1) f( x) линейна, т. е. f(( x +( у) =( f( x) +( f( y),
где хи у- любые элементы из Е, a и b - числа;
2) f( x) непрерывна.
Непрерывность
fравносильна требованию, чтобы
было ограничено в
Е; выражение
называют нормой
fи обозначают
.
В пространстве
С[
a, b] функций a(t), непрерывных при
a(
t(
b, с нормой
Л. ф. являются, например, выражения:
,
f 2[(( t) ] =(( t 0) , a( t 0( b.
В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения ( l, х), где l- любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства
Епревращается в линейное нормированное пространство
, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство
называют сопряжённым к
; это пространство играет большую роль при изучении
Е.
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность { xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если
для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.
Линейных знаков способ
Лине'йных зна'ков спо'соб, один из картографических способов изображения.Л. з. с. изображаются линии местности (например, водоразделы, тектонические разломы, линии связи, политико-административные границы и др.), объекты линейного протяжения, не выражающиеся в масштабе карты (например, реки и дороги и др.), граничные полосы (например, береговая зона, зональные границы почв и растительности и др.).
Линейчатая геометрия
Лине'йчатая геоме'трия, раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными - коэффициентами а, b, р, qв уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции - совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых - совокупность касательных к одной какой-либо поверхности.
Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M 1( x 1, y 1, z 1) и M 2( x 2, y 2, z 2) ,тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:
x 1= x 1- x 2, x 2= y 1- y 2, x 3= z 1- z 2, x 4= y 1z 2- y 2z 1, x 5= x 2z 1- x 1z 2, x 6= x 1y 2- x 2y 1.
Числа x
1, x
2, x
3являются компонентами вектора
, а x
4, x
5, x
6- компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа x
iудовлетворяют соотношению
x 1x 4+ x 2x 5+ x 3x 6= 0. (1)
Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел x i, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа x i(не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение
(2)
определяет линейный комплекс - совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке («полюсу») пространства можно поставить в соответствие плоскость («полярную плоскость»), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (ось), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию
a 1a 4+ a 2a 5+ a 3a 6= 0.
Система двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию - совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (которые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополостным гиперболоидом, либо гиперболическим параболоидом.
Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Л. г. разрабатывалась в работах Ф. Клейна и русского математика А. П. Котельникова. Дифференциальная геометрия конгруэнций, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итальянских математиков Л. Бианки, Г. Санниа и французского математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельниковым «винтового» исчисления советским математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнций. Проективная теория конгруэнций построена в 1927 советским математиком С. П. Финиковым.
Лит.:Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л. - М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М. - Л., 1934; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л.,1937; его же, Теория конгруэнций, М. - Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М. - Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1-2, Lpz., 1902-06.
Э. Г. Позняк.
Линейчатая поверхность
Лине'йчатая пове'рхность, совокупность прямых, зависящая от одного параметра; Л. п. можно описать движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Л. п. разделяются на развёртывающиеся и косые.
Развёртывающиеся Л. п. могут быть посредством изгибания наложены на плоскость. Любая развёртывающаяся поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо поверхностью, состоящей из касательных к некоторой пространственной кривой (1) ( рис. 1 ). Эту кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности. Плоскость P, пересекающая ребро возврата (L), образует в сечении с поверхностью кривую ABC с точкой возврата В (см. Особые точки ) .Ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости S 1и S 2касаются друг друга. Развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей неизменна. Отсюда следует, что совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся Л. п. представляет собой однопараметрическое семейство. Иначе говоря, развёртывающаяся Л. п. является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.
У косой Л. п. касательные плоскости в различных точках одной и той же образующей различны. При перемещении точки касания вдоль образующей касательная плоскость вращается вокруг образующей. Полный поворот касательной плоскости, когда точка касания проходит всю образующую, равен 180°. На каждой образующей имеется такая точка, что для каждой из двух частей, на которые она делит образующую, полный поворот касательной плоскости равен 90°. Эту точку (на рис. 2 - точка О) называют центром образующей. Тангенс угла между касательными плоскостями к поверхности в центре О и какой-либо другой точке O' той же образующей пропорционален расстоянию OO'. Множитель пропорциональности называется параметром распределения Л. п. Абсолютная величина полной кривизны Л. п. достигает на данной образующей наибольшего значения в центре образующей и убывает при удалении от центра по образующей. Геометрическое место центров образующих носит название линии сжатия, или стрикционной линии. Например, у геликоида - Л. п., описываемой равномерным винтовым движением прямой вокруг некоторой оси (которую движущаяся прямая пересекает под прямым углом), - линией сжатия является ось (AB на рис. 2 ). Л. п. 2-го порядка - гиперболический параболоид,однополостный гиперболоид - имеют две различные системы прямолинейных образующих (из однополостных гиперболоидов сконструирована радиомачта системы В. Г. Шухова, находящаяся в Москве на Шаболовке). Две системы прямолинейных образующих имеют только Л. п. 2-го порядка.
Изгибаемые друг на друга Л. п. можно катить одну по другой так, что в процессе качения они будут иметь общую образующую. На этом основано применение Л. п. в теории механизмов. См. также Линейчатая геометрия.
Лит.:Фиников С. П., Теория поверхностей, М. - Л., 1934; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969.
Э. Г. Позняк.
Рис. 1 к ст. Линейчатая поверхность.
Рис. 2 к ст. Линейчатая поверхность.
Линейчатые спектры
Лине'йчатые спе'ктры, спектры оптические,состоящие из отдельных спектральных линий,типичны для свободных атомов.
Линен Феодор
Ли'нен(Lynen) Феодор (р. 6.4.1911, Мюнхен), немецкий биохимик. Член Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина» (1959) и Национальной АН США (1962). Окончил Мюнхенский университет, доктор философии (1937). С 1954 директор института химии клетки общества им. Макса Планка в Мюнхене. Основные работы по биохимии обмена веществ, окислению жирных кислот в организме, активированию ацетата. Нобелевская премия (1964) совместно с К. Блохом за исследование биосинтеза холестерина и жирных кислот.
Линетол
Линето'л, препарат из группы антихолинэстеразных средств,получаемый из льняного масла. Содержит смесь этиловых эфиров ненасыщенных жирных кислот (олеиновой, линолевой, линоленовой), а также насыщенные кислоты. Применяют внутрь для профилактики и лечения атеросклероза и наружно при ожогах и лучевых поражениях кожи.
Линза акустическая
Ли'нзаакустическая, устройство для изменения сходимости звукового пучка ( фокусировки звука ) .Подобно оптическим линзам, акустическая Л. ограничены двумя рабочими поверхностями и выполняются из материала, скорость звука в котором отлична от скорости звука в окружающей среде, с тем, чтобы показатель преломления n отличался от единицы. Для достижения наибольшей прозрачности волновое сопротивление этого материала должно быть близко к волновому сопротивлению среды, а вязкие потери в нём - минимальны. Акустические Л. могут быть твёрдыми, жидкими и газообразными, в последних двух случаях твёрдая оболочка Л. должна обладать наибольшей прозрачностью. Для работы в жидких средах материалом Л. являются пластмассы ( n= 0,5-0,8), хлороформ, четырёххлористый углерод ( n= 1,3-1,4). Для работы в газах, например в воздухе, наряду с линзами, наполненными водородом или углекислым газом, применяются т. н. неоднородные акустические Л., объём которых заполнен шариками, сетками и т. п. Неоднородные рассеивающие воздушные Л. применяются для улучшения характеристик направленности громкоговорителей.Твёрдые и жидкие Л. служат для получения звуковых изображений, для целей дефектоскопии,медицинской диагностики, а также для концентрации ультразвука при различных его технологических и биологических применениях.
Лит.:Бергман Л., Ультразвук и его применение в науке и технике, пер. с нем., 2 изд., М., 1957.
Линза (в оптике)
Ли'нза(нем. Linse, от лат. lens - чечевица), прозрачное тело, ограниченное двумя поверхностями, преломляющими световые лучи; является одним из основных элементов оптических систем.Наиболее употребительны Л., обе поверхности которых обладают общей осью симметрии, а из них - Л. со сферическими поверхностями, изготовление которых наиболее просто. Менее распространены Л. с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; их поверхности цилиндрические или тороидальные. Таковы Л. в очках, предписываемых при астигматизме глаза,Л. для анаморфотных насадок и т. д.
Материалом для Л. чаще всего служит оптическое и органическое стекло. Специальные Л., предназначенные для работы в ультрафиолетовой области спектра, изготовляют из кристаллов кварца, флюорита, фтористого лития и др., в инфракрасной - из особых сортов стекла, кремния, германия, флюорита, фтористого лития, йодистого цезия и др.
Описывая оптические свойства осесимметричной Л., обычно рассматривают лучи, падающие на неё под малым углом к оси, составляющие т. н. параксиальный пучок лучей.Действие Л. на эти лучи определяется положением её кардинальных точек - т. н. главных точек Н и H', в которых пересекаются с осью главные плоскости Л., а также переднего и заднего главных фокусов F и F' ( рис. 1 ). Отрезки HF = fи H'F' = f'наз. фокусными расстояниями Л. (в случае, когда среды, с которыми граничит Л., обладают одинаковыми показателями преломления, fвсегда равно - f’); точки О пересечения поверхностей Л. с осью называются её вершинами, расстояние между вершинами - толщиной Л.
Геометрические величины, характеризующие отдельные Л. и системы Л., принято считать положительными, если направления соответствующих отрезков совпадают с направлением лучей света На рис. 1 лучи проходят через Л. слева направо, и так же ориентирован отрезок H'F'. Поэтому здесь f’> 0, a f< 0.
Преломления на поверхностях Л. изменяют направления падающих на неё лучей. Если Л. преобразует параллельный пучок в сходящийся, её называют собирающей; после прохождения рассеивающей Л. параллельный пучок превращается в расходящийся. В главном фокусе F' собирающей Л. пересекаются лучи, которые до преломления были параллельны её оси. Для такой Л. f’ всегда положительно. В рассеивающей Л. F' - точка пересечения не самих лучей, а их воображаемых продолжений в сторону, противоположную направлению распространения света. Поэтому для них всегда f< 0. В частном случае тонких Л. внешнее отличие собирающих и рассеивающих Л. заключается в том, что у первых толщина краев меньше толщины в центре Л., у вторых - наоборот.
Мерой преломляющего действия Л. служит её оптическая сила Ф - величина, обратная фокусному расстоянию (Ф = 1/ f’) и измеряемая в диоптриях ( м -1). У собирающих Л. Ф > 0, поэтому их ещё именуют положительными. Рассеивающие Л. (Ф < 0) называются отрицательными. Употребляют и Л. с Ф = 0 - т. н. афокальные Л. (их фокусное расстояние равно бесконечности). Они не собирают и не рассеивают лучей, но создают аберрации (см. Аберрации оптических систем ) и применяются в зеркально-линзовых (а иногда и в линзовых) объективах как компенсаторы аберраций.
Л., ограниченная сферическими поверхностями.Все параметры, определяющие оптические свойства такой Л., могут быть выражены через радиусы кривизны r 1и r 2её поверхностей, толщину Л. по оси dи показатель преломления её материала n. Например, оптическая сила и фокусное расстояние Л. задаются соотношением
(1)
Радиусы r 1и r 2считаются положительными, если направление от вершины Л. до центра соответствующей поверхности совпадает с направлением лучей (на рис. 1 r 1> 0, r 2< 0). Следует оговорить, что формула (1) верна лишь применительно к параксиальным лучам. При одной и той же оптической силе и том же материале форма Л. может быть различной. На рис. 2 показано несколько Л. одинаковой оптической силы и различной формы. Первые три - положительны, последние три - отрицательны. Л. называется тонкой, если её толщина dмала по сравнению с r 1и r 2. Достаточно точное выражение для оптической силы такой Л. получают, отбрасывая второй член в (1).
Положение главных плоскостей Л. относительно её вершин тоже можно определить, зная
r
1,
r
2,
nи
d. Расстояние между главными плоскостями мало зависит от формы и оптической силы Л. и приблизительно равно
. В случае тонкой Л. это расстояние мало и практически можно считать, что главные плоскости совпадают.
Когда положение кардинальных точек известно, положение изображения оптического точки, даваемого Л. ( см. рис. 1 ), определяется формулами:
x· x’ = f· f’ = -f’ 2,
, (2)
где V- линейное увеличение Л. (см. Увеличение оптическое ) , lи l'- расстояния от точки и её изображения до оси (положительные, если они расположены выше оси), х- расстояние от переднего фокуса до точки, x'- расстояние от заднего фокуса до изображения. Если tи t'- расстояния от главных точек до плоскостей предмета и изображения соответственно, то (т. к. х = t - f, x' = t’ - f’):
f’/t’ + f/t= 1 (3)
или
1/t’ - 1/t = 1/f’.
В тонких Л. tи fможно отсчитывать от соответствующих поверхностей Л.
Из (2) и (3) следует, что по мере приближения изображаемой точки (действительного источника) к фокусу Л. расстояние от изображения до Л. увеличивается; собирающая Л. даёт действительное изображение точки в тех случаях, когда эта точка расположена перед фокусом; если точка расположена между фокусом и Л., её изображение будет мнимым; рассеивающая Л. всегда даёт мнимое изображение действительной светящейся точки (подробнее см. в ст. Изображение оптическое ) .
Лит.:Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Ландсберга, 6 изд., т. 3, М., 1970; Тудоровский А. И., Теория оптических приборов, 2 изд., т. 1, М. - Л., 1949.
Г. Г. Слюсарев.
Рис. 1 к ст. Линза.
Рис. 2 к ст. Линза.
Линза (геол.)
Ли'нза(геол.), форма залегания горных пород и руд в виде чечевицы с уменьшающейся к краям мощностью. Размеры Л. различны и колеблются от нескольких мдлины и нескольких сммощности до 1 кми более длины и нескольких десятков ммощности. См. также Залегание горных пород.
Линзовая антенна
Ли'нзовая анте'нна, антенна,диаграмма направленности которой формируется за счёт разности фазовых скоростей распространения электромагнитной волны в воздухе и в материале линзы. Л. а. применяется в радиолокационных и измерительных устройствах, работающих в диапазоне сантиметровых волн. Л. а. состоит из собственно линзы и облучателя. Форма линзы зависит от коэффициента преломления n (отношения фазовых скоростей распространения радиоволн в вакууме и линзе). При n> 1 Л. а. (как и линза в оптике) называется замедляющей, а при n< 1 - ускоряющей (последняя не имеет аналогов в оптике). В качестве облучателя Л. а. обычно используется рупорная антенна,создающая сферический фронт волны, или антенные решётки,создающие цилиндрический фронт волны.
Замедляющие Л. а. изготавливаются из высококачественных однородных диэлектрических материалов с малыми потерями (полистирол, фторопласт и др.) или из т. н. искусственных диэлектриков. Последние представляют собой систему металлических частиц различной формы, расположенных в воздухе или в однородном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью, близкой к единице. Коэффициент преломления таких искусственных диэлектриков может изменяться в широких пределах при весьма малых потерях. Ускоряющие Л. а. выполняются из металлических пластин определённой формы и не имеют аналогов в оптике. Их принцип действия объясняется зависимостью фазовой скорости электромагнитной волны, распространяющейся между параллельными металлическими пластинами, от расстояния между ними, если вектор её электрического поля параллелен пластинам. В этом случае фазовая скорость больше скорости света и коэффициент преломления меньше единицы. Для уменьшения массы и объёма Л. а. применяется зонирование её поверхностей, позволяющее также значительно уменьшить толщину Л. а. Форма и высота профилей отдельных участков (зон) линзы выбираются так, чтобы электромагнитные волны, преломленные соседними зонами линзы, выходили из неё со сдвигом фаз 360 °; в этом случае поле в раскрыве Л. а. остаётся синфазным.
В апланатических Л. а. и Люнеберга линзе возможно управление диаграммой направленности (сканирование) без существ. искажения формы диаграммы направленности.
О. Н. Терешин, Г. К. Галимов.
Линзовый телескоп
Ли'нзовый телеско'п, астрономический оптический инструмент, в котором изображение небесных светил строится линзовым объективом; то же, что рефрактор.
Линии второго порядка
Ли'нии второ'го поря'дка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a 11x 2+ a 12xy + a 22y 2+ 2a 13x + 2a 23y + a 11= 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
нераспадающиеся линии:
- эллипсы,
- гиперболы,
y 2= 2px - параболы,
- мнимые эллипсы;
распадающиеся линии:
- пары пересекающихся прямых,
- пары мнимых пересекающихся прямых,
x 2- а 2= 0 - пары параллельных прямых,
x 2+ а 2= 0 - пары мнимых параллельных прямых,
x 2= 0 - пары совпадающих параллельных прямых.
Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:
,
,
S = a 11+ a 22,( a ij= a ji) .
Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них D ¹ 0; положительное значение инварианта d выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол d < 0, для парабол d = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов D и S: если D и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если D и S одного знака.
Три основные инварианта D, d и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты D, d и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).
Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, - группы аффинных преобразований - эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие ) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии,в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,