Лемниската Бернулли (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 3 ) (от лат. lemniscatus, буквально - украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F 1( - а, 0) и F 2( а, 0) равно а 2. уравнение в прямоугольных координатах: ( x 2+ y 2) 2- 2a 2( x 2- y 2) =0, в полярных координатах: r 2= 2а 2cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.
Овалы Декарта (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 4 ), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F 1и F 2, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF 1+ + nMF 2= с. уравнение в прямоугольных координатах:
( x + y’’ -2rx) 2- l 2( x 2+ y 2) - k= 0,
где r, lи k- некоторые постоянные, связанные с параметрами m, nи d; в полярных координатах:
( n 2- m 2)( 2+ 2(( mc - n2d cos() + n 2d 2- с 2= 0.
Помимо фокусов F 1и F 2, имеется и третий фокус F 3, равноправный с каждым из них. При m= 1, n= 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m= 1 и n= -1 - в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).
Овалы Кассини (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 5 ), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F 1и F 2точки на оси абсцисс, F 1F 2= 2 b, а произведение MF 1ЧMF 2= а 2. уравнение в прямоугольных координатах:
( x 2+ y 2) 2- 2b 2( a 2- y 2) = a 4- b 4.
Если
, то овал Кассини - выпуклая кривая; если
b<
a<
, то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при
а = bовал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при
b > аовал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж.
Кассини
(17 в.).
Улитка Паскаля (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 6 ), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: ( x 2+ y 2- 2Rx) 2- а 2( х 2+ y 2) = 0, в полярных координатах: r = 2 Rcos j + а. При а =2 Rпетля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.
Астроида (от греч. бstron - звезда и йidos - вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 7 ), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x 2/3+ y 2/3= а 2/3, где а- радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.
Розы (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 8 ), кривые, полярное уравнение которых: r = asin mj; если m- рациональное число, то розы - алгебраической Л. чётного порядка. При mнечётном роза состоит из от лепестков, при mчётном - из 2 mлепестков; при mрациональном лепестки частично покрывают друг друга.
Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 9 ), кривые, полярное уравнение которых r m= a mcos mj; если m- рациональное число, то эти Л. - алгебраические. Частные случаи: m= 1 - окружность, m= - 1 - прямая, m= 2 - лемниската Бернулли, m= -2 - равнобочная гипербола, m= 1/ 2- кардиоида, m= - 1/ 2- парабола. При целом m> 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/ m, при рациональном m> 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m< 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей.
Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций,а также следующие Л.:
Квадратриса (см.
рис. «Трансцендентные кривые», № 1
). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA =
rв положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах:
; в полярных координатах:
. Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.
Трактриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 2 ), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:
.
Цепная линия (см.
рис. «Трансцендентные кривые», № 3
), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах:
у = a
= а(
e
x/a+ е
-х/a)
/2.
Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4 ), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга ( r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4а ), если она лежит внутри круга ( r > а), - укороченную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4б ), если точка вне круга ( r < а), - удлинённую циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4в ). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:
,
.
Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. spйira, буквально - витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:
Архимедова спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 5 ), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а - постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.
Гиперболическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 6 ), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j.
Жезл (см.
рис. «Трансцендентные кривые», № 7
), кривая, уравнение которой в полярных координатах:
. Каждому значению j соответствуют два значения r - положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.
Логарифмическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 8 ), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = ае к j. Была известна многим математикам 17 в.
Спираль Корню (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 9 ), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:
, y = a
.
Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.
Si-ci-спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 10 ), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид
,
,
si( t) и ci( t) - интегральный синус и интегральный косинус.
К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:
Гипоциклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 1а, 1б ) ,кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме:
,
,
где А - радиус неподвижной, а а- подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.
Эпициклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 2а, 2б ), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой ана - а.
Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3а, 4д ). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3б, 4б ). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.
В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.
Лит.:Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. - Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1-2, Lpz. - B., 1910-11.
Алгебраические кривые третьего порядка: 1 - декартов лист; 2 - локон Аньези; 3 - кубическая парабола; 4 - полукубическая парабола; 5 - строфоида; 6 - циссоида Диоклеса.
Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: 1 - кардиоида; 2 - конхоида Никомеда; 3 - лемниската Бернулли: 4 - овалы Декарта; 5 - овалы Кассини; 6 - улитка Паскаля; 7 - астроида; 8 - розы; 9 - синус-спираль.
Циклоидальные кривые: 1 а, б - гипоциклоиды; 2 а, б - эпициклоиды; 3 а - удлинённая гипоциклоида; 3 б - укороченная гипоциклоида; 4а - удлинённая эпициклоида; 4б - укороченная эпициклоида.
Трансцендентные кривые: 1 - квадратриса; 2 - трактриса; 3 - цепная линия; 4 - циклоида; 5 - архимедова спираль; 6 - гиперболическая спираль; 7 - жезл; 8 - логарифмическая спираль; 9 - спираль Корню; 10 - si-ci-cпираль.
Линия задержки
Ли'ния заде'ржки, устройство, предназначенное для задержки сигналов на некоторый заданный промежуток времени. Время задержки t определяется длиной пути в Л. з. электромагнитной или звуковой волны, делённой на скорость её распространения (кроме искусственной линий с сосредоточенными постоянными). Л. з. применяют в устройствах цветного телевидения,осциллографических устройствах со ждущей развёрткой,радиолокационных станциях с селекцией подвижных целей, в устройствах оптимальной фильтрации сложных радиолокационных сигналов, в кодирующих, декодирующих и селекторных устройствах, в запоминающих устройствах и в устройствах управления ЭВМ и т. д. Л. з. изготавливаются с t от долей до десятков тысяч мксек.Они имеют один или несколько выходов с различными t (многоотводные Л. з.), t может быть постоянным либо зависеть от частоты сигнала (дисперсионные Л. з.). Разработаны также Л. з. с регулировкой t (переменные Л. з.), с подстраиваемым t (магнитоупругие Л. з.), с малым температурным коэффициентом t (термостабильные Л. з.), с внутренним усилением сигнала (активные Л. з. с фононфотонным или фонон-магнонным взаимодействием; см. Квазичастицы ) .
Для получения малых t (доли мксек) используются электрические линии с распределительными параметрами - проводные линии, полосковые линии,коаксиальные кабели (особенно с внешним спиральным проводником), радиоволноводы и др. При большой длине линии (несколько десятков метров) затухание и дисперсия волн в ней, связанные с электрическими потерями, искажают форму передаваемого сигнала. Полоса пропускания таких Л. з. не превышает 10 Мгц.Большее t (порядка 0,1-20 мксек) получается в электрической искусственной линии с сосредоточенными постоянными, представляющей собой цепочку звеньев, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов. В такой линии t зависит от числа звеньев, схемы соединения катушек индуктивности и конденсаторов в отд. звене, значений индуктивности и ёмкости.
Для получения t порядка 10 мксек -10 мсекприменяют ультразвуковые Л. з. (УЛЗ). В них подводимые электрические сигналы вначале преобразуются в ультразвуковые с помощью пьезоэлектрического или магнитнострикционного преобразования (см. Электроакустические преобразователи ) и через специальные согласующие слои (из индия, эпоксидных смол, клеёв и др.) передаются в звукопровод. Звукопроводы могут быть объёмные (в виде многогранников), волноводные (из ленты или проволоки, обычно свёрнутой в спираль) и многоотводные (бруски из пьезоактивных материалов с нанесёнными на них электродами). В звукопроводе сигналы распространяются со скоростью приблизительно в 10 5раз меньшей скорости распространения электрических сигналов и с помощью выходного преобразователя, аналогичного входному, преобразуются в электрические. В качестве звукопроводов применяются специальная сталь, магниево-алюминиевые сплавы, монокристаллы хлористого натрия и калия, бромистого калия и др., плавленый кварц и т. д. Для получения больших t в малых объёмах звукопровод часто изготавливают в виде многогранника (объёмный звукопровод), в котором длина пути ультразвуковых волн значительно увеличивается из-за многократного внутреннего отражения волн от стенок.
Наиболее распространены разнообразные электрические Л. з. с сосредоточенными параметрами, отдельные типы волноводных УЛЗ и УЛЗ с объёмными звукопроводами, особенно с t = 64 мксекдля цветных телевизоров.
Наилучшие параметры имеют УЛЗ с объёмными звукопроводами из монокристаллов или плавленого кварца (t порядка 1-5 мсек,рабочие частоты 20-60 Мгц,полоса пропускания 5-15 Мгц,затухание сигнала порядка 40-70 дб,уровень ложных сигналов 35-40 дб) .
Лит.:Эвелет Дж., Обзор ультразвуковых линий задержки, работающих на частотах ниже 100 Мгц. «Труды Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике», 1965, т. 53, № 10; Мэзон У., Ультразвуковые линии задержки с многократными отражениями, в кн.: Физическая акустика, т. 1, ч. А, М., 1966; Мэй Д., Волноводные ультразвуковые линии задержки, там же.
Е. И. Каменский, В. М. Родионов.
Линия перемены даты
Ли'ния переме'ны да'ты, условная линия, проведённая на поверхности земного шара для разграничения мест, имеющих при одинаковом показании часов календарные даты, разнящиеся на один день. Л. п. д. проведена в большей части по меридиану 180° долготы так, что она нигде не проходит по суше (см. карту при ст. Поясное время ) .К В. от неё календарное число на 1 день меньше, чем к З. Л. п. д. служит для правильного счёта дней месяца при путешествиях. Путешественник, движущийся на В., проходит пункты, где часы, идущие по местному (или поясному) времени, имеют всё большее показание по сравнению с местным (поясным) временем точки отправления. Постепенно переводя стрелки своих часов вперёд, к концу кругосветного путешествия путешественник насчитывает лишние сутки. При кругосветном путешествии с В. на З. - наоборот, теряет одни сутки. Во избежание этой ошибки на корабле или самолёте, пересекающем Л. п. д., двигаясь с З. на В., в счёте календарных дат возвращаются на 1 сутназад: например, подойдя к Л. п. д. в 10 ч2 мая, после её пересечения считают 10 ч1 мая. При движении с В. на З. к календарной дате прибавляют 1 сут,так что, подойдя к Л. п. д. с В. в 10 ч2 мая. после её пересечения считают 10 ч3 мая.
Линия положения
Ли'ния положе'нияв навигации и геодезии, линия, во всех точках которой та или иная величина, измеренная по наблюдениям для определения положения наблюдателя на земной поверхности, имеет то же значение, что и в точке наблюдений. Такими величинами могут быть: расстояние между опорной и определяемой точками (Л. п. - окружность); высота небесного светила в некоторый момент времени (Л. п. - также окружность); азимут направления с опорной точки на определяемую (Л. п. - ортодромия ) или направления с определяемой точки на опорную (Л. п. - сферическая кривая 4-го порядка). Пересечение двух (или более) Л. п., проложенных на карте, позволяет определить местоположение наблюдателя. См. также Позиционная линия.
Линия связи
Ли'ния свя'зи, совокупность технических устройств и физической среды, обеспечивающая распространение сигналов от передатчика к приёмнику. Л. с. является составной частью канала связи (канала передачи). Иногда в состав канала связи включается несколько Л. с. (на различных участках протяжённого канала связи используются кабельные, радиорелейные и др. Л. с.). Чаще одна и та же Л. с. применяется для передачи сигналов, принадлежащих нескольким каналам связи (см. Линии связи уплотнение ) .В зависимости от характера сигналов, используемых для передачи сообщений, различают электрические, звуковые (акустические) и оптические Л. с.
На ранних этапах развития электрической связи физической средой служила пара проводов, соединявшая передатчик и приёмник (проводная связь). Позже, с появлением систем беспроволочной связи (радиосвязи), Л. с. стали определять как совокупность передающей, приёмной антенн и среды, в которой происходит распространение радиоволн. Основная характеристика таких Л. с. - диапазон рабочих частот, обеспечивающих передачу сигналов с допустимым ослаблением. По Л. с. с применением стальных проводов можно передавать сигналы с частотами до 25-30 кгц,по воздуху. Л. с. с применением проводов из цветных металлов - до 140-150 кгц,по симметричному кабелю - до 500-550 кгц,по коаксиальному кабелю - до 12-15 Мгц;магистральные коротковолновые Л. с. работают в диапазоне частот 3-30 Мгц,волноводные - на частотах нескольких сотен Мгци десятков Ггци т. д.
Применение оптической и акустической Л. с. ограничено главным образом сильным поглощением оптических и акустических волн средой, в которой они распространяются (см. Звукоподводная связь и Оптическая связь ) .
Лит.:Куликов В. В., Современные системы беспроводной дальней связи, М., 1968; Калашников Н. И., Системы связи через искусственные спутники Земли, М., 1969; Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В., Теория передачи сигналов, М., 1970; Дальняя связь, под ред. А. М. Зингеренко, М., 1970.
М. В. Назаров.
Линия узлов
Ли'ния узло'вв астрономии, прямая, по которой плоскость орбиты небесного тела пересекает основную плоскость, проведённую через центральное тело. В качестве основной плоскости выбирают при изучении движения планет, комет и др. тел Солнечной системы плоскость эклиптики; при изучении движения Луны и искусственных спутников Земли - обычно плоскость экватора Земли и т. п. Точки пересечения Л. у. с небесной сферой, центр которой расположен в центральном теле, называются узлами орбиты.
Линия электропередачи
Ли'ния электропереда'чи(ЛЭП), сооружение, состоящее из проводов и вспомогательных устройств, предназначенное для передачи или распределения электрической энергии. ЛЭП, являясь основным звеном энергосистемы,вместе с электрическими подстанциями образует электрические сети.
Одна из первых опытных ЛЭП (постоянного тока) напряжением 1,5-2 квМисбах - Мюнхен (протяжённостью 57 км) была сооружена в 1882 французским учёным М. Депре. В 1891 впервые в мире была осуществлена электропередача трёхфазным переменным током на 170 кмпо ЛЭП Лауфен - Франкфурт, спроектированной и построенной М. О. Доливо-Добровольским.ЛЭП работала при напряжении 15 кв,передаваемая мощность 230 ква,кпд около 75%. Первые кабельные линии (подземные, радиус действия - 1 км,напряжение - 2 кв) в России появились в конце 70-x гг. 19 в.; электроэнергия, поступавшая в кабельную сеть, использовалась главным образом для освещения частных домов. В начале 20 в. в связи с электрификацией промышленности и общим повышением уровня потребления электроэнергии появились кабельные линии напряжением 6,6, 20 и 35 кв;в 1922 была пущена первая линия на 110 кв(Каширская ГРЭС - Москва). Быстрое развитие и совершенствование ЛЭП обусловлены созданием развитых электрических сетей и объединением их в электроэнергетические системы. Различают воздушные ЛЭП, провода которых подвешены над землёй или над водой, и подземные (подводные) ЛЭП, в которых используются главным образом силовые кабели.
По воздушным ЛЭП электрическая энергия передаётся на значительные расстояния по проводам, прикрепленным к опорам (столбам) с помощью изоляторов.Воздушные ЛЭП являются одним из основных звеньев современных энергосистем. Напряжение в линии зависит от её протяжённости и передаваемой по ней мощности. Для воздушных ЛЭП применяют неизолированные провода (однопроволочные, многопроволочные и полые) из меди, алюминия, сталеалюминия, реже стальные (главным образом при электрификации сельских местностей). Важнейшие характеристики воздушных ЛЭП: l- длина пролёта линии (расстояние между соседними опорами); f- наибольшая стрела провеса провода в пролёте; h - наименьшее (габаритное) допустимое расстояние от низшей точки провода до земли; l - длина гирлянды изоляторов; a- расстояние между соседними проводами (фазами) линии; Н - полная высота опоры. Конструктивные параметры воздушной ЛЭП зависят от номинального напряжения линии, от рельефа и климатических условий местности, а также от технико-экономических требований.
Допустимое расстояние от низшей точки провода до земли составляет в ненаселённой местности 5-7 м,а в населённой 6-8 м.
На воздушных ЛЭП применяют различные по конструкции опоры (см. Опоры линий электропередачи ) .Провода воздушных ЛЭП должны обладать хорошей проводимостью, механической прочностью, стойкостью против атмосферных и химических воздействий (см. Провод для воздушных линий электропередачи ) .Для защиты воздушных ЛЭП от атмосферных перенапряжений, возникающих при грозовых разрядах в линию или вблизи неё, применяют грозозащитные тросы или разрядники,которые устанавливают на ЛЭП с напряжением до 35 кв(см. Защита электрической сети ) .
Для воздушных ЛЭП (переменного тока) в СССР принята следующая шкала напряжений: 35, 110, 150, 220, 330, 400, 500 и 750 кв.Напряжение 35 квшироко используется для создания центров питания электрических сетей (6 и 10 кв) ;общая протяжённость ЛЭП на 35 квк 1972 составляла 189 тыс. км.Распределит. сети большинства энергосистем имеют напряжение 110 кв; протяжённость ЛЭП 110 кв -197 тыс. км.Напряжение 150 квиспользуется в распределительных сетях энергосистемы Днепроэнерго и примыкающих к ней районов соседних энергосистем - Киевской, Харьковской и Одесской, а также частично в Кольской энергосистеме; общая протяжённость ЛЭП 150 кв -6,2 тыс. км.ЛЭП протяжённостью порядка 100 кмсооружают на напряжение 220-330 кв;их общая длина около 70 тыс. км.Напряжение 400 квв 1972 использовалось только в Объединённой энергосистеме (ОЭС) Юга для связи с энергосистемами стран - членов СЭВ. ЛЭП с напряжением 500 квсооружают главным образом для передачи электроэнергии на большие расстояния (св. 100 км) ;общая протяжённость ЛЭП 400-500 кв -около 15 тыс. км.В 1972 на напряжении 750 квдействовала только одна опытная ЛЭП Конаковская ГРЭС - Москва; первая промышленная передача 750 квсооружается в ОЭС Юга. Развитие сетей с напряжением 750