Страница:
{45}
. Это они
Есть много других «топологических инвариантов», введенных топологами, чтобы подступиться к того или иного рода свойствам топологических пространств. Если не говорить о «размерности» пространства и (ко)гомологических инвариантах, первые из числа прочих инвариантов - «гомотопические группы». Я ввел новый инвариант в 1957 г.: группу К{Х) (так называемую «группу Гротендика»), которой сразу же посчастливилось получить признание и чья значимость (как для топологии, так и в арифметике) не устает подтверждаться снова и снова.
Множество новых инвариантов, по своей природе изощренней тех, что в наше время известны и используются, но по моему ощущению совершенно фундаментальных, намечено в моей программе по «ручной топологии» (ее краткий обзор включен в «Набросок Программы», который войдет в четвертый том «Раздумий»). Эта программа основывается на понятии «ручной теории», или «ручного пространства», которое представляет собой, в чем-то как и понятие топоса, (вторую) «мета-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
подают голос (правда, в основном «между строк») в гипотезах Вейля, являясь для них глубоким «оправданием бытия» и придавая им (по крайней мере для меня, «впутанного в это дело» объяснениями Серра) полный их смысл. Но возможность связать эти инварианты с «абстрактными» алгебраическими многообразиями, о которых шла речь в этих гипотезах, способом в точности отвечающим прозвучавшим там требованиям, оставалась не более чем надеждой. Сомневаюсь, что кто-либо помимо Серра и меня самого (даже - ив первую очередь - лично Андрэ Вейль!) {46} мог в нее верить…
Незадолго до этого наше представление об этих инвариантах оказалось значительно обогащенным и обновленным работами Жана Лерэ (написанными в плену в Германии, во время войны, в первой половине сороковых). Существенно новаторской была идея пучка (абелева)
морфозу понятия пространства». Оно намного прозрачнее (как мне кажется) и не такое глубокое, как это последнее. Я, однако, предвижу, что его воздействие на топологию «собственно говоря» определенно должно быть еще значительней, и что благодаря ему «ремесло» геометра-тополога изменится целиком, сверху донизу - путем глубокого преобразования концептуального контекста, в котором он работает. (Как это уже случилось с алгебраической геометрией после введения точки зрения теоретико-схемной.) Я послал свой «Набросок» нескольким старым друзьям и известным топологам, но непохоже, чтобы содержание их сколько-нибудь заинтересовало …
Мне представляется, что этот «барьер» у Вейля был частью общей неприязни ко всякого рода «нагромождениям», ко всему, что приходилось сродни формализму (и не могло быть изложенным на нескольких страницах), или «конструкции», сколько-нибудь запутанной. В нем определенно не было ничего от «строителя», и очевидно, что именно против воли он был принужден в течение тридцатых-сороковых годов заниматься развитием первоначальных основ «абстрактной» алгебраической геометрии, которые (ввиду степени его расположенности к этому труду) явились воистину «Прокрустовым ложем» для потребителя.
Я не знаю, желал ли он, чтобы я пошел дальше и вложил свои силы в построение больших зданий, которые позволили бы мечтам Кронекера и его собственным воплотиться в языке и инструментах изощренных и эффективных. Он ни словом не откомментировал ни тот труд, в который видел меня погруженным, ни уже готовые части работы. Так же не получил я и отклика на «РС», экземпляр которых послал ему больше чем три месяца назад, с теплой дарственной надписью, сделанной от руки.
над пространством, с которым Лерэ связал соответствующие «группы когомологии» (так называемые «когомологии с коэффициентами в пучке»). Это было как если бы старый добрый, «когомологический», эталон метра, которым располагали до сих пор для «измерения» пространства, превратился вдруг в невообразимое множество новых «метров» всевозможной величины, формы и содержания, каждый внутренне приспособленный к рассматриваемому пространству, о котором поставляет нам сведения с безупречной точностью, причем такие, какие может дать только он один. Это была главная идея в глубоком преобразовании нашего подхода к пространствам всех видов и, безусловно, одна из важнейших идей, появившихся в течение этого столетия. Благодаря прежде всего последующим работам Жан-Пьера Серра идеи Лерэ уже в первое десятилетие после своего появления на свет принесли такие плоды, как впечатляющий прорыв в развитии теории топологических пространств (и в частности их инвариантов, называемых «гомотопическими», тесно связанных с когомологиями), и другой, не менее важный, прорыв в так называемой «абстрактной» алгебраической геометрии (с основополагающей статьей «АКП» Серра, опубликованной в 1955 г.). Мои собственные работы по геометрии, начиная с 1955 г., шли в продолжение этих трудов Серра и, тем самым, новаторских идей Лерэ.
13. Точка зрения и язык пучков, введенные Лерэ, заставили нас рассмотреть «пространства» и «многообразия» всех родов в новом свете. Они не затрагивали, однако, самого понятия пространства, ограничиваясь тем, что предоставили нам возможность, вглядевшись новыми глазами, достичь более тонкого понимания устройства традиционных «пространств», уже всем знакомых. Однако это понятие пространства оказалось неадекватным для того, чтобы дать отчет о наиболее существенных «топологических инвариантах», выражающих «форму» абстрактных алгебраических многообразий (с которыми связаны гипотезы Вейля), даже «схем» вообще (обобщающих старинные многообразия). Для ожидаемого «союза» числа и величины (размера) это ложе было бы решительно тесновато: на нем сумел бы с грехом пополам устроиться разве что один из будущих супругов (именно, невеста), но никак не оба сразу! «Новый принцип», который еще оставалось найти, чтобы свадьба, обещанная добрыми феями, совершилась, был попросту иным, просторным ложем, которому недоставало лишь новобрачных - и никто его не замечал до некоторых пор…
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Эта «двуместная кровать» возникла (как по мановению волшебной палочки) с появлением идеи топоса. Эта идея охватывает в общетопологической интуиции как традиционные топологические пространства, олицетворяющие мир непрерывной величины, вместе с (самозванными) «пространствами» (или «многообразиями») неприкаянных служителей абстрактной алгебраической геометрии, так и бесчисленное множество других типов структур, до тех пор казавшихся безнадежными пленниками «арифметического мира» систем «разрывных», или «дискретных».
Концепция пучков и была тем безмолвным вожатым, тем действенным ключом (отнюдь не тайным), приведшим меня, не петляя и без проволочек, к супружеской опочивальне с просторным брачным ложем. Места в самом деле довольно; это ведь как широкая тихая река, чьи воды до того глубоки, что
«Всем царским коням заодно Допить до дна бы мудрено…»
- как поется в старинной песенке, которую ты наверное певал и сам, или по меньшей мере слышал. И тот, кто спел ее первым, верней ощутил бы скрытую красоту и спокойную силу топоса, чем любой из моих ученых коллег, прежних учеников и друзей…
Ключ был один и тот же - как при первоначальном, предварительном подходе (через посредство весьма удобного, но менее подлинного понятия «ситуса»), так и в случае топоса. Идею топоса я хотел бы сейчас попытаться описать.
Рассмотрим совокупность всех пучков над заданным (топологическим) пространством, или, если угодно, тот диковинный арсенал, образованный всеми эталонами метра, служащими для его измерения {47} . Мы рассмотрим эту «совокупность», или «арсенал», как снабженный наиболее очевидной структурой, которую ему можно приписать, так сказать, «на глазок» - именно, структурой, называемой «категорией». (Читателю, не знакомому с термином в техническом смысле, не о чем беспокоиться. Это совсем не понадобится в дальнейшем.) Это нечто вроде
«сверхструктуры измерения» по имени «категория пучков» (над рассматриваемым пространством), которая впредь будет считаться как бы «воплощающей» то, что наиболее существенно для пространства. Это законно (с точки зрения «математического здравого смысла»), поскольку оказывается возможным «воссоздать» полностью исходное топологическое пространство {47} в терминах «категории пучков» (или арсенала измерительных приборов), ему соответствующей. (Проверить это - простое упражнение; конечно, когда вопрос уже поставлен…) Ничего больше не нужно для уверенности в том, что (если это почему-либо для нас заманчиво) мы отныне можем «забыть» об исходном пространстве, чтобы держать в уме и использовать только соответствующую «категорию» (или «арсенал»), которая будет рассматриваться как наиболее адекватное олицетворение топологической (или «пространственной») структуры, о выражении которой идет речь.
Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря решающему влиянию идеи о пучке, или «когомологическом метре») выразить некоторое понятие («пространства», в данном случае) в терминах другого («категории»). Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного и другого. Так, ситуация по природе «топологическая» (воплощенная в данном пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по природе «алгебраической» (воплощенной в «категории»); или, если угодно, «непрерывное», воплощенное в образе пространства, предстает «переданным», или «выраженным» структурой категории, по природе «алгебраической» (воспринимавшейся до сих пор как существенно «разрывная», или «дискретная»).
Более того, первое из этих понятий - пространства - казалось нам в каком-то смысле понятием (по содержательности) «максимальным» - настолько уже обобщенным, что едва ли можно себе представить его расширение, которое оставалось бы в рамках «разумного». Напротив, другая сторона зеркала {48} , эти «категории» (или «арсе-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
налы»), с которыми сталкиваются, сойдя с крыльца топологических пространств, имеют весьма частную природу. Они располагают в действительности набором свойств в высшей степени типических {49} , что делает их как бы «имитациями» самой простой из них, какую только можно вообразить - той, которую получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке. То есть «пространство в новом стиле» (или топос), обобщающее традиционные топологические пространства, будет описываться попросту как «категория», которая, не вытекая с необходимостью из обыкновенного пространства, тем не менее обладает всеми хорошими свойствами (единожды четко для всех определенными, разумеется) этой «категории пучков».
* * *
Вот это и есть новая идея. Ее возникновение можно рассматривать как результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты, что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве - это отнюдь не его «точки» и не его «подмножества» {50} с отношениями близости между ними, но пучки над этим пространством и категория, которую они образуют. В том, чего я добился, я лишь довел до логического конца исходную идею Лерэ - тем самым переступил нечто, решившись сделать шаг.
Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как всякая «большая идея» (концепция), которая переворачивает вверх дном закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет своей естественностью, «очевидностью», простотой (на грани, я бы сказал, наивности и простоты даже «глуповатой») - тем особенным свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: «О, это невозможно!» - полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с оттенком, который можно передать словами «сумасбродно», «несерьезно», припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись с чем-то
категорию, рассматриваемую как что-то вроде «двойника» пространства, «другой стороны зеркала»…
простым до неприличия. С тем, что нам напоминает, быть может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо мы давно от них отреклись…
14. Понятие схемы представляет собой значительное расширение понятия алгебраического многообразия, и за счет этого полностью обновляет алгебраическую геометрию, завещанную моими предшественниками. Понятие топоса - расширение или, лучше сказать, метаморфоза понятия пространства. Тем самым оно обещает произвести сходное обновление топологии и, за ее пределами, геометрии. Уже сейчас, впрочем, оно успело сыграть решающую роль для расцвета новой геометрии (главным образом через посредство вышедших из него тем /-адических и кристальных когомологии, позволивших доказать гипотезы Вейля). Идея топоса, как и ее старшая сестра (почти близнец), имеет две дополняющие друг друга черты, существенные для полного и плодотворного обновления; вот они.
Во-первых, новое понятие не чересчур широко, в том смысле, что на новые «пространства» (лучше называть их топосами, чтобы не задеть чуткого уха) {51} самые важные интуитивные представления и геометрические конструкции {52} , знакомые по старым добрым пространствам прежних времен, переносятся более или менее очевидным образом. Иначе говоря, для новых объектов имеется в распоряжении вся богатая гамма мысленных образов и ассоциаций, понятий и определенных технических средств, какие прежде не выходили за границы области объектов старинного толка.
Во-вторых, новое понятие в то же время достаточно широко, чтобы охватить все множество ситуаций, в которых, как раньше считалось, не место интуитивным представлениям «тополого-геометрической» приро-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
ды - именно, тем, какие тогда связывались только с обыкновенными топологическими пространствами (и не без основания…).
С позиции гипотез Вейля решающим здесь является то обстоятельство, что новое понятие в действительности достаточно широко для того, чтобы позволить нам связать с любой «схемой» такое «обобщенное пространство», или «топос» (называемое «этальным топосом» рассматриваемой схемы). С самого начала было похоже, что определенные «когомологические инварианты» этого топоса (все, что есть внутри у этой смешной игрушки!) имели неплохой шанс обеспечить все необходимое для раскрытия полного смысла этих гипотез, и (кто знает!) предоставить, быть может, средства для их доказательства.
Впервые в моей жизни как математика я пользуюсь досугом, чтобы вызвать в памяти и (хотя бы только для себя самого) перенести на эти страницы совокупность главных тем и больших идей, направлявших мой труд. Это помогает мне лучше оценить место и значение каждой из этих тем, и «точек зрения», ими олицетворяемых, в большом геометрическом видении, которое их объединяет и из которого они вытекают. Именно благодаря этой работе явились во всем блеске две новаторские идеи, два двигательных нерва первого и бурного расцвета новой геометрии: идея схем и топосов.
Глубочайшей из двух мне сейчас представляется идея топосов, то есть вторая. Если бы случилось так, что в конце пятидесятых годов я бы не засучил рукава, чтобы затем упорно, день за днем, на протяжении двенадцати долгих лет развивать «теоретико-схемный инструмент», по изяществу и мощности совершенный - мне и тогда представляется почти немыслимым, чтобы за десять или двадцать последующих лет другие сумели бы удержаться и не взяться (хоть бы и против воли) за введение в окончательной форме понятия, которое очевидно напрашивалось, не соорудить как-нибудь пускай самых ветхих бараков из «сборных элементов», если не просторные и удобные жилища, как те, какие я собрал по камешкам и воздвиг своими руками. Но ни единого исполнителя не встретил я на математической сцене за три истекших десятилетия, который мог бы обладать такой наивностью, или невинностью, чтобы сделать (вместо меня) этот иной шаг, среди всех решающий, введя столь детски простую идею топосов (или хотя бы «ситусов»). И даже если предположить, что она со скрытым в ней робким обещанием уже кем-то любезно предоставлена - я не видел, будь то среди прежних моих друзей или учеников, никого, кто обладал бы
достаточной смелостью, и прежде всего верой, чтобы довести до конца эту скромную идею {52} (до того с виду смехотворную, в то время как цель казалась удаленной бесконечно…): с первых ее неловких шагов до полной зрелости «искусства этальных когомологии», каковым она стала в моих руках, в течение последующих лет.
15. Да, река глубока; широки и спокойны воды моего детства, в царстве, как я думал, давно мною покинутом. Все царские кони могли бы прийти к ней заодно, и пить вволю, досыта, допьяна, никогда ее не исчерпав! Воды ее текут из ледников, жгучие, как дальние снега, и есть в них сладость глиняных равнин. Я только что говорил об одном из тех коней, которого ребенок привел напоить к реке, и тот пил в свое удовольствие, долго, не торопясь. Я видел там другого, пришедшего как-то по следам того же мальчишки напиться вдоволь, если повезет - но он едва успел хлебнуть из реки. Должно быть, кто-то спугнул его. И это все, много ли сказать. Издалека я смотрел, однако, как табуны лошадей, мучимых жаждой, числом несметные, блуждали по равнине. Но не далее как сегодня утром их ржание разбудило меня, сорвав с постели в неурочный час - меня, которому перевалило за шестьдесят, привыкшего к покою. Что же делать, я должен был встать. Горько было видеть их отощавшими клячами, в то время как ни в хорошей воде, ни в зеленых пастбищах не было недостатка. Но словно бы злые чары чьей-то враждебной тенью упали с небес, стремясь представить дело иначе - окутать надменным холодом все, что я знал теплым и гостеприимным, и закрыть подступы к щедрым водам. Или то проделки барышника, обман, подстроенный, чтобы сбить цену - кто знает? Или вдруг сталось так, что в царской земле нет больше детей, чтобы отвес-
Говоря о «смелости» и «вере», я веду речь о качествах «нетехнической» природы, мне здесь представляющихся весьма существенными. Могу добавить к их перечню, из другой области, то, что я бы назвал «когомологическим чутьем», то есть интуицией особого рода, выработавшейся во мне при построении когомологических теорий. Я думал передать ее своим ученикам, занимающимся когомологиями. В перспективе шестнадцати лет, считая от моего ухода с математической сцены, констатирую, что ни в одном из них она не сохранилась.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
ти коней к водопою? Ведь жаждущему коню нужен мальчишка, тот, кто отыщет дорогу к реке…
16. Идея топоса произошла от идеи схем, и в самый год появления схем, но по значимости далеко превзошла родительницу. Именно тема топоса, и никакая другая, стала «брачным ложем» геометрии и алгебре, топологии и арифметике, математической логике и теории категорий, миру непрерывного и государству структур «разрывных», или «дискретных» (полноводная река - она же…). Если теория схем - сердце новой геометрии, тема топоса - ее телесная оболочка, или жилище. Это то, что я задумал как самое обширное, чтобы уловить с изысканной точностью и передать языком, богатым геометрическими созвучиями, общую «суть» самых несхожих друг с другом ситуаций, из тех, что то и дело складываются в различных областях просторной математической вселенной.
Тема топоса, однако, слишком далека от того, чтобы познать успех, выпавший на долю схем. Я несколько раз при случае поговорю об этом на страницах «РС»; здесь же не место задерживаться на нелепых превратностях судьбы, поразивших это понятие. Две главные темы новой геометрии вышли все же из темы топоса, две дополняющие друг друга «когомологические теории», задуманные с целью обеспечить подход к гипотезам Вейля: тема эталъная (или l-адическая) и тема кристаллов. Первая из них оформилась в моих руках в /-адический когомологический инструмент; похоже, что сейчас это один из мощнейших математических инструментов столетия. Что же до темы кристаллов, чье существование свелось после моего ухода почти к оккультному, она под конец была эксгумирована под светом рампы и под видом заимствования, при обстоятельствах еще более странных, чем те, что сложились вокруг топоса.
/-адический когомологический инструмент стал, как я и предвидел, основным инструментом доказательства гипотез Вейля. Я сам доказал немалую их часть, и последний шаг был довершен мастерски, три года спустя после моего ухода, Пьером Делинем, самым блестящим из моих учеников-«когомологистов».
Я, впрочем, сформулировал к 1968 г. более сильную и, главное, более геометрическую версию гипотез Вейля. Они оставались «подпорченными» (если можно так выразиться!) необоримым арифметическим привкусом, хотя, конечно, самый дух этих гипотез в том, чтобы выразить и уловить «арифметическое» (или «дискретное») через посредство
«геометрического» (или «непрерывного») {53} . В этом смысле вариант гипотез, предложенный мной, представляется мне более «верным» философии Вейля, чем его собственный вариант - философии, никогда не записанной на бумаге и редко проступавшей в речи, и ставшей, быть может, главной (невысказанной) мотивацией к необычайному расцвету новой геометрии в течение четырех истекших десятилетий {53} . Моя переформулировка состоит, по сути, в извлечении «квинтэссенции» того, что остается применимым в рамках алгебраических многообразий, называемых «абстрактными», классической теории Ходжа, имеющей дело с «обыкновенными» алгебраическими многообразиями {54} . Я назвал «стандартными гипотезами» (для алгебраических циклов) эту новую, совершенно геометрическую, версию знаменитых гипотез.
По моему ощущению, это был новый шаг, после развития когомологического /-адического инструмента, по направлению к этим гипотезам. Но в то же время и прежде всего, это был один из возможных принципов подхода к тому, что мне также представляется глубочайшей из тем, введенных мной в математику {55} : к теме мотивов (порожденной «когомологической /-адической темой»). Эта тема - как сердце, или душа, самая затаенная, лучше всего скрытая от взгляда часть теории схем, которая сама по себе - ядро нового видения. И сколько ни есть ключевых явлений в стандартных гипотезах {56} , они могут рас-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
сматриваться как составляющие нечто вроде последней квинтэссенции темы мотивов, как вдохновение, жизненно важное для самой хрупкой и изощренной из всех тем, «ядра в ядре» новой геометрии.
Вот, в общих чертах, суть вопроса. Мы уже видели, как важно (в особенности с точки зрения гипотез Вейля) для простого числа р уметь построить «когомологические теории» для «многообразий (алгебраических) в характеристике р». Знаменитый «когомологический /-адический инструмент» предоставляет именно такую теорию, и даже бесконечное множество различных когомологических теорий, каждая из которых соответствует какому-нибудь простому числу /, отличному от характеристики р. Очевидно, здесь есть «недостающая теория», соответствующая случаю равенства между / и р. Чтобы с этим справиться, я нарочно выдумал другую когомологическую теорию (которая уже недавно упоминалась), называемую «теорией кристальных когомологии». Впрочем, для важного случая бесконечного р имеются в распоряжении еще три когомологические теории {57} - и никакой гарантии, что не придется рано или поздно ввести новые когомологические теории с совершенно аналогичными формальными свойствами. В противовес тому, что творится в обычной топологии, здесь мы поставлены перед фактом ошеломляющего изобилия различных когомологических теорий. Обрисовывается вполне отчетливое ощущение (сначала оно было довольно туманным), что все теории стремятся «свестись к одной», что они «дают одни и те же результаты» {58} . Именно затем, чтобы выразить это ин-
В свое время будет приведена формулировка этих гипотез. Для более подробных комментариев см. «Обзор построек» (PC IV, примечание п° 178, стр. 1215-1216) и сноска на стр. 769 в разделе «Убеждение и знание» (PC III, примечание п° 162).
туитивное ощущение «родства» между различными когомологическими теориями, я вывел на свет понятие мотива, отвечающего алгебраическому многообразию. Этим термином я хотел навести на мысль, что речь идет об «общем мотиве» (или «общей причине»), скрытом в глубине огромного множества различных априори возможных когомологических инвариантов. Эти различные когомологические теории стали бы, как тематические разработки, каждая в «темпе», «ключе» и «ладу» («мажорном» или «минорном»), какие ей подобают - одного и того же «основного мотива» (называемого «мотивной когомологической теорией»), который в то же время является наиболее фундаментальным, или самым «утонченным» из всех этих различных «воплощений» темы (то есть из всех возможных когомологических теорий). Так, мотив, соответствующий алгебраическому многообразию, образовывал бы «окончательный», «в полном смысле этого слова», когомологический инвариант, из которого все прочие (соответствующие всевозможным когомологическим теориям) выводились бы, как «воплощения» музыкальной темы, ее различные «реализации». Все важнейшие свойства когомологии многообразия проявлялись бы (или «слышались бы») уже в соответствующем мотиве, как если бы знакомые свойства и структуры на отдельных когомологических инвариантах (/-адических или кристальных, например), стали бы попросту точными отражениями свойств и структур, заключенных в мотиве
Есть много других «топологических инвариантов», введенных топологами, чтобы подступиться к того или иного рода свойствам топологических пространств. Если не говорить о «размерности» пространства и (ко)гомологических инвариантах, первые из числа прочих инвариантов - «гомотопические группы». Я ввел новый инвариант в 1957 г.: группу К{Х) (так называемую «группу Гротендика»), которой сразу же посчастливилось получить признание и чья значимость (как для топологии, так и в арифметике) не устает подтверждаться снова и снова.
Множество новых инвариантов, по своей природе изощренней тех, что в наше время известны и используются, но по моему ощущению совершенно фундаментальных, намечено в моей программе по «ручной топологии» (ее краткий обзор включен в «Набросок Программы», который войдет в четвертый том «Раздумий»). Эта программа основывается на понятии «ручной теории», или «ручного пространства», которое представляет собой, в чем-то как и понятие топоса, (вторую) «мета-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
подают голос (правда, в основном «между строк») в гипотезах Вейля, являясь для них глубоким «оправданием бытия» и придавая им (по крайней мере для меня, «впутанного в это дело» объяснениями Серра) полный их смысл. Но возможность связать эти инварианты с «абстрактными» алгебраическими многообразиями, о которых шла речь в этих гипотезах, способом в точности отвечающим прозвучавшим там требованиям, оставалась не более чем надеждой. Сомневаюсь, что кто-либо помимо Серра и меня самого (даже - ив первую очередь - лично Андрэ Вейль!) {46} мог в нее верить…
Незадолго до этого наше представление об этих инвариантах оказалось значительно обогащенным и обновленным работами Жана Лерэ (написанными в плену в Германии, во время войны, в первой половине сороковых). Существенно новаторской была идея пучка (абелева)
морфозу понятия пространства». Оно намного прозрачнее (как мне кажется) и не такое глубокое, как это последнее. Я, однако, предвижу, что его воздействие на топологию «собственно говоря» определенно должно быть еще значительней, и что благодаря ему «ремесло» геометра-тополога изменится целиком, сверху донизу - путем глубокого преобразования концептуального контекста, в котором он работает. (Как это уже случилось с алгебраической геометрией после введения точки зрения теоретико-схемной.) Я послал свой «Набросок» нескольким старым друзьям и известным топологам, но непохоже, чтобы содержание их сколько-нибудь заинтересовало …
Мне представляется, что этот «барьер» у Вейля был частью общей неприязни ко всякого рода «нагромождениям», ко всему, что приходилось сродни формализму (и не могло быть изложенным на нескольких страницах), или «конструкции», сколько-нибудь запутанной. В нем определенно не было ничего от «строителя», и очевидно, что именно против воли он был принужден в течение тридцатых-сороковых годов заниматься развитием первоначальных основ «абстрактной» алгебраической геометрии, которые (ввиду степени его расположенности к этому труду) явились воистину «Прокрустовым ложем» для потребителя.
Я не знаю, желал ли он, чтобы я пошел дальше и вложил свои силы в построение больших зданий, которые позволили бы мечтам Кронекера и его собственным воплотиться в языке и инструментах изощренных и эффективных. Он ни словом не откомментировал ни тот труд, в который видел меня погруженным, ни уже готовые части работы. Так же не получил я и отклика на «РС», экземпляр которых послал ему больше чем три месяца назад, с теплой дарственной надписью, сделанной от руки.
над пространством, с которым Лерэ связал соответствующие «группы когомологии» (так называемые «когомологии с коэффициентами в пучке»). Это было как если бы старый добрый, «когомологический», эталон метра, которым располагали до сих пор для «измерения» пространства, превратился вдруг в невообразимое множество новых «метров» всевозможной величины, формы и содержания, каждый внутренне приспособленный к рассматриваемому пространству, о котором поставляет нам сведения с безупречной точностью, причем такие, какие может дать только он один. Это была главная идея в глубоком преобразовании нашего подхода к пространствам всех видов и, безусловно, одна из важнейших идей, появившихся в течение этого столетия. Благодаря прежде всего последующим работам Жан-Пьера Серра идеи Лерэ уже в первое десятилетие после своего появления на свет принесли такие плоды, как впечатляющий прорыв в развитии теории топологических пространств (и в частности их инвариантов, называемых «гомотопическими», тесно связанных с когомологиями), и другой, не менее важный, прорыв в так называемой «абстрактной» алгебраической геометрии (с основополагающей статьей «АКП» Серра, опубликованной в 1955 г.). Мои собственные работы по геометрии, начиная с 1955 г., шли в продолжение этих трудов Серра и, тем самым, новаторских идей Лерэ.
13. Точка зрения и язык пучков, введенные Лерэ, заставили нас рассмотреть «пространства» и «многообразия» всех родов в новом свете. Они не затрагивали, однако, самого понятия пространства, ограничиваясь тем, что предоставили нам возможность, вглядевшись новыми глазами, достичь более тонкого понимания устройства традиционных «пространств», уже всем знакомых. Однако это понятие пространства оказалось неадекватным для того, чтобы дать отчет о наиболее существенных «топологических инвариантах», выражающих «форму» абстрактных алгебраических многообразий (с которыми связаны гипотезы Вейля), даже «схем» вообще (обобщающих старинные многообразия). Для ожидаемого «союза» числа и величины (размера) это ложе было бы решительно тесновато: на нем сумел бы с грехом пополам устроиться разве что один из будущих супругов (именно, невеста), но никак не оба сразу! «Новый принцип», который еще оставалось найти, чтобы свадьба, обещанная добрыми феями, совершилась, был попросту иным, просторным ложем, которому недоставало лишь новобрачных - и никто его не замечал до некоторых пор…
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Эта «двуместная кровать» возникла (как по мановению волшебной палочки) с появлением идеи топоса. Эта идея охватывает в общетопологической интуиции как традиционные топологические пространства, олицетворяющие мир непрерывной величины, вместе с (самозванными) «пространствами» (или «многообразиями») неприкаянных служителей абстрактной алгебраической геометрии, так и бесчисленное множество других типов структур, до тех пор казавшихся безнадежными пленниками «арифметического мира» систем «разрывных», или «дискретных».
Концепция пучков и была тем безмолвным вожатым, тем действенным ключом (отнюдь не тайным), приведшим меня, не петляя и без проволочек, к супружеской опочивальне с просторным брачным ложем. Места в самом деле довольно; это ведь как широкая тихая река, чьи воды до того глубоки, что
«Всем царским коням заодно Допить до дна бы мудрено…»
- как поется в старинной песенке, которую ты наверное певал и сам, или по меньшей мере слышал. И тот, кто спел ее первым, верней ощутил бы скрытую красоту и спокойную силу топоса, чем любой из моих ученых коллег, прежних учеников и друзей…
Ключ был один и тот же - как при первоначальном, предварительном подходе (через посредство весьма удобного, но менее подлинного понятия «ситуса»), так и в случае топоса. Идею топоса я хотел бы сейчас попытаться описать.
Рассмотрим совокупность всех пучков над заданным (топологическим) пространством, или, если угодно, тот диковинный арсенал, образованный всеми эталонами метра, служащими для его измерения {47} . Мы рассмотрим эту «совокупность», или «арсенал», как снабженный наиболее очевидной структурой, которую ему можно приписать, так сказать, «на глазок» - именно, структурой, называемой «категорией». (Читателю, не знакомому с термином в техническом смысле, не о чем беспокоиться. Это совсем не понадобится в дальнейшем.) Это нечто вроде
«сверхструктуры измерения» по имени «категория пучков» (над рассматриваемым пространством), которая впредь будет считаться как бы «воплощающей» то, что наиболее существенно для пространства. Это законно (с точки зрения «математического здравого смысла»), поскольку оказывается возможным «воссоздать» полностью исходное топологическое пространство {47} в терминах «категории пучков» (или арсенала измерительных приборов), ему соответствующей. (Проверить это - простое упражнение; конечно, когда вопрос уже поставлен…) Ничего больше не нужно для уверенности в том, что (если это почему-либо для нас заманчиво) мы отныне можем «забыть» об исходном пространстве, чтобы держать в уме и использовать только соответствующую «категорию» (или «арсенал»), которая будет рассматриваться как наиболее адекватное олицетворение топологической (или «пространственной») структуры, о выражении которой идет речь.
Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря решающему влиянию идеи о пучке, или «когомологическом метре») выразить некоторое понятие («пространства», в данном случае) в терминах другого («категории»). Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного и другого. Так, ситуация по природе «топологическая» (воплощенная в данном пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по природе «алгебраической» (воплощенной в «категории»); или, если угодно, «непрерывное», воплощенное в образе пространства, предстает «переданным», или «выраженным» структурой категории, по природе «алгебраической» (воспринимавшейся до сих пор как существенно «разрывная», или «дискретная»).
Более того, первое из этих понятий - пространства - казалось нам в каком-то смысле понятием (по содержательности) «максимальным» - настолько уже обобщенным, что едва ли можно себе представить его расширение, которое оставалось бы в рамках «разумного». Напротив, другая сторона зеркала {48} , эти «категории» (или «арсе-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
налы»), с которыми сталкиваются, сойдя с крыльца топологических пространств, имеют весьма частную природу. Они располагают в действительности набором свойств в высшей степени типических {49} , что делает их как бы «имитациями» самой простой из них, какую только можно вообразить - той, которую получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке. То есть «пространство в новом стиле» (или топос), обобщающее традиционные топологические пространства, будет описываться попросту как «категория», которая, не вытекая с необходимостью из обыкновенного пространства, тем не менее обладает всеми хорошими свойствами (единожды четко для всех определенными, разумеется) этой «категории пучков».
* * *
Вот это и есть новая идея. Ее возникновение можно рассматривать как результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты, что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве - это отнюдь не его «точки» и не его «подмножества» {50} с отношениями близости между ними, но пучки над этим пространством и категория, которую они образуют. В том, чего я добился, я лишь довел до логического конца исходную идею Лерэ - тем самым переступил нечто, решившись сделать шаг.
Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как всякая «большая идея» (концепция), которая переворачивает вверх дном закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет своей естественностью, «очевидностью», простотой (на грани, я бы сказал, наивности и простоты даже «глуповатой») - тем особенным свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: «О, это невозможно!» - полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с оттенком, который можно передать словами «сумасбродно», «несерьезно», припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись с чем-то
категорию, рассматриваемую как что-то вроде «двойника» пространства, «другой стороны зеркала»…
простым до неприличия. С тем, что нам напоминает, быть может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо мы давно от них отреклись…
14. Понятие схемы представляет собой значительное расширение понятия алгебраического многообразия, и за счет этого полностью обновляет алгебраическую геометрию, завещанную моими предшественниками. Понятие топоса - расширение или, лучше сказать, метаморфоза понятия пространства. Тем самым оно обещает произвести сходное обновление топологии и, за ее пределами, геометрии. Уже сейчас, впрочем, оно успело сыграть решающую роль для расцвета новой геометрии (главным образом через посредство вышедших из него тем /-адических и кристальных когомологии, позволивших доказать гипотезы Вейля). Идея топоса, как и ее старшая сестра (почти близнец), имеет две дополняющие друг друга черты, существенные для полного и плодотворного обновления; вот они.
Во-первых, новое понятие не чересчур широко, в том смысле, что на новые «пространства» (лучше называть их топосами, чтобы не задеть чуткого уха) {51} самые важные интуитивные представления и геометрические конструкции {52} , знакомые по старым добрым пространствам прежних времен, переносятся более или менее очевидным образом. Иначе говоря, для новых объектов имеется в распоряжении вся богатая гамма мысленных образов и ассоциаций, понятий и определенных технических средств, какие прежде не выходили за границы области объектов старинного толка.
Во-вторых, новое понятие в то же время достаточно широко, чтобы охватить все множество ситуаций, в которых, как раньше считалось, не место интуитивным представлениям «тополого-геометрической» приро-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
ды - именно, тем, какие тогда связывались только с обыкновенными топологическими пространствами (и не без основания…).
С позиции гипотез Вейля решающим здесь является то обстоятельство, что новое понятие в действительности достаточно широко для того, чтобы позволить нам связать с любой «схемой» такое «обобщенное пространство», или «топос» (называемое «этальным топосом» рассматриваемой схемы). С самого начала было похоже, что определенные «когомологические инварианты» этого топоса (все, что есть внутри у этой смешной игрушки!) имели неплохой шанс обеспечить все необходимое для раскрытия полного смысла этих гипотез, и (кто знает!) предоставить, быть может, средства для их доказательства.
Впервые в моей жизни как математика я пользуюсь досугом, чтобы вызвать в памяти и (хотя бы только для себя самого) перенести на эти страницы совокупность главных тем и больших идей, направлявших мой труд. Это помогает мне лучше оценить место и значение каждой из этих тем, и «точек зрения», ими олицетворяемых, в большом геометрическом видении, которое их объединяет и из которого они вытекают. Именно благодаря этой работе явились во всем блеске две новаторские идеи, два двигательных нерва первого и бурного расцвета новой геометрии: идея схем и топосов.
Глубочайшей из двух мне сейчас представляется идея топосов, то есть вторая. Если бы случилось так, что в конце пятидесятых годов я бы не засучил рукава, чтобы затем упорно, день за днем, на протяжении двенадцати долгих лет развивать «теоретико-схемный инструмент», по изяществу и мощности совершенный - мне и тогда представляется почти немыслимым, чтобы за десять или двадцать последующих лет другие сумели бы удержаться и не взяться (хоть бы и против воли) за введение в окончательной форме понятия, которое очевидно напрашивалось, не соорудить как-нибудь пускай самых ветхих бараков из «сборных элементов», если не просторные и удобные жилища, как те, какие я собрал по камешкам и воздвиг своими руками. Но ни единого исполнителя не встретил я на математической сцене за три истекших десятилетия, который мог бы обладать такой наивностью, или невинностью, чтобы сделать (вместо меня) этот иной шаг, среди всех решающий, введя столь детски простую идею топосов (или хотя бы «ситусов»). И даже если предположить, что она со скрытым в ней робким обещанием уже кем-то любезно предоставлена - я не видел, будь то среди прежних моих друзей или учеников, никого, кто обладал бы
достаточной смелостью, и прежде всего верой, чтобы довести до конца эту скромную идею {52} (до того с виду смехотворную, в то время как цель казалась удаленной бесконечно…): с первых ее неловких шагов до полной зрелости «искусства этальных когомологии», каковым она стала в моих руках, в течение последующих лет.
15. Да, река глубока; широки и спокойны воды моего детства, в царстве, как я думал, давно мною покинутом. Все царские кони могли бы прийти к ней заодно, и пить вволю, досыта, допьяна, никогда ее не исчерпав! Воды ее текут из ледников, жгучие, как дальние снега, и есть в них сладость глиняных равнин. Я только что говорил об одном из тех коней, которого ребенок привел напоить к реке, и тот пил в свое удовольствие, долго, не торопясь. Я видел там другого, пришедшего как-то по следам того же мальчишки напиться вдоволь, если повезет - но он едва успел хлебнуть из реки. Должно быть, кто-то спугнул его. И это все, много ли сказать. Издалека я смотрел, однако, как табуны лошадей, мучимых жаждой, числом несметные, блуждали по равнине. Но не далее как сегодня утром их ржание разбудило меня, сорвав с постели в неурочный час - меня, которому перевалило за шестьдесят, привыкшего к покою. Что же делать, я должен был встать. Горько было видеть их отощавшими клячами, в то время как ни в хорошей воде, ни в зеленых пастбищах не было недостатка. Но словно бы злые чары чьей-то враждебной тенью упали с небес, стремясь представить дело иначе - окутать надменным холодом все, что я знал теплым и гостеприимным, и закрыть подступы к щедрым водам. Или то проделки барышника, обман, подстроенный, чтобы сбить цену - кто знает? Или вдруг сталось так, что в царской земле нет больше детей, чтобы отвес-
Говоря о «смелости» и «вере», я веду речь о качествах «нетехнической» природы, мне здесь представляющихся весьма существенными. Могу добавить к их перечню, из другой области, то, что я бы назвал «когомологическим чутьем», то есть интуицией особого рода, выработавшейся во мне при построении когомологических теорий. Я думал передать ее своим ученикам, занимающимся когомологиями. В перспективе шестнадцати лет, считая от моего ухода с математической сцены, констатирую, что ни в одном из них она не сохранилась.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
ти коней к водопою? Ведь жаждущему коню нужен мальчишка, тот, кто отыщет дорогу к реке…
16. Идея топоса произошла от идеи схем, и в самый год появления схем, но по значимости далеко превзошла родительницу. Именно тема топоса, и никакая другая, стала «брачным ложем» геометрии и алгебре, топологии и арифметике, математической логике и теории категорий, миру непрерывного и государству структур «разрывных», или «дискретных» (полноводная река - она же…). Если теория схем - сердце новой геометрии, тема топоса - ее телесная оболочка, или жилище. Это то, что я задумал как самое обширное, чтобы уловить с изысканной точностью и передать языком, богатым геометрическими созвучиями, общую «суть» самых несхожих друг с другом ситуаций, из тех, что то и дело складываются в различных областях просторной математической вселенной.
Тема топоса, однако, слишком далека от того, чтобы познать успех, выпавший на долю схем. Я несколько раз при случае поговорю об этом на страницах «РС»; здесь же не место задерживаться на нелепых превратностях судьбы, поразивших это понятие. Две главные темы новой геометрии вышли все же из темы топоса, две дополняющие друг друга «когомологические теории», задуманные с целью обеспечить подход к гипотезам Вейля: тема эталъная (или l-адическая) и тема кристаллов. Первая из них оформилась в моих руках в /-адический когомологический инструмент; похоже, что сейчас это один из мощнейших математических инструментов столетия. Что же до темы кристаллов, чье существование свелось после моего ухода почти к оккультному, она под конец была эксгумирована под светом рампы и под видом заимствования, при обстоятельствах еще более странных, чем те, что сложились вокруг топоса.
/-адический когомологический инструмент стал, как я и предвидел, основным инструментом доказательства гипотез Вейля. Я сам доказал немалую их часть, и последний шаг был довершен мастерски, три года спустя после моего ухода, Пьером Делинем, самым блестящим из моих учеников-«когомологистов».
Я, впрочем, сформулировал к 1968 г. более сильную и, главное, более геометрическую версию гипотез Вейля. Они оставались «подпорченными» (если можно так выразиться!) необоримым арифметическим привкусом, хотя, конечно, самый дух этих гипотез в том, чтобы выразить и уловить «арифметическое» (или «дискретное») через посредство
«геометрического» (или «непрерывного») {53} . В этом смысле вариант гипотез, предложенный мной, представляется мне более «верным» философии Вейля, чем его собственный вариант - философии, никогда не записанной на бумаге и редко проступавшей в речи, и ставшей, быть может, главной (невысказанной) мотивацией к необычайному расцвету новой геометрии в течение четырех истекших десятилетий {53} . Моя переформулировка состоит, по сути, в извлечении «квинтэссенции» того, что остается применимым в рамках алгебраических многообразий, называемых «абстрактными», классической теории Ходжа, имеющей дело с «обыкновенными» алгебраическими многообразиями {54} . Я назвал «стандартными гипотезами» (для алгебраических циклов) эту новую, совершенно геометрическую, версию знаменитых гипотез.
По моему ощущению, это был новый шаг, после развития когомологического /-адического инструмента, по направлению к этим гипотезам. Но в то же время и прежде всего, это был один из возможных принципов подхода к тому, что мне также представляется глубочайшей из тем, введенных мной в математику {55} : к теме мотивов (порожденной «когомологической /-адической темой»). Эта тема - как сердце, или душа, самая затаенная, лучше всего скрытая от взгляда часть теории схем, которая сама по себе - ядро нового видения. И сколько ни есть ключевых явлений в стандартных гипотезах {56} , они могут рас-
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
сматриваться как составляющие нечто вроде последней квинтэссенции темы мотивов, как вдохновение, жизненно важное для самой хрупкой и изощренной из всех тем, «ядра в ядре» новой геометрии.
Вот, в общих чертах, суть вопроса. Мы уже видели, как важно (в особенности с точки зрения гипотез Вейля) для простого числа р уметь построить «когомологические теории» для «многообразий (алгебраических) в характеристике р». Знаменитый «когомологический /-адический инструмент» предоставляет именно такую теорию, и даже бесконечное множество различных когомологических теорий, каждая из которых соответствует какому-нибудь простому числу /, отличному от характеристики р. Очевидно, здесь есть «недостающая теория», соответствующая случаю равенства между / и р. Чтобы с этим справиться, я нарочно выдумал другую когомологическую теорию (которая уже недавно упоминалась), называемую «теорией кристальных когомологии». Впрочем, для важного случая бесконечного р имеются в распоряжении еще три когомологические теории {57} - и никакой гарантии, что не придется рано или поздно ввести новые когомологические теории с совершенно аналогичными формальными свойствами. В противовес тому, что творится в обычной топологии, здесь мы поставлены перед фактом ошеломляющего изобилия различных когомологических теорий. Обрисовывается вполне отчетливое ощущение (сначала оно было довольно туманным), что все теории стремятся «свестись к одной», что они «дают одни и те же результаты» {58} . Именно затем, чтобы выразить это ин-
В свое время будет приведена формулировка этих гипотез. Для более подробных комментариев см. «Обзор построек» (PC IV, примечание п° 178, стр. 1215-1216) и сноска на стр. 769 в разделе «Убеждение и знание» (PC III, примечание п° 162).
туитивное ощущение «родства» между различными когомологическими теориями, я вывел на свет понятие мотива, отвечающего алгебраическому многообразию. Этим термином я хотел навести на мысль, что речь идет об «общем мотиве» (или «общей причине»), скрытом в глубине огромного множества различных априори возможных когомологических инвариантов. Эти различные когомологические теории стали бы, как тематические разработки, каждая в «темпе», «ключе» и «ладу» («мажорном» или «минорном»), какие ей подобают - одного и того же «основного мотива» (называемого «мотивной когомологической теорией»), который в то же время является наиболее фундаментальным, или самым «утонченным» из всех этих различных «воплощений» темы (то есть из всех возможных когомологических теорий). Так, мотив, соответствующий алгебраическому многообразию, образовывал бы «окончательный», «в полном смысле этого слова», когомологический инвариант, из которого все прочие (соответствующие всевозможным когомологическим теориям) выводились бы, как «воплощения» музыкальной темы, ее различные «реализации». Все важнейшие свойства когомологии многообразия проявлялись бы (или «слышались бы») уже в соответствующем мотиве, как если бы знакомые свойства и структуры на отдельных когомологических инвариантах (/-адических или кристальных, например), стали бы попросту точными отражениями свойств и структур, заключенных в мотиве