Страница:
? – внешний угол ?ABC при вершине А.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.
Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.
?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);
?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).
EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).
Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).
ОА – радиус окружности.
Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).
АВ – диаметр окружности, CD – хорда.
Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.
Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).
Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.
Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).
Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.
Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).
Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).
ОА = ОВ = ОС = R.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).
Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).
а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).
а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).
Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.
В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.
Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.
Ломаной А1А2А3...An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2 ..., An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, ..., An-1, Aп. ТочкиА1, А2..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A142, A2A3 ..., An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 38).
А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.
Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.
Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 39). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 40).
Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины многоугольника, называются диагоналями.
Стороны многоугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 41).
ABCD – параллелограмм, т. к. ВС||AD и АВ||CD.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 42).
ABCD – прямоугольник, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90°.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 43).
ABCD – ромб, т. к. AD||ВС и АВ||DC и AB = BC = CD = AD.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые (рис. 44).
ABCD – квадрат, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90° и АВ = ВС = CD = DA.
Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами (рис. 45).
ABCD и А' В' С' D' – трапеции, т. к. BC||AD, BC||AD.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).
ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).
EF – средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.
Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).
ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.
Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.
Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.
Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А(х; у) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината) (рис. 49).
Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.
Например, уравнение прямой у = kx + b, где k – тангенс угла наклона прямой к оси Ох (рис. 50).
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос – виды движений.
Два отрезка называют одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом.
Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если отрезки АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если отрезки АВ и CD противоположно направлены. Первая буква в обозначении вектора является его началом, а вторая буква – его концом. Например, у вектора АВ точка А – начало вектора, а точка В – его конец (рис. 51).
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначают модуль вектора (на пример, АВ) следующим образом:|АВ|. Очевидно, что |AB| = AB, где АВ – это длина отрезка АВ.
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора (рис. 52).
Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.
Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.
Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.
Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.
Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).
Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.
Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.
Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.
Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.
На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).
?АОВ (угол ?) – центральный.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).
?АСВ (угол ?) – вписанный.
Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.
Дадим определение площади для простых фигур.
Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.
2.2. Вопросы для самопроверки
1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1)
2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)
3. Что такое полуплоскость? (1)
4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)
5. Какие лучи называются дополнительными? (1)
6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)
7. Какой угол называется развёрнутым? (1)
8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)
9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)
10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)
11. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым? (1)
12. Какие углы называются вертикальными? (1)
13. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых? (1)
14. Что называют перпендикуляром к прямой? Сделайте соответствующий рисунок и покажите основание перпендикуляра. (1)
15. Дайте определение биссектрисы угла. (1)
16. Какая прямая называется секущей по отношению к двум другим? (1)
17. Нарисуйте две прямые и третью – секущую по отношению к первым двум. Покажите на рисунке пары: а) внутренних односторонних; б) внутренних накрест лежащих; в) соответственных углов. (1)
18. Какие прямые называются параллельными? Как обозначается параллельность прямых? (1)
19. Что такое треугольник? Нарисуйте произвольный треугольник и укажите его вершины, стороны и углы. (1)
20. Какие фигуры называются равными? (1)
21. Какой треугольник называется равнобедренным? Нарисуйте равнобедренный треугольник, укажите его основание и боковые стороны. (1)
22. Какой треугольник называется равносторонним? (1)
23. Что такое высота треугольника? Нарисуйте прямоугольный и тупоугольный треугольники и проведите «на глазок» в каждом из них все высоты. (1)
24. Что такое биссектриса треугольника? (1)
25. Что такое медиана треугольника? (1)
26. Что такое внешний угол треугольника? (1)
27. Какой треугольник называется:
а) прямоугольным; б) остроугольным; в) тупоугольным? (1)
28. Что такое гипотенуза и катет? (1)
29. Что называют средней линией треугольника? (1)
30. Какой треугольник называется египетским? Приведите пример такого треугольника. (1)
31. Что такое окружность? (1)
32. Что такое круг? (1)
33. Что такое радиус окружности (круга)? (1)
34. Что такое хорда? (1)
35. Что такое дуга окружности? (1)
36. Что такое диаметр окружности (круга)? (1)
37. Что такое сектор круга? (1)
38. Что такое сегмент круга? (1)
39. Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (1)
40. Какая окружность называется описанной около треугольника? (1)
41. Какая окружность называется вписанной в треугольник? (1)
42. Что такое касательная к окружности? (1)
43. Как вы понимаете высказывания: «внутреннее касание окружностей», «внешнее касание окружностей»? (1)
44. Что такое общая касательная к окружностям? (1)
45. В каких случаях две окружности имеют: а) одну; б) две; в) три; r) четыре общих касательных? (2)
46. Что означает решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки? (1)
47. Какой смысл вкладывается в следующие этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование? (2)
48. Как вы понимаете термин «геометрическое место точек»? (1)
49. В чём состоит сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение? (2)
50. Что такое ломаная? (1)
51. Какая ломаная называется замкнутой? (1)
52. Дайте определение многоугольника (на плоскости). Нарисуйте произвольный пятиугольник, отметьте его вершины и проведите в нём все диагонали. (1)
53. Какой многоугольник называется выпуклым? (1)
54. Какой многоугольник называется правильным? (1)
55. Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? (1)
56. Что называют периметром многоугольника? (1)
57. Дайте определение параллелограмма. (1)
58. Дайте определение прямоугольника. (1)
59. Дайте определение ромба. (1)
60. Дайте различные определения квадрата. (1)
61. Дайте определение трапеции. Какие стороны трапеции называются основаниями, какие – боковыми сторонами? (1)
62. Какая трапеция называется равнобокой? (1)
63. Что называют средней линией трапеции? (1)
64. Что называют наклонной, проведённой из точки, не лежащей на прямой, на эту прямую? Что называют проекцией этой наклонной? (1)
65. Как на плоскости вводится декартова система координат? (1)
66. Что такое абсцисса и ордината точки? (1)
67. Что называют уравнением фигуры? (1)
68. Какой геометрический смысл имеет число k в уравнении прямой у = kx + в?(1)
69. Что такое движение? (1)
70. Назовите виды движений на плоскости. Покажите на конкретных примерах, как построить образы фигур при данных видах движений. (1)
71. Какие два луча называются сонаправленными и противоположно направленными? (1)
72. Что такое вектор? Как обозначать вектор? (1)
73. Какие два вектора называются одинаково направленными и противоположно направленными? (1)
74. Что такое абсолютная величина (модуль) вектора? (1)
75. Какой вектор называют нулевым? (1)
76. Какие два вектора назьшают равными? (1)
77. Как вводятся координаты вектора через координаты его начала и конца? (1)
78. Что называют суммой векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их сумму. (1)
79. Что назьшают разностью векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их разность. (1)
80. Что называют проекцией вектора на ось? Покажите на рисунке. (1)
81. Что называют произведением вектора на число? Нарисуйте произвольный вектор а, а также b = 2а и с = -1/2а (1)
82. Что значит разложить вектор а по векторам b и с? (1)
83. Дайте определение скалярного произведения векторов. (1)
84. Что называют углом между векторами? Чем отличается угол между векторами от угла между прямыми? (1)
85. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю? (1)
86. Дайте определение координатного вектора (орта). (1)
87. Какое преобразование называется преобразованием подобия? (1)
88. Что такое гомотетия? (1)
89. Какие фигуры называются подобными? Как обозначать подобие фигур? (1)
90. Что называют центральным углом в окружности? (1)
91. Как определить градусную меру дуги окружности? (1)
92. Какой угол называется вписанным в окружность? (1)
93. Как в курсе геометрии вводится понятие площади? (2)
2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)
3. Что такое полуплоскость? (1)
4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)
5. Какие лучи называются дополнительными? (1)
6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)
7. Какой угол называется развёрнутым? (1)
8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)
9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)
10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)
11. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым? (1)
12. Какие углы называются вертикальными? (1)
13. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых? (1)
14. Что называют перпендикуляром к прямой? Сделайте соответствующий рисунок и покажите основание перпендикуляра. (1)
15. Дайте определение биссектрисы угла. (1)
16. Какая прямая называется секущей по отношению к двум другим? (1)
17. Нарисуйте две прямые и третью – секущую по отношению к первым двум. Покажите на рисунке пары: а) внутренних односторонних; б) внутренних накрест лежащих; в) соответственных углов. (1)
18. Какие прямые называются параллельными? Как обозначается параллельность прямых? (1)
19. Что такое треугольник? Нарисуйте произвольный треугольник и укажите его вершины, стороны и углы. (1)
20. Какие фигуры называются равными? (1)
21. Какой треугольник называется равнобедренным? Нарисуйте равнобедренный треугольник, укажите его основание и боковые стороны. (1)
22. Какой треугольник называется равносторонним? (1)
23. Что такое высота треугольника? Нарисуйте прямоугольный и тупоугольный треугольники и проведите «на глазок» в каждом из них все высоты. (1)
24. Что такое биссектриса треугольника? (1)
25. Что такое медиана треугольника? (1)
26. Что такое внешний угол треугольника? (1)
27. Какой треугольник называется:
а) прямоугольным; б) остроугольным; в) тупоугольным? (1)
28. Что такое гипотенуза и катет? (1)
29. Что называют средней линией треугольника? (1)
30. Какой треугольник называется египетским? Приведите пример такого треугольника. (1)
31. Что такое окружность? (1)
32. Что такое круг? (1)
33. Что такое радиус окружности (круга)? (1)
34. Что такое хорда? (1)
35. Что такое дуга окружности? (1)
36. Что такое диаметр окружности (круга)? (1)
37. Что такое сектор круга? (1)
38. Что такое сегмент круга? (1)
39. Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (1)
40. Какая окружность называется описанной около треугольника? (1)
41. Какая окружность называется вписанной в треугольник? (1)
42. Что такое касательная к окружности? (1)
43. Как вы понимаете высказывания: «внутреннее касание окружностей», «внешнее касание окружностей»? (1)
44. Что такое общая касательная к окружностям? (1)
45. В каких случаях две окружности имеют: а) одну; б) две; в) три; r) четыре общих касательных? (2)
46. Что означает решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки? (1)
47. Какой смысл вкладывается в следующие этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование? (2)
48. Как вы понимаете термин «геометрическое место точек»? (1)
49. В чём состоит сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение? (2)
50. Что такое ломаная? (1)
51. Какая ломаная называется замкнутой? (1)
52. Дайте определение многоугольника (на плоскости). Нарисуйте произвольный пятиугольник, отметьте его вершины и проведите в нём все диагонали. (1)
53. Какой многоугольник называется выпуклым? (1)
54. Какой многоугольник называется правильным? (1)
55. Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? (1)
56. Что называют периметром многоугольника? (1)
57. Дайте определение параллелограмма. (1)
58. Дайте определение прямоугольника. (1)
59. Дайте определение ромба. (1)
60. Дайте различные определения квадрата. (1)
61. Дайте определение трапеции. Какие стороны трапеции называются основаниями, какие – боковыми сторонами? (1)
62. Какая трапеция называется равнобокой? (1)
63. Что называют средней линией трапеции? (1)
64. Что называют наклонной, проведённой из точки, не лежащей на прямой, на эту прямую? Что называют проекцией этой наклонной? (1)
65. Как на плоскости вводится декартова система координат? (1)
66. Что такое абсцисса и ордината точки? (1)
67. Что называют уравнением фигуры? (1)
68. Какой геометрический смысл имеет число k в уравнении прямой у = kx + в?(1)
69. Что такое движение? (1)
70. Назовите виды движений на плоскости. Покажите на конкретных примерах, как построить образы фигур при данных видах движений. (1)
71. Какие два луча называются сонаправленными и противоположно направленными? (1)
72. Что такое вектор? Как обозначать вектор? (1)
73. Какие два вектора называются одинаково направленными и противоположно направленными? (1)
74. Что такое абсолютная величина (модуль) вектора? (1)
75. Какой вектор называют нулевым? (1)
76. Какие два вектора назьшают равными? (1)
77. Как вводятся координаты вектора через координаты его начала и конца? (1)
78. Что называют суммой векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их сумму. (1)
79. Что назьшают разностью векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их разность. (1)
80. Что называют проекцией вектора на ось? Покажите на рисунке. (1)
81. Что называют произведением вектора на число? Нарисуйте произвольный вектор а, а также b = 2а и с = -1/2а (1)
82. Что значит разложить вектор а по векторам b и с? (1)
83. Дайте определение скалярного произведения векторов. (1)
84. Что называют углом между векторами? Чем отличается угол между векторами от угла между прямыми? (1)
85. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю? (1)
86. Дайте определение координатного вектора (орта). (1)
87. Какое преобразование называется преобразованием подобия? (1)
88. Что такое гомотетия? (1)
89. Какие фигуры называются подобными? Как обозначать подобие фигур? (1)
90. Что называют центральным углом в окружности? (1)
91. Как определить градусную меру дуги окружности? (1)
92. Какой угол называется вписанным в окружность? (1)
93. Как в курсе геометрии вводится понятие площади? (2)
2.3. Темы для сообщений и рефератов
1. Замечательные точки в треугольнике. (1)
2. Вневписанные окружности. (1–2)
3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Пучки окружностей. (3)
4. Полярное соответствие. Принцип двойственности в геометрии. (3)
5. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Аффинные преобразования плоскости. (3)
6. Инверсия плоскости относительно окружности. (3)
7. Понятие длины. Расстояние между фигурами. (2)
2. Вневписанные окружности. (1–2)
3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Пучки окружностей. (3)
4. Полярное соответствие. Принцип двойственности в геометрии. (3)
5. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Аффинные преобразования плоскости. (3)
6. Инверсия плоскости относительно окружности. (3)
7. Понятие длины. Расстояние между фигурами. (2)
§ 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии
3.1. Справочная информация
Приведём без доказательства основные теоремы планиметрии.
Доказательства желательно изучать по вашему учебнику. Опасно изучать доказательство теорем по разным учебным пособиям – можно в погоне за простотой попасться на капкане «порочного круга». Приведём простой пример. Нужно доказать признаки параллельных прямых (если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.
Рис. 56.
Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ?АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.
Доказательства желательно изучать по вашему учебнику. Опасно изучать доказательство теорем по разным учебным пособиям – можно в погоне за простотой попасться на капкане «порочного круга». Приведём простой пример. Нужно доказать признаки параллельных прямых (если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.
Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ?АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.