Выясним идею метода на примерах.
Пусть требуется помножить 10 000 на 100 000. Конечно, мы не станем выполнять этого действия по схеме умножения многозначных чисел. Мы просто сосчитаем число нулей в множимом (4) и множителе (5), сложим эти числа (4+5=9) и сразу напишем произведение 1 000 000 000 (9 нулей). Законность такого вычисления основана на том, что сомножители суть (целые) степени числа 10: множится 10^ nна 10^ m; при этом показатели степеней складываются. Точно так же сокращенно выполняется и деление степеней десяти, здесь деление заменяется вычитанием показателей. Но так можно делить и умножать лишь немногие числа. Например, в пределах первого миллиона можно брать (не считая 1) лишь 6 чисел: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Чисел, допускающих подобное умножение и деление, будет гораздо больше, если взять вместо основания 10 другое, более близкое к 1. Возьмем, например, основание 2 и составим таблицу его первых 12 степеней.
Показатели степеней мы будем теперь называть логарифмами, а степени - просто числами.
Чтобы перемножить какие-либо два числа, достаточно сложить два их логарифма. Например, чтобы найти произведение 32 и 64, сложим стоящие рядом с 32 и 64 числа 5 и 6; 5+6 ==11. У числа 11 находим результат: 2048. Чтобы разделить 4096 на 256, возьмем числа 12 и 8; вычитаем: 12–8 = 4. У числа 4 находим ответ: 16. Если ввести нулевую и отрицательную степени числа 2, то можно будет выполнять и деление меньших чисел на большие.
Хотя среди степеней числа 2 гораздо меньше пробелов, чем среди степеней числа 10, все же в таблице нет очень многих чисел. Поэтому практического значения и эта таблица не может иметь. Но если за основание взять число, гораздо более близкое к 1, чем число 2, то этот дефект будет устранен.
Примем, например, за основание число 1,00001. В пределах между 1 и 100 000 окажется свыше миллиона (1 151 292) его последовательных степеней. Если мы округлим значения этих степеней, сохранив лишь шесть значащих цифр, то среди миллиона округленных результатов окажутся все целые числа от 1 до 100 000. Правда, это будут лишь приближенные значения степеней. Но так как при умножении и делении пятизначных целых чисел нас будут интересовать только первые пять знаков результата, то составленные таблицы позволят перемножать, делить и т. д. пятизначные целые числа, а следовательно, и десятичные дроби, имеющие пять значащих цифр.
Именно так и были составлены первые таблицы логарифмов. Вычисление их потребовало многолетней неутомимой работы. Еще 400 лет назад этому нужно было посвятить всю жизнь. Но зато колоссально возросла производительность труда многих тысяч вычислителей, пользовавшихся раз навсегда составленными таблицами.
Швейцарец Бюрги (ок. 1590) составил первую таблицу логарифмов. Несколько позднее и независимо от него составил свои таблицы логарифмов шотландец Непер, который брал за основание число, очень близкое к единице. Но Бюрги опубликовал свою работу лишь в 1620 году, а таблицы Непера появились раньше, в 1614 году.
В настоящее время в таблицах логарифмов кладется в основание число 10, что дает ряд вычислительных преимуществ (так как наша нумерация - десятичная). При этом для получения целых чисел приходится брать дробныестепени числа 10.
Идея составления таблицы десятичных логарифмов принадлежит Неперу и его сотруднику англичанину Бриггу. Они совместно начали работу по пересчету прежних таблиц Непера на новое основание 10. После смерти Непера Бригг продолжил и закончил эту работу, и опубликовал ее полностью в 1624 году, поэтому десятичные логарифмы называются иначе бригговыми.
Таблицы Непера открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка.
Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (1642) и немец Вильгельм Лейбниц (1671). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в ХХ веке, когда появились компьютеры.
Историю цифровых устройств начать следует со счетов. Подобный инструмент был известен у всех народов. Древнегреческий абак (доска или «саламинская доска» по имени острова Саламин в Эгейском море) представлял собой посыпанную морским песком дощечку. На песке проводились бороздки, на которых камешками обозначались числа. Одна бороздка соответствовала единицам, другая - десяткам и т. д.
Если в какой-то бороздке при счете набиралось более 10 камешков, их снимали и добавляли один камешек в следующем разряде. Более поздней конструкцией была мраморная доска с выточенными желобками и мраморными шариками.
У китайцев в основе счета лежала не десятка, а пятерка, рамка китайских счетов суан-пан имеет более сложную форму. Она разделена на две части: в верхней части на каждом ряду располагаются по 5 косточек, в нижней части - по две. Таким образом, для того чтобы выставить на этих счетах число 6, ставили сначала косточку, соответствующую пятерке, и затем прибавляли одну в разряд единиц.
У японцев это же устройство для счета носило название серобян. Это - IX век н. э.
Леонардо да Винчи (1452–1519) создал эскиз 13-разрядного суммирующего устройства с десятизубными кольцами. По его чертежам в наши дни американская фирма по производству компьютеров в целях рекламы построила работоспособную машину.
Шотландский математик Джон Непер (1550–1617) изобрел таблицы логарифмов, что очень упростило деление и умножение, ибо для умножения двух чисел достаточно сложить их логарифмы. Тот же Непер предложил в 1617 году другой (не логарифмический) способ перемножения чисел. Инструмент, получивший название палочки (или костяшки) Неппера, состоял из разделенных на сегменты стерженьков, которые можно было располагать таким образом, что при сложении чисел в прилегающих друг к другу по горизонтали сегментах получался результат умножения этих чисел.
Вильгельм Шиккард, востоковед и математик, профессор Тюбинского университета, в письмах своему другу Иоганну Кеплеру описал устройство «часов для счета», счетной машины с устройством установки чисел и валиками с движком и окном для считывания результата. Шел 1623 год. Эта машина могла только складывать и вычитать (в некоторых источниках говорится, что могла еще умножать и делить). Это была первая механическая машина. В наше время по его описанию построена ее модель.
Французский математик Блэз Паскаль (1623–1662) сконструировал счетное устройство, чтобы облегчить труд своего отца - налогового инспектора. Это устройство позволяло суммировать десятичные числа. Внешне оно представляло собой ящик с многочисленными шестеренками. Основой суммирующей машины стал счетчик-регистратор, или счетная шестерня. Она имела десять выступов, на каждом из которых были нанесены цифры. Для передачи десятков на шестерне располагался один удлиненный зуб, зацеплявший и поворачивающий промежуточную шестерню, которая передавала вращение шестерне десятков. Дополнительная шестерня была необходима для того, чтобы обе счетные шестерни - единиц и десятков - вращались в одном направлении.
Счетная шестерня при помощи храпового механизма (передающего прямое движение и не передающего обратного) соединялись с рычагом. Отклонение рычага на тот или иной угол позволяло вводить в счетчик однозначные числа и суммировать их. В машине Паскаля храповой привод был присоединен ко всем счетным шестерням, что позволяло суммировать и многозначные числа.
Англичане Роберт Биссакар в 1654, а независимо от него в 1657 году С. Патридж разработали прямоугольную логарифмическую линейку, конструкция которой в основном сохранилась до наших дней.
Немецкий философ, математик, физик Готфрид Вильгейм Лейбниц (1646–1716) создал «ступенчатый вычислитель» - счетную машину, позволяющую складывать, вычитать, умножать, делить, извлекать квадратные корни. При этом использовалась двоичная система счисления. Это был более совершенный прибор, в котором использовалась движущаяся часть (прообраз каретки) и ручка, с помощью которой оператор вращал колесо. Изделие Лейбница постигла печальная судьба предшественников: если им кто-то и пользовался, то только домашние Лейбница и друзья его семьи, поскольку время массового спроса на подобные механизмы еще не пришло. Машина являлась прототипом арифмометра, который был востребован с 1820 года до 60-х годов ХХ века.
Успехи Кеплера в расчете пройденного планетой пути по известной скорости ее движения, о чем мы говорили в одной из предыдущих главок, стали первым шагом в новой науке - интегральном исчислении. Сам Кеплер воспринимал его просто: как способ вычисления площади фигуры, ограниченной плоской кривой, либо объема тела, ограниченного данной поверхностью. В 1615 году он опубликовал книгу со странным названием: «Новая стереометрия винных бочек, по преимуществу - австрийских». Это был первый сборник задач на вычисление интегралов; он содержал около ста разных примеров с подробными решениями.
Одна строчка в таблице интегралов от функций соответствует огромной таблице логарифмов чисел! Из этого видно, что для будущей математики исчисление функций гораздо важнее привычной арифметики и алгебры чисел. В новом мире функций, кроме арифметики и алгебры, действуют особые операции. Первые две из них - проведение касательной прямой к данной кривой и вычисление площади, которую ограничивает кривая - угадал еще Архимед. Теперь Кеплер разработал удобную технику решения второй задачи. Но исчислять кривые так же просто и непринужденно, как числа, Кеплер не умел. Революцию в этом ремесле произвел в 1637 году другой великий математик, француз Рене Декарт.
В отличие от Кеплера, Декарт не любил долгих расчетов. Он предпочитал наглядно-геометрические рассуждения и хотел работать этим методом с любыми сложными кривыми, а не только с прямыми и окружностями, как делал Евклид. Для этой работы полезно уметь складывать, вычитать и умножать кривые между собой так же, как мы это делаем с числами.
Пьер Ферма из Тулузы (1601–1665) по основной профессии был юристом, а математикой занимался на досуге, читая книги классиков или современников и размышляя о тех задачах, которые те не заметили или не сумели решить. Понятно, что при таком способе работы Ферма ни в одной области науки не был первым. В математический анализ он вошел вслед за Архимедом и Кеплером, в аналитическую геометрию - вслед за Декартом, в теорию вероятностей вслед за Паскалем, а в теорию чисел - вслед за Диофантом. Но в каждом случае Ферма добавлял в уже готовую или только рождающуюся науку столь важные открытия, что превзойти его результаты могли только гении, порою много десятилетий спустя.
Например, Ферма заинтересовался простой задачей: при каких условиях функция достигает минимума или максимума в данной точке? Оказалось, что необходимо простое условие: производная от функции в этой точке должна быть равна нулю. В наши дни этот факт известен каждому старшекласснику. Но Ферма, распространив свое открытие на функции, зависящие от многих переменных, пришел к замечательному физическому открытию: свет движется по траектории, на которой производная по времени равна нулю. Значит, время движения света вдоль этой траектории - минимальное!
Лишь сто лет спустя Пьер Мопертюи и Леонард Эйлер открыли аналог принципа Ферма в механике; это стало первым шагом к объединению механики с оптикой в рамках квантовой теории.
Теорию чисел Ферма строил почти в одиночестве; из всех его современников только англичанин Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел важное преимущество перед Валлисом и перед своим античным предшественником, Диофантом. Он хорошо знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами. Поэтому он легко доказал «малую теорему Ферма» и узнал, что существуют конечные поля вычетов - системы чисел, устроенные (в смысле арифметики) еще удобнее, чем множество целых чисел.
Развивая этот успех, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел, целыми решениями уравнения ( х^ n+ у^ n= z^ n). Существуют ли целые решения уравнений ( х^ n+ у^ n= z^ n) при n > 2? Диофант не нашел ни одного решения для n = 3. Ферма доказал, что таких решений не может быть. Оставалось обобщить метод Ферма для других простых показателей: 5, 7, 11… К сожалению, Ферма не стал проводить в этих случаях подробные расчеты, и поэтому не увидел удивительных алгебраических препятствий на своем пути. Например, при n = 5 необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце XVIII века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Далее, при n = 23 доказательство «большой теоремы Ферма» натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители. Эту новую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер в середине XIX века.
Не было тогда научных журналов для публикации новых открытий; все крупные ученые Европы узнавали о новых достижениях своих коллег из взаимной переписки. Они регулярно сообщали всем своим корреспондентам о том, какие факты открыли их далекие коллеги. Если новый факт привлекал чье-то внимание, то от автора требовали письменного доказательства. В противном случае сообщение повисало в воздухе.
Такой «любительский» стиль коллективной работы в науке был неизбежен и даже удобен, пока во всей Европе одновременно работали два-три десятка крупных ученых. Как только их стало больше - общую работу пришлось организовать с помощью научных учреждений.
ИСТОРИЯ ФИЗИКИ
Надо добавить еще: на тела основные природа
Все разлагает опять, и в ничто ничего не приводит.
Ибо, коль вещи во всех частях своих были бы смертны,
То и внезапно из глаз исчезали б они, погибая;
Не было б вовсе нужды и в какой-нибудь силе, могущей
Их по частям разорвать и все связи меж ними расторгнуть,
Но, так как все состоят из вечного семени вещи,
То до тех пор, пока им не встретится внешняя сила,
Или такая, что их изнутри чрез пустоты разрушит,
Гибели полной вещей никогда не допустит природа.
Светская наука Византии
Обычно начатки научных исследований появляются там, где сформировалось уже организованное жреческое сословие, имеющее достаточно времени и возможностей для занятий этим делом. Однако первые шаги часто оказываются и последними вследствие того, что добытые научные теории, слившись неразрывно с религиозными положениями, застывают вместе с ними, превратившись в безжизненные догмы.
Однако наряду со жреческим знанием начинает вырабатываться и знание светское, независимое от церкви. Недостаток ресурсов и необходимость управления огромной империей должны было сильно содействовать развитию византийского мореходства, а оно в свою очередь подтолкнуло торговлю и задало необычайно быстрый темп колонизации побережий Черного и Средиземного морей. Важнейшая роль в этом колонизационном процессе выпала на долю Милета: этому малоазиатскому городу выпала роль одного из главных посреднических центров.
Из-за определенной религиозной неустроенности ранней Византии здесь успело развиться разное знание; оно стало костенеть лишь по мере установления единой религиозной доктрины. Так же произошло и у арабов: все их успехи приходятся на период формирования мусульманства. То же самое можно наблюдать и в Западной Европе с тем лишь отличием, что после периода «закостенения» наступило «раскрепощение»: для купца и промышленника было важно получить нужный научный результат, а как он соотносится с догматами церкви - вопрос второй. Деньги оказались важнее Бога.
Первоначальным византийским торговцам в силу своей профессии приходилось много чего видеть и учитывать в своих путешествиях. Они наблюдали массу самых различных бытовых укладов, обычаев, верований и т. д., а это заставляло их освобождаться от многих традиционных представлений о мире. От разных народов они перенимали полезные для себя знания и аккумулировали их.
Это были совсем другие люди, нежели традиционные хранители знания - духовенство, которое обычно его монополизировали. Купцы, конечно, тоже далеко не всем ими узнанным делились с окружающими, но все же их знание было доступнее для многих.
Из систематизации разнообразных, полученных со всех концов земли сведений и родилась византийская наука и научное мировоззрение. Родиной новых идей была как раз Малая Азия (главным образом Милет), где торговля пустила наиболее крепкие и разветвленные корни. Лишь позже приоритет перешел к александрийцам.
Главные же противники рационального научного миропонимания, сторонники мистицизма и теософских спекуляций группировались на территориях, где хозяйственную основу составляло земледелие. Эти учения представляли собой своеобразную переработку старых религиозных верований, слегка приведенных в соответствие с изменившимися общественными условиями. Туманная теософская мистика была полной противоположностью логической прозрачности и рациональной ясности теорий, созданных в торговых городах.
Древняя физика является почти исключительно физикой византийцев. Появление физики - это преодоление религиозно-мистических воззрений и приход к мысли о естественной закономерности явлений. Но при обсуждении заслуг византийцев в области физики не следует забывать, что мы имеем здесь дело с началом науки, иначе наше суждение будет ошибочным. Между их физикой и нашей - целая пропасть, не столько по материалу, сколько по способу его обработки. И все же замечательно, что уже в эллинский период мы находим все специальные отделы физики разработанными до известной степени или, по крайней мере, намеченными.
На первом месте стояли рассуждения об общих свойствах материи. Затем, механика и оптика. Далее, акустика и учение о теплоте. Относительно магнетизма и электричества им известен был, по крайней мере, факт притяжения магнитной руды и натертого янтаря.
Только метод исследования у них совсем не тот, который мы ныне называем физическим в собственном смысле слова.
Освоение больших пространств, вид звездного неба, смена времен года и атмосферные явления, вся совокупность загадочной жизни органической природы стимулировали ранних византийцев искать объяснения для всех явлений природы и пытаться открыть между ними закономерную связь.
К своей цели они стремились двояким путем. Либо старались дать общие законы, из которых с логической последовательностью может быть выведена естественная закономерность явлений, - это метод натурфилософии, сохранившийся вплоть до XVI века и получившее название аристотелевскойфизики. Либо пытались уяснить свойства сложных явлений при помощи математической дедукции, приняв за исходную точку простые и не требующие доказательств положения, - таков метод математической физики, главным представителем которого принято считать Архимеда.
В основе теоретических построений лежали различные наблюдения. Но если для астрономии этого было вполне достаточно, то для правильного понимания физических закономерностей нужно было развивать экспериментальные методы. Изучая физические явления, эллины никогда не думали о надежном способе их воспроизведения, не давали себе труда проверить свои выводы новыми наблюдениями и не пробовали расчленять сложные явления посредством опытов с целью найти основание для своих объяснений. Короче говоря, опытное исследование - вот что отделяет физику Нового времени, возникшую в XVII веке, от ее предшественницы.
Итак, первыми физиками были византийские натурфилософы, которые пытались разрешить старую проблему о происхождении мира и о совершающихся в нем изменениях не за счет привлечения сверхъестественных сил, а пользуясь рациональными объяснениями. Это был правильный путь. Но попытка доискаться начала всех вещей, и тем самым получить ответы на все вопросы, была ошибочной, хотя и очень привлекательной. Невзирая на многочисленные неудачи, даже и в наши дни еще есть желающие получить все ответы, найдя первоэлементы и первоосновы, и построив все остальное с помощью логических построений. Для науки эта заманчивая цель принесла с одной стороны пользу, возбуждая живой интерес к природе, но с другой стороны и вред.
Византийцы времен эллинов выдвинули столько различных гипотез, что почти исчерпали все мыслимые теории для объяснения Вселенной, так что наши современные гипотезы можно признать лишь продолжением (или повторением) их трудов.
Сегодня многие историки науки, как плохой ученик, зная ответ, пытаются подогнать под него ход решения, тщатся реконструировать путь науки как борьбы «правильного» научного направления с различными «ошибочными». А ведь это просто глупость. В те времена все идеи были одинаково умозрительными, и преимущество определялось авторитетностью того, кто ее высказывал или авторитетностью ссылок, которыми обосновывал свои взгляды высказывающий. Отсюда и такое огромное количество трудов Аристотеля, Архимеда, Платона и прочих: многие приписывали им свои собственные мысли, а потом их комментировали, да так и остались в истории науки под видом «комментаторов» какого-либо «классика».
Наука всегда аристократична. Древность не имела понятия о популярной физике. Для массы людей Земля, вопреки Пифагору, всегда оставалась неподвижным плоским диском; Аристарх не раскрывал хрустального небосвода для охлоса, и старые божества природы не были низвергнуты со своих алтарей физическими силами. Там, где народ приходит в соприкосновение с умственным величием, он видит одно чудесное, а суеверное предание превращает в его глазах физика в колдуна, философа - в прорицателя.
Массы ищут в науке чудес или развлечения. Хитрые и бессовестные люди умеют обращать такие ожидания в свою пользу и увлекают толпу тем легче, чем менее ей известен истинный облик науки. Так мало-помалу из слабых начатков наук развились и астрология, и астрономия; и химия, и алхимия. Даже магия превратилась в систематическую «науку»!.. Мнимые науки достигли, правда, полного своего расцвета только в Средние века.
Идеал физики заключается в сочетании опытного исследования, математики и стиля мышления. Взаимодействием этих трех факторов и обусловливаются ее успехи в последних столетиях. Там, где тот или другой метод преобладает над остальными, в развитии всегда рано или поздно замечается застой. Но когда эти три фактора соединяются в должном соотношении в одном человеке, появляется гений, начинающий новую эпоху в истории науки.
Как правило, историю науки начинают с Фалеса Милетского, - потому что в традиционной датировке раньше него нет имени ни одного ученого. Однако до нас не дошло сочинений ни Фалеса, ни его учеников, а все сведения о нем почерпнуты из позднейших источников. Согласно Аристотелю (чьих трудов в подлиннике тоже нет), Фалес знал о способности магнитов притягивать железо. Другие утверждают даже, что ему было известно притяжение янтаря при трении. Этим, собственно, и ограничиваются наши сведения о физических познаниях Фалеса.
Преемником Фалеса считается Анаксимен Милетский. Ему приписывается выделение (в уме своем) единого первоначального вещества, которое превращается во все другие вещества и из которого все развивается. Эта идея тем интереснее, что в скором времени возникло противоположное учение Пифагора Самосского. Считается, что его философская школа представляла собою тайный союз. Все наши сведения о нем заимствованы из позднейших источников, ненадежны, смутны и содержат много сказочных примесей.
Судя по тому, что дошло до нас, учение пифагорейцев трактовало не столько первоначальное вещество, сколько распределение вещей в природе, их число и меру. Аристотель, который всегда приводил мнения предшественников, говорит, что пифагорейцы искали и думали найти аналогию всего существующего и происходящего скорее в числах, чем в огне, земле или воде; они пришли к заключению, что элементы чисел тождественны с началами вещей. Эта основная мысль заставляла их искать всюду числовые законы и распределять все согласно последним, но в то же время она побуждала их приписывать известные свойства (совершенство, несовершенство, бесконечность и конечность) самим числам.
Так пришли они к тому мистическому числовому учению, которое впоследствии в соединении с астрологией продержалось до позднего Средневековья, да и сегодня достаточно модно. Пифагорейцы имеют перед физикой меньше заслуг, чем этого можно было ожидать, судя по их математической направленности.
Только один физический закон неоспоримо принадлежит школе Пифагора, хотя и здесь способ открытия его искажен баснями. Проходя мимо кузницы, где несколько рабочих ковали железо, Пифагор подметил, что молоты издают гармонические тоны, именно: октаву, квинту и кварту. Войдя в кузницу, он убедился, что различие тонов зависит от различного веса молотков, именно, что самый легкий имел