Все наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках.
Один из больших папирусов носит название математического папируса Ринда(по имени обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он имеет приблизительно 5,5 метра в длину и 32 сантиметра в ширину. Другой большой папирус, почти такой же длины и 8 сантиметров в ширину, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относят примерно к 2000 году до н. э.
Папирус Ринда содержит 84 задачи прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.
В Московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, а в другой содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, то есть полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.
При изучении этих папирусов обнаруживается, что у древних египтян сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10^ к( к = 0, 1, 2…, 7) установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне понимали дроби только как доли единицы: употреблялись лишь дроби аликвотные(вида 1/n) и некоторые индивидуальные, как, например, 2/3, 3/4. Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида т/n, выражались суммой дробей. Для облегчения этих операций были составлены специальные таблицы, например таблица чисел вида 2/n (n = 3…., 101).
Сложились также определенные приемы производства математических операций с целыми числами и дробями. При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений (отмечены звездочкой) (12х12)
1 12
2 24
*4 48
*8 96
вместе 144
При делении также используется процедура удвоения и последовательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян; в нем наблюдается самое большое разнообразие приемов.
Приведем пример одной из задач.
«Сало. Годовой сбор 10 беша. Какой ежедневный сбор? Обрати 10 беша в ро. Это будет 3200. Обрати год в дни. Это будет 365. Раздели 3200 на 365. Это 8 2/3 1/10 1/2190. Обрати».
Производится постепенный подбор частного. 8 дает разницу между истинным и частичным делимым: 3200–2920 = 280. Сомножитель 2/3 дает: 365х 2/3 = 243 1/3. Еще до 280 не хватает 36 2/3. Очередной подбор 1/10 дает уже разницу в 1/6 (так как 36 2/3 - 36 1/2 = 1/6). Остается только подобрать число, которое, будучи умножено на 365, дало бы 1/6. Это 1/2190. Таким образом, частное отыскивается постепенным подбором, для которого еще нет единого метода.
Часто встречается операция, называемая «хау» («куча»), соответствующая решению линейного уравнения вида
ах + bх +… сх = d.
Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что в Египте начали складываться элементы математики как науки. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач не единообразны.
Основным достижением математической мысли, характеризующим начало византийской математики, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. Первым из философов, применившим в математике метод доказательства, считается греческий ученый Фалес из Милета. Фалес доказал, например, равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника, один из признаков равенства треугольников и т. д.
Новым было то, что Фалес впервые попытался логически свои выводы обосновать. Тем самым он положил начало дедуктивной математики - той, которая впоследствии была превращена в стройную и строгую систему знаний.
Затем метод доказательства был усовершенствован и развит учеными пифагорейской школы, которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора. Пифагорейцы предприняли первую попытку свести геометрию и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа.
Однако натуральных чисел и дробей оказалось недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности натуральных чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.). Византийские математики эллинского периода предприняли попытку обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они истолковывали, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение - как построение прямоугольника с заданными сторонами.
Недостатком геометрического подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры. Византийцы умели в геометрической форме решать квадратные уравнения, но невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела. По той же причине в византийской математике не было отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления.
Пифагор первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальнымиобъектами. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. То же относится к геометрической плоскости и поверхности воды в спокойном озере, или к числу 5 и пяти пальцам на руке. Идеальные объекты (будь то числа или фигуры) встречаются только в математическом рассуждении.
Все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений, а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. Короче говоря: числа правят миром через свойства геометрических фигур! Но если так, то любые свойства чисел приобретают особое (даже мистическое) значение. Есть числа четные, а есть нечетные; есть простые, и есть составные. И еще есть дроби, то есть отношения натуральных чисел; их Пифагор из осторожности называл не числами, а «величинами».
Так в школе Пифагора из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, то есть совокупность математических знаний, относящихся к общим свойствам операций с натуральными числами. В это время уже стали известными способы суммирования простейших арифметических прогрессий. Были рассмотрены вопросы делимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции.
Наряду с геометрическим доказательством теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, то есть троек чисел, удовлетворяющих соотношению a^ 2+ b^ 2= c^ 2и имеющих вид: п, (n^ 2 - 1)/2, (n^ 2+ 1)/2, где п - нечетное. Было открыто много математических закономерностей теории музыки.
Едва ли не первой открытой иррациональностью явился 2^ 1/2. Можно предполагать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма последовательного вычитания, известного под именем алгоритма Евклида. Возможно, что некоторую побудительную роль сыграла задача математической теории музыки: деление октавы, приводящей к решению пропорции 1: п = п: 2.Не последнюю роль, по-видимому, играл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к проблемам теории чисел.
Вслед за иррациональностью 2^ 1/2были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит доказал иррациональность чисел вида [n(n+1)]^ 1/2. Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из чисел 3, 5, 6…, 17.
Появление иррациональностей означало для неокрепшей греческой математики одновременное появление серьезных трудностей как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Была фактически поставлена под удар вся теория метрической геометрии и теория подобия. Но коль скоро открытие иррациональности показало, что совокупность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, то представилось целесообразным это более общее исчисление строить в геометрической форме. Это исчисление было создано; в литературе оно получило название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись отрезки прямой: работой с ними были определены все операции исчисления. Сложение интерпретировалось приставлением отрезков, вычитание - отбрасыванием от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерного образа; произведением отрезков аи bсчитался прямоугольник со сторонами аи b. Произведение трех отрезков давало параллелепипед, а произведение большего числа сомножителей в геометрической алгебре не могло быть рассматриваемо. Деление оказывалось возможным лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной задачей приложения площадей. Метод приложения площадей был распространен и на случаи решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.
Однако довольно быстро выявилась ограниченность области применения методов геометрической алгебры. Средствами построения являлись только циркуль и линейка, и хотя можно представить себе операции с трехмерными образами, но даже такая простая, казалось бы, задача, как построение куба с объемом вдвое больше данного, не поддавалась решению с помощью циркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к уравнениям степени выше третьей, оказывались в геометрической алгебре просто невозможными.
Среди других задач, не имевших решения этими методами, наиболее известны проблемы трисекции угла и квадратуры круга.
История задачи об удвоении куба - пример того, как происходит обогащение математических методов. Из-за этой задачи конические сечениявошли в математику, став средством решения задач, не поддающихся циркулю и линейке. Впрочем, для решения задачи удвоения куба применялись и другие способы. Эратосфен, например, построил прибор ( мезолабий), удобный для приближенного удвоения куба. Однако ни один из методов не имел столь большого влияния на развитие античной математики, как конические сечения.
Позже, с развитием алгебры, постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения задачи высказал впервые в 1637 году Декарт. Но только еще через 200 лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В 1837 году Ванцель доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной древности была задача о трисекции угла, то есть о разделении произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению кубического уравнения. Поэтому для нас полностью понятно, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью только циркуля и линейки не могли быть успешными.
Трисекция угла имела столь же длинную историю, как и удвоение куба. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано только в IX–Х веках н. э.
Третьей из знаменитых задач древности является квадратура круга, задача об отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Эту задачу в византийской античности рассматривали в обоих аспектах: точном и приближенном. Последний подход привел к введению приближения площади круга вписанными или описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа «пи», но огромное количество попыток точно квадрировать круг к успеху привести не могли, вследствие трансцендентной природы задачи.
Решение проблемы растянулось на много веков. Только в конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр сумели доказать, что чисто «пи» не является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа, то есть тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 году Линдеманом.
Византийские математики эллинского периода, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли развитию математики большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод исчерпывания, являвшийся предшественником метода пределов. Были введены различные трансцендентные кривые. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями.
Появление иррациональностей обусловило необходимость создания общей теории отношений, способной дать определения и ввести операции, применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин. Первоначальной основой этой теории стал алгоритм попеременного вычитания, известный как алгоритм Евклида.
В случае, если члены отношения соизмеримы, то алгоритм обрывается. Несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом, сразу встретила серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести умножение отношений, надо было найти способ определения неполных частных непрерывной дроби - произведения через неполные частные непрерывных дробей - сомножителей. Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь элементарной формулы. Наконец, в то время не существовало еще общего понятия величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории отношений.
На этом примере видно, что математические теории прошлого имеют зачастую много общего с современными математическими теориями. Однако надо учиться выделять специфику их исторического развития, чтобы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с настоящим, или нигилистического отрыва настоящего от прошлого, того отрыва, который делает исследователя слепым перед контурами будущего.
Попытки систематизировать полученные при решении различных конкретных задач результаты предпринимались в византийской математики неоднократно. И успех, в отличие от других областей естествознания, был достигнут в математике потому, что она уже достаточно далеко ушла от реальности и научилась вычленять идеальные объекты и работать с ними. Что интересно, логика работала только в математике; когда хотели ее применить к обычной жизни, тут же сталкивались с различными противоречиями.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы математики, назывались «Началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, приписываются Гиппократу Хиосскому. Встречаются упоминания и о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения оказались забытыми и утерянными практически с тех пор, как появились «Начала» Евклида, которые получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая строгость которой оставалась непревзойденной в течение очень большого времени. Его «Начала» до сих пор лежат в основе всех систематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в очень большой степени опираются на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.
«Начала» состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги №№ 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близкие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других книгах (2–7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах «Начал» нет.
Определения - это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия путем их пояснения. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» и т. п. Эти предложения Евклида много раз подвергались критике с точки зрения их полноты и логической определенности, однако равноценной или более совершенной системы определений предложено не было.
Дело свелось к тому, что в наше время при аксиоматическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же касается определений Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это - не такой уж редкий, если не сказать наиболее часто встречающийся в истории способ введения математических определений.
В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась. То, что мы имеем ныне, если угодно, результат большого количеств проб и ошибок многих исследователей. Так что, как и многие книги того времени, Евклид - это не имя человека, а некое название труда.
«Начала» Евклида в течение многих веков служили классическим образцом математической строгости и последовательности. Однако были здесь и неблагоприятные для дальнейшего развития математики факторы. Изложение - чисто геометрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только циркулем и линейкой. В «Началах» нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых, отсутствуют вычислительные методы.
Тем временем, при построении математических теорий в Византии выделился специфический класс проблем, для решения которых оказалось необходимым исследовать предельные переходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Появилась математика атомистических философских воззрений. Согласно этим взглядам, все тела состоят из бесконечно малых атомов - первовеличин. Эти идеи стали источником представлений о бесконечно малыхи о применении их к определению геометрических величин.
Однако о математической стороне подобных высказываний и исследований почти ничего не известно. Гораздо больше известно о возражениях противников этих идей. Мы имеем в виду апорииЗенона, те логические парадоксы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц.
Среди апорий наиболее известны:
а) дихотомия, то есть невозможность осуществить движение, так как путь может быть делим до бесконечности (пополам, еще раз пополам и т. д.) и поэтому надо последовательно преодолевать бесконечное множество участков пути;
б) Ахиллес, который не может догнать черепаху, так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что находилась черепаха, тем самым исчерпывать бесконечную последовательность отрезков пути;
в) полет стрелы делается невозможным, если время считать суммой дискретных мгновений, а пространство - суммой дискретных точек.
Апории Зенона показывали, что, если искать точные доказательства и логически исчерпывающие решения задач, нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения. Для подобных целей необходимо разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с разновидностями суждений о бесконечно малых элементы предельного перехода.
Одним из самых ранних методов такого рода является метод исчерпывания. Изобретение его обычно приписывают Евдоксу, а примеры употребления находятся в двенадцатой книге «Начал» Евклида и в ряде сочинений Архимеда. Метод исчерпывания применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п.
Однако метод был еще весьма несовершенным; и он развивался только в связи с конкретными задачами. Он не приобрел вида абстрактного метода, имеющего развитую систему исходных понятий и единообразные алгоритмы. Единственность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот недостаток не был частным, случайным. Дело в том, что всякая попытка ввести доказательство раз и навсегда для определенного, достаточно широкого класса задач, неизбежно влекла за собой необходимость дать рациональное объяснение понятию бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величины и т. п. Трудностей, связанных с этим, математики того времени не могли преодолеть.
Тем не менее, метод исчерпывания лежал в основе многих конкретных достижений античных математиков, в первую очередь приписываемых Архимеду. До нас дошли десять сравнительно крупных и несколько мелких его сочинений математического характера, написанных преимущественно в виде писем. Основной их особенностью является применение строгих математических методов к разработке экспериментально-теоретического материала из области механики и физики. И вот, в соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязательным завершением последнего, в каждом отдельном случае, доказательством от противного.
Следующей разновидностью методов бесконечно малых является метод, который можно охарактеризованным как метод интегральных сумм. Наиболее яркие примеры применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах». Сущность этого метода в применении, например, к вычислению объемов тел вращения, состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел - меньше объема тела вращения. Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объемов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков. Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Может показаться, что методы интегральных сумм древних и определенного интегрирования имеет много общего. Это происходит оттого, что мы излагаем его современным языком. Но это не так.
Метод интегральных сумм древних опирается на интуитивное, строго не определенное понятие площади и не использует арифметико-алгебраического аппарата. В нем не введены и не определены необходимые общие понятия: предела, интеграла, бесконечной суммы, и не изучены условия применимости высказываемых теорем. Словом, метод применяется индивидуально для каждой конкретной задачи без выделения и оформления его общетеоретических основ.
Наряду с методом интегральных сумм в математике были разработаны и другие, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциальные методы. Примером может служить метод нахождения касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях».
Но широкое использование этот метод получил значительно позже, когда в XVI–XVII веках Паскаль, Барроу и Лейбниц создавали свое исчисление дифференциалов. Поэтому не исключено, что работы Архимеда имеют даже существенно более позднее происхождение, чем мы можем предположить. Ведь они послужили исходным пунктом многих исследований ученых-математиков XVI и XVII веков. Лейбниц, один из основателей математического анализа, по этому поводу писал: «Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков».
Вернемся к коническим сечениям. Интерес к ним возрастал по мере увеличения количества решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали предметом специального теоретического исследования; им был посвящен ряд сочинений. Однако, подобно тому, как это имело место и с «Началами» Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился труд александрийцы Аполлония «Конические сечения».