Страница:
Бесспорно, однако, что к безвозвратному скачку на иные круги я тогда еще готов не был. Всякий раз, как я ни пытался взяться снова за математический труд, выходило так, что это он меня захватывал, да накрепко. Еще на двенадцать лет, не выпуская!
Год, последовавший за этой паузой (1958), был, наверное, самым плодотворным для меня как математика. Это год появления двух центральных тем новой геометрии: бурного старта теории схем (предмет моего доклада на международном математическом конгрессе в Эдинбурге летом того же года) и возникновения понятия ситуса, то есть предварительной, технической версии важнейшего понятия топоса. Сейчас, в перспективе почти что тридцати лет, я могу утверждать, что то был воистину год рождения нового геометрического видения, последовавшего за вступлением в силу двух главных инструментов этой геометрии: схем (которые являют собой метаморфозу старого понятия «алгебраического многообразия») и топоса (представляющего результат преображения - еще более глубокого, чем в случае схем - понятия пространства).
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
видения, или, оглянувшись назад, в теперешней перспективе узнать и выбрать такую минуту. Новое видение - нечто заведомо слишком обширное, чтобы появиться сразу, в один миг. Ему нужны долгие годы, если не целые поколения, чтобы, проникнув в душу, постепенно завладеть тем или теми, кто неотрывно, внимательно созерцает - как если бы два новых глаза в муках рождались позади прежних, привычных, призванные понемногу их заменить. И, опять-таки, видение слишком объемно, чтобы говорить о возможности уловить его, «схватить», как хватаешь первое же понятие, возникшее из-за поворота на твоей дороге. А значит, в итоге нет ничего удивительного в том, что мысль как-нибудь назвать вещь настолько широкую, близкую и оттого расплывчатую не могла появиться раньше, чем при взгляде уже с некоторого расстояния - по истечении промежутка, нужного ей, чтобы достичь настоящей зрелости.
По правде сказать, раньше, чем два года назад, мои отношения с математикой (если не считать преподавательской работы) ограничивались тем, чтобы ее делать - повинуясь импульсу, неизменно гнавшему меня вперед, в «неизвестность», чей зов был неумолкающим. Не могло быть и речи о том, чтобы остановить этот разбег; задержавшись хотя бы на миг, оглянуться на очертания пройденного пути - даже просто понять, что, собственно, мой труд собой представляет. (То есть определить его место в моей жизни, как некоей вещи, все еще связанной со мной глубокими связями, о существовании которых я долгое время не подозревал. И еще - понять его роль в том общем, совместно предпринятом путешествии-приключении человеческой расы, каковым является математика.)
И другая странность: чтобы мне наконец «остановиться» и возобновить полузабытое знакомство с этим трудом, или хотя бы только задуматься об том, как назвать видение, заключившее в себе его душу, должно было случиться так, чтобы я вдруг столкнулся с реальностью Похорон гигантских масштабов (за могильщиков работали молчание и насмешки) как собственно видения, так и работника, в котором оно зародилось…
9. Непредвиденным образом, данное «предисловие» слово за слово превратилось в эдакое представление, по всем правилам, моего труда, предназначенное главным образом для читателя - не математика по профессии. Это обязывает, и потом, я уже слишком вовлечен в игру, чтобы можно было пойти на попятный; что же мне еще остается,
как не покончить с «церемониями»! Я хотел бы сказать худо-бедно хотя бы несколько слов о сущности этих волшебных «концепций» (или «ключевых тем»), которым я дал блеснуть на предыдущих страницах, и о природе этого славного «видения», в котором всем основным идеям предписано слиться. Ввиду невозможности прибегнуть здесь к языку сколько-нибудь техническому, образ, который мне удалось бы сейчас вызвать на бумагу, выйдет, без сомнения, чрезвычайно расплывчатым (если только под его личиной не прокрадется в текст что-нибудь старое, привычное.. .) {33} .
Традиционно различают три рода «свойств», или «аспектов» тех или иных явлений во Вселенной, составляющих предмет математических рассуждений. Это суть число {34} , размер и форма. О них можно также говорить как об «арифметическом», «метрическом» (или «аналитическом») и «геометрическом» аспектах. В большинстве ситуаций, исследуемых в математике, эти три аспекта присутствуют одновременно, находясь в тесном взаимодействии. При этом, однако, чаще всего имеет место заметное преобладание одного из них над двумя другими. Мне кажется, что для большинства математиков достаточно ясно (тому, кто знаком с ними или просто в курсе их работ), кто они по натуре: «арифметики», «аналитики» или «геометры» - даже о том из них, у кого на скрипке много струн, так что ему доступны всевозможные регистры и диапазоны.
Мои первые, уединенные, размышления над теорией меры и интегрирования совершенно недвусмысленно относятся к разделу «размер», или «анализ». Так же обстоят дела с первой из новых тем, введенных мной в математику (которая представляется мне менее обширной по
353десь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т.д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению - такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
масштабу, чем остальные одиннадцать). То, что я вступил в математику с «бокового подъезда» анализа, представляется мне обусловленным не столько склонностью моей натуры, сколько «случайным стечением обстоятельств». Именно, пробел в образовании, предложенном мне как в лицее, так и в университете (чересчур огромный для моего духа, одержимого страстью к обобщенности и строгости рассуждений) оказался связанным с «метрическим», или «аналитическим» аспектом сути вещей.
1955 г. отмечает решающий поворот в моих математических занятиях: переход от «анализа» к «геометрии». Мне вспоминается еще захватывающее ощущение (конечно, целиком субъективное), как будто я покинул угрюмые, засушливые степи, чтобы вдруг обрести вновь «землю обетованную» с ее сказочными богатствами, готовыми преумножиться беспредельно, повсюду, где захочешь приложить руку - срывай вволю цветы и фрукты, копай руды… И вот это ощущение захлестывающего, сверх всякой меры {34} изобилия с годами лишь подтвердилось, еще углубившись; да оно и сейчас со мной.
Выходит, если есть в математике что-то одно, что (во все времена, без сомнения) увлекало бы меня сильней, чем все остальное, то это не «число» и не «размер», но неизменно форма. И среди тысячи и одного призрака, ищущих формы, чтобы нам открыться, тот, кто околдовал меня пуще всех прочих (не ослабляя и теперь своих чар) - структура, таящаяся внутри математических объектов.
Структура вещи - совсем не что-то такое, что мы могли бы «изобрести». Мы можем лишь выводить ее на свет терпеливо, смиренно; знакомясь с ней, ее раскрывать. Если есть в этой работе изобретательность, если когда и приходится нам браться за труд кузнеца или неутомимого строителя, то отнюдь не затем, чтобы «выковывать» или «строить» структуры. Они-то не нуждаются в нас, чтобы существовать - и быть в точности такими, как они есть! Но выразить, оставаясь как можно более верными духу, то, над раскрытием и изучением чего мы
усердно бьемся, ту структуру, что дается нам неохотно - вот за чем мы бредем, пробираясь на ощупь, пробуя языки (а слышен, быть может, лишь лепет), чтобы подступиться к ней. Так и приходится нам постоянно изобретать язык, способный все тоньше и искусней передать словами структуру, присущую математическому объекту, и «строить» с помощью этого языка, постепенно и целиком, «теории», которые должны дать отчет о том, что мы поняли и увидели. Маятник движется без остановки между пониманием вещей и выражением понятого на языке, который отшлифовывает и пересоздает сам себя в процессе работы, под постоянным давлением насущной необходимости.
Как читатель уже, без сомнения, угадал, «теории», отстроенные целиком, суть не что иное, как «красивые дома», о которых речь шла выше (те, что мы получаем в наследство от своих предшественников, и те, что, внимая зову неизвестного, в ответ на него строим своими руками). И если я говорил давеча об «изобретательности» (или фантазии) кузнеца ли, строителя, то должен прибавить: душа, тайный нерв работы - совсем не спесь того, кто скажет: «Я хочу вот так, и никак иначе!» - находя главное удовольствие в том, чтобы решать по-своему. Тот дрянной архитектор, у кого в голове сложены готовыми все планы раньше, чем он удосужится исследовать свой участок земли, его нужды и возможности. Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей. Ибо вещи во Вселенной неустанно толкуют о себе, открываясь тому, кто озаботится выслушать. И дом тем краше, чем ясней в нем любовь его создателя; дело не в том, насколько он высок и широк. Красивый дом - вернейшее отражение структуры и красоты, скрытых в сердце вещей.
10. Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных темах, собравшихся в одно материнское видение - как реки, дочери моря, возвращаясь, все текут к нему…
Это широкое объединяющее видение может быть описано как новая геометрия. Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом столетии {35} . Но действительность (дерзкая мечта может иногда пред-
чувствовать ее или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно превосходит, богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую смелую и самую глубокую. Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто не мог и помыслить, менее всего сам работник.
Можно сказать, что «число» способно уловить структуру «разрывных», или «дискретных» систем - часто конечных, состоящих из «элементов», или «объектов», «изолированных» друг от друга, без какого бы то ни было правила «непрерывного перехода» от одного к другому. «Размер», напротив, есть свойство, поддающееся в полном смысле этого слова «непрерывному изменению». Он тем самым способен уловить структуру непрерывных явлений: перемещений, пространств, «многообразий» всех родов, силовых полей и т.п. Итак, арифметика выступает (грубо говоря) как наука о дискретных структурах, а анализ - как наука о непрерывных структурах.
Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем двух тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании этого слова) она охватывает оба вида структур: как «дискретные», так и «непрерывные» {36} . Долгое время, впрочем, не было настоя щего «разлада» между двумя геометриями разной природы: одной дискретной, другой непрерывной.
Скорее, сосуществовали две различные точки зрения на исследование самих геометрических фигур: одна делала упор на «дискретных» (в частности, численных и комбинаторных) свойствах, другая - на «непрерывных» (таких, как положение в окружающем пространстве, или «размер», измеренный в терминах расстояний между точками фигуры, и т.п.).
Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием того, что иногда называют «абстрактной (алгебраической) геометрией». В общих чертах она состояла в введении для каждого простого числа р геометрии (алгебраической) «в характеристике р», скопированной с непрерывной модели геометрии (алгебраической), унаследованной от предыдущих столетий, но все же в контексте, который выступал непримиримо «разрывным», «дискретным». Эти новые геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале века, и особенно ввиду тесной их связи с арифметикой, наукой в полном смысле этого слова дискретной структуры. Похоже, одна из ведущих идей труда Андрэ Вей-ля {37} , даже может быть, главная движущая сила (которая, как водится, осталась более или менее невысказанной в его записанных работах), состоит в том, что «собственно» геометрия (алгебраическая), и в особенности «дискретные» геометрии, соответствующие различным простым числам, предоставляют ключ к широчайшему обновлению арифметики. Именно этим духом пронизаны прогремевшие в 1949 г. знаменитые гипотезы Вейля. Гипотезы совершенно потрясающие, по правде сказать, позволившие предвидеть для этих новых «многообразий» (или «пространств») дискретной природы возможность определенных типов конструкций и рассуждений {38} , казавшихся до тех пор немыслимыми вне рамок тех «пространств», которые одни только почитались аналитиками достойными этого имени - именно, пространства, называемые «топологическими» (для которых применимо понятие непрерывного изменения).
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Можно считать, что новая геометрия - это прежде всего прочего синтез двух миров, до ее появления смежных и тесно связанных друг с другом, но все же отдельных, различных: мира «арифметического», в котором живут (самозванные) «пространства» без принципа непрерывности, и мира непрерывных величин, где обитают «пространства» в собственном смысле этого слова, достижимые средствами аналитика и (по этой самой причине) им же признанные достойными пристанища в городе математических объектов. В новом видении эти два мира, некогда разделенные стеной, стали как один, сметя границы.
Впервые это видение арифметической геометрии (как я предлагаю назвать новую геометрию) зародилось в форме гипотез Вейля. В процессе развития некоторых моих главных тем {39} гипотезы эти оставались основным источником вдохновения все время от 1958 до 1966 г. Еще до меня, впрочем, Оскар Зарисский с одной стороны, затем Жан-Пьер Серр с другой, для пространств-без-стыда-и-совести в «абстрактной» алгебраической геометрии развили определенные «топологические» методы, основанные на тех, что прежде были в ходу среди пространств-с-прочными-устоями во всем мире {40} . Их идеи, несомненно, сыграли важную роль в построении новой геометрии, начиная с первых моих шагов; правда, скорее в качестве отправных точек и инструментов (которые мне пришлось в той или иной степени переделать для нужд куда более
В свете этой «поименной переклички»: если бы мне предложили назвать ближайших «прародителей» нового геометрического видения, то имена Оскара Зарисского, Андрэ Вейля, Жана Лерэ и Жан-Пьера Серра я бы произнес, не задумываясь. Среди них Серру принадлежит особая роль, так как главным образом через его посредство я ознакомился не только с его собственными идеями, но также с идеями Зарисского, Вейля и Лерэ, немало значившими для зарождения и развития новой геометрии.
широкого контекста), чем источника вдохновения, который продолжал бы питать мои мечты и проекты в течение месяцев и лет. Во всяком случае, было вполне ясно сразу, что, даже преобразованные, инструменты эти были весьма далеки от того, что требовалось уже для первых шагов в направлении фантастических гипотез Вейля.
11. Две идеи, схемы и топоса, оказались решающими для зарождения и развития новой геометрии. Возникнув почти одновременно и в тесном симбиозе друг с другом {41} , они вместе стали, как двигательный нерв для небывалого роста новой геометрии, считая с самого года своего появления. Чтобы закончить обзор моего труда, нужно, по крайней мере, сказать несколько слов об этих двух идеях.
Понятие схемы приходит на ум как самое естественное, самое «очевидное», когда речь идет о том, чтобы собрать в одно бесконечный ряд понятий «многообразия» (алгебраического), с каким приходилось иметь дело раньше (отдельное такое понятие для каждого простого числа {42} …). И потом, та же самая схема (или «многообразие» нового вида) одна порождает, для каждого простого числа р, однозначно определенное «многообразие (алгебраическое) в характеристике р». Набор этих различных многообразий в различной характеристике можно тогда себе представить чем-то вроде «(бесконечного) веера многообразий» (свое для каждой характеристики). «Схема» и есть этот магический веер, соединяющий между собой, как различные «ветви», эти «аватары», или «воплощения», всевозможных характеристик. Она же тем самым обеспечивает эффективный «принцип перехода», чтобы устанавливать связь между «многообразиями»-выходцами из геометрий, ранее представлявшихся в той или иной мере изолированными, отрезанными друг от друга. Теперь они оказались объединенными в одну общую «геометрию» и внутри ее между собой связанными. Ее можно было бы назвать
430 бурном зарождении новой геометрии (1958 г.) идет речь в сноске п° 31. Понятие ситуса, или «топологии Гротендика» (предварительная версия понятия топоса), появляется по горячим следам понятия схемы. Оно, в свою очередь, предоставляет в распоряжение математиков новый язык «локализации» или «спуска», который применяется на каждом шагу при развитии темы и инструмента теоретико-схемных. Понятие топоса, более глубокое и геометрическое, остается невыраженным в явном виде в течение нескольких последующих лет; оно выбирается на свет главным образом начиная с 1963 г. с развитием этальных когомологии и понемногу заставляет признать себя первым из основополагающих.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
теоретико-схемной геометрией, предварительным наброском «арифметической геометрии», ее бутоном, расцветшим в ходе последующих лет.
Идея схемы сама по себе - простоты младенческой; такая простенькая, такая скромная, что никому до меня и в голову не пришло за ней так низко нагнуться. И до того даже «дурашливая», признаться, что потом еще несколько лет, очевидности наперекор, для многих моих ученых коллег все это выглядело воистину «несерьезно»! У меня, впрочем, месяцы ожесточенного и уединенного труда ушли на то, чтобы убедиться в своем углу, что это действительно «работает» - что новый язык, этакий глуповатый, который я в своей неисправимой наивности упорно стремился испробовать, оказался и впрямь подходящим для того, чтобы уловить, в новом свете и с новой точностью, и в общих отныне рамках, некоторые из самых первородных геометрических предчувствий, связанных с уже существующими «геометриями в характеристике р». Это было своего рода упражнение, сочтенное поначалу дурацким и безнадежным всеми «достаточно компетентными» особами. Один я, без сомнения, мог когда-либо вбить себе в голову взяться работать над подобной нелепостью - и даже (тайным бесом ведомый) успешно завершить, всем чертям назло!
Вместо того чтобы дать сбить себя с толку окружавшим меня законодательным соглашениям о том, что серьезно и что нет, я просто доверился, как раньше, тихому голосу вещей, уже звучавшему во мне: ведь я умел прислушаться. Награда не заставила себя ждать, превзойдя всяческие ожидания. В течение этих нескольких месяцев, совсем даже не «нарочно», я нашел инструменты мощные и несомненные в своей эффективности. Они дали мне возможность не только вновь получить (играючи) старые результаты, знаменитые своей сложностью, в более резком свете и их превзойти, но также, приблизившись наконец вплотную, разрешить проблемы «геометрии в характеристике р», которые до тех пор казались вне пределов досягаемости любыми средствами, тогда известными {43} .
В процессе нашего познания законов Вселенной (математических или каких еще) только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Та изначальная невинность, данная нам от рождения, какая обитает в каждом из нас, будучи зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Она одна объединяет смирение и смелость, благодаря которым мы оказываемся способны проникнуть в суть вещей и впустить вещи внутрь себя, проникшись ими.
Эта власть - отнюдь не особый «дар», как, скажем, исключительная способность рассудка усваивать и управляться легко и ловко с впечатляющей массой известных фактов, идей и технических приемов. Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро - «сверх всякой меры».
Все же не эти дары, и не честолюбие даже самое пылкое, поддержанное непреклонной волей к успеху, позволяют перешагнуть «круги невидимые, но властные», ограждающие Вселенную. Только невинность сумеет их преодолеть, сама того не заметив и не слишком о том заботясь, в минуты, когда мы, с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаемся во власть этой младенческой игры целиком…
12. Новаторская идея схемы, как мы уже знаем, дала возможность связать между собой различные «геометрии», соответствующие различным простым числам (или различным «характеристикам»). Каждая из этих геометрий оставалась все еще существенно «дискретной», или «разрывной» по контрасту с традиционной геометрией, доставшейся нам в наследство от прошедших веков (начиная с Евклида). Новые идеи, введенные Зарисским и Серром, вернули в какой-то степени этим геометриям «непрерывное измерение», сразу же перехваченное «теоретико-схемной геометрией», пришедшей с целью их объединить. Но если говорить о «невероятных гипотезах» (Вейля), то до их подтверждения было еще очень далеко. «Топологии Зарисского» были с этой точки зрения настолько грубы, что оставались почти что на уровне «дискретных скоплений». Недоставало, очевидно, какого-то нового принципа, который позволил бы связать эти геометрические объекты (или «многообразия», или «схемы») с привычными («благонадежными») топологическими «пространствами»; скажем, такими, в которых «точки» отчетливо изолированы друг от друга, в то время как в пространствах-без-стыда-и-совести, введенных Зарисским, точки имеют досадную склонность склеиваться между собой…
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Решительно, только появление «нового принципа», никак не меньше, могло устроить, чтобы «брачный союз числа и величины (размера)», или «геометрии разрывного» с «геометрией непрерывного» совершился - как то сулило некое предчувствие, впервые давшее о себе знать языком гипотез Вейля.
Понятие «пространства», без сомнения, одно из самых древних в математике. Оно является до такой степени основополагающим для нашего «геометрического» понимания мира, что принималось на веру, практически не требуя описаний, в течение более чем двух тысяч лет. И лишь в прошлом веке понятие это постепенно освободилось из-под тирании непосредственного восприятия (как единственно пространства, нас окружающего) и связанных с ним традиционных (евклидовых) теоретических разработок, чтобы обрести теперь уже свои собственные динамику и независимость. В наши дни оно входит в число понятий, наиболее часто и повсеместно используемых в математике, безусловно известных всем математикам без исключения. Понятие, впрочем, изменчивое, не поспоришь; у него сотни, тысячи обликов, в зависимости от того, какую структуру ему придать. Есть из них богатейшие (как почтенные «евклидовы» структуры, или «аффинные», или «проективные», или еще «алгебраические» структуры одноименных «многообразий»; эти обобщают все предыдущие, придавая им гибкость), есть аскетически строгие. Последние таковы, что всякий элемент информации «качественной» из них словно бы исчез безвозвратно, и присутствует лишь намек на количественную сущность понятия близости, или предела {44} , и наличествует лишь вернее всего ускользающая от интуиции («топологическая») версия понятия формы. Наиболее безыскусное среди всех, топологическое пространство в течение истекшей половины столетия играло роль своего рода широкого лона общих концепций, охватывающих все прочие структуры. Изучением таких пространств занимается одна из самых увлекательных, самых животрепещущих ветвей геометрии: топология.
Как ни неуловима могла казаться сначала структура «чистого качества», воплощенная в «пространстве» (называемом «топологическим»), при отсутствии каких бы то ни было данных количественной природы (как расстояние между двумя точками, в частности), которые дали бы нам возможность уцепиться за сколько-нибудь привычное интуитивное представление о «величине», или «малости», - в течение минувшего века удалось наконец загнать эти пространства в плотные и гибкие ячейки языка, тщательно «скроенного из кусочков»
.
Более того, изобрели и изготовили целиком эталоны «метра», или «сажени», именно затем, чтобы, всему наперекор, навязать что-то вроде «мер» (названных «топологическими инвариантами») этим пространствам-спрутам, которые, подобно неуловимым призрачным городам, казалось, ускользали при всякой попытке нанести их на карту с масштабом. Правда, основная часть этих инвариантов, притом самых существенных, более тонкой природы, чем просто «число», или «величина». Скорее, они сами представляют собой более или менее прихотливые структуры, привязанные (посредством конструкций той или иной степени сложности) к пространству, о котором идет речь. Один из самых давних и важнейших таких инвариантов, введенный еще в предыдущем столетии (итальянским математиком Бетти), образован различными «группами» (или «линейными пространствами») - так называемыми «когомологиями», соответствующими данному пространству
Год, последовавший за этой паузой (1958), был, наверное, самым плодотворным для меня как математика. Это год появления двух центральных тем новой геометрии: бурного старта теории схем (предмет моего доклада на международном математическом конгрессе в Эдинбурге летом того же года) и возникновения понятия ситуса, то есть предварительной, технической версии важнейшего понятия топоса. Сейчас, в перспективе почти что тридцати лет, я могу утверждать, что то был воистину год рождения нового геометрического видения, последовавшего за вступлением в силу двух главных инструментов этой геометрии: схем (которые являют собой метаморфозу старого понятия «алгебраического многообразия») и топоса (представляющего результат преображения - еще более глубокого, чем в случае схем - понятия пространства).
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
видения, или, оглянувшись назад, в теперешней перспективе узнать и выбрать такую минуту. Новое видение - нечто заведомо слишком обширное, чтобы появиться сразу, в один миг. Ему нужны долгие годы, если не целые поколения, чтобы, проникнув в душу, постепенно завладеть тем или теми, кто неотрывно, внимательно созерцает - как если бы два новых глаза в муках рождались позади прежних, привычных, призванные понемногу их заменить. И, опять-таки, видение слишком объемно, чтобы говорить о возможности уловить его, «схватить», как хватаешь первое же понятие, возникшее из-за поворота на твоей дороге. А значит, в итоге нет ничего удивительного в том, что мысль как-нибудь назвать вещь настолько широкую, близкую и оттого расплывчатую не могла появиться раньше, чем при взгляде уже с некоторого расстояния - по истечении промежутка, нужного ей, чтобы достичь настоящей зрелости.
По правде сказать, раньше, чем два года назад, мои отношения с математикой (если не считать преподавательской работы) ограничивались тем, чтобы ее делать - повинуясь импульсу, неизменно гнавшему меня вперед, в «неизвестность», чей зов был неумолкающим. Не могло быть и речи о том, чтобы остановить этот разбег; задержавшись хотя бы на миг, оглянуться на очертания пройденного пути - даже просто понять, что, собственно, мой труд собой представляет. (То есть определить его место в моей жизни, как некоей вещи, все еще связанной со мной глубокими связями, о существовании которых я долгое время не подозревал. И еще - понять его роль в том общем, совместно предпринятом путешествии-приключении человеческой расы, каковым является математика.)
И другая странность: чтобы мне наконец «остановиться» и возобновить полузабытое знакомство с этим трудом, или хотя бы только задуматься об том, как назвать видение, заключившее в себе его душу, должно было случиться так, чтобы я вдруг столкнулся с реальностью Похорон гигантских масштабов (за могильщиков работали молчание и насмешки) как собственно видения, так и работника, в котором оно зародилось…
9. Непредвиденным образом, данное «предисловие» слово за слово превратилось в эдакое представление, по всем правилам, моего труда, предназначенное главным образом для читателя - не математика по профессии. Это обязывает, и потом, я уже слишком вовлечен в игру, чтобы можно было пойти на попятный; что же мне еще остается,
как не покончить с «церемониями»! Я хотел бы сказать худо-бедно хотя бы несколько слов о сущности этих волшебных «концепций» (или «ключевых тем»), которым я дал блеснуть на предыдущих страницах, и о природе этого славного «видения», в котором всем основным идеям предписано слиться. Ввиду невозможности прибегнуть здесь к языку сколько-нибудь техническому, образ, который мне удалось бы сейчас вызвать на бумагу, выйдет, без сомнения, чрезвычайно расплывчатым (если только под его личиной не прокрадется в текст что-нибудь старое, привычное.. .) {33} .
Традиционно различают три рода «свойств», или «аспектов» тех или иных явлений во Вселенной, составляющих предмет математических рассуждений. Это суть число {34} , размер и форма. О них можно также говорить как об «арифметическом», «метрическом» (или «аналитическом») и «геометрическом» аспектах. В большинстве ситуаций, исследуемых в математике, эти три аспекта присутствуют одновременно, находясь в тесном взаимодействии. При этом, однако, чаще всего имеет место заметное преобладание одного из них над двумя другими. Мне кажется, что для большинства математиков достаточно ясно (тому, кто знаком с ними или просто в курсе их работ), кто они по натуре: «арифметики», «аналитики» или «геометры» - даже о том из них, у кого на скрипке много струн, так что ему доступны всевозможные регистры и диапазоны.
Мои первые, уединенные, размышления над теорией меры и интегрирования совершенно недвусмысленно относятся к разделу «размер», или «анализ». Так же обстоят дела с первой из новых тем, введенных мной в математику (которая представляется мне менее обширной по
353десь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т.д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению - такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
масштабу, чем остальные одиннадцать). То, что я вступил в математику с «бокового подъезда» анализа, представляется мне обусловленным не столько склонностью моей натуры, сколько «случайным стечением обстоятельств». Именно, пробел в образовании, предложенном мне как в лицее, так и в университете (чересчур огромный для моего духа, одержимого страстью к обобщенности и строгости рассуждений) оказался связанным с «метрическим», или «аналитическим» аспектом сути вещей.
1955 г. отмечает решающий поворот в моих математических занятиях: переход от «анализа» к «геометрии». Мне вспоминается еще захватывающее ощущение (конечно, целиком субъективное), как будто я покинул угрюмые, засушливые степи, чтобы вдруг обрести вновь «землю обетованную» с ее сказочными богатствами, готовыми преумножиться беспредельно, повсюду, где захочешь приложить руку - срывай вволю цветы и фрукты, копай руды… И вот это ощущение захлестывающего, сверх всякой меры {34} изобилия с годами лишь подтвердилось, еще углубившись; да оно и сейчас со мной.
Выходит, если есть в математике что-то одно, что (во все времена, без сомнения) увлекало бы меня сильней, чем все остальное, то это не «число» и не «размер», но неизменно форма. И среди тысячи и одного призрака, ищущих формы, чтобы нам открыться, тот, кто околдовал меня пуще всех прочих (не ослабляя и теперь своих чар) - структура, таящаяся внутри математических объектов.
Структура вещи - совсем не что-то такое, что мы могли бы «изобрести». Мы можем лишь выводить ее на свет терпеливо, смиренно; знакомясь с ней, ее раскрывать. Если есть в этой работе изобретательность, если когда и приходится нам браться за труд кузнеца или неутомимого строителя, то отнюдь не затем, чтобы «выковывать» или «строить» структуры. Они-то не нуждаются в нас, чтобы существовать - и быть в точности такими, как они есть! Но выразить, оставаясь как можно более верными духу, то, над раскрытием и изучением чего мы
усердно бьемся, ту структуру, что дается нам неохотно - вот за чем мы бредем, пробираясь на ощупь, пробуя языки (а слышен, быть может, лишь лепет), чтобы подступиться к ней. Так и приходится нам постоянно изобретать язык, способный все тоньше и искусней передать словами структуру, присущую математическому объекту, и «строить» с помощью этого языка, постепенно и целиком, «теории», которые должны дать отчет о том, что мы поняли и увидели. Маятник движется без остановки между пониманием вещей и выражением понятого на языке, который отшлифовывает и пересоздает сам себя в процессе работы, под постоянным давлением насущной необходимости.
Как читатель уже, без сомнения, угадал, «теории», отстроенные целиком, суть не что иное, как «красивые дома», о которых речь шла выше (те, что мы получаем в наследство от своих предшественников, и те, что, внимая зову неизвестного, в ответ на него строим своими руками). И если я говорил давеча об «изобретательности» (или фантазии) кузнеца ли, строителя, то должен прибавить: душа, тайный нерв работы - совсем не спесь того, кто скажет: «Я хочу вот так, и никак иначе!» - находя главное удовольствие в том, чтобы решать по-своему. Тот дрянной архитектор, у кого в голове сложены готовыми все планы раньше, чем он удосужится исследовать свой участок земли, его нужды и возможности. Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей. Ибо вещи во Вселенной неустанно толкуют о себе, открываясь тому, кто озаботится выслушать. И дом тем краше, чем ясней в нем любовь его создателя; дело не в том, насколько он высок и широк. Красивый дом - вернейшее отражение структуры и красоты, скрытых в сердце вещей.
10. Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных темах, собравшихся в одно материнское видение - как реки, дочери моря, возвращаясь, все текут к нему…
Это широкое объединяющее видение может быть описано как новая геометрия. Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом столетии {35} . Но действительность (дерзкая мечта может иногда пред-
чувствовать ее или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно превосходит, богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую смелую и самую глубокую. Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто не мог и помыслить, менее всего сам работник.
Можно сказать, что «число» способно уловить структуру «разрывных», или «дискретных» систем - часто конечных, состоящих из «элементов», или «объектов», «изолированных» друг от друга, без какого бы то ни было правила «непрерывного перехода» от одного к другому. «Размер», напротив, есть свойство, поддающееся в полном смысле этого слова «непрерывному изменению». Он тем самым способен уловить структуру непрерывных явлений: перемещений, пространств, «многообразий» всех родов, силовых полей и т.п. Итак, арифметика выступает (грубо говоря) как наука о дискретных структурах, а анализ - как наука о непрерывных структурах.
Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем двух тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании этого слова) она охватывает оба вида структур: как «дискретные», так и «непрерывные» {36} . Долгое время, впрочем, не было настоя щего «разлада» между двумя геометриями разной природы: одной дискретной, другой непрерывной.
Скорее, сосуществовали две различные точки зрения на исследование самих геометрических фигур: одна делала упор на «дискретных» (в частности, численных и комбинаторных) свойствах, другая - на «непрерывных» (таких, как положение в окружающем пространстве, или «размер», измеренный в терминах расстояний между точками фигуры, и т.п.).
Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием того, что иногда называют «абстрактной (алгебраической) геометрией». В общих чертах она состояла в введении для каждого простого числа р геометрии (алгебраической) «в характеристике р», скопированной с непрерывной модели геометрии (алгебраической), унаследованной от предыдущих столетий, но все же в контексте, который выступал непримиримо «разрывным», «дискретным». Эти новые геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале века, и особенно ввиду тесной их связи с арифметикой, наукой в полном смысле этого слова дискретной структуры. Похоже, одна из ведущих идей труда Андрэ Вей-ля {37} , даже может быть, главная движущая сила (которая, как водится, осталась более или менее невысказанной в его записанных работах), состоит в том, что «собственно» геометрия (алгебраическая), и в особенности «дискретные» геометрии, соответствующие различным простым числам, предоставляют ключ к широчайшему обновлению арифметики. Именно этим духом пронизаны прогремевшие в 1949 г. знаменитые гипотезы Вейля. Гипотезы совершенно потрясающие, по правде сказать, позволившие предвидеть для этих новых «многообразий» (или «пространств») дискретной природы возможность определенных типов конструкций и рассуждений {38} , казавшихся до тех пор немыслимыми вне рамок тех «пространств», которые одни только почитались аналитиками достойными этого имени - именно, пространства, называемые «топологическими» (для которых применимо понятие непрерывного изменения).
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Можно считать, что новая геометрия - это прежде всего прочего синтез двух миров, до ее появления смежных и тесно связанных друг с другом, но все же отдельных, различных: мира «арифметического», в котором живут (самозванные) «пространства» без принципа непрерывности, и мира непрерывных величин, где обитают «пространства» в собственном смысле этого слова, достижимые средствами аналитика и (по этой самой причине) им же признанные достойными пристанища в городе математических объектов. В новом видении эти два мира, некогда разделенные стеной, стали как один, сметя границы.
Впервые это видение арифметической геометрии (как я предлагаю назвать новую геометрию) зародилось в форме гипотез Вейля. В процессе развития некоторых моих главных тем {39} гипотезы эти оставались основным источником вдохновения все время от 1958 до 1966 г. Еще до меня, впрочем, Оскар Зарисский с одной стороны, затем Жан-Пьер Серр с другой, для пространств-без-стыда-и-совести в «абстрактной» алгебраической геометрии развили определенные «топологические» методы, основанные на тех, что прежде были в ходу среди пространств-с-прочными-устоями во всем мире {40} . Их идеи, несомненно, сыграли важную роль в построении новой геометрии, начиная с первых моих шагов; правда, скорее в качестве отправных точек и инструментов (которые мне пришлось в той или иной степени переделать для нужд куда более
В свете этой «поименной переклички»: если бы мне предложили назвать ближайших «прародителей» нового геометрического видения, то имена Оскара Зарисского, Андрэ Вейля, Жана Лерэ и Жан-Пьера Серра я бы произнес, не задумываясь. Среди них Серру принадлежит особая роль, так как главным образом через его посредство я ознакомился не только с его собственными идеями, но также с идеями Зарисского, Вейля и Лерэ, немало значившими для зарождения и развития новой геометрии.
широкого контекста), чем источника вдохновения, который продолжал бы питать мои мечты и проекты в течение месяцев и лет. Во всяком случае, было вполне ясно сразу, что, даже преобразованные, инструменты эти были весьма далеки от того, что требовалось уже для первых шагов в направлении фантастических гипотез Вейля.
11. Две идеи, схемы и топоса, оказались решающими для зарождения и развития новой геометрии. Возникнув почти одновременно и в тесном симбиозе друг с другом {41} , они вместе стали, как двигательный нерв для небывалого роста новой геометрии, считая с самого года своего появления. Чтобы закончить обзор моего труда, нужно, по крайней мере, сказать несколько слов об этих двух идеях.
Понятие схемы приходит на ум как самое естественное, самое «очевидное», когда речь идет о том, чтобы собрать в одно бесконечный ряд понятий «многообразия» (алгебраического), с каким приходилось иметь дело раньше (отдельное такое понятие для каждого простого числа {42} …). И потом, та же самая схема (или «многообразие» нового вида) одна порождает, для каждого простого числа р, однозначно определенное «многообразие (алгебраическое) в характеристике р». Набор этих различных многообразий в различной характеристике можно тогда себе представить чем-то вроде «(бесконечного) веера многообразий» (свое для каждой характеристики). «Схема» и есть этот магический веер, соединяющий между собой, как различные «ветви», эти «аватары», или «воплощения», всевозможных характеристик. Она же тем самым обеспечивает эффективный «принцип перехода», чтобы устанавливать связь между «многообразиями»-выходцами из геометрий, ранее представлявшихся в той или иной мере изолированными, отрезанными друг от друга. Теперь они оказались объединенными в одну общую «геометрию» и внутри ее между собой связанными. Ее можно было бы назвать
430 бурном зарождении новой геометрии (1958 г.) идет речь в сноске п° 31. Понятие ситуса, или «топологии Гротендика» (предварительная версия понятия топоса), появляется по горячим следам понятия схемы. Оно, в свою очередь, предоставляет в распоряжение математиков новый язык «локализации» или «спуска», который применяется на каждом шагу при развитии темы и инструмента теоретико-схемных. Понятие топоса, более глубокое и геометрическое, остается невыраженным в явном виде в течение нескольких последующих лет; оно выбирается на свет главным образом начиная с 1963 г. с развитием этальных когомологии и понемногу заставляет признать себя первым из основополагающих.
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
теоретико-схемной геометрией, предварительным наброском «арифметической геометрии», ее бутоном, расцветшим в ходе последующих лет.
Идея схемы сама по себе - простоты младенческой; такая простенькая, такая скромная, что никому до меня и в голову не пришло за ней так низко нагнуться. И до того даже «дурашливая», признаться, что потом еще несколько лет, очевидности наперекор, для многих моих ученых коллег все это выглядело воистину «несерьезно»! У меня, впрочем, месяцы ожесточенного и уединенного труда ушли на то, чтобы убедиться в своем углу, что это действительно «работает» - что новый язык, этакий глуповатый, который я в своей неисправимой наивности упорно стремился испробовать, оказался и впрямь подходящим для того, чтобы уловить, в новом свете и с новой точностью, и в общих отныне рамках, некоторые из самых первородных геометрических предчувствий, связанных с уже существующими «геометриями в характеристике р». Это было своего рода упражнение, сочтенное поначалу дурацким и безнадежным всеми «достаточно компетентными» особами. Один я, без сомнения, мог когда-либо вбить себе в голову взяться работать над подобной нелепостью - и даже (тайным бесом ведомый) успешно завершить, всем чертям назло!
Вместо того чтобы дать сбить себя с толку окружавшим меня законодательным соглашениям о том, что серьезно и что нет, я просто доверился, как раньше, тихому голосу вещей, уже звучавшему во мне: ведь я умел прислушаться. Награда не заставила себя ждать, превзойдя всяческие ожидания. В течение этих нескольких месяцев, совсем даже не «нарочно», я нашел инструменты мощные и несомненные в своей эффективности. Они дали мне возможность не только вновь получить (играючи) старые результаты, знаменитые своей сложностью, в более резком свете и их превзойти, но также, приблизившись наконец вплотную, разрешить проблемы «геометрии в характеристике р», которые до тех пор казались вне пределов досягаемости любыми средствами, тогда известными {43} .
В процессе нашего познания законов Вселенной (математических или каких еще) только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Та изначальная невинность, данная нам от рождения, какая обитает в каждом из нас, будучи зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Она одна объединяет смирение и смелость, благодаря которым мы оказываемся способны проникнуть в суть вещей и впустить вещи внутрь себя, проникшись ими.
Эта власть - отнюдь не особый «дар», как, скажем, исключительная способность рассудка усваивать и управляться легко и ловко с впечатляющей массой известных фактов, идей и технических приемов. Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро - «сверх всякой меры».
Все же не эти дары, и не честолюбие даже самое пылкое, поддержанное непреклонной волей к успеху, позволяют перешагнуть «круги невидимые, но властные», ограждающие Вселенную. Только невинность сумеет их преодолеть, сама того не заметив и не слишком о том заботясь, в минуты, когда мы, с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаемся во власть этой младенческой игры целиком…
12. Новаторская идея схемы, как мы уже знаем, дала возможность связать между собой различные «геометрии», соответствующие различным простым числам (или различным «характеристикам»). Каждая из этих геометрий оставалась все еще существенно «дискретной», или «разрывной» по контрасту с традиционной геометрией, доставшейся нам в наследство от прошедших веков (начиная с Евклида). Новые идеи, введенные Зарисским и Серром, вернули в какой-то степени этим геометриям «непрерывное измерение», сразу же перехваченное «теоретико-схемной геометрией», пришедшей с целью их объединить. Но если говорить о «невероятных гипотезах» (Вейля), то до их подтверждения было еще очень далеко. «Топологии Зарисского» были с этой точки зрения настолько грубы, что оставались почти что на уровне «дискретных скоплений». Недоставало, очевидно, какого-то нового принципа, который позволил бы связать эти геометрические объекты (или «многообразия», или «схемы») с привычными («благонадежными») топологическими «пространствами»; скажем, такими, в которых «точки» отчетливо изолированы друг от друга, в то время как в пространствах-без-стыда-и-совести, введенных Зарисским, точки имеют досадную склонность склеиваться между собой…
Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать
Решительно, только появление «нового принципа», никак не меньше, могло устроить, чтобы «брачный союз числа и величины (размера)», или «геометрии разрывного» с «геометрией непрерывного» совершился - как то сулило некое предчувствие, впервые давшее о себе знать языком гипотез Вейля.
Понятие «пространства», без сомнения, одно из самых древних в математике. Оно является до такой степени основополагающим для нашего «геометрического» понимания мира, что принималось на веру, практически не требуя описаний, в течение более чем двух тысяч лет. И лишь в прошлом веке понятие это постепенно освободилось из-под тирании непосредственного восприятия (как единственно пространства, нас окружающего) и связанных с ним традиционных (евклидовых) теоретических разработок, чтобы обрести теперь уже свои собственные динамику и независимость. В наши дни оно входит в число понятий, наиболее часто и повсеместно используемых в математике, безусловно известных всем математикам без исключения. Понятие, впрочем, изменчивое, не поспоришь; у него сотни, тысячи обликов, в зависимости от того, какую структуру ему придать. Есть из них богатейшие (как почтенные «евклидовы» структуры, или «аффинные», или «проективные», или еще «алгебраические» структуры одноименных «многообразий»; эти обобщают все предыдущие, придавая им гибкость), есть аскетически строгие. Последние таковы, что всякий элемент информации «качественной» из них словно бы исчез безвозвратно, и присутствует лишь намек на количественную сущность понятия близости, или предела {44} , и наличествует лишь вернее всего ускользающая от интуиции («топологическая») версия понятия формы. Наиболее безыскусное среди всех, топологическое пространство в течение истекшей половины столетия играло роль своего рода широкого лона общих концепций, охватывающих все прочие структуры. Изучением таких пространств занимается одна из самых увлекательных, самых животрепещущих ветвей геометрии: топология.
Как ни неуловима могла казаться сначала структура «чистого качества», воплощенная в «пространстве» (называемом «топологическим»), при отсутствии каких бы то ни было данных количественной природы (как расстояние между двумя точками, в частности), которые дали бы нам возможность уцепиться за сколько-нибудь привычное интуитивное представление о «величине», или «малости», - в течение минувшего века удалось наконец загнать эти пространства в плотные и гибкие ячейки языка, тщательно «скроенного из кусочков»
.
Более того, изобрели и изготовили целиком эталоны «метра», или «сажени», именно затем, чтобы, всему наперекор, навязать что-то вроде «мер» (названных «топологическими инвариантами») этим пространствам-спрутам, которые, подобно неуловимым призрачным городам, казалось, ускользали при всякой попытке нанести их на карту с масштабом. Правда, основная часть этих инвариантов, притом самых существенных, более тонкой природы, чем просто «число», или «величина». Скорее, они сами представляют собой более или менее прихотливые структуры, привязанные (посредством конструкций той или иной степени сложности) к пространству, о котором идет речь. Один из самых давних и важнейших таких инвариантов, введенный еще в предыдущем столетии (итальянским математиком Бетти), образован различными «группами» (или «линейными пространствами») - так называемыми «когомологиями», соответствующими данному пространству