БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ГЕ)

  В самой математике положение и роль Г. определяются прежде всего тем, что через неё в математику вводилась непрерывность. Математика как наука о формах действительности сталкивается прежде всего с двумя общими формами: дискретностью и непрерывностью. Счёт отдельных (дискретных) предметов даёт арифметику, пространств. непрерывность изучает Г. Одним из основных противоречий, движущих развитие математики, является столкновение дискретного и непрерывного. Уже деление непрерывных величин на части и измерение представляют сопоставление дискретного и непрерывного: например, масштаб откладывается вдоль измеряемого отрезка отдельными шагами. Противоречие выявилось с. особой ясностью, когда в Древней Греции (вероятно, в 5 в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась никаким числом, т.к. понятия иррационального числа не существовало. Потребовалось обобщение понятия числа - создание понятия иррационального числа (что было сделано лишь много позже в Индии). Общая же теория иррациональных чисел была создана лишь в 70-х гг. 19 в. Прямая (а вместе с нею и всякая фигура) стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является господствующей. Однако затруднения теории множеств показали её ограниченность. Противоречие дискретного и непрерывного не может быть полностью снято.

  Общая роль Г. в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов. Так, Г. характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих проблем др. областей математики. В свою очередь, Г. широко использует их методы. Т. о., одна и та же математическая проблема может сплошь и рядом трактоваться либо аналитически, либо геометрически, или в соединении обоих методов.

  В известном смысле, почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и Г., а в смысле метода - из сочетания выкладок и геометрических представлений. Это видно уже в понятии совокупности всех вещественных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметические свойства чисел с непрерывностью. Вот некоторые основные моменты влияния Г. в математике.

  1) В возникновении и развитии анализа Г. наряду с механикой имела решающее значение. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учёными, причём площадь и объём как величины считались определёнными; никакое аналитическое определение интеграла не давалось до 1-й половины 19 в. Проведение касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п. Первый курс анализа, написанный в 1696 Г. Лопиталем , назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах Г., и её понятия играют в нём важную роль.

  2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18-19 вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём построения «комплексной плоскости». В теории функций комплексного переменного геометрическими методам отводится существенная роль. Само понятие аналитической функции w = f( z) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z(или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой Г. находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

  3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0,1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причём отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций - как расстояние, и т.п.). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся во многих случаях очень плодотворным. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных идей современной математики, проникшей почти во все её разделы.

  4) Г. оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. В свою очередь нужно отметить также графические методы расчётов (см. Номография ) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.

  5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики Г. играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

  В целом взаимопроникновение Г. и др. областей математики столь тесно, что часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти или вовсе не связанными с Г. остаются лишь такие разделы, как абстрактная алгебра, математическая логика и некоторые др.

  Лит.: Основные классические работы.Евклид, Начала, пер. с греч., кн. 1-15, М. - Л.,1948-50; Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М. - Л., 1938; Монж Г., Приложения анализа к геометрии, пер. с франц., М. - Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - Р., 1822; Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1-3, М. - Л., 1946-51; Больаи Я., Appendix. Приложение,..., пер. с латин., М. - Л., 1950; Риман Б., О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»), там же; Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств, пер. с франц., в кн.: VIII-й Международный конкурс на соискание премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937 год), Казань, 1940; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. - Л., 1948.

  История.Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Cantor М., Vorlesungen ьber die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

  Курсы.а) Основания геометрии.Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М. - Л., 1949; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968.

  б) Элементарная геометрия.Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1938; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969.

  в) Аналитическая геометрия.Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968.

  г) Дифференциальная геометрия.Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М. - Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М. - Л., 1947-48; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, М., 1969.

  д) Начертательная и проективная геометрия.Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М. - Л., 1953; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  е) Риманова геометрия и её обобщения.Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М. - Л., 1964; Норден А. П., Пространства аффинной связности, М. - Л., 1950; Картан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М. - Л., 1936; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948.

  Некоторые монографии по геометрии. Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. - Л., 1950; его же, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. - Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; его же, Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964; Картан Э., Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства, пер. с франц., М. - Л., 1936; Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М. - Л., 1948; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. - Л., 1937; его же, Теория конгруенций, М. - Л., 1950; Схоутен И. А., Стройк Д. Дж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1-2, М. - Л., 1939-48; Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965.

  А. Д. Александров.

Геометрия резца

Геоме'трия резца', форма и углы заточки режущей части резца. Г. р. влияет на характер процесса резания материалов, на его производительность и экономичность, качество обработанной детали, стойкость (время работы до нормального затупления) резца и т.п. Все определения по Г. р., приводимые ниже, справедливы для др. режущих инструментов (свёрл, протяжек, фрез). Режущую часть составляют рабочие поверхности ( рис. 1 ): передняя, по которой сходит образующаяся в процессе резания стружка, задняя главная и задняя вспомогательная, обращенные к обрабатываемой поверхности заготовки. Рабочие поверхности при пересечении образуют режущие кромки.

  Главная режущая кромка, выполняющая основную работу при резании, образуется в результате пересечения передней и главной задней поверхности; вспомогательная режущая кромка - при пересечении передней и вспомогательной задней поверхности. Место сопряжения главной и вспомогательной режущих кромок называется вершиной резца. Вершина резца - наиболее ослабленная его часть, определяющая прочность режущей части кромки резца в целом; поэтому для повышения прочности вершина резца делается либо закруглённой (с радиусом 0,5-2 мм), либо в виде прямолинейной переходной режущей кромки (длиной 0,5-3 мм).

 Элементы режущей части резца подразделяют на статические, определяющие углы заточки инструмента, и кинематические, зависящие от характера процесса резания и от установки резца. Углы заточки определяют форму режущей части при проектировании, изготовлении и контроле резца. Режущая часть резца имеет форму клина, заточенного под определёнными углами. Для определения углов установлены следующие координатные плоскости: плоскость резания и основная плоскость. Плоскость резания - это плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через главную режущую кромку. Основная плоскость - плоскость, параллельная продольной (параллельной оси заготовки) и поперечной (перпендикулярной оси заготовки) подачам резца. Эти координатные плоскости взаимно перпендикулярны. Главные углы резца определяются в главной секущей плоскости, перпендикулярной проекции главной режущей кромки на основную плоскость ( рис. 2 ). Главный задний угол a- угол между главной задней поверхностью резца и плоскостью резания. При выборе заднего угла, во избежание трения задней поверхности резца об обрабатываемую поверхность и поверхность резания, учитывают величину подачи: чем она больше, тем больше задний угол. Угол заострения b- угол между передней и главной задней поверхностями резца. Главный передний угол g -угол между передней поверхностью резца и плоскостью, перпендикулярной плоскости резания. Выбор переднего угла зависит прежде всего от физико-механических свойств обрабатываемого материала. Чем больше передний угол, тем легче процесс образования стружки, тем меньше усилие резания и затрачиваемая мощность. Чем выше твёрдость обрабатываемого материала, тем меньшие значения передних углов резца принимают для его обработки. Угол резания d- угол между передней поверхностью резца и плоскостью резания. Главный угол в плане j- угол между направлением подачи и проекцией главной режущей кромки на основную плоскость; вспомогательный угол в плане j ₁-угол между направлением подачи и проекцией вспомогательной режущей кромки на основную плоскость. Углы j и j ₁определяют, с одной стороны, условия работы режущей кромки, а с другой - распределение нагрузки от силы резания. Чем меньше угол в плане, тем (при неизменной глубине резания и подаче) меньше тепловая и силовая нагрузки на единицу длины главной режущей кромки, а следовательно, лучше условия работы. Уменьшение угла в плане ниже оптимального значения может привести к чрезмерной деформации обрабатываемой заготовки, к снижению точности обработки и вибрациям. Угол при вершине в плане e- угол между проекциями режущих кромок на основную плоскость: e= 180°- ( j +j ₁). Угол в плане переходной (прямолинейной) режущей кромки j ₀ - угол между направлением подачи и проекцией переходной режущей кромки на основную плоскость: обычно j ₀= j /2. Угол наклона главной режущей кромки l- угол, заключённый между режущей кромкой и линией, проведённой через вершину резца параллельно основной плоскости; угол lположительный, когда вершина резца - наинизшая точка режущей кромки; отрицательный, когда вершина резца - наивысшая точка, и равен нулю, если главная режущая кромка параллельна основной плоскости. Угол lоказывает влияние на направление схода стружки.

Лит. см. при ст. Обработка металлов резанием .

  В. В. Данилевский.

Рис. 2. Углы резания.

Рис. 1. Схема процесса резания (а) и основные элементы резца (б).

Геомеханика

Геомеха'ника(от гео... и механика ), наука о механических состояниях земной коры и процессах, развивающихся в ней вследствие различных естественных физических воздействий. Главные из них: термические (остывание, нагревание) и механические (притяжение масс Земли и др. небесных тел; центробежные силы, обусловленные вращением Земли).

  Цель Г. - объяснение происшедших и предсказание развития предстоящих процессов изменения напряженно-деформационного состояния разных участков земной коры: её твёрдой, жидкой и газообразной фаз. Основная задача Г. - установление объективных закономерностей формирования механических свойств горных пород и протекания процессов перераспределения напряжений, деформирования, перемещения, разрушения и упрочнения участков земной коры. Г. зародилась как раздел геофизики на рубеже 19 и 20 вв. на стыке геологии и механики и особенно тесно связана с инженерной геологией, механикой сплошной среды, гидро- и газомеханикой, термодинамикой. Методы этих наук широко используются в геомеханических исследованиях.

  Лит.:Тер-Степанян Г. И., Ближайшие задачи геомеханики, «Проблемы геомеханики», Ер., 1967, № 1; Wцhlbier H., Bodenmechanik und Bergbau, «Bergbau-Wissenschaften», 1965, Bd 12, № 15-16.

  Г. А. Крупенников.

Геоморфологические карты

Геоморфологи'ческие ка'рты, карты, характеризующие рельеф земной поверхности по физиономическим признакам (морфографии и морфометрии), по происхождению и возрасту. При отображении происхождения рельефа отмечают его обусловленность различными эндогенными и экзогенными факторами. Различают общие Г. к. широкого (комплексного) содержания и частные, составляемые по отдельным (частным) признакам рельефа (морфометрическим, структурно-геоморфологическим и др.). Общие Г. к., отвечающие запросам наиболее широкого круга потребителей, планомерно создаются на всю территорию СССР в процессе комплексной геологической съёмки. Кроме того, различают специальные Г. к., предназначенные для решения специальных научных или народнохозяйственных задач (например, при поисках месторождений определённых видов полезных ископаемых, при дорожном или гидротехническом строительстве и пр.). Для характеристики рельефа дна океанов и морей составляют Г. к. подводного рельефа, которые также делятся на общие, частные и специальные. Эти карты в связи со слабой изученностью подводного рельефа и формирующих его процессов обычно имеют мелкий масштаб и меньшую детальность. Морфология, динамика и происхождение рельефа береговой зоны находят отображение на Г. к. берегов. Для оформления Г. к. используют систему накладываемых друг на друга обозначений в виде цветного фона, штриховки, значков, изолиний, индексов.

  По степени обобщения и способу отображения геоморфологических показателей различают Г. к. синтетические и аналитические. На синтетических картах выделяют естественные морфологические комплексы, или морфогенетические типы рельефа, изображаемые цветным фоном и характеризуемые по синтетическим геоморфологическим показателям. На аналитических картах выделяют элементы рельефа или элементарные поверхности, однородные по своему происхождению и возрасту. На этих картах морфографические и морфометрические особенности рельефа отображают изогипсами, внемасштабными и линейными знаками, высотными отметками, генезис - цветным фоном, возраст - интенсивностью цветного фона. Каждая генетическая категория элементов рельефа изображается своим особым цветом. Цветными внемасштабными и линейными знаками, штриховкой разного рисунка изображают элементы и формы рельефа, не выражающиеся в масштабе карты, а также элементы и формы рельефа структурно-денудационного и тектонического происхождения. В качестве иллюстрации прилагается карта аналитического типа; главные морфографические и морфометрические признаки рельефа включены в легенду карты. На основе Г. к. составляют карты геоморфологического районирования с последовательным делением территории на геоморфологические страны, провинции, области и районы. Примеры обзорных Г. к.: «Геоморфологическая карта СССР. Масштаб 1:4000000 (1960); Геоморфологическая карта СССР. Масштаб 1:5000000 (1961); Геоморфологическая карта Европейской части СССР и Кавказа. Масштаб 1:2500000 (1970). (см. образец карты ).

  Лит.:Спиридонов А. И., Геоморфологическое картографирование, М., 1952; его же, Основы общей методики полевых геоморфологических исследований и геоморфологического картографирования, М., 1970; Методическое руководство по геоморфологическому картированию и производству геоморфологической съемки в масштабе 1:50000 и 1:25000 (с легендой), М., 1962; Геоморфологическое картирование. Сб. ст., М., 1963; Ермолов В. В., Генетически однородные поверхности в геоморфологическом картировании, Новосиб., 1964; Методика геоморфологического картирования. Сб. ст., М., 1965; Борисович Д. В., Универсальная морфохроногенетическая легенда для геоморфологических карт крупного, среднего и мелкого масштаба и принципы генерализации при переходе к картам более мелкого масштаба, в кн.: Географический сборник, сб. 3, М., 1969; Problems of geomorphological mapping, Warsz., 1963 (Institute of geography of the Polish Academy of sciences. Geographical studies, № 46); The unified key to the detailed geomorphological map of the World 1:25000 - 1:50000, t. 2 - Folia geographica, series geographica physica, Krakow, 1968.

  А. И. Спиридонов.

Геоморфологические уровни

Геоморфологи'ческие у'ровни, понятие, введённое советским геоморфологом К. К. Марковым (1948) для познания взаимодействия экзогенных и эндогенных процессов. Если бы земная кора была неподвижной, под влиянием экзогенных процессов возникла бы система концентрически расположенных сферических поверхностей (уровней), каждая из которых соответствовала бы тому или иному ведущему экзогенному процессу. Таковыми были бы уровни: абразионно-аккумулятивный, эрозионного пенеплена , снеговой границы, вершинной поверхности гор и др. Эти уровни, называемые геоморфологическими, деформируются в процессе их формирования движениями земной коры, протекающими с разной интенсивностью непрерывно и повсюду. Анализ происхождения, возраста и последующих деформаций Г. у. служит одним из основных методов геоморфологии и неотектоники.

  Лит.:Марков К. К., Основные проблемы геоморфологии, М., 1948.

Геоморфологический цикл

Геоморфологи'ческий цикл, этап развития рельефа, включающий эпоху дифференциации (расчленения) и эпоху выравнивания рельефа. Свидетельствами Г. ц. служат «лестницы» древних полигенетических поверхностей выравнивания, денудационных поверхностей, речных и морских террас. Причинами циклического развития являются: движения земной коры (чередование эпох поднятия и опускания, эпох тектонической активизации и стабилизации), изменения климата (смена ледниковых и межледниковых эпох) и др. Сопоставление Г. ц. позволяет выявить направленность развития рельефа. Выделяются Г. ц. разного порядка (по продолжительности, по территориальному охвату, амплитудам расчленения поверхности и т.д.).

Геоморфология

Геоморфоло'гия(от гео… , греч. morphй - форма и … логия ), наука о рельефе земной поверхности.

  Предмет и метод геоморфологии. Г. изучает рельеф суши, дна океанов и морей со стороны его внешнего (физиономического) облика, происхождения, возраста, истории развития, современной динамики, закономерностей группировки и распространения составляющих его форм. Рельеф, наблюдаемый в современную геологическую эпоху, изучается Г. как результат всего предшествующего развития земной поверхности.

  Земная поверхность представляет собой границу раздела между земной корой , с одной стороны, и гидро- и атмосферой, с другой. На земную поверхность одновременно воздействуют внутренние и внешние. агенты, обусловливающие эндогенные и экзогенные рельефообразующие процессы. К эндогенным процессам, вызываемым внутренними силами Земли, относятся тектонические движения, магматизм; к экзогенным процессам, питаемым лучистой энергией Солнца,- выветривание, работа поверхностных вод и ледников, ветра, деятельность животных и растительных организмов и др. Под непосредственным воздействием силы тяжести на поверхности Земли совершаются гравитационные процессы, имеющие также рельефообразующее значение. На рельеф Земли в целом большое воздействие оказывают силы взаимного тяготения системы Земля - Солнце - Луна, вызывающие приливы в морях и океанах и в твёрдом теле Земли, изменения угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Важным фактором изменения рельефа Земли является и деятельность человеческого общества. В разных местах и в разное время структура внутренних и внешних сил, их интенсивность и направленность изменяются в широких пределах, обусловливая на каждом данном участке и в каждый данный момент общее (восходящее или нисходящее) развитие рельефа и специфические особенности его формирования.

  Один из основных принципов Г. заключается в том, что рельеф изучается как один из географических компонентов в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности с другими компонентами и с географической обстановкой в целом. Рельеф не только испытывает воздействие со стороны других факторов, но и сам воздействует на них, а через них и на самого себя.

  Сложными взаимоотношениями между литосферой, атмосферой, гидросферой и биосферой определяется положение Г. в системе наук о Земле. Данные и методы геологии используются для выяснения зависимости рельефа от геологического строения и развития исследуемого участка земной коры; данные физической географии, климатологии, гидрологии, океанологии, почвоведения, геоботаники - для выяснения зависимости рельефа от физико-географических условий в целом и от отдельных природных компонентов; геофизики - для изучения физической сущности процессов развития рельефа и его взаимодействия с твёрдой, жидкой и газообразной оболочками Земли.

  В Г. выделяется ряд отраслей: общая Г., рассматривающая наиболее широкие вопросы формирования рельефа с освещением всего комплекса геоморфологических показателей в синтетическом плане; частная Г., изучающая рельеф по одному или нескольким частным геоморфологическим показателям; региональная Г., занимающаяся изучением конкретного рельефа отдельных участков земной поверхности - материков, океанов, морей, стран и т.п. Наиболее крупные черты рельефа Земли в региональном плане служат объектом изучения планетарной Г. Особая отрасль Г. - палеогеоморфология - рассматривает рельеф прошлых геологических эпох (нередко погребённый) с выяснением истории формирования земной поверхности на протяжении длительного геологического времени. Теоретические основы применения результатов геоморфология, исследований для решения народно-хозяйственных задач разрабатываются прикладной Г.