БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

  невырождающиеся линии

  ( x ₁, x ₂, x ₃- однородные координаты):

  x ₁ ²+ x ₂ ²- x ₃ ²= 0 - действительный овал,

  x ₁ ²+ x ₂ ²+ x ₃ ²= 0 - мнимый овал,

  вырождающиеся линии:

  x ₁ ²- x ₂ ²= 0 - пара действительных прямых,

  x ₁ ²+ x ₂ ²= 0 - пара мнимых прямых,

  x ₁ ²= 0 - пара совпадающих действительных прямых.

  Кроме аналитического способа определения Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Например, эллипс, гиперболаи парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью - конические сечения.

  Лит.:Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.

  А. Б. Иванов.

Линии радиосвязи

Ли'нии радиосвя'зи, сочетание передающей и приёмной антенн радиостанций и среды, в которой распространяются радиоволны. Л. р. различаются по видам радиосвязи.

Линии связи уплотнение

Ли'нии свя'зи уплотне'ние, метод построения системы связи, обеспечивающий одновременную и независимую передачу сообщений от многих отправителей к такому же числу получателей. В таких системах многоканальной связи (многоканальной передачи) общая линия связи «уплотняется» десятками - сотнями индивидуальных каналов, по каждому из которых происходит обмен информацией единственной пары абонентов (см. рис .). Канальные передатчики вместе с суммирующим устройством образуют аппаратуру уплотнения; групповой передатчик, линия связи и групповой приёмник составляют групповой тракт передачи; групповой тракт передачи, аппаратура уплотнения и индивидуальные приёмники образуют систему многоканальной связи. Необходимым и достаточным условием разделимости сигналов индивидуальных каналов является условие их линейной независимости. Математически это условие выражается тождеством

  C ₁s ₁( t) + C ₂s ₂( t) + ... +C _ks _k( t) + ... + C _Ns _N( t) = 0,

  которое выполняется только в единственном случае, когда все коэффициенты С одновременно равны нулю. Физически это означает, что сигнал любого канала не может быть образован линейной комбинацией сигналов всех остальных каналов. В практике Л. с. у. различают по частоте, по фазе, по уровню, временное, комбинационное, структурное и др. (см. литературу при статье).

  Наибольшее применение в системах многоканальной связи находят частотное и временное уплотнения. При частотном уплотнении каждому канальному сигналу отводится определённая область частот в общей полосе пропускания линии связи. На приёмной стороне из общего спектра частот группового сигнала индивидуальными частотными фильтрами (см. Электрический фильтр ) выделяются спектры частот канальных сигналов. При временном уплотнении, являющемся логическим развитием импульсных систем связи, линия связи или групповой тракт связи посредством электронных коммутаторов предоставляется поочередно для передачи сигналов каждого канала. На приёмной стороне устанавливается аналогичный коммутатор, который поочерёдно и в той же последовательности (синхронно и синфазно) подключает групповой тракт к приёмникам соответствующих каналов. Все канальные сигналы имеют одинаковую ширину спектра частот, но передаются по линии связи поочерёдно. Системы связи с частотным и временным уплотнениями применяют на магистральных кабельных линиях, радиорелейных линиях и т. д.

  Перспективны, особенно при связи между большим числом подвижных объектов (самолётов, автомобилей и т. п.) и при использовании в тракте передачи искусственного спутника Земли, многоканальные асинхронноадресные системы связи со статистическим уплотнением по форме сигналов. В этой системе каждому каналу присваивается определённая или изменяющаяся по заданной программе форма сигнала, которая и является отличительным признаком («адресом») какого-либо абонента. Разделение сигналов различных каналов осуществляется «согласованными» с формой канальных сигналов электрическими фильтрами.

  Лит.:Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В., Теория передачи сигналов, М., 1970; Дальняя связь, под ред. А. М. Зингеренко, М., 1970.

  М. В. Назаров.

Схема системы многоканальной передачи сообщений: ИС-1, ИС-2, ..., ИС-N - источники информации; a1(t), a2(t), ..., aN(t) - сообщения, посылаемые соответствующими (индексам) источниками информации; M1, M2, ..., MN - индивидуальные передатчики (модуляторы); s1(t), s2(t), ..., sN(t) - канальные сигналы, полученные преобразованием соответствующими (индексам) модуляторами сообщений a1(t), a2(t), ..., aN(t)', СУ - устройство, суммирующее канальные сигналы; s(t) - групповой сигнал, образованный суммированием канальных сигналов; М - групповой передатчик, преобразующий групповой сигнал s(t) в линейный сигнал sЛ(t)', П - групповой приёмник, преобразующий линейный сигнал s(t) (О в групповой сигнал sЛ(t); П1, П2, ..., Пn - канальные, или индивидуальные, приёмники, выделяющие из группового сигнала s(t) соответственно (индексам) канальные сигналы s1(t), s2(t), ..., sN(t), преобразуемые затем в соответствующие (индексам) сообщения a1(t), a2(t), ..., aN(t); ПС-1, ПС-2, ..., ПС-N - получатели сообщений.

Линии тока

Ли'нии то'ка,

  1) векторного поля р, линии, в каждой точке которых касательная имеет направление вектора поля в этой точке (см. Векторное поле ) .Дифференциальные уравнения Л. т. имеют вид:

  dx/p ₁= dy/p ₂= dz/p ₃,

 где p ₁, p ₂, p ₃- координаты вектора поля, а х, у, z- координаты точки Л. т.

  2) В гидроаэромеханике, линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени. Совокупность Л. т. позволяет наглядно представить в каждый данный момент времени поток жидкости, давая как бы моментальный фотографический снимок течения. Они могут быть сделаны видимыми с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток (например, алюминиевый порошок в воде, дым в воздухе). При фотографировании такого потока с короткой выдержкой получается изображение Л. т. (см. рис .).

Илл. к ст. Линии тока.

Линий движения способ

Ли'ний движе'ния спо'соб, один из картографических способов изображения.Л. д. с. применяется для изображения пути перемещения объектов и явлений (например, морских течений, перелётов птиц, маршрутов путешествий, перевозок грузов и т. п.), а также для указания политико-экономических связей, зависимостей и воздействий (например, направлений экспорта и импорта товаров, планов военных операций и др.).

Линименты

Линиме'нты(лат., ед. ч. linimentum, от linio - мажу, натираю), одна из лекарственных форм; жидкие лечебные мази,плавящиеся при температуре тела. Втирают в кожу или наносят на пораженные места.

Линицкая Любовь Павловна

Лини'цкая(по мужу - Загорская) Любовь Павловна (27.12.1866, слобода Преображенская, ныне Васильковского района Днепропетровской области, - 5.2.1924, Киев), украинская советская актриса. Сценическую деятельность начала в 1886. Работала в труппах Н. К. Садовского, в товариществе под руководством И. А. Марьяненко и др. Игра Л. отличалась героическим пафосом и одновременно психологичской глубиной. Роли: Маруся Богуславка, Свиридиха, («Маруся Богуславка», «Оборона Буши» Старицкого), Татьяна, Варька («Бондаривна», «Бесталанная» Карпенко-Карого), Наталья («Лымеривна» Мирного) и др. Разоблачительной остротой отмечены комедийные роли - Проня Прокоповна («За двумя зайцами» Старицкого) и др.

  Лит.:Любов Павлiвна Лiницька. Нариси, Київ, 1957.

Линия апсид

Ли'ния апси'дв астрономии, отрезок прямой, соединяющий апсиды, т. е. две точки эллиптической орбиты небесного тела: наиболее близкую к центральному телу и наиболее удалённую от него. Эти точки лежат на концах большой оси эллипса, которая, следовательно, и есть Л. а. В орбитах планет Солнечной системы Л. а. ограничены перигелием и афелием, в орбитах Луны и искусственных спутников Земли - перигеем и апогеем, в орбитах двойных звёзд - пернастром и апоастром.

Линия (в генетике)

Ли'нияв генетике, размножающиеся половым путём родственные организмы, которые происходят, как правило, от одного предка или одной пары общих предков и воспроизводят в ряду поколений одни и те же наследственно устойчивые признаки. Характерные для Л. признаки искусственно поддерживаются путём отбора и близкородственного скрещивания. Различают чистые линии - генотипически однородное потомство самоопыляющихся растений, у которых почти все гены находятся в гомозиготном состоянии, и инбредные Л. - потомство перекрёстноопыляющегося растения, полученное путем принудительного самоопыления, или группа животных, полученная при близкородственном разведении (см. Инбридинг ) .Чем теснее родство родителей, тем выше степень гомозиготности потомства. И в чистых, и в инбредных Л. постоянно возникающие мутации нарушают гомозиготность. Поэтому для сохранения гомозиготности по генам, определяющим основные свойства Л., необходимо вести отбор. В животноводстве различают генеалогическую Л., т. е. группу животных, происходящую от общего предка, и заводскую Л. - однородную, качественно своеобразную, поддерживаемую отбором и подбором с использованием инбридинга группу высокопродуктивных животных, происходящую от выдающегося родоначальника и схожую с ним по конституции и продуктивности (см. Разведение по линиям ) .Чистые и инбредные Л. служат основой для получения высокопродуктивных гибридов в растениеводстве и животноводстве. В медико-биологических исследованиях важную роль играют Л. лабораторных животных,сохраняющие константность по определённым признакам.

  Лит.:Иогансен В. Л., О наследовании в популяциях и чистых линиях, пер. с нем., М. - Л., 1935; Медведев Н. Н., Практическая генетика, М., 1966.

  Ю. С. Демин, Е. Я. Борисенко.

Линия (геометрич. понятие)

Ли'ния(от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.

  1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

  2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты ( x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

  x = R cos t, y = R sin t.

 Когда параметр tпробегает отрезок 0 Ј tЈ 2p, точка ( х, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

  x =j ( t) , у = ( t) ,

 где j ( t) , ( t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t(из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям tиз D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M ₁соответствует значению параметра t ₁, а точка M ₂- значению t ₂, то M ₁считается предшествующей M ₂, если t ₁< t ₂При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

  Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида

  x =j ( t) , у = ( t) , z =c ( t) ,

 где j ( t) , ( t) ,c ( t) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида

  P =j ( t) ,

 где j - функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).

  В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра tесть отрезок аЈ tЈ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления

  Р =j ( t) , aЈ tЈ b

  P =j ₁ ( t ₁) , a ₁Ј t ₁Ј b ₁,

 изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

  t ₁=  f( t) ,

 для которой

  f( a) = a ₁, f( b) = b ₁,j ( t) =j ₁[f( t) ].

 Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

  Например, при изменении tв пределах - Ґ < t< Ґ точка с координатами

  ,

  описывает строфоиду (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5 ), попадая в положение х= 0, у= 0 два раза при t= - 1 и t= + 1.

  3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

  F( x, y) = 0;

  в пространстве - двумя уравнениями

  F( x, у, z) = 0, G( x, y, z) = 0.

  Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) - Л., определяемой уравнением

  F( x, y) = 0,

  где F( x, у) - целая алгебраическая функция,т. е. многочлен како-либо степени n³ 1. В этом случае считают, что два многочлена F ₁( x, у) и F ₂( x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

  F ₁( x, y) = cF ₂( x, у) .

  Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

  ( х - у) ² = 0

  определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х - у= 0.

  В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

  Говорят, что точка ( x ₀, y ₀) кривой F( x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F( x, у) по степеням x = х - x ₀, h = у - y ₀начинается с членов степени m(по совокупности переменных x и h). В случае m= 2, т. е. в случае двойной точки

  F( x, у) = а ₁₁( х - x ₀) ²+ 2а ₁₂( х - x ₀) ( у - y ₀) + a ₂₂( y - y ₀) ²+ ...,

 где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

  d = a ₁₁a ₂₂- а ₁₂ ²

 можно определить тип двойной точки (см. Особые точки ) .

 4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков nи mпересекаются в mn точках. В случае m= 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число nточек её пересечения с прямой.

  С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

  F( x ₁, x ₂, x ₃) = 0

  между однородными координатами x ₁, x ₂, x ₃её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

  F(x ₁, x ₂, x ₃) = 0,

  связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. - степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые.

 5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

  Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции P =j ( t), где tпробегает отрезок аЈ tЈ b, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая ) .Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая ) .Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

  Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном,который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор.Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».

  Л. Н. Колмогоров.

 6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка ( эллипс, гиперболуи параболу ) .Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт ) .

 Из Л. третьего порядка наиболее известны:

  Декартов лист (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 1 ). уравнение в прямоугольных координатах: x ³+ y ³- 3аху= 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( - а, 0) и (0, - а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли.Название «декартов лист» установилось в начале 18 в.

  Локон Аньези (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 2 ). Пусть имеется круг с диаметром OC = - аи отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a ³/( a ²+ x ²). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

  Кубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 3 ). уравнение в прямоугольных координатах: у = x ³.

  Полукубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 4 ), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх ^3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

  Строфоида (от греч. strуphos - кручёная лента и йidos - вид) (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5 ). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = -a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

  Циссоида Диоклеса (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 6 ) (греч. kissoeides, от kissуs - плющ и йidos - вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y ²= х ³/( а - х); в полярных координатах: r = asin ²j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

  Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:

  Кардиоида (от греч. kardнa - сердце и йidos - вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 1 ), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: ( x ²+ y ²- 2ах) ²= 4a( x ²+ y ²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

  Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 2 ), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = OP - dили OM' = OP + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: ( х - а) ² ( х ²+ y ²) - d ²x ²= 0, в полярных координатах: r = a/cosj ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла