Страница:
88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)
89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)
90. Круг радиуса
разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите площадь меньшего из этих сегментов. (2)
91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)
§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач
2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность
2.2. Задачи на свойства параллельных прямых
2.3. Задачи на пропорциональные отрезки
2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника
2.5. Задачи на подобие
2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники
2.7. Задачи на вписанные углы
2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)
90. Круг радиуса
91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)
§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач
Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования (треугольник, трапеция, круг и т. д.), а по ведущей идее решения.
2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность
Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.
Рис. 168.
Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.
(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;
r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;
2r2+ 34r – 120 = 0;
r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.
Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.
Ответ: 8 см; 15 см.
93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)
Рис. 169.
Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона
Ответ: 13; 14; 15.
95. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции. (2)
96. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. (3)
Примеры решения задач
92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.
(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;
r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;
2r2+ 34r – 120 = 0;
r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.
Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.
Ответ: 8 см; 15 см.
93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)
Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона
Задачи для самостоятельного решения
94. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. (1)95. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции. (2)
96. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. (3)
2.2. Задачи на свойства параллельных прямых
В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются равные углы (рис. 170).
Рис. 170.
Квартеты равных углов:?1 = ?4 = ?6 = ?8; ?2 = ?3 = ?5 = ?7.
Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.
Рис. 171.
Решение. Из рисунка видно, что ?BFA = ?FAD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых), но ?BAF = ?FAD по условию, и поэтому ?BFA = ?BAF. Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.
Ответ: 11.
98. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172). (3)
Рис. 172.
Решение. Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через ? величину угла ВАМ; тогда величина угла АМВ равна ?, т. к. ВС||AD и AM – секущая. Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ?ВМА = ?MAD и ?MBN = ?BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем:
откуда QN = 9/8 см.
Площадь треугольника BNM равна:
Ответ: 27/8 см2.
100. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма. (1)
101. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. (1)
Квартеты равных углов:?1 = ?4 = ?6 = ?8; ?2 = ?3 = ?5 = ?7.
Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.
Примеры решения задач
97. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите длину BF, если сторона АВ = 11 (рас. 171). (1)Решение. Из рисунка видно, что ?BFA = ?FAD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых), но ?BAF = ?FAD по условию, и поэтому ?BFA = ?BAF. Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.
Ответ: 11.
98. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172). (3)
Решение. Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через ? величину угла ВАМ; тогда величина угла АМВ равна ?, т. к. ВС||AD и AM – секущая. Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ?ВМА = ?MAD и ?MBN = ?BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем:
Площадь треугольника BNM равна:
Задачи для самостоятельного решения
99. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD. (1)100. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма. (1)
101. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. (1)
2.3. Задачи на пропорциональные отрезки
Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок. Идеи использования теоремы Фалеса хорошо видны на следующих примерах.
Самый простой путь решения (рис. 173):
Рис. 173.
Проведем медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Имеем: т. к. ВМ = МС, то КТ = ТС. Но тогда АК = КС = 2КТ и, значит, АО: ОМ = АК: КТ = 2, что и требовалось доказать.
103. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите AO/OM (рис. 174). (2)
Рис. 174.
Решение. Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По теореме Фалеса КР = РС = a/2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
Ответ: 6.
104. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1 (рис. 175). (3)
Рис. 175.
Решение. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что
Из подобия треугольников AKQ и AML находим:
Кроме того, имеем следующие равенства:
Ответ: 7/4.
Рис. 176.
106. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки M и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.
Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.(2)
Примеры решения задач
102. Докажите, что медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины (известная теорема школьного курса математики). (2)Самый простой путь решения (рис. 173):
Проведем медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Имеем: т. к. ВМ = МС, то КТ = ТС. Но тогда АК = КС = 2КТ и, значит, АО: ОМ = АК: КТ = 2, что и требовалось доказать.
103. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите AO/OM (рис. 174). (2)
Решение. Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По теореме Фалеса КР = РС = a/2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
104. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1 (рис. 175). (3)
Решение. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что
Задачи для самостоятельной работы
105. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC(рис. 176). (2)106. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки M и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.
Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.(2)
2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам (рис. 177).
с/а = d/b или c/d = a/b.
Рис. 177.
Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника.
Рис. 178.
Решение. По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.
Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.
Ответ: 15.
108. Дан треугольник ABC, в котором ?В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 179). (2)
Рис. 179.
Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.
Пусть AD = 2х; DC = Зх.
Ответ: 12/5.
110. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см. (2)
с/а = d/b или c/d = a/b.
Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника.
Примеры решения задач
107. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4; DC = 2; BD = 3 (рис. 178). (1)Решение. По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.
Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.
Ответ: 15.
108. Дан треугольник ABC, в котором ?В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 179). (2)
Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.
Пусть AD = 2х; DC = Зх.
Задачи для самостоятельного решения
109. В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4, биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О. Найдите BO/OM (1).110. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см. (2)
2.5. Задачи на подобие
Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.
При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):
?ABD ~ ?ADC ~ ?ABC.
Рис. 180.
Рис. 181.
Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – x) = 18/12; x = 20/3.
Ответ: 20/3.
112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)
Рис. 182.
Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; x/(a – y) = (a – x)/y; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РADEF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.
113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)
Рис. 183.
Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.
Ответ: 5.
114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)
Рис. 184.
Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ~ ?ABC по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
Ответ: kподобия = cos B.
115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)
Рис. 185.
Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1K равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;
Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из треугольника ВОМ следует ВМ = OM ? ctg ?ОВМ = 3?3. Тогда ВС = 2ВМ = 6?3.
Ответ: 6?3.
116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)
Рис. 186.
Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.
?МОА = ?АОС (углы с взаимноперпендикулярными сторонами), значит, ?ОАС подобен ?ОАМ; тогда
Ответ: 9 см.
117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)
Рис. 187.
Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через M и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,
Но тогда ВС = NC + NB = 7. Треугольники ONC и ABC подобны, поэтому AB/ON = BC/NC; AB/3 = 7/4; отсюда получаем, что AB = (ON ? BC)/NC = (3 ? 7)/4 = 21/4. Теперь находим S – площадь прямоугольного треугольника ABC:
Ответ: 147/8.
119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)
120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)
121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)
122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)
123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)
124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)
125. В трапеции, основания которой равны а и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)
126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)
При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):
?ABD ~ ?ADC ~ ?ABC.
Примеры решения задач
111. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Найдите длину СК, если ВС = 12, МК = 8 и АС = 18 (рис. 181). (1)Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – x) = 18/12; x = 20/3.
Ответ: 20/3.
112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)
Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; x/(a – y) = (a – x)/y; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РADEF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.
113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)
Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.
Ответ: 5.
114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)
Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ~ ?ABC по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)
Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1K равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;
Ответ: 6?3.
116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)
Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.
117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)
Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через M и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,
Задачи для самостоятельного решения
118. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. (1)119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)
120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)
121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)
122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)
123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)
124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)
125. В трапеции, основания которой равны а и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)
126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)
2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.
Рис. 188.
Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то
Поскольку около трапеции можно описать окружность, то АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; тогда из (1) следует AD + ВС = 2а и
По условию АВ + CD + EF = 18; тогда с учетом (2) получаем: а + а + а = 18; а = 6. Периметр трапеции PABCD = АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = 4а = 24.
Ответ: 24.
128. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189). (2)
Рис. 189.
Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК
Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9 + 16 = 25 см.
Ответ: 9 см; 25 см.
130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и b. (2)
131. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции. (3)
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.
Примеры решения задач
127. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции (рис. 188). (1)Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то
Ответ: 24.
128. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189). (2)
Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК
Ответ: 9 см; 25 см.
Задачи для самостоятельного решения
129. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD. (1)130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и b. (2)
131. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции. (3)
2.7. Задачи на вписанные углы
Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Рис. 190.
Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то
Ответ: 120°
133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... А30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4 (рис. 191). (2)
Рис. 191.
Решение. Так как многоугольник А1А2 ... A30 – правильный, то ?А3ОА4 = 360°/30 = 12°. Далее, ?А3А1А4 = 1/2 ?А3ОА4 = 6° (вписанный угол, опирающийся на дугу А3А4). ?А1ОА3 = 2 ? 12° = 24°;
Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику А3А1В. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных, то х = 6° + 78° = 84°.
Ответ: 84°.
134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)
Рис. 192.
Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.
Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.
Из прямоугольного треугольника ABE находим
АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.
Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем
и, наконец,
Ответ:
Рис. 193.
136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)
137. а) Докажите, что
(рис. 194);
Рис. 194.
б) докажите, что
(рис. 195). (3)
Рис. 195.
138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)
Примеры решения задач
132. Найдите ?ТОК, если О – центр окружности и ?ТЕК = 120° (рис. 190).(1)Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то
133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... А30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4 (рис. 191). (2)
Решение. Так как многоугольник А1А2 ... A30 – правильный, то ?А3ОА4 = 360°/30 = 12°. Далее, ?А3А1А4 = 1/2 ?А3ОА4 = 6° (вписанный угол, опирающийся на дугу А3А4). ?А1ОА3 = 2 ? 12° = 24°;
Ответ: 84°.
134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)
Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.
Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.
Из прямоугольного треугольника ABE находим
АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.
Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем
Задачи для самостоятельного решения
135. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В (рис. 193). (1)136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)
137. а) Докажите, что
б) докажите, что
138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)
2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).
Рис. 196.
Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.
В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.
ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)
Рис. 197.
Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);
Ответ:
140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)
Рис. 198.
Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;
Ответ:
Рис. 199.
Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.
В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.
Примеры решения задач
139. Дано (рис. 197):ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)
Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);
140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)
Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;
Задача для самостоятельного решения
141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)
2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. Это не случайно, ведь благодаря проведенной «лишней» линии, осуществленному повороту, построению симметричной фигуры или вспомогательной окружности даже очень сложная задача может решиться «в одну строчку». За примерами далеко ходить не надо.
Рис. 200.
Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а.
Ответ: 2?а.
143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)
Рис. 201.
Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2.
Ответ: 30 см2, 90°.
144. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции (рис. 202). (3)
Рис. 202.
Решение. Пусть АВ = 2с, тогда CD = AD = с. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Получим треугольник ВАЕ. Так как CD = 1/2АВ, то CD – средняя линия треугольника ABE. Отсюда получаем, что СЕ = ВС = b и DE = AD = с. Получилось, что АВ = АЕ. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС – его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:
Далее, т. к. треугольники DCE и ABE подобны с коэффициентом подобия k = 1/2, то площадь треугольника DCE равна 1/4 площади треугольника ABE (отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Площадь трапеции, таким образом, равна 3/4 площади треугольника ABE, то есть равна 3/4аb
4 3 Ответ: 3/4аb.
145. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти длину АВ (рис. 203). (3)
Рис. 203.
Примеры решения задач
142. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а (рис. 200). (1)Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а.
Ответ: 2?а.
143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)
Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2.
Ответ: 30 см2, 90°.
144. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции (рис. 202). (3)
Решение. Пусть АВ = 2с, тогда CD = AD = с. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Получим треугольник ВАЕ. Так как CD = 1/2АВ, то CD – средняя линия треугольника ABE. Отсюда получаем, что СЕ = ВС = b и DE = AD = с. Получилось, что АВ = АЕ. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС – его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:
4 3 Ответ: 3/4аb.
145. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти длину АВ (рис. 203). (3)