Теория С. п. г. позволяет с единой точки зрения трактовать выдвигаемые практикой различные задачи математической статистики (оценка различия между средними значениями, проверка гипотезы постоянства дисперсии, проверка гипотезы независимости, проверка гипотез о распределениях и т.п. Идеи , примененные к С. п. г., указывают на возможность связать решение о принятии или отклонении гипотезы с результатами последовательно проводимых наблюдений (в этом случае число наблюдений, на основе которых по определённому правилу принимается решение, не фиксируется заранее, а определяется в ходе эксперимента) (см. также ).
Лит.:Kpamep Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., М., 1964.
Л. В. Прохоров.
Статистическая радиофизика
Статисти'ческая радиофи'зика,раздел радиофизики, посвященный изучению флуктуационных явлений при генерации, излучении, распространении и приёме радиоволн. В более широком смысле С. р. охватывает исследования статистических закономерностей в колебательных и волновых процессах ( , проблемы взаимодействия сигналов и шумов в нелинейных системах и т.п.). Практическое значение С. р. связано с тем, что в системах , , и др. флуктуации играют важную и во многих случаях определяющую роль на основных этапах передачи информации.
Электрические флуктуации, обусловленные фундаментальными физическими процессами в веществе, являются причиной возникновения флуктуационных напряжений и токов в радиоприёмных устройствах (см. ). Флуктуационные токи и напряжения, неизбежные в реальных генераторах колебаний, определяют предельно достижимые монохроматичность и стабильность частоты генератора радиопередающих устройств. Флуктуационные явления при в атмосфере связаны с тем, что показатель преломления тропосферы и ионосферы испытывает нерегулярные изменения, носящие флуктуационный характер. Идеи и методы С. р. проникают в оптику.
Лит.:Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику, М., 1966; Вандер-Зил А., Флуктуации в радиотехнике и физике, пер. с англ., М., 1958: Малахов А. Н., Флуктуации в автоколебательных системах, М., IJ68; Татарский В. И., Распространение волн в турбулентной атмосфере, М., 1967.
С. Л. Ахманов.
Статистическая сумма
Статисти'ческая су'мма,величина, обратная нормирующему множителю канонического в квантовой . В классической статистической физике такая величина называется статистическим интегралом. С. с. (статистический интеграл) позволяет вычислить все .
Статистическая термодинамика
Статисти'ческая термодина'микаравновесная, раздел , дающий статистическое обоснование законов основе статистической механики Дж. У. и посвященный вычислениям термодинамических характеристик системы ( , ) на основе законов взаимодействия составляющих систему частиц. Неравновесная С. т. даёт статистическое обоснование (уравнений переноса энергии, импульса, массы) и позволяет получить выражения для входящих в уравнения коэффициентов (кинетических коэффициентов, или коэффициентов переноса) на основе законов взаимодействия и движения частиц системы.
Статистическая физика
Статисти'ческая фи'зика,раздел физики, задача которого - выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.
Изучением макроскопических тел занимаются и др. разделы физики - , механика сплошных сред, электродинамика сплошных сред. Однако при решении конкретных задач методами этих дисциплин в соответствующие уравнения всегда входят неизвестные параметры или функции, характеризующие данное тело. Так, для решения задач гидродинамики необходимо знать уравнение состояния жидкости или газа, т. е. зависимость плотности от температуры и давления, теплоёмкость жидкости, её коэффициент вязкости и т.п. Все эти зависимости и параметры можно, разумеется, определять экспериментально, поэтому методы, о которых идёт речь, называются феноменологическими. Статистическая же физика позволяет, по крайней мере в принципе, а во многих случаях и фактически, вычислить все эти величины, если известны силы взаимодействия между молекулами. Т. о., С. ф. использует сведения о «микроскопическом» строении тел - о том, из каких частиц они состоят, как эти частицы взаимодействуют, поэтому её называют микроскопической теорией.
Если в какой-то момент времени заданы координаты и скорости всех частиц тела и известен закон их взаимодействия, то, решая уравнения механики, можно было бы найти эти координаты и скорости в любой последующий момент времени и тем самым полностью определить состояние исследуемого тела. (Для простоты изложение ведётся на языке классической механики. Но и в ситуация та же: зная начальную системы и закон взаимодействия частиц, можно, решая , найти волновую функцию, определяющую состояние системы во все будущие моменты времени.) Фактически, однако, такой путь построения микроскопической теории невозможен, т.к. число частиц в макроскопических телах очень велико. Например, в 1 см 3газа при температуре 0 °С и давлении в 1 атмсодержится примерно 2,7Ч10 19молекул. Невозможно решить такое число уравнений, а начальные координаты и скорости всех молекул всё равно неизвестны.
Однако именно большое число частиц в макроскопических телах приводит к появлению новых - статистических - закономерностей в поведении таких тел. Это поведение в широких пределах не зависит от конкретных начальных условий - от точных значений начальных координат и скоростей частиц. Важнейшее проявление этой независимости - известный из опыта факт, что система, предоставленная самой себе, т. е. изолированная от внешних воздействий, с течением времени приходит в некоторое равновесное состояние (термодинамическое, или статистическое, равновесие), свойства которого определяются только такими общими характеристиками начального состояния, как число частиц, их суммарная энергия и т.п. (см. ). В дальнейшем речь будет идти главным образом о С. ф. равновесных состояний.
Прежде чем сформулировать теорию, описывающую статистические закономерности, следует разумно ограничить сами требования к теории. Именно, задачей теории должно являться вычисление не точных значений различных физических величин для макроскопических тел, а средних значений этих величин по времени. Рассмотрим, например, молекулы, находящиеся в некотором выделенном в газе достаточно большом - макроскопическом - объёме. Число таких молекул с течением времени будет меняться из-за их движения, и его можно было бы найти точно, если были бы известны все координаты молекул во все моменты времени. В этом, однако, нет необходимости. Изменение числа молекул в объёме будет носить характер беспорядочных колебаний - флуктуаций - относительно некоторого среднего значения. При большом числе частиц в объёме эти колебания будут малы по сравнению со средним числом частиц, так что для характеристики макроскопического состояния достаточно знать именно это среднее значение.
Для уяснения характера статистических закономерностей рассмотрим ещё один простой пример. Пусть в некоторый сосуд помещено большое число зёрен двух сортов, каждого сорта поровну, и содержимое сосуда тщательно перемешано. Тогда на основании повседневного опыта можно быть уверенным, что во взятой из сосуда пробе, содержащей всё ещё большое число зёрен, будет обнаружено примерно равное число зёрен каждого сорта независимо от того, в каком порядке засыпались зёрна в сосуд. На этом примере хорошо видны два важных обстоятельства, обеспечивающих применимость статистической теории. Во первых, необходимость большого числа зёрен как во всей «системе» - сосуде с зерном, так и в выбранной для опыта «подсистеме» - пробе. (Если проба состоит всего из двух зёрен, то нередко оба будут одного сорта.) Во-вторых, ясно, что существенную роль играет сложность движения зёрен при перемешивании, обеспечивающая их равномерное распределение в объёме сосуда.
Функция распределения.Рассмотрим систему, состоящую из Nчастиц, для простоты считая, что частицы не имеют внутренних степеней свободы. Такая система описывается заданием 6Nпеременных - 3Nкоординат q iи 3Nимпульсов p i, частиц [совокупность этих переменных сокращённо будет обозначаться ( р, q)]. Вычислим среднее значение по интервалу временит некоторой величины F( р, q), являющейся функцией этих координат и импульсов. Для этого разобьем интервал (0, t) на sравных малых отрезков D t a( а= 1,2,....... s). Тогда по определению
,
или (1)
,
где q aи p a- значения координат и импульсов в моменты времени t a. В пределе s® Ґ сумма переходит в интеграл:
(1a)
Понятие функции распределения естественным образом, возникает, если рассмотреть пространство 6 Nизмерений, на осях которого отложены значения координат и импульсов частиц системы; оно называется фазовым пространством. Каждому значению времени tсоответствуют определённые значения всех qи р, т. е. некоторая точка в фазовом пространстве, изображающая состояние системы в данный момент времени t. Разобьем всё фазовое пространство на элементы, размер которых мал по сравнению с характерными для данного состояния системы значениями qи р, но ещё настолько велик, что в каждом из них находится много точек, изображающих состояние системы в различные моменты времени t. Тогда число таких точек в элементе объёма будет примерно пропорционально величине этого объёма dpdq. Если обозначить коэффициент пропорциональности через sw( p, q), то это число для элемента с центром в некоторой точке ( р, q) запишется в виде:
da = sw( р, q) dpdq, (2)
где
dpdq = dp 1dq 1dp 2dq 2... dp 3Ndq 3N
- объём выбранного элемента фазового пространства. Среднее значение (1) с учётом малости этих элементов объёма можно переписать как
, т. е.
(3)
(интегрирование по координатам производится по всему объёму системы, по импульсам - от -Ґ до Ґ). Функция w( p, q, t) носит название функции распределения по координатами импульсам частиц. Поскольку полное число выбранных точек равно s, функция wудовлетворяет условию нормировки:
(4)
Из (3) и (4) видно, что w dpdqможно рассматривать как вероятность системе находиться в элементе dpdqфазового пространства. Введённой таким образом функции распределения можно дать и др. истолкование. Для этого будем рассматривать одновременно большое число одинаковых систем и примем, что каждая точка в фазовом пространстве изображает состояние одной такой системы. Тогда усреднение по времени в (1)-(1a) можно понимать как усреднение по совокупности этих систем, или, как говорят, по . Проведённые до сих пор рассуждения носили чисто формальный характер, т.к. нахождение функции распределения, согласно (2), требует знания всех ри qво все моменты времени, т. е. решения уравнений движения с соответствующими начальными условиями. Основным положением С. ф. является, однако, утверждение о возможности определить эту функцию из общих соображений для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Прежде всего можно показать, исходя из сохранения числа систем при движении, что функция распределения является интегралом движения системы, т. е. остаётся постоянной, если ри qменяются в соответствии с уравнениями движения (см. ). При движении замкнутой системы не меняется её энергия, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на некоторой «гиперповерхности», соответствующей начальному значению энергии Е. Уравнение этой поверхности имеет вид;
H( p, q) = E,
где Н( р, q) - энергия системы, выраженная через координаты и импульсы, т. е. её функция Гамильтона. Далее, движение системы из многих частиц носит крайне запутанный характер. Поэтому с течением времени точки, описывающие состояние, распределятся по поверхности постоянной энергии равномерно, подобно тому как равномерно распределяются зёрна при перемешивании в сосуде в упомянутом выше примере (см. также ). Такое равномерное распределение по изоэнергетической поверхности описывается функцией распределения вида:
w( p, q) = Ad[ H( p, q) - E], (5)
где d[ Н( р, q) - E] - , отличная от нуля только при Н = Е, т. е. на этой поверхности, А- постоянная, определяемая из условия нормировки (4). Функция распределения (5), называется микроканонической, позволяет вычислять средние значения всех физических величин по формуле (3), не решая уравнений движения.
При выводе выражения (5) предполагалось, что единственная сохраняющаяся при движении системы величина, от которой зависит w, - это энергия системы. Разумеется, сохраняются также импульс и момент импульса, но эти величины можно исключить, предположив, что рассматриваемое тело заключено в неподвижный ящик, которому частицы могут отдавать импульс и момент.
Фактически обычно рассматриваются не замкнутые системы, а макроскопические тела, являющиеся макроскопически малыми частями, или подсистемами, какой-либо замкнутой системы. Функция распределения для подсистемы будет отлична от (5), но не будет зависеть от конкретного характера остальной части системы - т. н. термостата. Поэтому функцию распределения подсистемы можно определить, считая, например, что термостат состоит просто из Nчастиц идеального газа, координаты и импульсы которых будем обозначать через Qи Р, в отличие от обозначений qи рдля подсистемы, тогда микроканоническое распределение:
Здесь Н( р, q) - функция Гамильтона подсистемы, М- масса частицы газа, а суммирование производится по всем составляющим импульсов всех частиц термостата. Чтобы найти функцию распределения для подсистемы, нужно проинтегрировать это выражение по координатам и импульсам частиц термостата. Если затем учесть, что число частиц в термостате много больше, чем в подсистеме, и устремить N®Ґ, считая, что отношение E/Nпостоянно и равно 3/ 2 kT, то для функции распределения подсистемы получится выражение:
(6)
Величина Tв этой формуле имеет смысл температуры, k= 1,38Ч10 -16 эрг/град- постоянная Больцмана. [Условие E/N® 3/ 2 kTдля газа в термостате соответствует, как и должно быть, формуле (13) для идеального газа; см. ниже.] Нормировочный коэффициент e F/kTопределяется из условия нормировки (4):
(6a)
Распределение (6) называется каноническим распределением Гиббса, или просто каноническим распределением (см. ), а величина Z- статистическим интегралом. В отличие от микроканонического распределения, энергия системы в распределении Гиббса не задана. Состояния системы сосредоточены в тонком, но конечной толщины слое вокруг энергетической поверхности, соответствующей среднему значению энергии, что означает возможность обмена энергией с термостатом. В остальном в применении к определённому макроскопическому телу оба распределения приводят по существу к одним и тем же результатам. Разница лишь в том, что при использовании микроканонического распределения все средние значения оказываются выраженными через энергию тела, а при использовании канонического распределения - через температуру. Если тело состоит из двух невзаимодействующих частей 1 и 2 с функциями Гамильтона H 1и H 2, то для всего тела Н= H 1+ H 2и, согласно (6), функция распределения тела разбивается на произведение функций распределения для каждой из частей, так что эти части оказываются статистически независимыми. Это требование вместе с теоремой Лиувилля можно положить в основу вывода распределения Гиббса, не обращаясь к микроканоническому распределению. Формула (6) справедлива для систем, которые описываются классической механикой.
В квантовой механике энергетический спектр системы конечного объёма дискретен. Вероятность подсистеме находиться в состоянии с энергией E nдаётся формулой, аналогичной (6):
, (7)
причем условие нормировки
можно переписать в виде:
. (8)
Величина Zназывается статистической суммой системы; сумма в выражении (8) берётся по всем состояниям системы.
Для системы, с достаточной точностью описывающейся классической механикой, в формуле (8) можно перейти от суммирования по состояниям к интегрированию по координатам и импульсам системы, При этом на каждое квантовое состояние приходится в фазовом пространстве «клетка» (или «ячейка») объемом
, где
-
. Иными словами, суммирование по
nсводится к интегрированию по
. Следует также учесть, что ввиду тождественности частиц в квантовой механике при их перестановке состояние системы не меняется. Поэтому, если интегрировать по всем
ри
q, необходимо поделить интеграл на число перестановок из
Nчастиц, т. е. на
N! Окончательно классический предел для статистической суммы имеет вид:
(8а)
Он отличается множителем от чисто классического условия нормировки (6а), что приводит к дополнительному слагаемому в F.
Приведенные формулы относятся к случаю, когда число частиц в подсистеме задано. Если выбрать в качестве подсистемы определенный элемент объёма всей системы, через поверхность которого частицы могут покидать подсистему и возвращаться в неё, то вероятность нахождения подсистемы в состоянии с энергией E nи числом частиц N nдаётся формулой большого канонического распределения Гиббса:
, (9)
в которой дополнительный параметр m - , определяющий среднее число частиц в подсистеме, а величина W определяется из условия нормировки [см. формулу (11)].
Статистическое истолкование термодинамики.Важнейший результат С. ф. - установление статистического смысла термодинамических величин. Это даёт возможность вывести законы термодинамики из основных представлений С. ф. и вычислять термодинамические величины для конкретных систем. Прежде всего термодинамическая отождествляется со средней энергией системы. получает тогда очевидное истолкование как выражение закона сохранения энергии при движении составляющих тело частиц.
Далее, пусть функция Гамильтона системы зависит от некоторого параметра l (координаты стенки сосуда, в который заключена система, внешнего поля и т.п.). Тогда производная
будет
, соответствующей этому параметру, а величина
после усреднения даёт механическую работу, совершаемую над системой при изменении этого параметра. Если продифференцировать выражение
для средней энергии
системы с учетом формулы (6) и условия нормировки, считая переменными l и
Tи учитывая, что величина
Fтоже является функцией от этих переменных, то получится тождество:
.
Согласно сказанному выше, член, содержащий
dl, равен средней работе
dA, совершаемой над телом. Тогда последний член есть получаемое телом тепло. Сравнивая это выражение с соотношением
dE = dA + TdS, представляющим собой объединённую запись первого и второго начал термодинамики (см.
) для
, находим, что
Tв (6) действительно равна абсолютной температуре тела, а производная
- взятой с обратным знаком
S. Это означает, что
Fесть
тела, откуда выясняется её статистический смысл.
Особое значение имеет статистическое истолкование энтропии, которое следует из формулы (8). Формально суммирование g этой формуле производится по всем состояниям с энергией
E
n, но фактически ввиду малости флуктуаций энергии в распределении Гиббса существенно лишь относительно небольшое их число с энергией вблизи средней энергии. Число этих существенных состояний
естественно определить поэтому, ограничив суммирование в (8) интервалом
, заменив
E
nна среднюю энергию
и вынося экспоненту из-под знака суммы. Тогда сумма даст
и примет вид.
С др. стороны, согласно термодинамике,
F =
- TS, что дает связь энтропии с числом микроскопических состояний
в данном макроскопическом состоянии, иначе говоря, - со
макроскопического состояния, т. е. с его вероятностью:
. (10)
При температуре абсолютного нуля любая система находится в определённом основном состоянии, так что
= 1,
S= 0. Это утверждение выражает собой
. Здесь существенно, что для однозначного определения энтропии нужно пользоваться именно квантовой формулой (8); в чисто классической статистике энтропия определена только с точностью до произвольного слагаемого.
Смысл энтропии как меры вероятности состояния сохраняется и по отношению к произвольным - не обязательно равновесным - состояниям. В состоянии равновесия энтропия имеет максимальное возможное в данных внешних условиях значение. Это означает, что равновесное состояние является состоянием с максимальным статистическим весом, наиболее вероятным состоянием. Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное есть процесс перехода из менее вероятных состояний в более вероятные; это выясняет статистический смысл закона возрастания энтропии, согласно которому энтропия замкнутой системы может только увеличиваться.
Формула (8), связывающая свободную энергию Fсо статистической суммой, является основой для вычисления термодинамических величин методами С. ф. Она используется, в частности, для построения статистической теории электрических и магнитных свойств вещества. Например, для вычисления магнитного момента тела в магнитном поле следует вычислить статистическую сумму и свободную энергию. Магнитный момент mтела дается тогда формулой:
m=
,