БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ТЕ)

  А. Ф. Тулинов.

Рис. 1. Происхождение эффекта теней.

Рис. 3. Ионограмма кристалла.

Рис. 2. Угловое распределение интенсивности потока вылетающих из кристалла частиц при эффекте теней.

Тенерифе

Тенери'фе(Tenerife), вулканический остров в Атлантическом океане, в группе .Территория Испании. Площадь 1946 км ².Население свыше 500 тыс. чел. (1970). Сложен базальтами. высотой до 3718 м(вулкан Тейде). Климат тропический. Вечнозелёные кустарники и леса. Тропическое земледелие (бананы, цитрусовые, табак, виноград и др.). Рыболовство. Главный город - Санта-Крус-де-Тенерифе. Климатические курорты.

Тензодатчик

Тензода'тчик, деформации твёрдого тела, вызываемой механическими напряжениями, в сигнал (обычно электрический), предназначенный для последующей передачи, преобразования и регистрации. Наибольшее распространение получили Т. сопротивления, выполненные на базе тензорезисторов (ТР), действие которых основано на их свойстве изменять под влиянием деформации (растяжения или сжатия) своё электрическое сопротивление (см. ) .Конструктивно ТР представляет собой либо решётку ( рис. 1 ), изготовленную из проволоки или фольги (из константана, нихрома, различных сплавов на основе Ni, Mo, Pt), либо пластинку из полупроводника, например, Si. ТР механически жестко соединяют (например, приклеивают, приваривают) с упругим элементом Т. ( рис. 2 ) либо крепят непосредственно на исследуемой детали. Упругий элемент воспринимает изменения исследуемого параметра х(давления, деформации узла машины, ускорения и т. п.) и преобразует их в деформацию решётки (пластинки) e( x), что приводит к изменению сопротивления ТР на величину D R(e) = ± kЧR ₀ Чe ,где R ₀ -начальное сопротивление ТР, k- коэффициент тензочувствительности (для проволочных Т. k  Ј 2-2,5, для полупроводниковых k ~200). Т. сопротивления обычно работают в области упругих деформаций - при e Ј  10 ^-3 .

  Величина D Rзависит не только от e, но и от температуры упругого элемента: D R(q) = a ЧDq Ч R ₀,где Dq - изменение температуры упругого элемента, a - температурный коэффициент относительного изменения сопротивления ТР: для проволочных и фольговых ТР a = (2-7)Ч10 ^-3K ^-1. Для уменьшения погрешности требуется автоматическое введение поправок на температуру либо термокомпенсация. Наиболее распространён метод «схемной» термокомпенсации с использованием .На рис. 3 показан пример включения в мостовую цепь двух идентичных ТР, воспринимающих деформацию упругого элемента; при этом D R ₁(e) и D R ₂(e) имеют разные знаки, тогда как D R ₁(q) и D R ₂(q) - один и тот же знак. Ток в диагонали моста (выходной сигнал Т.) при условии  определяется выражением i _аб= М( R ₁ Ч R ₄ – R ₂ Ч R ₄) ,где М -коэффициент пропорциональности, R’ ₁и R' ₂ - сопротивления тензорезисторов, равные соответственно R ₁+ D R ₁(e) + D R ₁(q) и R ₂– D R ₂(e) + D R ₂(q). Мостовая цепь с двумя ТР позволяет повысить чувствительность Т. в 2 раза, а с четырьмя - в 4 раза по сравнению с мостовой цепью с одним ТР и обеспечивает полную термокомпенсацию.

  Лит.:Туричин А. М., Электрические измерения неэлектрических величин, 4 изд., М.-Л., 1966; Глаговский Б. А., Пивен И. Д., Электротензометры сопротивления, 2 изд., Л., 1972.

  А. В. Кочеров.

Рис. 3. Схема включения двух тензорезисторов в мостовую цепь: R ₁+ DR ₁(e) + DR ₁(q) и R ₂- DR ₂(e) + DR ₂(q) - сопротивления тензорезисторов [DR(e) и DR(q) - изменения сопротивлений тензорезисторов в зависимости от изменения деформации e и от температуры q]; R ₃, R ₄- сопротивления обычных резисторов; i _aб- ток в диагонали моста; U - источник питания (постоянного тока); У - усилитель; Р - устройство, регистрирующее результат измерения.

Рис. 2. Схема тензорезисторного датчика: 1 - решётки; 2 - упругий элемент; R1,..., R4 - тензорезисторы; х - измеряемый параметр.

Рис. 1. Рещетки тензодатчиков: проволочные - петлевая (а), витковая (б) и с перемычками (в); фольговые - для изменения одной компоненты деформации (г), трех компонент (д) и кольцевых деформаций (е); 1 - проволока; 2 - выводы решетки; 3 - перемычки; S - база датчика.

Тензометр

Тензо'метр(от лат. tensus - напряжённый и ) ,прибор для измерения деформаций, вызываемых механическими напряжениями в твёрдых телах. Применяется при исследовании распределения деформаций в деталях машин, конструкций и сооружений, а также при механических испытаниях материалов. Наиболее распространены электротензометры сопротивления, основным элементом которых служит тензорезисторный датчик (см. ) .

Тензор

Те'нзор(от лат. tensus - напряжённый, натянутый), математический термин, появившийся в середине 19 в. и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин «Т.» получил в современном ,где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин «Т.» широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора Ф, преобразующего вектор хв вектор Фх,и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уФхне меняется при перестановке векторов хи у.Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название «Т.»), а затем перенесён в другие области механики. Так появились Т. деформации, Т. напряжения, Т. инерции и др.

Тензорезистивный эффект

Тензорезисти'вный эффе'кт,изменение удельного электросопротивления твёрдого проводника ( , ) в результате его деформации. Величина относительного изменения компонент тензора электросопротивления  связана с деформации u _imчерез тензор четвёртого ранга : . На практике пользуются понятием тензочувствительности ,   где  - относительное изменение длины lобразца под действием приложенной нагрузки в определённом направлении,  - относительное изменение удельного электросопротивления r вдоль этого направления. В металлах kпорядка единицы, в полупроводниках (например, в Ge и Si) в десятки и сотни раз больше.

  Т. э. связан с изменением межатомных расстояний при деформации, что влечёт за собой изменение структуры энергетических зон кристалла. Последнее обусловливает изменение концентрации носителей тока (электронов проводимости, дырок), их эффективной массы, перераспределение их между энергетическими максимумами в зоне проводимости и минимумами в валентной зоне. Кроме того, деформация влияет на процессы рассеяния носителей (появление новых дефектов, изменение фононного спектра). Т. э. применяется в сопротивлений, служащих для измерения деформаций.

  Лит.:Блатт Фр. Д ж., Физика электронной проводимости в твердых телах, пер. с англ., М., 1971; Киреев П. С., Физика полупроводников, М., 1969: Ильинская Л. С., Подмарьков А. Н., Полупроводниковые тензодатчики, М.- Л., 1966; Глаговский Б. А., Пивен И. Д., Электротензометры сопротивления, 2 изд., Л., 1972.

  Б. А. Аронзон.

Тензорное исчисление

Те'нзорное исчисле'ние,математическая теория, изучающая величины особого рода - тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением и теории .Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки.

  Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами - равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины - векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел J _ij( i, j =1, 2, 3), где J _ij - осевой твёрдого тела относительно оси X _i,a J _ij,(при i¹ j) -центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции J _iiменяется (так как меняется положение оси x _iотносительно тела), а потому J _iiне может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание J _iiв одной системе координат не позволяет найти J _iiв другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел J _ijимеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел J _ijв одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле  ( и  - некоторые числа): здесь, как принято в Т. и., опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере - значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление, является математическим аппаратом, при котором исключается влияние выбора координатной системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т. и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).

  Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

  1. Тензоры в прямоугольных координатах.Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3 ^kчислами  ( i _r= 1, 2, 3) и при замене системы координат ( x ₁, x ₂, x ₃) системой ( x’ ₁, x’ ₂, x’ ₃) заменяются числами  по формулам:

  , (1)

где , называются тензорными величинами, а определяющие их системы чисел - тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число kназывается валентностью (рангом) тензора, числа - его компонентам и (координатами). Аналогичным образом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.

  Примеры тензоров: если координаты вектора аобозначить a _i ( i =1, 2, 3), то числа а, образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а= { a _i} и b={ b _i} соответствует тензор с компонентами p _ij= a _i. b _j.Этот тензор называется диадой. Если a( x ₁, x ₂, x ₃) -некоторое ,то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами . Он называется производной вектора а ={ai} по вектору r{ x ₁, x ₂, хз} (обозначается также через ). Упомянутая выше совокупность чисел J _ijобразует тензор второй валентности (тензор инерции).

  2. Тензоры второй валентности.В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

  Если p _ij= p _ji,то тензор называется симметрическим, а если p _ij= –p _ji,то - кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический - три: ; ;   . При этом компоненты w ₁, w ₂, w ₃преобразуются как компоненты псевдовектора (см. ) .Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять , , , то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты этого тензора обозначаются при помощи d _ij.Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор - симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а( r) - вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть  называется тензором деформации; кососимметрическая часть  соответствует псевдовектору  (см. векторного поля).

Тензор  является симметрическим только в том случае, когда поле а( r) потенциально (см. ) .Разложение тензора  на симметрические и кососимметрические части соответствует разложению относительного смещения daна чистую деформацию и на поворот тела как целого.

  Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p ₁₁+ p ₂₂+ p ₃₃.Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора  -   векторного поля a( r) и т. д

  3. Тензоры в аффинных координатах.Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами  равными компонентам векторов . нового базиса относительно векторов  старого базиса, и числами ,равными компонентам векторов  относительно базиса . В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа ,а в законы преобразования других - числа .Встречаются и тензоры, в законы преобразования которых входят как числа , так и числа .Тензоры первого вида называются ковариантными, второго - контравариантными и третьего - смешанными тензорами. Более точно, ( r+ х)-валентным смешанным тензором sраз ковариантным и rраз контравариантным. называют совокупность 3 ^r+s чисел , заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при переходе от одной системы координат к другой по формулам:

 

При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, так как для двух таких систем координат .

  Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка  образуют ковариантный тензор валентности 2, а элементы  матрицы линейного преобразования - тензор, 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный. Система трёх чисел x ₁, x ₂, x ₃,преобразующихся как координаты вектора x = x ⁱe _i,образует 1 раз контравариантный тензор, а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение x _i= xe _i,образует 1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат символ Кронекера  является смешанным тензором (поэтому, в отличие от пункта 2, здесь пишут один индекс сверху, другой - снизу). Совокупность чисел g _ij= e _ie _j,где e _i- векторы базиса, образует тензор, называемый ковариантным метрическим тензором. Длина любого вектора пространства   х = xieiравна , а скалярное произведение двух векторов хи уравно g _ijx ⁱy ^j.Совокупность величин g ^ijтаких, что , образует тензор, который называется контравариантным метрическим тензором.

  Дословно, так же как и в трёхмерном пространстве, определяются тензоры в n-мерном пространстве. Важным примером тензоров в n-мерном пространстве являются совокупности компонент .

  Порядок следования индексов существенным образом входит в определение тензора, то есть при перестановке индексов компоненты тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.

  4. Действия над тензорами.Существуют четыре основные операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензоров, свёртывание тензоров по двум или более индексам и перестановка индексов тензора. Так как тензор задаётся своими компонентами в различных системах координат, то действия над тензорами задаются формулами, выражающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты тензоров, над которыми производятся действия. При этом формулы должны быть такими, чтобы в результате выполнения действия получился тензор.

  а) Сложение тензоров. Суммой двух тензоров  и  одинакового строения (то есть имеющих одинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с компонентами

 

  б) Умножение тензоров. Произведением двух тензоров  и  (быть может различного строения) называется тензор с компонентами . Произведение тензоров, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если один из тензоров имеет нулевую валентность (то есть является скалярной величиной l) ,то умножение его на другой тензор  сводится к умножению всех компонент тензора  на число l.

  в) Свёртывание тензора. Результатом свёртывания тензора  по индексам аи d(верхнему и нижнему) называется тензор , компоненты которого равны .(здесь производится суммирование по индексу i). Например, след матрицы  является результатом свёртывания её по индексам iи j, бискалярное произведение  тензоров  и .равно результату свёртывания их произведения по всем индексам. При полном свёртывании тензора (по всем индексам) получается инвариант.

  г) Перестановка индексов. Пусть компоненты тензора  выражаются через компоненты тензора  формулой . Тогда говорят, что  получился из  перестановкой индексов си е.При этом переставляться могут только индексы одного и того же уровня.

  5. Тензорный анализ.В приложениях приходится обычно рассматривать не отдельные тензоры, а тензорные поля. Например, при изучении упругой деформации рассматривают тензоры деформации и напряжений во всех точках тела. Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то тензорное поле Т( Р) можно рассматривать как совокупность функций , заданных в каждой точке Р( х ¹, x ², x ³) области и преобразующихся при переходе от одной системы прямоугольных координат к другой по формулам вида (1). В этом случае частные производные компонент тензора по координатам  образуют также тензор, валентность которого на единицу выше валентности исходного тензора. Например, при дифференцировании скалярного поля получается поле градиента, при дифференцировании поля градиента - поле симметрического тензора второй валентности:  и т. д.

  В тензорном анализе рассматриваются не только прямоугольные или аффинные, но и произвольные (достаточное число раз дифференцируемые) криволинейные координаты x ⁱ.В окрестности каждой точки эти координаты можно заменить аффинными координатами. В качестве базисных векторов этих аффинных координат надо взять частные производные  радиус-вектора rв точке Р.

  Тогда скалярные произведения e _ie _j,будут равны значениям компонент метрического тензора g _ijв точке Р,с помощью которого длина бесконечно малого вектора , ,  выражается формулой . Поэтому метрика в криволинейной и прямолинейной системах координат совпадает с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Тем самым в каждой точке пространства вводится своя (локальная) система аффинных координат, относительно которой и задаются компоненты тензорного поля в этой точке. При переходе от одной системы криволинейных координат ( x’,..., x _n) к другой ( y’,..., y ⁿ) локальная система координат в каждой точке меняется, причём базисные векторы преобразуются по формулам . Иными словами, коэффициенты линейного преобразования  будут различными в разных точках и равны ; точно так же матрица  состоит из выражений . Поэтому тензорным полем относительно криволинейных координат. называют совокупность функций , заданных в каждой точке области для системы криволинейных координат и преобразующихся при переходе от одной системы криволинейных координат к другой по формулам (2), где положено , . В рассматриваемом случае частные производные компонент поля по координатам x ⁱуже не образуют тензорного поля. Это объясняется тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются не только компоненты тензора, но и локальная координатная система, к которой этот тензор относится. Поэтому при определении изменения тензора надо учитывать не только изменение компонент тензора при переходе от точки Р( xi) к бесконечно близкой ей точке Q( x’+ dx ⁱ) ,но и изменение локальной координатной системы. Иными словами, компоненты приращения тензора нельзя считать равными приращениям его компонент. Например, для векторных полей u(P), где uимеет контравариантные компоненты u;приращение векторного поля равно (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) выражению .   Здесь через  обозначены так называемые символы Кристоффеля (см. ) ,связанные с метрическим тензором  соотношением

  .

Отметим, что сами символы Кристоффеля не являются тензорами. Слагаемое  учитывает зависимость компонент приращения тензора от приращения его компонент, а слагаемое  - зависимость компонент приращения тензора от изменения системы координат при переходе от точки к точке.