свое время прокрался в нашу среду незамеченным? Если не считать Шевалле, который, по-видимому, обратил внимание на эту перемену в нашей обстановке еще в шестидесятые годы, среди моих многочисленных друзей-математиков «высшего ранга», по моим представлениям, только один человек понимал, что происходит вокруг. Это был Альдо Адреотти. С ним, с его женой Барбарой и с их детьми-близнецами я познакомился в 1955 г. (кажется, на вечере у Вейля в Чикаго). С тех пор мы с ним близко общались вплоть до «резкого поворота» в моей жизни в 1970 г., когда я ушел из мира математики. После этого я в какой-то мере потерял его из виду. Альдо был очень проницателен; свойственное ему исключительно живое, острое восприятие действительности ничуть не притупилось от общения с математикой и с «зацикленными» чудаками вроде меня. Природа
Примечания
наградила его редкой доброжелательностью: всякого, кто к нему обращался, он принимал тепло, с искренним участием. Этим он заметно выделялся среди моих друзей в математическом мире (да и не только в нем). Дружба у него неизменно шла впереди математики (впрочем, и в математике общих интересов у нас хватало). Он был в числе тех немногих коллег, с которыми я иногда говорил о себе; в ответ и он рассказывал мне кое-что из своего прошлого. Его отец, как и мой, был евреем: за это его преследовали в Италии при Муссолини, как меня - в гитлеровской Германии. Он всегда был готов ободрить и поддержать молодого ученого, при том, что начинающим математикам в ту пору становилось все труднее добиться «официального» признания. Наш мир неумолимо раскалывался на две части: на одном краю пропасти - знаменитости, известные математики, молодые ученые, подающие надежды, на другом - обделенные судьбою простые смертные. Но Альдо, прожив в нем годы, все же не разучился уважать в человеке человека, а не почетную должность или мундир с отличиями. Сам Альдо был необыкновенно милым, душевным человеком, он неизменно располагал к себе с первой же встречи.
Думая об Альдо, я вспомнил еще об одном друге - Ионеле Букуре, который исчез из моей жизни столь же внезапно и преждевременно. Здесь, как и с Альдо, меня гораздо больше огорчает потеря друга, чем собеседника на математические темы. Доброта уживалась в нем бок-о-бок с необычайной застенчивостью; он, казалось, при любых обстоятельствах спешил стушеваться, отступить в сторону. Для меня загадка, как человек, настолько далекий от каких бы то ни было честолюбивых мыслей и побуждений (принимать важный вид, пуская окружающим пыль в глаза, было отнюдь не в его привычках!), оказался в конце концов деканом Факультета Наук в Бухаресте. Вероятнее всего, он просто не допускал и мысли о том, что может позволить себе отказаться от ответственности. К солидной должности он отнюдь не стремился: этот груз взвалили ему на плечи (довольно крепкие, нельзя не признать) местные власти. Он был сыном крестьянина (это обстоятельство, несомненно, сыграло свою роль в стране, где так много значило «классовое происхождение»), человеком простым и здравомыслящим. Конечно, страх, окружавший в те дни фигуру знаменитого ученого, не мог ускользнуть от его наблюдательности. Но в его глазах это, безусловно, было всего лишь неотъемлемым атрибутом положения у власти. Не думаю, однако, чтобы он сам мог вызывать страх у кого бы то ни было: уж во всяком случае, не у своей жены Флорики и не у сына Александра. Коллеги и студенты, по слухам, тоже никогда его не боялись.
(12). «На другое же утро» здесь следует понимать буквально - это не метафора.
(13). Само собой, весь этот разговор - не более чем попытка как-нибудь восстановить ощущение от обстановки тех лет, насколько позволяет «туман» расплывчатых воспоминаний. Но картина никак не «вырисовывается», в ней нет четких линий, и я не могу в ней уловить сколько-нибудь ясных, конкретных образов. Конечно, хорошо было бы вспомнить в подробностях какую-нибудь историю и потом тщательно ее проанализировать. Но тогда мой рассказ мог бы создать у читателя впечатление, будто всякий, кто не любил садиться в первых рядах на математических семинарах и не считался знаменитостью в нашем кругу, непременно робел в присутствии «старших по рангу». А это заведомо было не так: большинство моих друзей из этой среды, в том числе те, кто часто посещал коллоквиумы и семинары, в разговоре с авторитетными математиками чувствовали себя вполне свободно. Как бы то ни было, статус «знаменитости» сам по себе стал создавать преграду, пропасть между «выдающимся математиком» и простым ученым без титулов. Этот барьер было непросто преодолеть - разве что на время математической дискуссии (потом он появлялся снова). Добавлю, что субъективно ощущаемое различие (которое все же представляется мне весьма реальным) между «первыми рядами» и «болотом» отнюдь не сводится к шкале общественного положения, званиям, постам и проч. - ни даже к авторитету в научном мире. Оно, скорее, отражает определенные особенности человеческого характера, строя души, разобраться в которых - нелегкая задача. Двадцати лет от роду, оказавшись в незнакомом Париже, я уже знал, что я - математик, что я творю математику. Несмотря на ошеломляющее впечатление, которое произвел на меня с первых же шагов огромный математический мир, по сути я чувствовал себя полноправным его обитателем. Правда, никто, кроме меня, об этом не подозревал; да я и сам не был уверен поначалу, что собираюсь продолжать свои математические занятия. Сегодня я, наверное, сел бы в последнем ряду (а скорее всего у меня просто не было бы выбора).
Примечания
( ). Если так, отчего же я сам несколькими строками раньше писал, что в группе не было руководителя? В действительности никакого противоречия здесь нет. Для старых Бурбаков Вейль был как бы душою группы - отнюдь не «начальником». Когда он появлялся на наших сборищах, то иногда - по настроению - брал на себя роль «ведущего» (как я уже писал). Но правила игры выбирал не он, они были одни для всех. Когда он приходил в дурном расположении духа, он мог остановить дискуссию, если его не устраивала тема. Тогда обсуждение спокойно возобновлялось на другой же день, в отсутствие Вейля или даже с его участием (если он больше не протестовал). То или иное решение в группе принималось лишь в том случае, если все были «за». Иногда (и даже нередко) «против» оказывался только один человек, и этого хватало. Я знаю, это звучит нелепо: кажется, по такому принципу группа работать не может. Хотите - верьте, хотите - нет, но Бурбаки работали превосходно!
(15). Эта «аллергия» на стиль Бурбаки, мне кажется, не препятствовала личному общению. Члены группы, а также «сочувствующие», легко находили общий язык с представителями «противоположного лагеря». Это было бы не так, если бы Бурбаки держались особняком, как закрытая секта, элита в элите. Независимо от своего подхода к математической работе, каждый из членов группы живо ощущал математические реалии и знал об их природе не понаслышке. Так было вначале; но помнится, уже в шестидесятые годы один из моих друзей завел привычку называть «занудами» коллег, которые, по его мнению, занимались неинтересной работой. Речь шла о вещах, в которых я тогда почти совсем не разбирался, свои нелестные оценки мой друг раздавал направо и налево с завидной самоуверенностью, - словом, я попался на удочку и долгое время принимал его суждения за чистую монету. Так было, пока один такой «зануда» - уж не знаю, чем он не угодил моему блистательному приятелю - не поразил меня оригинальностью и глубиной мысли. Кажется, чего проще: если ты не знаком с работой или не слишком хорошо разбираешься в теме, будь скромнее, воздержись от поспешных суждений. У меня есть чувство, что перемены в нашей среде начались с того, что некоторые члены группы Бурбаки стали слишком охотно пренебрегать этим правилом. При этом у них еще сохранялся «математический инстинкт»: умение распознать серьезный, содержательный,
Примечания
богатый находками труд без ссылки на научную репутацию или известность автора. Но похоже, что с потерей профессиональной скромности такой инстинкт изнашивается намного быстрее: в наши дни он уже сделался редкостью в математических кругах. Я сужу об этом по многочисленным откликам, доносящимся ко мне с разных сторон.
(16). Правда, несколько таких отдельных «маленьких микрокосмов» все же существовало (и некоторые из них, пожалуй, нельзя было назвать «маленькими»). Иногда они жили своей жизнью, в стороне от мира Бурбаки. Однако, скажем, вокруг меня нечто подобное возникло лишь после того, как я вышел из состава группы и смог, наконец, заняться тем, что меня особенно увлекало.
(17). Теплые отклики, как и действенная помощь, приходили ко мне в основном от людей, не имевших отношения к научной среде. Наряду с Алэном Ласку и Роже Годеманом, меня в то время очень поддержал Жан Дьедонне. Жан приехал на заседание суда в Монпелье, где горячо свидетельствовал в мою защиту. Впрочем, как я уже говорил, мое дело было заранее обречено на провал.
(18). Думаю, что я ошибся тогда вовсе не по небрежности. Просто я еще многого не знал: мне не хватало зрелости. Только десятью годами позже я начал задумываться о природе психологического барьера, о том, какие внутренние механизмы его вызывают. Тогда же я стал обращать внимание на действие этих механизмов: в себе самом, в своих близких и учениках. Я понял, что они играют важную роль во всей нашей жизни, не только в учебе или работе. Конечно, мне жаль, что в случае с теми двумя молодыми людьми мне не хватило прозорливости. Все же я не раскаиваюсь в том, что ясно высказал им свое, пусть не слишком обоснованное, впечатление от нашей совместной работы. Если ты думаешь, что человек несерьезно относится к своей работе, ты должен прямо сказать ему об этом - мне кажется, это правильно и даже необходимо. Конечно, я мог поспешить с выводами, и все же за последствия отвечаю не я один. После такого нагоняя у ученика остается выбор: извлечь из этого урок (первый из них, по-видимому, так и поступил) или сдаться, опустить руки. Даже если он решит оставить математику, он всегда может попробовать свои силы в другом ремесле - а ведь это вовсе не так уж плохо!
Примечания
( 9). После 1970 г. еще один молодой человек, Ив Ладегейри, подготовил и защитил диссертацию под моим руководством. Мои ученики первого периода - это П. Бертло, М. Демазюр, Ж. Жиро, госпожа Хаким, госпожа Хоань Суан Син, Л.Иллюзи, П. Жуанолу, М.Рэйно, госпожа Рэйно, И. Сааведра, Ж.Л.Вердье. (Шестеро из них, впрочем, закончили работу над диссертацией после 1970 г. - то есть в ту пору, когда я уже не так много времени уделял математике.) Мишелю Рэйно принадлежит здесь особое место. Он сам наметил основные вопросы и существенные понятия для своей диссертации, над которой и в дальнейшем работал совершенно самостоятельно. Моя роль как «научного руководителя», таким образом, сводилась к тому, чтобы прочесть готовую диссертацию, созвать ученый совет и ввести в курс дела его участников.
По сути, мне безразлична судьба готовых вещей: что ждет их в будущем, сохранят ли их «потомки» (есть ли будущее у наших потомков - тоже вопрос…). Меня интересует не то, что я сделал, а то, чего я не сделал, не довел до конца. Тогда, в прошлом, перед моим мысленным взором развернулась огромная картина будущего труда. Из той обширной программы мне удалось выполнить, как своими усилиями, так и с помощью друзей и учеников, лишь ничтожно малую часть. Позднее, неожиданно для меня самого, эта программа пережила обновление, и вместе с ней изменилось мое собственное представление о математике, мой подход к математическому труду. Прежде я, как правило, брался за серьезные задачи по заложению основ в той или иной области математики - труд кропотливый и тщательный. Нынче же темы, о которых я говорил, выходят на первый план. Пришла пора исследовать тайны, влекущие меня за собой с особенной силой: например, загадки «мотивов» или проблемы «геометрического» описания группы Галуа Q/Q. Само собою, попутно мне так или иначе предстоит заложить кое-где основы будущих зданий - по крайней мере, набросать план в общих чертах. «Долгий поход сквозь теорию Галуа», как и книга, которую я пишу сейчас, «В погоне за стеками», уже содержит такие наброски. И все же, это работа совсем иного толка: цель не та, и самый стиль изложения изменился.
Иначе говоря, в эти последние годы, лишь изредка оборачиваясь в сторону математических ручьев и долин, я видел сквозь туман тайные, призрачные очертания неведомых зданий и предчувствовал их несказанную красоту. Я знал, что эта красота - не для меня одного, что я должен о ней рассказать. Самый смысл ее - в том, чтобы ее увидели люди, чтобы знание о ней усваивалось, передавалось из уст в уста… Но рассказать о ней словами, хотя бы себе самому - значит развить сюжет, придать картине глубину перспективы; это труд. Конечно же, я знаю, что мне одному и за сотню лет не завершить этой работы. Но подобает ли нам беречь и высчитывать годы - те, что нам осталось прожить, открывая мир? Месяцы ли, годы ли заберет у меня математика - моя ли это забота? Другая работа тем временем будет ждать моих рук - труд, на сей раз предназначенный лишь мне одному. Жизнь моя сама выберет себе русло, и я не волен, да и не в силах, стать на пути у текущих лет.
Примечания
(1). (Добавлено в марте 1984 г.) Кажется, здесь я немного перегнул палку. Утверждать, будто «стиль» и «метод» моей работы остались прежними, в то время как мой стиль изложения в математике преобразился до неузнаваемости, - это уже чересчур. Возьмем пример: вот уже год, как я размышляю над книгой «В погоне за стеками». За работой я почти не отрываюсь от пишущей машинки и все, что «выходит из-под пера» (по всем признакам, «черновой» вариант!), собираюсь публиковать как есть, безо всякой отделки. (Разумеется, чтобы облегчить труд читателя, в текст будут включены сравнительно короткие примечания, содержащие необходимые ссылки, поправки и проч.) Ни ножниц, ни клея для тщательной подготовки «окончательного» варианта рукописи (совершенного по форме: такого, чтобы в нем нельзя было уловить и следов кропотливого труда исследователя-чернорабочего) - это ли не перемена «стиля» и «метода»! Изложение мыслей на бумаге - та же математика; эти два вида работы («придумывать» и «записывать») так тесно связаны между собой, что разделить их во времени невозможно.
(2). (Добавлено в марте 1984 г.) Перечитывая два последних абзаца, я ощутил некоторую неловкость. В тот момент, когда я их писал, мне, очевидно, и в голову не приходило, что все сказанное может относиться и ко мне, а не только к другим. Я замечал те или иные вещи в других людях - и позднее, с течением лет, не раз убеждался в справедливости своих догадок. Но вот, даже изложив (и не без злорадства, как водится) свои открытия на бумаге, применять их к себе я так и не научился. Теперь, разбираясь в своих воспоминаниях, я увидел, что в прошлом я и сам не раз испытывал презрение к своему ближнему: это чувство не обошло меня стороной. Глядя на других, я отмечал, что в людях оно идет от скрытого презрения к себе самому. Было бы странно, если бы я оказался единственным исключением из этого правила. Это противоречило бы как здравому смыслу, так и моему личному
Примечания
опыту: я слишком хорошо знаю за собой обыкновение, глядя «вдаль», закрывать глаза на то, что творится у меня под носом - в первую очередь, в моей собственной душе. Однако, пока это лишь умозаключения - то есть не более, чем повод еще раз оглянуться на себя и на свое прошлое. Если и есть во мне это презрение к себе самому, то оно, должно быть, нарочно скрывается от меня: во всяком случае, до сих пор мне не удалось его обнаружить. Воистину, нет конца загадкам души человеческой! Но разрешить ту, с которой я только что столкнулся, мне сейчас представляется особенно важным: именно потому, что она все это время ускользала от моего взгляда {86} .
(3). Здесь уместно поговорить, в частности, о покойных гипотезах Морделла, Тэйта и Шафаревича. Все три были доказаны в прошлом году в работе Фалтингса длиной в сорок страниц. Это случилось в тот самый момент, когда все, кто «разбирается» в данной области, дружно сошлись на том, что эти гипотезы находятся «вне пределов досягаемости» научной мысли. Вышло так, что «главная» гипотеза, на которой основана моя программа по «анабелевой алгебраической геометрии», по смыслу близка как раз к гипотезе Морделла. (Более того, похоже на то, что последняя вытекает из первой. Однако, никто не обратил на это внимания - верно, солидные люди не приняли всерьез этой программы, которая вообще немало для меня значит…)
(4). Впрочем, и в наши дни встречаются сомнительные доказательства. Например, доказательство Грауэрта теоремы конечности, получившей его имя. Несколько лет кряду его никто не мог прочесть, при том, что добровольцев хватало. Путаница разрешилась благодаря другим, более прозрачным доказательствам, которые появились позднее; некоторые из них в определенном смысле пошли дальше исходного. Похожая, но уже совсем из ряда вон выходящая история произошла с «решением» так называемой проблемы четырех красок. Его «вычислили» при помощи компьютера (и нескольких миллионов долларов). В то время как настоящее доказательство в математике всегда идет от внутреннего убеждения человека, от ясного понимания той или иной ситуации, здесь речь идет о расчете, основанном на доверии к машине, лишенной способности мыслить и понимать. Математик, взявшийся за эту
Примечания
работу, не понимает ее устройства; может ли он поручиться за результат? Даже если расчет будет подтвержден при проверке на других компьютерах, другими программами, я все равно не соглашусь признать проблему четырех красок закрытой. Это означало бы только, что можно оставить поиски контрпримера. Вопрос о настоящем доказательстве (разумеется, о таком, чтобы его можно было прочесть!) даже при этих условиях остается открытым.
(5). Это тем более примечательно, что вплоть до 1957 г. некоторые из членов группы Бурбаки относились ко мне не без некоторой настороженности. В конце концов они со мной смирились, хотя, думается мне, не без колебаний. Надо мной добродушно подшучивали, называя «опасным специалистом» (по функциональному анализу). Картан, должно быть, относился ко мне сдержаннее: иногда я чувствовал это. Кажется, в первые годы нашего знакомства он находил, что я склонен к поверхностным и безосновательным обобщениям. Помню, как он удивился, обнаружив в первой (и последней), чуть длинноватой, редакции главы, которую я написал для Бурбаки (речь шла о дифференциальном исчислении на многообразиях) какие-то содержательные мысли: в свое время, когда я предложил взять этот раздел на себя, он явно не был особенно рад. (Потом я еще раз вернулся к этим мыслям - намного позднее, когда развивал формализм вычетов с точки зрения когерентной двойственности.) Впрочем, на сборах Бурбаки я и сам нередко чувствовал себя потерянно, особенно во время совместных чтений по главам. Следить за ходом лекций и дискуссий в том ритме, в котором они обыкновенно проистекали, определенно было мне не по силам. Возможно, я и в самом деле не гожусь для совместной работы. То, что я с таким трудом вписывался в общий ритм, могло вызывать у Картана и прочих некоторую настороженность, но насмешки или снисходительное пренебрежение - никогда (разве что Вейль пару раз прошелся на мой счет, но это уж решительно особый случай!). Все эти годы Картан был со мною неизменно приветлив. Таков он был со всеми: сердечность, мягкость в отношениях с людьми, тонкий юмор для меня неотделимы от его образа.
(6). Среди друзей, которые помогли мне избавиться от этой иллюзии, я, конечно же, должен упомянуть и Пьера Самюэля. Как и Клода Шевалле, я раньше знал его в основном по Бурбаки; как и Шевалле,
Примечания
в группе «Survivre et Vivre» он играл важную роль. Мне кажется, что Самюэля мысль о превосходстве ученых над простыми смертными не особенно занимала, и не то, чтобы он был склонен к этому заблуждению. В «Survivre et Vivre» он многое сделал в основном, думается мне, благодаря своему здравому смыслу и неизменно веселому настроению. Это чувствовалось всегда - во время совместной работы, в ходе разнообразных дискуссий, просто в дружеской беседе. И, конечно, ему с особенным изяществом удавалась роль «несносного реформиста» в группе весьма критической, радикальной направленности. Он оставался в «Survivre et Vivre» еще какое-то время после моего ухода и редактировал там одноименный бюллетень. Позднее, почувствовав, что его присутствие стало излишним, он также вышел из группы (чтобы присоединиться к «Les Amis de la Тегге»). Он расстался с товарищами по группе мирно и дружелюбно, никого не задев.
У нас с Самюэлем было много общего: мы оба принадлежали к одному и тому же тесному кругу, давно знали друг друга, говорили на одном языке. И все же, в те бурные годы мне было чему у него поучиться (это при том, что ученик из меня решительно никудышный). В этом смысле с ним все было, как с Шевалле, хотя они ничуть не похожи. Он отнюдь не пытался нарочно излечить меня от моих «меритократических» слабостей, не критиковал их и не рассуждал о морали. Просто то, как он жил, как он держал себя, действовало на меня лучше всяких лекарств.
Вообще, мне кажется, что только таким способом я и учился у людей в тот период. Личный пример спасал положение там, где ни разъяснения, ни дискуссии не помогли бы. То, как мои друзья поступали в тех или иных ситуациях, самый их образ жизни, какая-то особая чувствительность, которой мне недоставало, - что-то из этого мне все-таки «передалось». В связи с этим, кроме Шевалле и Самюэля, я мог бы назвать еще несколько имен. Это прежде всего Дени Гедж (в группе «Survivre et Vivre» пользовавшийся большим авторитетом), Даниэль Сибони (напротив, державшийся в стороне от группы, и лишь искоса, пренебрежительно-насмешливо, следивший за ее развитием), Гордон Эдварде (при его участии это «движение» зародилось в июне 1970 г. в Монреале, а позже он творил чудеса усердия, добиваясь выхода американского издания бюллетеня «Survivre et Vivre» на английском языке), Жан Делор (врач, фактически мой ровесник, человек тонкий и душевный, который тепло относился ко мне, как и все наши друзья по «Survivre et Vivre»), Фред Снелл (тоже врач, из Буффало; он обосновался в Соединенных Штатах, и я в свое время гостил у него в загородном домике, когда приезжал туда по делам).
Из тех, кого я только что перечислил, пятеро были математиками, двое - врачами, и все - учеными. Итак, ближайший круг моего общения в те годы составляли по-прежнему ученые, и прежде всего математики.
(7). Предыдущий абзац, первый во всем введении, я сначала было вычеркнул целиком, а потом много раз пытался переправить. Выбор слов мне никак не удавался, и дело продвигалось как-то против шерсти. Явно прослеживалось влияние какой-то силы, которая побуждала меня поторопиться, поскорее закончить разговор об этой истории. Дескать, отчитайся об этом пустяковом случае для очистки совести, а там уже пора перейти к вещам серьезным. Что это, как не знакомые признаки внутреннего сопротивления? На этот раз оно пытается удержать меня от того, чтобы я внимательно рассмотрел этот эпизод и раскрыл для себя его значение, недвусмысленно говорящее о моей собственной внутренней позиции. Совершенно аналогичная ситуация уже была описана в начале введения (§2). Там речь шла об одном из определяющих моментов в математической работе, о минуте, когда противоречие, и весь его смысл, вдруг открывается твоим глазам. В этом случае роль внутреннего сопротивления играет инерция ума, который всегда неохотно расстается с ошибочным или недостаточно широким видением (самолюбия нашего это, однако же, не затрагивает). Но в жизни сопротивление более активно, а то и изобретательно, в то время как эта инерция в математике - просто пассивная сила. И вот когда я, ломая голову в поисках слов, преодолел внутреннее сопротивление, открытие явилось мне во всей своей ясности и простоте. И тогда - как будто тяжелый камень упал с души: наступила минута освобождения. И оно ощущалось острее, чем в математике. Но это было не просто преходящее чувство. Скорее, это пронзительное, благодарное восприятие того, что ты видишь в себе и перед собой. А видишь ты не что иное, как свободу: открытую дверь и сбитый замок.
(8). Как станет ясно в дальнейшем, эта двусмысленность отнюдь не «исчезла вскоре после моего пробуждения в 1970 г.». Тут прием отступления, типичный для моей тактики в этом вопросе. Пускай все приобретения с потерями остаются за демаркационной линией 1970-го г.; зато там уже, впереди, мое поведение будет безупречным!
(9). Это не совсем точно. Как выяснится дальше, среди моих ближайших коллег по крайней мере одно исключение да найдется. Здесь видна характерная «леность» памяти, зачастую предпочитающей как-то «замять» факты, если они не укладываются в привычные рамки.
(10). Например, я уже потерял счет случаям, когда, отправляя письмо коллеге или бывшему ученику (которого считал своим другом), я так и не получал ответа. Письмо могло быть каким угодно - математическим, деловым, просто личным. Похоже, что дело не в том, как эти люди относились ко мне лично. Скорее, это признак перемены нравов, ведь о том же мне говорили многие. Правда, им-то не отвечали незнакомые люди, да и речь шла в основном о письмах чисто математического содержания…
(п). Конечно, тут я мог и позабыть - не говоря уже о том, что моя тогдашняя «зацикленность» отнюдь не располагала ни к попыткам заговорить со мной о чем-нибудь в этом роде, ни к тому, чтобы подобный разговор мне запомнился. Одно несомненно: затронуть в беседе этот вопрос (даже не называя страха страхом…) само по себе было бы крайне необычно. Вероятно, в этом смысле ничего не изменилось и по сей день, в особенности в «высших кругах».
Значит ли это, что страх в свое время прокрался в нашу среду незамеченным? Если не считать Шевалле, который, по-видимому, обратил внимание на эту перемену в нашей обстановке еще в шестидесятые годы, среди моих многочисленных друзей-математиков «высшего ранга», по моим представлениям, только один человек понимал, что происходит вокруг. Это был Альдо Адреотти. С ним, с его женой Барбарой и с их детьми-близнецами я познакомился в 1955 г. (кажется, на вечере у Вейля в Чикаго). С тех пор мы с ним близко общались вплоть до «резкого поворота» в моей жизни в 1970 г., когда я ушел из мира математики. После этого я в какой-то мере потерял его из виду. Альдо был очень проницателен; свойственное ему исключительно живое, острое восприятие действительности ничуть не притупилось от общения с математикой и с «зацикленными» чудаками вроде меня. Природа
Примечания
наградила его редкой доброжелательностью: всякого, кто к нему обращался, он принимал тепло, с искренним участием. Этим он заметно выделялся среди моих друзей в математическом мире (да и не только в нем). Дружба у него неизменно шла впереди математики (впрочем, и в математике общих интересов у нас хватало). Он был в числе тех немногих коллег, с которыми я иногда говорил о себе; в ответ и он рассказывал мне кое-что из своего прошлого. Его отец, как и мой, был евреем: за это его преследовали в Италии при Муссолини, как меня - в гитлеровской Германии. Он всегда был готов ободрить и поддержать молодого ученого, при том, что начинающим математикам в ту пору становилось все труднее добиться «официального» признания. Наш мир неумолимо раскалывался на две части: на одном краю пропасти - знаменитости, известные математики, молодые ученые, подающие надежды, на другом - обделенные судьбою простые смертные. Но Альдо, прожив в нем годы, все же не разучился уважать в человеке человека, а не почетную должность или мундир с отличиями. Сам Альдо был необыкновенно милым, душевным человеком, он неизменно располагал к себе с первой же встречи.
Думая об Альдо, я вспомнил еще об одном друге - Ионеле Букуре, который исчез из моей жизни столь же внезапно и преждевременно. Здесь, как и с Альдо, меня гораздо больше огорчает потеря друга, чем собеседника на математические темы. Доброта уживалась в нем бок-о-бок с необычайной застенчивостью; он, казалось, при любых обстоятельствах спешил стушеваться, отступить в сторону. Для меня загадка, как человек, настолько далекий от каких бы то ни было честолюбивых мыслей и побуждений (принимать важный вид, пуская окружающим пыль в глаза, было отнюдь не в его привычках!), оказался в конце концов деканом Факультета Наук в Бухаресте. Вероятнее всего, он просто не допускал и мысли о том, что может позволить себе отказаться от ответственности. К солидной должности он отнюдь не стремился: этот груз взвалили ему на плечи (довольно крепкие, нельзя не признать) местные власти. Он был сыном крестьянина (это обстоятельство, несомненно, сыграло свою роль в стране, где так много значило «классовое происхождение»), человеком простым и здравомыслящим. Конечно, страх, окружавший в те дни фигуру знаменитого ученого, не мог ускользнуть от его наблюдательности. Но в его глазах это, безусловно, было всего лишь неотъемлемым атрибутом положения у власти. Не думаю, однако, чтобы он сам мог вызывать страх у кого бы то ни было: уж во всяком случае, не у своей жены Флорики и не у сына Александра. Коллеги и студенты, по слухам, тоже никогда его не боялись.
(12). «На другое же утро» здесь следует понимать буквально - это не метафора.
(13). Само собой, весь этот разговор - не более чем попытка как-нибудь восстановить ощущение от обстановки тех лет, насколько позволяет «туман» расплывчатых воспоминаний. Но картина никак не «вырисовывается», в ней нет четких линий, и я не могу в ней уловить сколько-нибудь ясных, конкретных образов. Конечно, хорошо было бы вспомнить в подробностях какую-нибудь историю и потом тщательно ее проанализировать. Но тогда мой рассказ мог бы создать у читателя впечатление, будто всякий, кто не любил садиться в первых рядах на математических семинарах и не считался знаменитостью в нашем кругу, непременно робел в присутствии «старших по рангу». А это заведомо было не так: большинство моих друзей из этой среды, в том числе те, кто часто посещал коллоквиумы и семинары, в разговоре с авторитетными математиками чувствовали себя вполне свободно. Как бы то ни было, статус «знаменитости» сам по себе стал создавать преграду, пропасть между «выдающимся математиком» и простым ученым без титулов. Этот барьер было непросто преодолеть - разве что на время математической дискуссии (потом он появлялся снова). Добавлю, что субъективно ощущаемое различие (которое все же представляется мне весьма реальным) между «первыми рядами» и «болотом» отнюдь не сводится к шкале общественного положения, званиям, постам и проч. - ни даже к авторитету в научном мире. Оно, скорее, отражает определенные особенности человеческого характера, строя души, разобраться в которых - нелегкая задача. Двадцати лет от роду, оказавшись в незнакомом Париже, я уже знал, что я - математик, что я творю математику. Несмотря на ошеломляющее впечатление, которое произвел на меня с первых же шагов огромный математический мир, по сути я чувствовал себя полноправным его обитателем. Правда, никто, кроме меня, об этом не подозревал; да я и сам не был уверен поначалу, что собираюсь продолжать свои математические занятия. Сегодня я, наверное, сел бы в последнем ряду (а скорее всего у меня просто не было бы выбора).
Примечания
( ). Если так, отчего же я сам несколькими строками раньше писал, что в группе не было руководителя? В действительности никакого противоречия здесь нет. Для старых Бурбаков Вейль был как бы душою группы - отнюдь не «начальником». Когда он появлялся на наших сборищах, то иногда - по настроению - брал на себя роль «ведущего» (как я уже писал). Но правила игры выбирал не он, они были одни для всех. Когда он приходил в дурном расположении духа, он мог остановить дискуссию, если его не устраивала тема. Тогда обсуждение спокойно возобновлялось на другой же день, в отсутствие Вейля или даже с его участием (если он больше не протестовал). То или иное решение в группе принималось лишь в том случае, если все были «за». Иногда (и даже нередко) «против» оказывался только один человек, и этого хватало. Я знаю, это звучит нелепо: кажется, по такому принципу группа работать не может. Хотите - верьте, хотите - нет, но Бурбаки работали превосходно!
(15). Эта «аллергия» на стиль Бурбаки, мне кажется, не препятствовала личному общению. Члены группы, а также «сочувствующие», легко находили общий язык с представителями «противоположного лагеря». Это было бы не так, если бы Бурбаки держались особняком, как закрытая секта, элита в элите. Независимо от своего подхода к математической работе, каждый из членов группы живо ощущал математические реалии и знал об их природе не понаслышке. Так было вначале; но помнится, уже в шестидесятые годы один из моих друзей завел привычку называть «занудами» коллег, которые, по его мнению, занимались неинтересной работой. Речь шла о вещах, в которых я тогда почти совсем не разбирался, свои нелестные оценки мой друг раздавал направо и налево с завидной самоуверенностью, - словом, я попался на удочку и долгое время принимал его суждения за чистую монету. Так было, пока один такой «зануда» - уж не знаю, чем он не угодил моему блистательному приятелю - не поразил меня оригинальностью и глубиной мысли. Кажется, чего проще: если ты не знаком с работой или не слишком хорошо разбираешься в теме, будь скромнее, воздержись от поспешных суждений. У меня есть чувство, что перемены в нашей среде начались с того, что некоторые члены группы Бурбаки стали слишком охотно пренебрегать этим правилом. При этом у них еще сохранялся «математический инстинкт»: умение распознать серьезный, содержательный,
Примечания
богатый находками труд без ссылки на научную репутацию или известность автора. Но похоже, что с потерей профессиональной скромности такой инстинкт изнашивается намного быстрее: в наши дни он уже сделался редкостью в математических кругах. Я сужу об этом по многочисленным откликам, доносящимся ко мне с разных сторон.
(16). Правда, несколько таких отдельных «маленьких микрокосмов» все же существовало (и некоторые из них, пожалуй, нельзя было назвать «маленькими»). Иногда они жили своей жизнью, в стороне от мира Бурбаки. Однако, скажем, вокруг меня нечто подобное возникло лишь после того, как я вышел из состава группы и смог, наконец, заняться тем, что меня особенно увлекало.
(17). Теплые отклики, как и действенная помощь, приходили ко мне в основном от людей, не имевших отношения к научной среде. Наряду с Алэном Ласку и Роже Годеманом, меня в то время очень поддержал Жан Дьедонне. Жан приехал на заседание суда в Монпелье, где горячо свидетельствовал в мою защиту. Впрочем, как я уже говорил, мое дело было заранее обречено на провал.
(18). Думаю, что я ошибся тогда вовсе не по небрежности. Просто я еще многого не знал: мне не хватало зрелости. Только десятью годами позже я начал задумываться о природе психологического барьера, о том, какие внутренние механизмы его вызывают. Тогда же я стал обращать внимание на действие этих механизмов: в себе самом, в своих близких и учениках. Я понял, что они играют важную роль во всей нашей жизни, не только в учебе или работе. Конечно, мне жаль, что в случае с теми двумя молодыми людьми мне не хватило прозорливости. Все же я не раскаиваюсь в том, что ясно высказал им свое, пусть не слишком обоснованное, впечатление от нашей совместной работы. Если ты думаешь, что человек несерьезно относится к своей работе, ты должен прямо сказать ему об этом - мне кажется, это правильно и даже необходимо. Конечно, я мог поспешить с выводами, и все же за последствия отвечаю не я один. После такого нагоняя у ученика остается выбор: извлечь из этого урок (первый из них, по-видимому, так и поступил) или сдаться, опустить руки. Даже если он решит оставить математику, он всегда может попробовать свои силы в другом ремесле - а ведь это вовсе не так уж плохо!
Примечания
( 9). После 1970 г. еще один молодой человек, Ив Ладегейри, подготовил и защитил диссертацию под моим руководством. Мои ученики первого периода - это П. Бертло, М. Демазюр, Ж. Жиро, госпожа Хаким, госпожа Хоань Суан Син, Л.Иллюзи, П. Жуанолу, М.Рэйно, госпожа Рэйно, И. Сааведра, Ж.Л.Вердье. (Шестеро из них, впрочем, закончили работу над диссертацией после 1970 г. - то есть в ту пору, когда я уже не так много времени уделял математике.) Мишелю Рэйно принадлежит здесь особое место. Он сам наметил основные вопросы и существенные понятия для своей диссертации, над которой и в дальнейшем работал совершенно самостоятельно. Моя роль как «научного руководителя», таким образом, сводилась к тому, чтобы прочесть готовую диссертацию, созвать ученый совет и ввести в курс дела его участников.