называемое формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физический факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Гравен циркуляции этого поля вдоль кривой g.Формула Остроградского служит источником инвариантного (независящего от выбора системы координат) определения основных операций векторного анализа. Например, из этой формулы вытекает, что
Так как выражение
представляет собой поток жидкости через Г, а
величину этого потока на единицу объёма, то определение div ас помощью соотношения (3) показывает, что div ахарактеризует интенсивность источника в данной точке.
Лит.:Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.-М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1-2, М., 1950-52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
Рис. 6 к ст. Векторное исчисление.
Рис. 5 к ст. Векторное исчисление.
Рисунки 8, 9 к ст. Векторное исчисление.
Рисунки 1-4 к ст. Векторное исчисление.
Рис. 7 к ст. Векторное исчисление.
Векторное поле
Ве'кторное по'ле, область, в каждой точке Ркоторой задан вектор а( Р). Математически В. п. может быть определено в данной области Gпосредством вектор-функции a( Р) переменной точки Рэтой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и процессов (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразные применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление ) .
Лит.:Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
Векторное произведение
Ве'кторное произведе'ниевектора
а
на вектор
b
- вектор, обозначаемый [
а, b
] и определяемый так: 1) длина вектора [
а, b
] равна произведению длин векторов
а
и
b
на синус угла
jмежду ними (берётся тот из двух углов между
а
и
b
, который не превосходит
p), 2) вектор [
а, b
]
перпендикулярен вектору
а
и вектору
b
, 3) тройка векторов
а,
b, [
а, b
], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см.
Векторное исчисление
)
.В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (например, момент силы
F,приложенной к точке
Мотносительно точки
О, есть В. п. [
,
F
]).
Лит.;Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.
Э. Г. Позняк.
Векторное пространство
Ве'кторное простра'нство,математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Определение В. п.Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ) .В применении к любым векторам х, у, zи любым числам a, bэти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
1) х+ у= у+ х(перестановочность сложения);
2) ( х+ у) + z= x+ ( y+ z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0(или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x+ 0= x:для любого вектора x ;
4) для любого вектора хсуществует противоположный ему вектор утакой, что х+ у= 0,
5) 1 · х= х,
6) a( bx) = ( ab) х(ассоциативность умножения);
7) ( a+ b) х= aх+ bх(распределительное свойство относительно числового множителя);
8) a( х+ у) = aх+ aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R,состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А(условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение
a 1e 1+ a 2e 2+ …+ a ne n (1)
называется линейной комбинацией векторов e 1, e 2,..., e nс коэффициентами a 1, a 2, ..., a n.Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1, a 2,..., a nотличен от нуля. Векторы e 1, e 2,..., e nназываются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1, e 2,..., e nравна нулевому вектору) векторы e 1, e 2,..., e nназывается линейно независимыми.
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n») ,если в нём существуют nлинейно независимых элементов e 1, e 2,..., e n,а любые n+ 1элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального nсуществует nлинейно независимых векторов. Любые nлинейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e 1, e 2,..., e n- базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
x= a 1e 1+ a 2e 2+ ...+ a ne n.
При этом числа a 1, a 2,..., a nназываются координатами вектора хв данном базисе.
Примеры В. п.Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из nдействительных чисел : l 1, l 2,..., l n.Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
( l 1, l 2, …, l n) + ( m 1, m 2, …, m n) = ( l 1+ m 1, l 2+ m 2, …, l n+ m n) ;
a( l 1, l 2, …, l n) = ( al 1, al 2, …, al n) .
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из nвекторов e 1= (1, 0,..., 0), e 2= (0, 1,..., 0),..., e n= (0, 0,..., 1).
Множество Rвсех многочленов a 0+ a 1u+ …+ a nu n(любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a 0, a 1,..., a nс обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u 2,..., u n(при любом n) линейно независимы в R,поэтому R -бесконечномерное В. п.
Многочлены степени не выше nобразуют В. п. размерности n+ 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u 2,..., u n.
Подпространства В. п.В .п. R'называется подпространством R,если R' Н R(то есть каждый вектор пространства R'есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v О r'и для каждых двух векторов v 1и v 2( v 1, v 2О R') вектор lv(при любом l) и вектор v 1+ v 2один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v 1, v 2как элементы пространства R'или R.Линейной оболочкой векторов x 1, x 2,... x pназывается множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a 1x 1+ a 2x 2+ …+ a px p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x 1будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x 1.Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x 1и x 2будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x 1и x 2.В общем случае произвольного В. п. Rлинейная оболочка векторов x 1, x 2,..., x pэтого пространства представляет собой подпространство пространства Rразмерности р.В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р.Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R'В. п. Rесть линейная оболочка любых kлинейно независимых векторов, лежащих в R'.Пространство, состоящее из всех многочленов степени Ј n(линейная оболочка многочленов 1, u, u 2,..., u n) ,есть ( n+ 1) -мepное подпространство пространства Rвсех многочленов.
Евклидовы пространства.Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам хи уиз Rставится в соответствие число, обозначаемое ( х, у) и называемое скалярным произведением векторов хи у.При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
1) ( х, у) = ( у, х) (перестановочность);
2) ( x 1+ x 2, y) = ( x 1, y) + ( x 2, y) (распределительное свойство);
3) ( ax, у) = a( х, у) ,
4) ( х, х) ³ 0для любого х, причем ( х, х) = 0 только для х= 0.
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют
гильбертовым пространством.Длина |
x| вектора
xи угол
между векторами
хи
уевклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство E nполучим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x= ( l 1, …, l n) и y= ( m 1, …, m n) соотношением
( x, y) = l 1m 1+ l 2m 2+ …+ l nm n. (2)
При этом требования 1)-4), очевидно, выполняются.
В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы хи уназываются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: ( х, у) = 0.В рассмотренном пространстве E nусловие ортогональности векторов x= ( l 1, …, l n) и y= ( m 1, …, m n) ,как это следует из соотношения (2), имеет вид:
l 1m 1+ l 2m 2+ …+ l nm n= 0.(3)
Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R -множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения y n+ a 1( x) y ( n+ 1)+ …+ a n( x) y= 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, Rудовлетворяет условиям А. Доказывается, что для Rвыполнено обобщённое условие В. Следовательно, Rявляется В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:
Рассмотрим в евклидовом пространстве E nвекторы a i= ( a i1, a i2, …, a in) , i= 1, 2,..., nи вектор-решение u= ( u 1, u 2,..., u n). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов E n,придадим системе (4) следующий вид:
( a i, u) = 0, i= 1, 2, …, m. (5)
Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение uортогонален всем векторам a i.Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a i,то есть решение uесть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a i. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства.Примером такого пространства может служить пространство Снепрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.
Лит.:Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. - Л., 1948.
Э. Г. Позняк.
Вектор-потенциал
Ве'ктор-потенциа'л,см. Потенциалы электромагнитного поля.
Вектор-функция
Ве'ктор-фу'нкция,векторная функция, функция, значения которой являются векторами; см. Векторное исчисление.
Векуа Илья Несторович
Ве'куаИлья Несторович [р. 23.4(6.5).1907, с. Шешелеты, Грузия], советский математик и механик, академик АН СССР (1958; член-корреспондент 1946) и АН Грузинской ССР (1946), Герой Социалистического Труда (1969). Член КПСС с 1943. Окончил Тбилисский университет (1930), работал в АН СССР, АН Грузинской ССР и в высших учебных заведениях. В 1959-64 ректор Новосибирского университета, с 1965 ректор Тбилисского университета. Основные труды относятся к новым научным направлениям в современной математической физике. Работы в области дифференциальных уравнений с частными производными в основном посвящены созданию аналитической теории обширного класса уравнений эллиптического типа. В. внёс крупный вклад в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений, открыл и исследовал новый класс нефредгольмовых эллиптических краевых задач. В области механики В. предложил новый вариант математической теории упругих оболочек. Им решены трудные проблемы малых изгибаний поверхностей и тесно с ними связанные задачи безмоментной теории оболочек. Депутат Верховного Совета СССР 7-го и 8-го созывов. Государственная премия СССР (1950). Ленинская премия (1963). Награжден 3 орденами Ленина, орденом «Знак Почёта» и медалями.
Соч.: Новые методы решения эллиптических уравнений, М. - Л., 1948; Обобщенные аналитические функции, М., 1959; Теория тонких пологих оболочек переменной толщины, Тб., 1965.
Лит.:Бицадзе А. В., Илья Несторович Векуа, Тб., 1967.
А. В. Бицадзе.
И. Н. Векуа.
Векша (белка)
Ве'кша,старорусское название белки.
Векша (ден. единица Др. Руси)
Ве'кша,белка, веверица, самая мелкая денежная единица Древней Руси (9-13 вв.). Впервые упоминается в «Повести временных лет» в записи под 853-58, встречается в Русской правде - памятнике русского раннефеодального права. Равнялась 1/ 6куны. Серебряная В. весила около 1/ 3 г.
Векшё
Ве'кшё(Vдxjц), город в Южной Швеции. Административный центр лена Крунуберг. 34,3 тыс. жителей (1969). Транспортный узел. Машиностроение, трикотажная и швейная промышленность. Возник в 1342. Вблизи - руины замка Крунуберг (16 в.).
Векшинский Сергей Аркадьевич
Ве'кшинскийСергей Аркадьевич [р. 15(27).10.1896, Псков], советский учёный, специалист в области электровакуумной техники, академик АН СССР (1953; член-корреспондент 1946), Герой Социалистического Труда (1956). Член КПСС с 1940. В 1922-28 работал главным инженером электровакуумного завода в Ленинграде. В 1928-36 заведующий вакуумной лабораторией, в 1936-39 главный инженер, в 1939-41 консультант завода «Светлана» в Ленинграде. С 1947 директор научно-исследовательского института. В 1941-44 разработал новый метод получения и исследования сплавов (Государственная премия СССР, 1946). Создал ряд электронных приборов. Награжден 3 орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.
Соч.: Новый метод металлографического исследования сплавов, М. - Л., 1944.
Лит.:Гурвич Е. Б., С. А. Векшинский, «Радиотехника и электроника», 1956, т. 1, №12.
С. А. Векшинский
Векшняй
Векшня'й,посёлок городского типа в Акмянском районе Литовской ССР. Расположен на р. Вянта. Ж.-д. станция на линии Шяуляй - Лиепая. 3 тыс. жителей (1969). производство кафеля и керамических изделий.
Веласкес де Куэльяр Диего
Вела'скес,Вела'скес де Куэ'льяр (Velбzquez de Cuйllar) Диего (1464-1524), испанский конкистадор. Родился в г. Куэльяр (провинция Сеговия) в знатной богатой семье. Во время 2-й экспедиции X. Колумба прибыл вместе с ним на Гаити (1493). В 1511 начал завоевание Кубы и был назначен губернатором острова (оставался им до конца жизни). В 1512 основал гг. Асунсьон-де-Баракоа и Сантьяго-де-Куба, в 1513 - Сан-Сальвадор-де-Баямо, в 1514 - Пуэрто-Принсипе, Санкти-Спиритус и Ремедьос, в 1515 - Гавану. Снарядил ряд завоевательных экспедиций на Юкатан, во Флориду и Мексику. Умер от лихорадки; похоронен в Сантьяго-де-Куба.
Веласкес Диего
Вела'скес,собственно Родригес де Сильва Веласкес (Rodrнguez de Silva Velбsquez) Диего (4 или 5.6.1599, Севилья, - 6.8.1660, Мадрид), испанский живописец. Сын небогатого дворянина. Учился в Севилье у Ф. де Эрреры Старшего и у Ф. Пачеко (1610-16). В 1617 получил звание мастера. До 1623 работал в Севилье, писал «бодегонес» (испанский bodegуn - харчевня) - сцены из народного быта («Завтрак», около 1617, Эрмитаж, Ленинград; «Водонос», около 1620, Музей Уэллингтона, Лондон). Живопись плотным слоем непросвечивающих красок, контрастное освещение фигур, придвинутых к переднему плану композиции, интерес к точной фиксации внешних особенностей натуры сближают эти работы с традициями М. Караваджо.Порой В. вводит в бытовую сцену религиозный сюжет как самостоятельный мотив («Христос в доме Марфы и Марии», около 1622, Национальная галерея, Лондон). Уже в этих ранних произведениях В., обратившись к кругу явлений, новых для испанской живописи, создал меткие характеристики народных типов.
В середине 1623 В. переехал в Мадрид и в том же году стал королевским живописцем. Совершенствованию мастерства В. во многом содействовали знакомство с королевскими собраниями, богатыми итальянской живописью (в частности, картинами Тициана ) ,а также встречи с прибывшим в Испанию П. П. Рубенсом (конец 1628 - начало 1629) и поездка по Италии (конец 1629 - начало 1631). Вместе с тем и взгляд В. на мир становился всё более проницательным. Художник смело порывал с присущими искусству его времени условностями, постигая жизнь с её реальными связями. В то же время он искал пути к созданию полотен широкого обобщающего смысла. В картине «Вакх» (до 1630, Прадо, Мадрид) В. изобразил на фоне пейзажа бродяг, пирующих в обществе Вакха и фавнов. Между образами огрубленных жизнью бродяг и античного божества нет непреодолимой дистанции. Их объединяют общая атмосфера приподнятости, близость к силам природы. «Кузница Вулкана» (1630, Прадо) полна ощущения реальной жизни благодаря колориту, близкому к натуре, и естественности поведения её несколько простодушных героев. Картиной «Сдача Бреды» (1634, Прадо) В. закладывает основы всей европейской исторической живописи на тему современной действительности. Реальный эпизод испано-нидерландской войны даёт повод В. показать воюющие стороны во всей сложности их взаимоотношений. Ритмический строй композиции, группировка фигур, лес копий над испанским войском указывают соотношение сил, решившее исход битвы. Высокая мера объективности, с которой охарактеризованы участники события, позволяет остро ощутить контраст между изысканными испанцами и грубоватыми голландцами - представителями молодой страны и новых социальных сил. Сцена передачи ключей от г. Бреды - смысловой узел картины, утверждающей за побежденным право на уважение, а за победителем - на великодушие.
Одновременно с картинами В. написал много портретов, составивших необычайно разнообразную галерею представителей испанского общества: конные парадные портреты (герцога Оливареса, инфанта Бальтасара Карлоса; оба - 1634-35, Прадо), поясные или погрудные изображения придворных, друзей, учеников (Хуана Матеоса, около 1632, Картинная галерея, Дрезден; герцога Оливареса, около 1638, Эрмитаж; дамы с веером, около 1648, собрание Уоллес, Лондон; Хуана Парехи, 1650, собрание Раднор, Солсбери), серия портретов инфант (Художественно-исторический музей, Вена; Прадо; Лувр, Париж). Жизнь при дворе научила В. проникать в глубины человеческого характера, скрытые под маской высокомерия и холодной любезности, улавливать затаённые движения души. Он скуп в выборе изобразительных средств, предельно сдержан в выражении эмоций. Художник накапливает и синтезирует в портрете свои наблюдения, ничего не утрируя, словно предоставляя другим судить об изображенном. Он почти не пишет аксессуаров, редко изображает жесты, движение. Чаще всего нейтральный фон, приобретающий особую глубину и воздушность благодаря соотношению валёров, тёмные тона одежд направляют основное внимание зрителя на ровно освещенные лица. Но за кажущимся внешним бесстрастием В. таится глубоко человечное отношение к окружающему. Поэтому портреты В. так же не однозначны и так же не похожи друг на друга, как и живые люди. При общей сдержанности цветовой гаммы В. для каждого портрета находит неповторимые изысканные сочетания тончайших оттенков серебристо-серого, оливкового, серо-коричневого, придающих образам индивидуальный эмоциональный строй.
В ряду портретных образов В. привлекают особое внимание изображения придворных шутов и карликов (портреты, так называемого, Хуана Австрийского, Эль Бобо из Кории, Эль Примо, мальчика из Вальескаса, Себастьяна Мора и др.; все - 1631-48, Прадо). Мудрая непредвзятость в подходе к жизни позволяет ему в этих людях, часто обиженных природой, обнаружить присущие им человеческие качества. Необычайно тонко и точно разработанная цветовая гамма красных и розовых оттенков в портрете папы Иннокентия Х (1650, Галерея Дориа-Памфили, Рим) - эмоциональный ключ образа, жестокой правдивости которого устрашился сам папа. Этот портрет был написан В. во время его второй поездки в Италию (конец 1648 - середина 1651). Там же (или вскоре по возвращении в Испанию) В. исполнил «Венеру с зеркалом» (1651, Национальная галерея, Лондон). Необычный композиционный приём (лицо Венеры видно только в зеркале) придаёт особую свежесть и остроту изображению обнажённого женского тела - гибкого, стройного, полного прелести и жизненного обаяния. К этому же периоду относятся и два пейзажа В. (оба - «Вилла Медичи», 1650-51, Прадо), в которых художник при необычных для того времени свежести и кажущейся этюдности письма создал целостные образы природы.
В последние годы жизни В. написал две самые знаменитые свои картины: «Лас Менинас» («Фрейлины», 1656) и «Пряхи» (первоначальное название - «Миф об Арахне», 1657) - обе в Прадо. В «Лас Менинас» художник изобразил на первом плане инфанту Маргариту в сопровождении фрейлин и карликов, а рядом - себя за мольбертом в момент исполнения им портрета королевской четы, отражение которой видно в зеркале в глубине зала. В. смело раздвинул пространство композиции: король и королева воспринимаются как бы находящимися перед картиной, в среде её зрителей, которые становятся, в свою очередь, участниками изображенной сцены. Частный эпизод придворного быта предстаёт здесь как один из моментов общего течения жизни со всей сложностью её взаимосвязанных и изменчивых проявлений. Всё пронизано трепетным движением серебристого воздуха. Пленительная красота и живописное многообразие реальности воплотились в общем серо-жемчужном колорите картины с нанесёнными свободными ударами кисти голубыми, розовыми, тёмно-серыми, коричневатыми прозрачными мазками. В ином, более мажорном живописном ключе написаны «Пряхи» - сцена в королевской мастерской ковров с фигурами прях на первом плане. Придворные дамы в глубине ярко освещенной комнаты любуются ковром, изображающим миф об Арахне - ткачихе, превзошедшей в мастерстве богиню Афину. Окутанные золотистой пылью фигуры прях воспринимаются по контрасту со светлым фоном особенно рельефно, в частности - фигура молодой пряхи справа, полная живой подвижности и энергии. Красота народа, его созидательная сила - лейтмотив картины.