Рис. 5. Небесная сфера и экваториальные системы координат.
Диаметр РР' (рис. 5) вокруг которого происходит вращение небесной сферы, называется осью мира. Ось мира пересекается с поверхностью небесной сферы в двух точках: в северном полюсе мира Р и южном полюсе мира Р'. Северный полюс тот, со стороны которого вращение небесной сферы происходит по часовой стрелке, если смотреть на сферу извне. Большой круг небесной сферы QWQ'E, плоскость которого перпендикулярна к оси мира, называется небесным экватором. Небесный экватор делит поверхность небесной сферы на два полушария: северное, с северным полюсом мира Р, и южное, с южным полюсом мира Р'. Малый круг небесной сферы (bМb), плоскость которого параллельна плоскости небесного экватора, называется небесной или суточной параллелью светила М. Видимые суточные движения светил совершаются по суточным параллелям. Большой полукруг небесной сферы РМР', проходящий через полюсы мира и через светило М, называется часовым кругом или кругом склонения светила. Небесный экватор пересекается с математическим горизонтом в двух точках: в точке востока Е и в точке запада W. Круги высот, проходящие через точки востока и запада, называются первыми вертикалами - восточным и западным. Большой круг небесной сферы PZQSP'Z'Q'N, плоскость которого проходит через отвесную линию и ось мира, называется небесным меридианом. Небесный меридиан делит поверхность небесной сферы на два полушария: восточное, с точкой востока Е, и западное, с точкой запада W. Плоскость небесного меридиана и плоскость математического горизонта пересекаются по прямой линии NOS, которая называется полуденной линией. Небесный меридиан пересекается с математическим горизонтом в двух точках: в точке севера N и в точке юга S. Точкой севера называется та, которая ближе к северному полюсу мира. Точка юга - ближе к южному полюсу мира. Небесный меридиан пересекается с небесным экватором также в двух точках: в верхней точке экватора Q, которая ближе к зениту, и в нижней точке экватора Q', которая ближе к надиру. Дуга небесного меридиана PZQSP' является его верхней частью, а дуга PNQ'Z'P' нижней.
§ 11. Горизонтальная и экваториальные системы небесных координат
Положение светила на небе, или вообще какой-либо точки на сфере, однозначно определяется по отношению к основным плоскостям и связанным с ними линиям и точкам небесной сферы и выражается количественно двумя величинами (центральными углами или дугами больших кругов), которые называются небесными координатами. Для решения разнообразных задач астрономии пользуются различными системами небесных координат. Системы эти отличаются одна от другой выбором основной плоскости и началом отсчета. Горизонтальная система. Основной плоскостью в этой системе является плоскость математического горизонта NWSE, а отсчет ведется от зенита и от одной из точек математического горизонта (рис. 4). Одной координатой является или зенитное расстояние z, или высота светила над горизонтом h. Высотой h светила М называется дуга вертикального круга mМ от математического горизонта до светила, или центральный угол mОМ (в плоскости вертикального круга) между плоскостью математического горизонта и направлением на светило М. Высоты отсчитываются в пределах от 0° до +90° к зениту (если светило находится в видимой части небесной сферы) и от 0° до -90° к надиру (если светило находится в невидимой части небесной сферы). Зенитным расстоянием z светила М называется дуга вертикального круга ZM от зенита до светила или центральный угол ZOM между отвесной линией и направлением на светило М. Зенитные расстояния отсчитываются в пределах от 0° до 180° в направлении от зенита к надиру. Светила, находящиеся в видимой части небесной сферы, имеют z Ј 90°, а в невидимой части z > 90°. Между зенитным расстоянием и высотой одного и того же светила всегда справедливо соотношение
z + h = 90°.(1.1)
Светила, находящиеся на одном альмукантарате, имеют одинаковые высоты и одинаковые зенитные расстояния. Высота, или зенитное расстояние, определяет положение светила на вертикальном круге. Положение же самого вертикального круга на небесной сфере определяется другой координатой - азимутом А. Азимутом А светила М называется дуга математического горизонта Sm от точки юга S до вертикального круга, проходящего через светило, или центральный угол SOm (в плоскости математического горизонта) между полуденной линией и линией пересечения плоскости математического горизонта с плоскостью вертикального круга, проходящего через светило. Азимуты отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы, т.е. к западу от точки юга S, в пределах от 0° до 360°. Иногда азимуты отсчитываются от 0° до +180° к западу (западные азимуты) и от 0° до -180° (восточные азимуты). В геодезии азимуты отсчитываются от точки севера N либо от 0° до 360° в сторону востока либо от 0° до +180° (восточные азимуты) и от 0° до -180° (западные азимуты). Такие азимуты называются геодезическими, в отличие от астрономических азимутов, отсчитываемых от точки юга. Геодезический азимут А' и астрономический A связаны простым соотношением
А' = А ± 180°.(1.2)
Знак плюс берется для A < 180°, или для отрицательных (восточных) азимутов; знак минус - для А > 180°, или для положительных (западных) азимутов. Светила, находящиеся на одном вертикальном круге, имеют одинаковые азимуты. Первая экваториальная система координат. Основной плоскостью в этой системе является плоскость небесного экватора QQ', а началом отсчета - точки небесного экватора (рис. 5). Одной координатой является склонение светила d . Склонением d светила М называется дуга mМ часового круга РМmР' от небесного экватора до светила, или центральный угол mОМ (в плоскости часового круга) между плоскостью небесного экватора и направлением на светило. Склонения отсчитываются в пределах от 0° до + 90° к северному полюсу мира (светило находится в северном, полушарии небесной сферы) и от 0° до - 90° к южному полюсу мира (светило находится в южном полушарии сферы). Иногда, но весьма редко, склонение d заменяется полярным расстоянием р, т.е. дугой РМ часового круга от северного полюса мира до светила, или центральным углом РОМ между осью мира и направлением на светило. Полярные расстояния отсчитываются в пределах от 0° до 180° от северного полюса мира к южному. Светила, находящиеся в северном полушарии небесной сферы, имеют р < 90°, а в южном полушарии р > 90°. Между полярным расстоянием и склонением одного и того же светила всегда справедливо соотношение
p +d = 90°.(1.3)
Светила, находящиеся на одной суточной параллели, имеют одинаковые склонения d и одинаковые полярные расстояния р. Склонение, или полярное расстояние, определяет положение светила на часовом круге. Положение же самого часового круга на небесной сфере определяется другой координатой - часовым углом t. Часовым углом t светила М называется дуга небесного экватора Qm от верхней точки Q небесного экватора до часового круга РМmР', проходящего через светило, или центральный угол QOm (в плоскости небесного экватора), измеряющий двухгранный угол между плоскостями небесного меридиана и часового круга светила. Часовые углы отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы, т.е. к западу от верхней точки Q небесного экватора, в пределах от 0° до 360° (в градусной мере) или от 0h до 24h (в часовой мере). Иногда часовые углы отсчитываются от 0° до +180° (от 0h до +12h) к западу (западные часовые углы) и от 0° до -180° (от 0h до -12h) к востоку (восточные часовые углы). Светила, находящиеся на одном круге склонения, имеют одинаковые часовые углы. Вторая экваториальная система координат. Основной плоскостью в этой системе является также плоскость небесного экватора, а одной координатой - склонение d (реже - полярное расстояние р). Другой же координатой, определяющей положение часового круга светила, является прямое восхождение a. Прямым восхождение a светила М называется дуга небесного экватора ^m (см. рис. 5) от точки весеннего равноденствия ^ (см. § 15) до часового круга, проходящего через светило, или центральный угол ^Оm (в плоскости небесного экватора) между направлением на точку весеннего равноденствия и плоскостью часового круга светила. Прямые восхождения a отсчитываются в сторону, противоположную суточному вращению небесной сферы, в пределах от 0° до 360° (в градусной мере) или от 0h до 24h (в часовой мере). Светила, находящиеся на одном часовом круге, имеют одинаковые прямые восхождения. Горизонтальные координаты (г, h, А) и часовой угол светила t непрерывно изменяются вследствие суточного вращения небесной сферы (см. § 14), так как они отсчитываются от неподвижных точек, не участвующих в этом вращении. Экваториальные координаты светила (прямое восхождение a и склонение d ) из-за суточного вращения небесной сферы не меняются, так как они отсчитываются от точек небесного экватора, которые сами участвуют в суточном вращении, и следовательно, положение светила относительно этих точек не изменяется. Горизонтальная система координат используется для непосредственных определений видимых положений светил с помощью угломерных инструментов. Первая экваториальная система (склонение и часовой угол) используется преимущественно при определении точного времени - одной из основных задач практической астрономии. Вторая экваториальная система является основной при решении задач фундаментальной астрометрии. В этой системе составляются списки звездных положений (звездные каталоги) и звездные карты.
§ 12. Зависимость высоты полюса мира от географической широты места наблюдения
Вращение небесного свода - явление кажущееся и представляет собой следствие действительного вращения Земли вокруг оси в направлении, противоположном суточному вращению неба, т.е. с запада на восток. Поэтому в какой бы точке на поверхности Земли наблюдатель ни находился, он всегда видит вращение небесной сферы происходящим вокруг оси мира - прямой, параллельной оси вращения Земли. Направление же отвесной линии меняется при перемещении наблюдателя по земной поверхности и составляет различные углы с осью вращения. Взаимное расположение кругов и точек небесной сферы, связанных с осью мира и с отвесной линией, зависит, следовательно, от направления последней, т.е. от положения наблюдателя на поверхности Земли. Эта зависимость формулируется в виде следующей теоремы: "высота полюса мира hP над горизонтом всегда равна астрономической широте ср места наблюдения". Доказательство теоремы следует непосредственно из чертежа (рис. 6), где РPON = hP и РOTq = j - углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Как следствие этой теоремы, астрономической широте места наблюдения j равны также (рис. 7): 1) склонение зенита d Z = j; 2) полярное расстояние точки севера рN = j ; 3) зенитное расстояние верхней точки экватора zQ = j.
На основании соотношения (1.1) зенитное расстояние полюса мира zP = 90° - hP = 90° - j. Следовательно, величине (90° - j) равны также: 1) полярное расстояние зенита pZ = 90° - j; 2) склонение точки севера hQ = 90° - j; 3) высота верхней точки экватора hQ = 90° - j.
§ 13. Явления, связанные с суточным вращением небесной сферы
а) Восход и заход светил. Вследствие суточного вращения небесной сферы все светила описывают круги, плоскости которых параллельны плоскости небесного экватора, т.е. они движутся по суточным, или небесным параллелям. В зависимости от географической широты j места наблюдения и от склонений d светил суточные параллели последних либо пересекают математический горизонт в двух точках, либо целиком располагаются над ним, либо под ним (рис. 8). Точка пересечения светилом восточной части истинного горизонта называется точкой восхода светила, точка пересечения западной части истинного горизонта - точкой захода светила. Светило восходит и заходит на данной широте j , если абcолютное значение его склонения
|d | < (90° - | j |).(1.4)
Если светило находится на небесном экваторе QQ', т.е. его d = 0, то оно восходит точно в точке востока Е и заходит точно в точке запада W. Если склонение светила d > 0 (небесная параллель аа), то оно восходит на северо-востоке, а заходит на северо-западе. Если склонение светила d < 0 (небесная параллель bb), то оно восходит на юго-востоке, а заходит на юго-западе. Наконец, если абсолютное значение склонения светила
|d | і (90° - | j |),(1.5)
то его суточная параллель не пересечет математического горизонта и оно будет либо незаходящим (суточная параллель ll располагается целиком над горизонтом) либо невосходящим светилом (суточная параллель kk располагается целиком под горизонтом).
Если наблюдатель находится на земном экваторе (j = 0°), то для него согласно условию (1.4) все светила являются восходящими и заходящими. Действительно, на земном экваторе (рис. 9) северный полюс мира Р лежит на горизонте, в точке севера N, а южный полюс Р - в точке юга S. Небесный экватор QQ' перпендикулярен к математическому горизонту и проходит через зенит Z. Поэтому и плоскости суточных параллелей всех светил также перпендикулярны к плоскости математического горизонта. Следовательно, все светила восходят и заходят, видны над горизонтом в течение 12 часов и столько же часов не видны. Если наблюдатель находится на северном географическом полюсе Земли (j = +90°), то для него согласно условию (1.5) светила, имеющие d > 0, являются незаходящими, а светила с d < 0 - невосходящими. Действительно (рис. 10), на северном географическом полюсе Земли северный полюс мира Р совпадает с зенитом Z, а небесный экватор QQ' - с математическим горизонтом. Поэтому плоскости суточных параллелей светил параллельны плоскости математического горизонта, и светила не восходят и не заходят. Светила северного полушария небесной сферы (d > 0) всегда видны над горизонтом, а светила южного полушария небесной сферы (d < 0) никогда не видны. Нетрудно сообразить, что наблюдатель, находящийся на южном полюсе Земли, наоборот, всегда будет видеть светила южного полушария небесной сферы (d < 0) и никогда не увидит светил северного полушария небесной сферы (d > 0).
Если наблюдатель находится на широте j , отличной от 0° и от 90°, то часть светил будет для него являться восходящими и заходящими, а часть - невосходящими и незаходящими. б) Кульминации светил. Суточная параллель каждого светила пересекает небесный меридиан в двух точках, лежащих на концах диаметра параллели. Явление пересечения светилом небесного меридиана называется кульминацией светила. Кульминация называется верхней, если светило пересекает верхнюю часть PZQSP' небесного меридиана, содержащую Z (рис. 7), и нижней, если светило пересекает нижнюю часть небесного меридиана PNQ'Z'P', содержащую Z'. Различают верхнюю кульминацию к югу от зенита (на дуге ZQSP') и к северу от зенита (на дуге PZ). У светил, не заходящих на данной широте j , доступны для наблюдений обе кульминации - и верхняя и нижняя; у восходящих и заходящих светил - только верхняя, нижняя кульминация происходит под горизонтом; у невосходящих светил обе кульминации недоступны наблюдениям, так как происходят под горизонтом.
§ 14. Изменение координат светил при суточном движении
Когда светило восходит или заходит, то его z = 90°, h = 0°, а азимуты точек восхода и захода зависят от склонения светила и широты места наблюдения. В момент верхней кульминации зенитное расстояние светила минимально, высота максимальна, а азимут А = 0 (если светило кульминирует к югу от зенита), или A = 180° (если оно кульминирует к северу от зенита). В момент нижней кульминации зенитное расстояние светила принимает максимальное значение, высота - минимальное, а азимут А = 180°, или А = 0° (если нижняя кульминация происходит между надиром Z' и южным полюсом мира Р'). Следовательно, от нижней кульминации до верхней зенитное расстояние светила уменьшается, а высота увеличивается; от верхней до нижней кульминации, наоборот, зенитное расстояние увеличивается, высота уменьшается. При этом азимут светила также меняется в определенных пределах. Таким образом, горизонтальные координаты светила (z, h и A) непрерывно изменяются вследствие суточного вращения небесной сферы, и если светило неизменно связано со сферой (т.е. его склонение d и прямое восхождение a остаются постоянными), то его горизонтальные координаты принимают свои прежние значения, когда сфера совершит один оборот. Так как суточные параллели светил на всех широтах Земли (кроме полюсов) наклонены к горизонту, то горизонтальные координаты изменяются неравномерно даже при равномерном суточном вращении небесной сферы. Высота светила h и его зенитное расстояние z наиболее медленно меняются близ меридиана, т.е. в момент верхней или нижней кульминаций. Азимут же светила A, наоборот, в эти моменты изменяется наиболее быстро. Часовой угол светила t (в первой экваториальной системе координат), подобно азимуту A, непрерывно меняется. В момент верхней кульминации светила его t = 0. В момент нижней кульминации часовой угол светила t = 180° или 12h. Но, в отличие от азимутов, часовые углы светил (если их склонения d и прямые восхождения a остаются постоянными) изменяются равномерно, так как они отсчитываются по небесному экватору, и при равномерном вращении небесной сферы изменения часовых углов пропорциональны промежуткам времени, т.е. приращения часовых углов равны углу поворота небесной сферы. Равномерность изменения часовых углов имеет очень важное значение при измерении времени. Высота светила h или зенитное расстояние z в моменты кульминаций зависят от склонения светила d и широты места наблюдателя j. Непосредственно из чертежа (рис. 7) следует: 1) если склонение светила M1 d < j, то оно кульминирует к югу от зенита на зенитном расстоянии
z = j - d,(1.6)
или на высоте
h = 90° - j + d ;(1.7)
2) если d = j, то светило кульминирует в зените и тогда
z = 0(1.8)
и
h = + 90° ;(1.9)
3) если d > j, то светило М2 в верхней кульминации находится к северу от зенита на зенитном расстоянии
z = d - j,(1.10)
или на высоте
h = 90° + j - d .(1.11)
4) наконец, в момент нижней кульминации зенитное расстояние светила М3
z = 180° - j - d ,(1.12)
a высота
h = d - (90° - j ) = j + d - 90°.(1.13)
Из наблюдений известно (см. § 8), что на данной широте j каждая звезда всегда восходит (или заходит) в одной и той же точке горизонта, высота ее в меридиане также всегда одинакова. Отсюда можно заключить, что склонения звезд не меняются с течением времени (по крайней мере заметно). Точки же восхода и захода Солнца, Луны и планет, а также их высота в меридиане в разные дни года - различны. Следовательно, склонения этих светил непрерывно меняются с течением времени.
§ 15. Эклиптика. Эклиптическая система координат
Измерениями зенитного расстояния или высоты Солнца в полдень (т.е. в момент его верхней кульминации) на одной и той же географической широте было установлено, что склонение Солнца в течение года изменяется в пределах от +23° 27' до -23°27', два раза в году переходя через нуль. Из наблюдений за изменением вида ночного неба следует, что и прямое восхождение Солнца на протяжении года также постепенно изменяется от 0° до 360°, или от 0h до 24h. Действительно, в полночь в верхней кульминации находятся те звезды, прямые восхождения которых отличаются от прямого восхождения Солнца на 180° или на 12h. Наблюдения же показывают, что с каждым днем в полночь кульминируют звезды все с большим и большим прямым восхождением, следовательно, и прямое восхождение Солнца с каждым днем увеличивается. Рассматривая непрерывное изменение обеих координат Солнца, нетрудно установить, что оно перемещается среди звезд с запада к востоку по большому кругу небесной сферы, который называется эклиптикой. Плоскость эклиптики E' ^ E d (рис. 11) наклонена к плоскости небесного экватора под углом e = 23° 27'. Диаметр ПП', перпендикулярный к плоскости эклиптики, называется осью эклиптики и пересекается с поверхностью небесной сферы в северном полюсе эклиптики П (лежащем в северном полушарии) и в южном полюсе эклиптики П' (в южном полушарии).
Эклиптика пересекается с небесным экватором в двух точках: в точке весеннего равноденствия ^ и в точке осеннего равноденствия d. В точке весеннего равноденствия ^ Солнце пересекает небесный экватор, переходя из южного полушария небесной сферы в северное. В точке осеннего равноденствия d Солнце переходит из северного полушария в южное. Точки эклиптики, отстоящие от равноденственных на 90°, называются точкой летнего солнцестояния (в северном полушарии) и точкой зимнего солнцестояния (в южном полушарии). Большой полукруг небесной сферы ПМП', проходящий через полюсы эклиптики и через светило М, называется кругом широты светила. Эклиптика и точка весеннего равноденствия лежат в основе эклиптической системы небесных координат. Одной координатой в этой системе является эклиптическая широта b светила М, которой называется дуга тМ круга широты (см. рис. 11) от эклиптики до светила, или центральный угол тОМ между плоскостью эклиптики и направлением на светило М. Эклиптические широты отсчитываются в пределах от 0° до + 90° к северному полюсу эклиптики (П) и от 0° до - 90° к ее южному полюсу (П'). Светила, находящиеся на одном малом круге, плоскость которого параллельна плоскости эклиптики, имеют одинаковые эклиптические широты. Эклиптическая широта определяет положение светила на круге широты. Положение же самого круга широты на небесной сфере определяется другой координатой эклиптической долготой l. Эклиптической долготой l светила М называется дуга ^m эклиптики от точки весеннего равноденствия ^ до круга широты, проходящего через светило, или центральный угол ^От (в плоскости эклиптики) между направлением на точку весеннего равноденствия и плоскостью круга широты, проходящего через светило. Эклиптические долготы отсчитываются в сторону видимого годичного движения Солнца по эклиптике, т.е. с запада к востоку в пределах от 0° до 360°. Светила, находящиеся на одном круге широты, имеют одинаковые эклиптические долготы. Эклиптическая система координат применяется преимущественно в теоретической астрономии при определении орбит небесных тел.
§ 16. Изменение экваториальных координат Солнца
Изменение экваториальных координат Солнца при его движении по эклиптике происходит следующим образом. Когда Солнце находится в точке весеннего равноденствия ^ (см. § 15), его прямое восхождение и склонение равны нулю. Затем с каждым днем прямое восхождение и склонение Солнца увеличиваются, и когда Солнце придет в точку летнего солнцестояния, его прямое восхождение станет равным 90° или бh, а склонение достигает максимального значения + 23° 27'. После этого склонение Солнца начинает уменьшаться, а прямое восхождение по-прежнему растет. Когда Солнце придет в точку осеннего равноденствия, его прямое восхождение a = 180° или 12h, а склонение d = 0°. Далее, прямое восхождение Солнца, продолжая увеличиваться, в точке зимнего солнцестояния становится равным 270° или 18h, а склонение достигает своего минимального значения - 23° 27'. После этого склонение Солнца начинает расти, и когда Солнце придет в точку весеннего равноденствия, его склонение снова становится равным нулю, а прямое восхождение, достигнув значения 360° или 24h, обращается в нуль. Эти изменения экваториальных координат Солнца в течение года происходят неравномерно. Склонение изменяется быстрее всего при движении Солнца вблизи равноденственных точек и медленнее всего - вблизи точек солнцестояний. Прямое восхождение, наоборот, медленнее меняется вблизи равноденственных точек и быстрее - вблизи точек солнцестояний. При этом скорость изменения прямого восхождения Солнца вблизи точки летнего солнцестояния меньше, чем вблизи точки зимнего солнцестояния. Видимое движение Солнца по эклиптике есть следствие действительного движения Земли - обращения ее вокруг Солнца. Движение Земли вокруг Солнца происходит в том же направлении, что и вращение Земли вокруг оси, и неравномерно (см. § 40). При этом ось вращения Земли всегда наклонена к плоскости орбиты Земли под углом 66° 33'. Поэтому нам и кажется, что Солнце так же неравномерно перемещается по небесному своду среди звезд, так же с запада на восток, но по окружности (эклиптике), плоскость которой наклонена к плоскости небесного (и земного) экватора под углом 23° 27' = 90° - 66°33'. Когда Солнце находится в точке весеннего равноденствия (d = 0), то оно на всех географических широтах земной поверхности восходит в точке востока Е и заходит в точке запада W (см. § 13). Половина его суточного пути находится над горизонтом, половина под горизонтом. Следовательно, на всем земном шаре, кроме полюсов, в этот день продолжительность дня равна продолжительности ночи. Этот день называется днем весеннего равноденствия (около 21 марта) и считается началом весны в северном полушарии Земли. (В южном полушарии этот момент соответствует началу осени.) Полуденная высота Солнца в день весеннего равноденствия на данной северной широте j согласно формуле (1.7) h¤ = 90° - j. Когда Солнце находится в точке летнего солнцестояния (d = +23° 27'), то оно восходит на данной северной широте j на северо-востоке, а заходит на северо-западе. Большая часть его суточного пути находится над горизонтом. Продолжительность дня в северном полушарии Земли максимальная, ночи минимальная, в южном - наоборот. Этот день называется днем летнего солнцестояния (около 22 июня) и считается началом лета в северном полушарии Земли (в южном этот момент соответствует началу зимы). В день летнего солнцестояния полуденная высота Солнца на данной северной широте j достигает максимального значения hmax = 90° - j + 23° 27 Когда Солнце находится в точке осеннего равноденствия (d = 0), то оно снова на всей Земле восходит в точке востока и заходит в точке запада, и снова на всех широтах, кроме полюсов, продолжительность дня равна продолжительности ночи. Этот день называется днем осеннего равноденствия (около 23 сентября) и считается началом осени в северном полушарии Земли (началом весны - в южном полушарии). Высота Солнца в полдень на данной широте j в день осеннего равноденствия снова равна 90° - j. Наконец, когда Солнце находится в точке зимнего солнцестояния (d = - 23° 27), то оно восходит на юго-востоке, а заходит на юго-западе. Большая часть его суточного пути находится под горизонтом. На данной северной географической широте j продолжительность дня минимальна, ночи - максимальна (в южных широтах, наоборот, продолжительность дня максимальна, ночи - минимальна). Этот день называется днем зимнего солнцестояния (около 22 декабря) и считается началом зимы в северном полушарии Земли (началом лета - в южном полушарии). Высота Солнца в день зимнего солнцестояния на данной северной широте j достигает минимального значения hmin = 90° - j - 23° 27 В остальные дни года высота Солнца в полдень лежит между значениями hmax и hmin.