Страница:
Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.
В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».
Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
(а||с, b||с) ? а||b.
Рис. 57.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
а||b ? ? = ?
? + ? = 180°.
Рис. 58.
Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.
Рис. 59.
Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
а||b.
Рис. 60.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
а||b.
Рис. 61.
Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).
Рис. 62.
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).
Рис. 63.
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
(а ? с, b ? с) ? а||b.
Рис. 64.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
(а ? b, b||с) ? а ? с.
Рис. 65.
Вертикальные углы равны (рис. 66):
? = ?.
Рис. 66.
Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
АВ = ВС ? ?А = ?С.
Рис. 67.
Теорема о сумме углов в треугольнике.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
? + ? + ? = 180°.
Рис. 68.
Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).
Рис. 69.
Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.
Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
? = ? + ?.
Рис. 70.
Теорема о величине вписанного в окружность угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):
Рис. 71.
Рис. 72.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).
Рис. 73.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).
Рис. 74.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).
Рис. 75.
?ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).
Рис. 76.
?АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).
Рис. 77.
(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).
Свойство средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).
Рис. 78.
EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).
Рис. 79.
Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).
Рис. 80.
а2= b2+ с2– 2bc cos ?.
Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).
Рис. 81.
с2= а2+ b2.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).
Рис. 82.
(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол ?.
а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.
Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).
Рис. 83.
или
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).
Рис. 84.
Если ? = ?, то
или
Признаки подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).
Рис. 85.
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и ? = ?1.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).
Рис. 86.
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.
и ? = ?1.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).
Рис. 87.
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к
Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):
АА' < АВ < АС; если А'С > А'В, то АС > АВ.
Рис. 88.
Неравенство треугольника.
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):
АС < АВ + ВС.
Рис. 89.
Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).
(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).
Рис. 90.
Рис. 91.
АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).
Рис. 92.
MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).
Рис. 93.
Точка О равноудалена от точек окружности.
Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).
Рис. 94.
А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.
Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.
Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).
Рис. 95.
В ?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.
У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).
Рис. 96.
АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.
Признаки параллелограмма.
Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).
Рис. 97.
ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).
Рис. 98.
АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.
Свойства прямоугольника.
Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
АС = BD.
Рис. 99.
Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Свойства ромба.
Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).
Рис. 100.
AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.
Признак ромба.
Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Свойства квадрата.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Признак квадрата.
Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.
Свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).
Рис. 101.
Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
?А + ?С = ?В + ?D = 180°.
Рис. 102.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
AB + CD = AD + BC.
Рис. 103.
Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).
Рис. 104.
Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).
Рис. 105.
Число ?.
Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно ? (рис. 106).
Рис. 106.
Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).
где
Рис. 107.
Теорема о скалярном произведении векторов.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).
ОА ? ОВ = ОА ? OB ? cos ?.
Рис. 108.
Рис. 109.
где a, b, с – стороны треугольника;
?, ?, ? – противолежащие им углы;
r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
S – площадь треугольника;
– полупериметр треугольника.
Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).
Рис. 110.
Для четырёхугольников:
где а, b – длины оснований;
h – высота трапеции.
Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:
где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота).
Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):
Рис. 111.
Для правильного n-угольника:
(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника).
Для окружности и круга (рис. 112):
Рис. 112.
и 1\2R2?, если ? выражен в радианах.
Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.
Уравнение прямой АВ:
легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой.
Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно
Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно
Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:
Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.
3.2. Вопросы для самопроверки
В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».
Основные теоремы планиметрии и следствия из них
1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)
Свойства параллельных прямых.Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
(а||с, b||с) ? а||b.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
а||b ? ? = ?
? + ? = 180°.
Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.
Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
а||b.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
а||b.
Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).
Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
(а ? с, b ? с) ? а||b.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
(а ? b, b||с) ? а ? с.
2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы
Свойство вертикальных углов.Вертикальные углы равны (рис. 66):
? = ?.
Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
АВ = ВС ? ?А = ?С.
Теорема о сумме углов в треугольнике.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
? + ? + ? = 180°.
Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).
Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.
Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
? = ? + ?.
Теорема о величине вписанного в окружность угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):
3. Основные теоремы о треугольнике
Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).
?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).
?ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).
?АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).
(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).
Свойство средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).
EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).
Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).
а2= b2+ с2– 2bc cos ?.
Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).
с2= а2+ b2.
4. Пропорциональность и подобие на плоскости
Теорема Фалеса.Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).
(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол ?.
а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.
Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).
Если ? = ?, то
Признаки подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и ? = ?1.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).
Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к
5. Основные геометрические неравенства
Соотношение длин наклонной и перпендикуляра.Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):
АА' < АВ < АС; если А'С > А'В, то АС > АВ.
Неравенство треугольника.
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):
АС < АВ + ВС.
Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).
(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).
6. Основные геометрические места точек на плоскости
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).
MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).
Точка О равноудалена от точек окружности.
Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).
А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.
Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.
Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).
В ?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.
7. Теоремы о четырёхугольниках
Свойства параллелограмма.У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).
АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.
Признаки параллелограмма.
Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).
ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.
Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).
АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.
Свойства прямоугольника.
Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
АС = BD.
Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Свойства ромба.
Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).
AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.
Признак ромба.
Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Свойства квадрата.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Признак квадрата.
Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.
Свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).
Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
?А + ?С = ?В + ?D = 180°.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
AB + CD = AD + BC.
8. Теоремы об окружностях
Свойство хорд и секущих.Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).
Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).
Число ?.
Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно ? (рис. 106).
9. Векторы
Теорема о разложении вектора по базису.Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).
где
Теорема о скалярном произведении векторов.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).
ОА ? ОВ = ОА ? OB ? cos ?.
Основные формулы планиметрии
Для треугольника (рис. 109):?, ?, ? – противолежащие им углы;
r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
S – площадь треугольника;
Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).
h – высота трапеции.
Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:
Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):
Для правильного n-угольника:
Для окружности и круга (рис. 112):
Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.
Формулы аналитической планиметрии
Если даны точки A(x1; y1) и В(х2; у2), тоРасстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно
3.2. Вопросы для самопроверки
1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1)
б) Докажите это свойство. (1)
2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)
5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)
7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
в) Докажите обратные теоремы. (1)
8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)
9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)
10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)
б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)
11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)
б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)
12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)
15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
18. а) Какие вы знаете свойства и признаки ромба? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
19. а) Какие вы знаете свойства и признаки квадрата? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
20. а) Сформулируйте теорему Фалеса. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
21. а) Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). (1)
б) Докажите эту теорему. (2)
22. а) Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
23. а) Какие вы знаете свойства средней линии трапеции? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
24. а) Сформулируйте теорему Пифагора. (1)
б) Докажите теорему Пифагора. (1)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (2)
25. Докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра, и что из двух наклонных больше та, у которой больше проекция. (1)
26. а) Сформулируйте неравенство треугольника. (1)
б) Докажите неравенство треугольника. (2)
27. Даны координаты точек A(х1; у1) и В(х2; у2).
а) По какой формуле вычисляется длина отрезка AB? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
28. Выведите уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом R. (1)
29. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0. (2)
30. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; у2). Ответ: обоснуйте. (2)
31. Докажите, что в уравнении прямой у = kx + b число k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. (2)
32. а) Какие вы знаете основные свойства движений? (2)
б) Докажите эти свойства. (3)
33. Докажите, что:
а) преобразование симметрии относительно точки является движением; (3)
б) преобразование симметрии относительно прямой является движением; (3)
в) параллельный перенос есть движение. (3)
34. Докажите теорему о существовании и единственности параллельного переноса. (3)
35. Докажите, что абсолютная величина вектора kа равна |к| ? |а|, при этом направление вектора kа при а ? О совпадает с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно направлению вектора а, если к < 0. (1)
36. Докажите, что любой вектор а можно разложить по векторам b и с (все три вектора лежат на одной плоскости). (1)
37. Даны векторы а = (а1; а2) и b = (BL; b2). Докажите, что
где ? – угол между векторами.
38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1)
б) Докажите эти свойства. (2)
39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1)
40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1)
б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2)
41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите этот признак. (2)
44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1)
б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1)
45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1)
б) Докажите это свойство. (1)
46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:
равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1)
49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)
50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)
б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)
51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)
б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)
52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:
а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)
б) площади n-угольника; (1)
в) угла при вершине. (1)
53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)
54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)
55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)
56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
в) Выведите формулу Герона. (1)
58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
59. Выведите формулы:
где a, b, c – длины сторон треугольника;
S – его площадь;
R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)
60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)
61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)
б) Выведите эту формулу. (3)
62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)
63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)
64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)
г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)
65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)
66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)
б) Докажите это свойство. (1)
2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)
5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)
7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
в) Докажите обратные теоремы. (1)
8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)
9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)
10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)
б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)
11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)
б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)
12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)
15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
18. а) Какие вы знаете свойства и признаки ромба? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
19. а) Какие вы знаете свойства и признаки квадрата? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
20. а) Сформулируйте теорему Фалеса. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
21. а) Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). (1)
б) Докажите эту теорему. (2)
22. а) Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
23. а) Какие вы знаете свойства средней линии трапеции? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
24. а) Сформулируйте теорему Пифагора. (1)
б) Докажите теорему Пифагора. (1)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (2)
25. Докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра, и что из двух наклонных больше та, у которой больше проекция. (1)
26. а) Сформулируйте неравенство треугольника. (1)
б) Докажите неравенство треугольника. (2)
27. Даны координаты точек A(х1; у1) и В(х2; у2).
а) По какой формуле вычисляется длина отрезка AB? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
28. Выведите уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом R. (1)
29. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0. (2)
30. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; у2). Ответ: обоснуйте. (2)
31. Докажите, что в уравнении прямой у = kx + b число k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. (2)
32. а) Какие вы знаете основные свойства движений? (2)
б) Докажите эти свойства. (3)
33. Докажите, что:
а) преобразование симметрии относительно точки является движением; (3)
б) преобразование симметрии относительно прямой является движением; (3)
в) параллельный перенос есть движение. (3)
34. Докажите теорему о существовании и единственности параллельного переноса. (3)
35. Докажите, что абсолютная величина вектора kа равна |к| ? |а|, при этом направление вектора kа при а ? О совпадает с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно направлению вектора а, если к < 0. (1)
36. Докажите, что любой вектор а можно разложить по векторам b и с (все три вектора лежат на одной плоскости). (1)
37. Даны векторы а = (а1; а2) и b = (BL; b2). Докажите, что
38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1)
б) Докажите эти свойства. (2)
39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1)
40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1)
б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2)
41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите этот признак. (2)
44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1)
б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1)
45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1)
б) Докажите это свойство. (1)
46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:
49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)
50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)
б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)
51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)
б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)
52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:
а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)
б) площади n-угольника; (1)
в) угла при вершине. (1)
53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)
54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)
55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)
56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
в) Выведите формулу Герона. (1)
58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
59. Выведите формулы:
S – его площадь;
R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)
60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)
61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)
б) Выведите эту формулу. (3)
62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)
63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)
64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)
г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)
65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)
66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)