Лит. см. при ст. Вариационные принципы механики .
С. М. Тарг.
Наименьшего принуждения принцип
Наиме'ньшего принужде'ния при'нцип,то же, что Гаусса принцип .
Наименьшее общее кратное
Наиме'ньшее о'бщее кра'тноедвух или нескольких натуральных чисел - наименьшее, делящееся на каждое из них, положительное число. Например, Н. о. к. чисел 2 и 3 есть 6, чисел 6, 8, 9, 15 и 20 есть 360. Н. о. к. пользуются при сложении и вычитании дробей: наименьшим общим знаменателем двух или нескольких дробей является Н. о. к. их знаменателей. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. к. этих чисел нужно составить произведение всех множителей, взяв каждый наибольшее число раз, какое он встречается. Так, 6 = 2Ч3, 8 = 2Ч2Ч2, 9 = 3Ч3, 15 = 3Ч5 и 20 = 2Ч2Ч5; поэтому Н. о. к. 6, 8, 9, 15 и 20 есть 2Ч2Ч2Ч3Ч3Ч5 = 360. Понятие Н. о. к. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. к. двух или нескольких многочленов есть многочлен наинизшей степени, делящийся на каждый из данных. См. также Наибольший общий делитель .
Наименьшей кривизны принцип
Наиме'ньшей кривизны' при'нцип,то же, что Герца принцип .
Наименьших квадратов метод
Наиме'ньших квадра'тов ме'тод,один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при наблюдений обработке . Н. к. м. предложен К. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально Н. к. м. использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости Н. к. м. даны А. А. Марковым (старшим) и А. Н. Колмогоровым . Ныне Н. к. м. представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.
Сущность обоснования Н. к. м. (по Гауссу) заключается в допущении, что «убыток» от замены точного (неизвестного) значения физической величины и её приближённым значением X, вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален квадрату ошибки: ( X- m) 2. В этих условиях оптимальной оценкой естественно признать такую лишённую систематической ошибки величину X, для которой среднее значение «убытка» минимально. Именно это требование и составляет основу Н. к. м. В общем случае отыскание оптимальной в смысле Н. к. м. оценки Х- задача весьма сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве Хвыбирают линейную функцию от результатов наблюдений, лишённую систематической ошибки, и такую, для которой среднее значение «убытка» минимально в классе всех линейных функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению и оцениваемая величина m зависит от средних значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся в приложениях Н. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка Хтакже подчиняется нормальному распределению со средним значением m и, следовательно, плотность вероятности случайной величины Х
при х= Хдостигает максимума в точке m = Х(это свойство и выражает точное содержание распространённого в теории ошибок утверждения «оценка X, вычисленная согласно Н. к. м., - наиболее вероятное значение неизвестного параметра m»).
Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины m произведено nнезависимых наблюдений, давших результаты Y 1, Y 2,..., Y n, т. е. Y 1= m + d 1, Y 2= m + d 2,..., Y n= m + d n, где d 1, d 2,..., d n- случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок, случайные ошибки - независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием: Еd i = 0; если же Ed i ¹ 0, то Еd i , называются систематическими ошибками). Согласно Н. к. м., в качестве оценки величины m принимают такое X, для которого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):
где p i= k/s i 2и s i 2= Dd i = Ed i 2
(коэффициент k> 0 можно выбирать произвольно). Величину p iназывают весом, a s i - квадратичным отклонением измерения с номером i. В частности, если все измерения равноточны, то s 1= s 2=... = s n , и в этом случае можно положить p 1= p 2=... = p n= 1; если же каждое Y i, - арифметическое среднее из n i, равноточных измерений, то полагают p i= n i.
Сумма S( X) будет наименьшей, если в качестве Хвыбрать взвешенное среднее:
Оценка
величины m лишена систематической ошибки, имеет вес
Ри дисперсию
В частности, если все измерения равноточны, то Y- арифметическое среднее результатов измерений:
При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений
nдостаточно велико, то распределение оценки
мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией
k/P. В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства
меньше
с вероятностью, близкой к значению интеграла
[напр., I(1,96) = 0,950; I(2,58) = 0,990; I(3,00) = 0,997].
Если веса измерений
p
iзаданы, а множитель
kдо наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки
могут быть приближённо оценены по формулам:
и
(обе оценки лишены систематических ошибок).
В том практически важном случае, когда ошибки d i подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства
окажется меньше ts( t- произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t, называют функцией распределения Стьюдента с n- 1 степенями свободы и вычисляют по формуле
где постоянная C n -1выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: I n -1(Ґ) = 1. При больших nформулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших nпривело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I= 0,99 соответствует t= 2,58; истинные значения t, определяемые при малых nкак решения соответствующих уравнений l n -1( t) = 0,99, приведены в таблице:
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 20 | 30 |
| t | 63,66 | 9,92 | 5,84 | 4,60 | 3,25 | 2,86 | 2,76 |
Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y i(в г):
| Y i | 18,41 | 18,42 | 18,43 | 18,44 | 18,45 | 18,46 |
| n i | 1 | 3 | 3 | 1 | 1 | 1 |
(здесь n i- число случаев, в которых наблюдался вес Y i, причём n= S n i, = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить p i= n iи в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину
Задавая, например, I 9= 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t= 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину
Т. о. 18,420 < m < 18,442.
Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть nрезультатов измерений Y 1, Y 2,..., Y nсвязаны с mнеизвестными величинами x 1, x 2,..., х m( m< n) независимыми линейными отношениями
где a ij- известные коэффициенты, а d i - независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины x j(эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x 1и m= a i1= 1; i= 1,2,..., n).
Так как Еd i = 0, то средние значения результатов измерений y i, = E y i. связаны с неизвестными величинами x 1, x 2,..., х mлинейными уравнениями (линейные связи):
Следовательно, искомые величины x jпредставляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин y iи случайные ошибки d i обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения
Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных x jприменяют такие величины X j, для которых сумма квадратов отклонений
будет наименьшей (как и в предыдущем случае, p i- вес измерения Y i, - величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки d i ). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях X jразности
не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае
также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения X j, которые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.
Сумма квадратов Sпредставляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X j; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X 1, X 2,..., Х m, при которых обращаются в нуль все первые частные производные:
Отсюда следует, что оценки X j, полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:
где
Оценки X j, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок ( E x j= x j); дисперсии D x j; величин X jравны kd jj/d, где d- определитель системы (5), а d jj- минор, соответствующий диагональному элементу [ ра ja j] (иными словами, d jj/d- вес оценки X j). Если множитель пропорциональности k( kназывается дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии D x jслужат формулы:
k» S/( n- m) и D x j» s 2 j= Sd jj/d( n- m)
( S- минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений nдостаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x i» X jменьше ts jс вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d i подчиняются нормальному распределению, то все отношения ( X j- x j)/ s jраспределены по закону Стьюдента с n- mстепенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы Sв вероятностном смысле не зависит от X 1, X 2,..., X mи поэтому приближённые значения дисперсий оценок D x j» s 2 jне зависят от самих оценок X j.
Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. - «выравнивание» таких результатов наблюдений Y i, для которых в уравнениях (3) a ij= a j( t i), где a j( t) - известные функции некоторого параметра t(если t- время, то t 1, t 2,... - те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a j( t) - многочлены [например, a 1( t) = 1, a 2( t) = t, a 3( t) = t 2,... и т.д.]; если t 2- t 1= t 3- t 2=... = t n- t n -1, a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X jможно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай - так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a j( t) выбирают тригонометрические функции [например, a j( t) = cos ( j- 1) t, j= 1, 2,..., m].
Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице ( i- номер эксперимента, t i- истинная концентрация CaO, T i- концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y i= T i- t i- ошибка химического анализа):
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| t i | 4 | 8 | 12,5 | 16 | 20 | 25 | 31 | 36 | 40 | 40 |
| Y i | - 0,3 | - 0,2 | - 0,4 | - 0,4 | - 0,2 | - 0,5 | + 0,1 | - 0,5 | -0,6 | -0,5 |
Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то E y i= 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: E y i= a + b t i(a называется постоянной ошибкой, а b t i- методической ошибкой) или, что то же самое,
где
Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты
Условные уравнения в данном случае имеют вид:
поэтому a i1= 1, a i2= t i- t(согласно предположению о равноточности наблюдений, все p i= 1). Так как
то система нормальных уравнений записывается особенно просто:
[ a 1a 1] X 1= [ Ya 1]; [ a 2a 2] X 2= [ Ya 2],
где
Дисперсии компонент решения этой системы суть
где k- неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k- дисперсия любой из величин Y i). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X 1= -0,35 и X 2= -0,00524, то
D x 1» s 1 2= 0,00427,
D x 2» s 2 2= 0,0000272,
s 1= 0,065, s 2= 0,00522.
Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения | X j– x jl/ s j( j= 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x 1= x 2= 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения | X 1|/ s 1и | X 2|/ s 2. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n– m= 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x 1= x 2= 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае | X 1|/ s 1= 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки ( x 2= 0) не противоречит результатам наблюдений, так как | X 2|/ s 2= 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения tпо результату наблюдения Тцелесообразно пользоваться приближённой формулой t= Т+ 0,35.
Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.
Лит.:Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Колмогоров А. Н., К обоснованию метода наименьших квадратов, «Успехи математических наук», 1946, т. 1, в. 1; Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Helmert F. R., Die Ausgieichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate..., 2 Aufl., Lpz., 1907.
Л. Н. Большев.
Наин-Синга
На'ин-Си'нга,горный хребет на Ю.-З. Тибетского нагорья, в Китае; см. Алинг-Гангри .
Наири
Наи'ри,название стран, расположенных к С. от Ассирии, в бассейнах Урмийского и Ванского озера. Упоминается в ассирийских надписях начиная со времени царя Тукультининурты I (около 13 в. до н. э.) до Саргона II (722-705). Значительной части Н. соответствует территория государства Урарту.
Лит.:Пиотровский Б. Б., Ванское царство (Урарту), М., 1959.
Най
Най,нэй, духовой музыкальный инструмент: 1) арабо-иранская продольная флейта с 6-8 игровыми отверстиями. 2) Узбекская и таджикская поперечная флейта с 6 игровыми отверстиями. Звукоряд диатонический; с помощью особой аппликатуры и частичного прикрывания отверстий получают и хроматически измененные звуки. В зависимости от материала называется агач-Н. (деревянный), гарау-Н. (бамбуковый), мис-Н. (жестяной), бриндгжи-Н. (латунный). 3) Молдавская и румынская продольная многоствольная флейта. Состоит из 8-24 трубок разной длины (от неё зависит высота звука), укрепленных в дугообразной кожаной обойме. Звукоряд диатонический.
Найдёнов Сергей Александрович
Найдёнов(псевдоним; настоящая фамилия Алексеев) Сергей Александрович [14(26).9.1868, Казань, - 5.12.1922, Ялта], русский драматург. Родился в купеческой семье. Окончил московское Музыкально-драматическое училище филармонического общества (1889); несколько лет играл на провинциальной сцене. Первая и лучшая пьеса Н. - «Дети Ванюшина» (1901, постановка петербургского Театра литературно-художественного общества, московского Театра Корша). В 1902 сблизился с М. Горьким и начал печататься в издательстве «Знание» . Автор пьес: «Номер тринадцатый» (1903), «Блудный сын» (1903), «Авдотьина жизнь» (1904, постановка Театра В. Ф. Комиссаржевской), «Стены» (1907), «Роман тёти Ани» (1912), «Работница» (1915) и др. В основе реалистического творчества Н. - обличение пороков капиталистического общества, душевной разобщённости людей. После Октябрьской революции 1917 Н. опубликовал пьесу-хронику «Москва» (1921), посвященную Революции 1905-1907, и историко-революционную драму «Неугасимый свет» (1922).
Соч.: Пьесы, т. 1-2, СПБ. 1904-11; Дети Ванюшина. [Послесл. В. Сергеева], М. 1955.
Лит.:Боровский В. В., Раскол в «темном царстве», в его кн.: Литературно-критические статьи, М., 1956; «Дети Ванюшина» на сцене, М., 1940; История русской литературы конца XIX - нач. XX века. Библиографический указатель, М. - Л., 1963.
И. И. Подольская.
Найдёновы
Найдёновы,представители крупной российской буржуазии, выходцы из крепостных крестьян Владимирской губернии. В 1764 (или 1765) посессионный крестьянин Егор Иванович Н. (1745-1821) определён в Москву в красильную мастерскую, в 1816 записался в московское купечество, имея собственную красильную мастерскую. Его сын Александр Егорович Н. (1789-1864) владел землями, домами и красильными мастерскими в Москве. До конца 19 в. Н. занимались хлопчато-бумажным и шерстяным производством и торговлей. В 70-х гг. сыновья Александра Егоровича - Николай Александрович Н. и Виктор Александрович Н. занялись банкирской деятельностью. Н. участвовали в учреждении Московского торгового банка и неизменно возглавляли его. Николай Александрович был до 1905 председателем Биржевого комитета, где группа Н., впоследствии Крестовникова - Н., располагая большинством, выступала от имени всей крупной московской буржуазии в качестве её ультраконсервативного лидера. После 1905 эта группа стала опорой октябристов .
Лит.:Найдёнов Н. А., Воспоминания о виденном, слышанном и испытанном, кн. 1, 2, М., 1903-05; Черменский Е. Д., Буржуазия и царизм в первой русской революции, 2 изд., М., 1970.
Найджел
На'йджел,Нигел (Nigel), город на В. ЮАР, в провинции Трансвааль. 33,8 тыс. жителей (1970). Один из центров золотопромышленного района Витватерсранд. Веткой соединён с ж.-д. магистралью ЮАР. Основан в 1909.
Найквиста критерий
На'йквиста крите'рий(по имени американского физика Х. Найквиста, Н. Nyquist; р. 1889), частотный критерий устойчивости линейных систем автоматического регулирования с постоянными параметрами; может применяться и для систем с запаздыванием. См. Устойчивость систем автоматического управления.
Найквиста формула
На'йквиста фо'рмула,теорема Найквиста, соотношение, определяющее величину тепловых флуктуаций тока или напряжения в электрической цепи. Получена американским физиком Х. Найквистом (Н. Nyquist) в 1928. Согласно Н. ф., обусловленное тепловыми флуктуациями среднее значение квадрата напряжения на концах проводника с сопротивлением R, находящегося в состоянии теплового равновесия при абсолютной температуре Т, равно:
где k- Больцмана постоянная , Dn - полоса частот, внутри которой измеряются флуктуации напряжения. При низких температурах и достаточно высоких частотах, когда h³ kT(n - частота, h- Планка постоянная ), вместо формулы (1), следует пользоваться более общим выражением:
Н. ф. широко используется при расчёте тепловых шумов в измерительных и радиотехнических устройствах.
Лит.:Киттель Ч., Элементарная статистическая физика, пер. с англ., М., 1960; Мак-Доналд Д., Введение в физику шумов и флуктуаций, пер. с англ., М., 1964.
Э. М. Эпштейн.
Найлон
На'йлон(англ. nylon), широко распространённое за рубежом торговое название полиамидных волокон .
Найман
Найма'н,посёлок городского типа в Наукатском районе Ошской области Киргизской ССР. Расположен в 30 кмк С.-В. от ж.-д. станции Кызыл-Кия. Добыча ртутных руд.
Наймиты
Найми'ты,внесословная категория населения феодальной Руси 12-17 вв. Термин «Н.» встречается впервые в Русской правде . Н. обычно становились разорившиеся сельские и городские общинники, беглые крестьяне и холопы, вынужденные заключать договор о найме с феодалами, горожанами и др. нанимателями. При заключении договоров Н. формально выступали как свободные люди, однако хозяин получал право не только на труд Н., но и на его личность. С 15-16 вв., в связи с ростом числа Н. и использования их труда, закон (Псковская судная грамота, Судебник 1497 и Судебник 1550 , Уложение Алексея Михайловича 1649 и др.) начинает отделять право на пользование трудом Н. от права на его личность, хотя и в 16-17 вв. Н. заключали неравноправные договоры.
Лит.:Панкратова А. М., Наймиты на Руси в XVII в., в сборнике: Академику Б. Д. Грекову ко дню 70-летия. Сб. ст., М., 1952.
М. Я. Волков.
Найрамдал
Найрамда'л,Хыйтун, самая высокая вершина в горном массиве Табын-Богдо-Ола на Алтае. Высота 4356 м.