Дексамен. «Летящая цапля». 3-я четв. 5 в. до н. э. Древняя Греция. Эрмитаж. Ленинград.
Гемма с изображением бегущего оленя. Ок. 1600 до н. э. Крит. Музей Ашмола. Оксфорд.
Камея Гонзага с изображением Птолемея II Филадельфа и его жены Арсинби. 3 в. до н. э. Александрия. Эрмитаж. Ленинград.
Гемма с изображением юноши с петухом. 2-я пол. 5 в. до н. э. Древняя Греция. Эрмитаж. Ленинград.
Агатоп. Мужской портрет. Между 2 в. до н. э. и 1 в. н. э. Древний Рим. Археологический музей. Флоренция.
Интарсия
Инта'рсия(от итал. intarsio - инкрустация), вид инкрустации на деревянных предметах (мебели и т. д.): фигурные изображения или узоры из пластинок дерева, разных по текстуре и цвету, врезанных в поверхность деревянного предмета. Наивысшего расцвета И. достигла в Италии в 15 в.
Лит.:Krauss F., Intarsien, 3. Aufl., Lpz., 1958.
Интарсия. Исповедальня. Италия. Ок. 1500. Музей Виктории и Альберта. Лондон.
Интеграл
Интегра'л(от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления.
Неопределённый интеграл.Первообразная функции f( x) одного действительного переменного - функция F( x), производная которой при каждом значении хравна f( x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F( x) функции f( x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F( x) + С.Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:
функции f( x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f( x) действительного переменного имеет неопределённый И.
Определённый интеграл. Определённый И. функции f( x) с нижним пределом аи верхним пределом bможно определить как разность
где F( x) есть первообразная функции f( x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f( x) непрерывна, то приведённое определение в случае a < bравносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [ a, b] точками
в каждом отрезке [x i- 1, x i] ( i =1, 2,. .., n) берут произвольную точку x i ( x i- 1Ј x i Ј x i) и образуют сумму
Сумма S nзависит от выбора точек x iи x i . Однако в случае непрерывной функции f( x) суммы S n, получающиеся при различном выборе точек x iи x i , стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x i- x i- 1 стремится к нулю при n® Ґ. Этот предел и является определённым интегралом
По определению,
Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F( x). Обратно, первообразная F( x) может быть записана в виде
где а -произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде
О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.
Обобщение понятия интеграла
Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом
предел сумм S nпри max( x i - x i- 1) ® 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория ). Для интегрируемости в смысле Римана функции f( x) на [ a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f( x) ограничена на [ а, b], множество помещающихся на [ a, b] точек разрыва функции f( x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [ а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.
Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F( x) не обязана иметь подинтегральную функцию f( x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f( x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет
Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)
где
M
k- верхняя грань функции
f(
x)
наотрезке [
x
k-
1,
x
k], а
m
k-нижняя грань
f(
x) на том же отрезке. Если
нижняя грань сумм
, а
- верхняя грань сумм
, то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие
Общее значение
величин
и
и является интегралом Римана (6). Сами величины
и
называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.
Интеграл Лебега.Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками
... < y -2< y -1< y 0< y -1< ... < y i<...
область возможных значений переменного у= f( x) и обозначает M iмножество тех точек хиз отрезка [ a, b], для которых
y i- 1Ј f( x) < y i.
Сумма S определяется равенством
S= S ih i m( M i),
где h i берётся из отрезка y i- 1Ј h i < y i, а m( M i) обозначает меру множества M i.Функция f( x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [ a, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max( y i-y i- 1) ® 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F( x), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.
Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f( x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.
Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида
После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.
Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд
для которого
представляет функцию f( x), порождающую коэффициенты a nи b nпо формулам
где И. понимаются в смысле Лебега.
Интеграл Стилтьеса.В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f( x) - непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [ a, b], и U( x) - определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [ a, b] и составляют сумму
f(x 1) [ U( x 1) - U( x 0)] + f(x 2) [ U( x 2) - U( x 1)] +...+ f(x n ) [ U( x n) - U( x n- 1)], (8)
где x 1, x 2, ..., x n - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [ x 0, x 1], [ x 1, x 2], ..., [ x n -1, x n]. Пусть d - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x 1, x 2, ..., x n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f( x) относительно функции U( x) и обозначают символом
Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U( x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U 1( x) и U 2( x):
U( x) = U 1( x) - U 2( x),
т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ).
Если интегрирующая функция U( х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'( x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле
В частности, когда U( x) = х+ С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).
Дальнейшие обобщения.Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х -пространство, в котором выделена определённая система Вего подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m - конечная мера, заданная на В.Для В-измеримой функции у= f( x), хО Х, принимающей конечное или счётное число значений y 1, y 2, ..., y n, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A 1, ..., А n, ..., сумма которых есть X, интеграл функции f( x) по мере m, обозначаемый
,
определяется как сумма ряда
в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других fинтегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.
Пусть А- измеримое множество и j А ( х) = 1 для х, принадлежащих А, и j А ( х) = 0 для х,не принадлежащих А. Тогда интеграл от f( x) по множеству Аопределяют, полагая
При фиксированных m и АИ. в зависимости от fможет рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном fИ., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Хфигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что fи | f| оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.
Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f( x), неограниченной в точке х= с, определил интеграл
,
когда a< c< b, как предел выражения
,
при e 1® 0 и e 2® 0 .Аналогично И. с бесконечными пределами
определяется как предел И.
,
при а® - Ґ и b® + Ґ. Если при этом не требуется интегрируемости | f( x)|, т. е. f( x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.
Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).
Лит.:Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. - Hdlb. - N. Y., 1969.
Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.
Интеграл вероятности
Интегра'л вероя'тности,название нескольких связанных друг с другом специальных функций. Интеграл
называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией s 2, вероятность неравенства |X| Ј xравна F( х/s). Наряду с этим название И. в. употребляют для интегралов
Последнюю функцию обозначают обычно erf( x) (от error function - «функция ошибок»).
Лит.:Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.
Интегральная геометрия
Интегра'льная геоме'трия,раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна удовлетворять требованиям: 1) аддитивности ( мера множества , состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей), 2) инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры). К И. г. относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объёмов, решаемые посредством интегрирования (соответственного простого, двойного и тройного).
Толчком для развития И. г. послужили задачи, относящиеся к так называемым геометрическим вероятностям, определяемым как отношение меры множества благоприятных случаев к мере множества всех возможных случаев (по аналогии с классическим определением вероятности, как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев). Первым и наиболее известным примером является «задача Бюффона» (1777): на плоскость, покрытую рядом параллельных прямых, среди которых каждые две соседние находятся на расстоянии h, падает случайным образом тонкая цилиндрическая игла, длина lкоторой меньше расстояния hмежду параллелями; какова вероятность того, что игла пересечёт одну из этих прямых. Эта задача равносильна следующей: какова вероятность того, что наудачу взятая секущая круга (диаметра h) пересечёт данный отрезок длины l< hс серединой в центре круга. Эту вероятность определяют как отношение «меры» множества прямых, пересекающих данный отрезок, к «мере» множества прямых, пересекающих данный круг. «Меру» множеств прямых, состоящих из секущих выпуклых фигур с контурами конечной длины, вводят так, чтобы выполнялись сформулированные выше два требования: аддитивности и инвариантности.
В случае множества всех прямых, пересекающих прямолинейный отрезок, мера этого множества должна быть, в силу инвариантности относительно движений, функцией только длины отрезка. Из требования аддитивности меры следует, что эта функция f( x) должна быть аддитивной: f( x+ y) = f( x) + f( y), а отсюда вытекает f( x) = Cx, где C- постоянная. Итак, на плоскости мера множества всех прямых, пересекающих данный отрезок, должна быть пропорциональна его длине. Коэффициент пропорциональности удобно принять равным 2, т. е. условиться, что за меру множества прямых, пересекающих отрезок длины 1, принимается число 2. Тогда мера множества прямых, пересекающих любой отрезок, окажется равной удвоенной его длине.
Рассматривая множество прямых, пересекающих (каждая в двух точках) контур некоторого выпуклого многоугольника, можно вывести, что мера рассматриваемого множества равна просто периметру.
Переходя, наконец, к множеству прямых, пересекающих выпуклую замкнутую линию («овал»), нетрудно установить, что на плоскости мерой множества прямых, пересекающих данную выпуклую линию, должна быть длина этой линии.
В задаче Бюффона имеют в качестве меры множества благоприятных случаев удвоенную длину (2 l) иглы, а для меры множества возможных случаев - длину (p h) окружности диаметра h; поэтому искомая вероятность р= 2 l/p h. Этот результат не раз проверялся на опытах с бросанием иглы. В одном из таких опытов было произведено 5000 бросаний; при l= 36 мм, h= 45 ммполучилась частота пересечений 0,5064, что даёт приближённое значение для p = 3,1596.
С некоторыми видоизменениями изложенная теория может быть перенесена на множества прямых, пересекающих невыпуклые контуры. Вообще, для двухпараметрических множеств прямых на плоскости мера (m) может быть определена формулой m = ттdr dj ,где r, j - полярные координаты проекции полюса на прямую. Если прямая задана уравнением ux+ uy= 1 ( x, y -прямоугольные координаты точки), то
В конце 19 - начале 20 вв. исследования по И. г. ещё связаны с геометрическими вероятностями (работы английского математика М. Крофтона, французского математика А. Пуанкаре), но уже в работе французского математика Э. Картана (1896) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20-х гг. 20 в. складываются в самостоятельную теорию с разнообразными приложениями: к геометрии «в целом», прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.
Лит.:Бляшке В., Лекции по интегральной геометрии, пер. с нем., «Успехи математических наук», 1938, в. 5; Вlaschke W., Vorlesungen ьber Integralgeometrie, H. 2. B.-Lpz., 1937.
Я. С. Дубнов.
Интегральная кривая
Интегра'льная крива'я,кривая, изображающая геометрически решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. См. Дифференциальные уравнения.
Интегральная показательная функция
Интегра'льная показа'тельная фу'нкция,специальная функция, определяемая интегралом
Этот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если x> 0, то интеграл понимается в смысле главного значения:
Лит. см.при статье Интегральный логарифм.
Интегральная схема
Интегра'льная схе'ма,интегральная микросхема, микроминиатюрное электронное устройство, все или часть элементов которого нераздельно связаны конструктивно и соединены между собой электрически. Различают 2 основных типа И. с.: полупроводниковые (ПП) и плёночные.
ПП И. с. ( рис. 1 ) изготавливают из особо чистых ПП материалов (обычно кремний, германий), в которых перестраивают саму решётку кристаллов так, что отдельные области кристалла становятся элементами сложной схемы. Маленькая пластинка из кристаллического материала размерами ~1 мм 2превращается в сложнейший электронный прибор, эквивалентный радиотехническому блоку из 50-100 и более обычных деталей. Он способен усиливать или генерировать сигналы и выполнять многие другие радиотехнические функции.
Технология изготовления ПП И. с. обеспечивает одновременную групповую обработку сразу большого количества схем. Это определяет в значительной степени идентичность схем по характеристикам. ПП И. с. имеют высокую надёжность за счёт использования планарного процесса изготовления и значительного сокращения числа микросоединений элементов в процессе создания схем.
ПП И. с. развиваются в направлении всё большей концентрации элементов в одном и том же объёме ПП кристалла, т. е. в направлении повышения степени интеграции И. с. Разработаны И. с., содержащие в одном кристалле сотни и тысячи элементов. В этом случае И. с. превращается в большую интегральную систему (БИС), которую невозможно разрабатывать и изготовлять без использования электронных вычислительных машин высокой производительности.
Плёночные И. с. создаются путём осаждения при низком давлении (порядка 1Ч10 -5 мм рт. ст.) различных материалов в виде тонких (толщиною < 1 мкм) или толстых (толщиной > 1 мкм) плёнок на нагретую до определённой температуры полированную подложку (обычно из керамики). В качестве материалов применяют алюминий, золото, титан, нихром, окись тантала, моноокись кремния, титанат бария, окись олова и др. Для получения И. с. с определёнными функциями создаются тонкоплёночные многослойные структуры осаждением на подложку через различные маски (трафареты) материалов с необходимыми свойствами. В таких структурах один из слоев содержит микрорезисторы, другой - микроконденсаторы, несколько следующих - соединительные проводники тока и другие элементы. Все элементы в слоях имеют между собой связи, характерные для конкретных радиотехнических устройств.
Плёночные элементы распространены в гибридных И. с. ( рис. 2 ). В этих схемах на подложку сначала наносятся в виде тонких или толстых плёнок пассивные элементы (резисторы, конденсаторы, проводники тока), а затем с помощью микроманипуляторов монтируют активные элементы - бескорпусные ПП микроэлементы (транзисторы и диоды).
По своим конструктивным и электрическим характеристикам ПП и гибридные И. с. дополняют друг друга и могут одновременно применяться в одних и тех же радиоэлектронных комплексах. В целях защиты от внешних воздействий И. с. выпускают в защитных корпусах ( рис. 3 ). По количеству элементов различают И. с.: 1-й степени интеграции (до 10 элементов), 2-й степени интеграции (от 10 до 100) и т. д.
Размеры отдельных элементов И. с. очень малы (порядка 0,5-10 мкм) и подчас соизмеримы с размерами пылинок (1-100 мкм). Поэтому производство И. с. осуществляется в особо чистых условиях. О технологических процессах изготовления И. с. см. в ст. Микроэлектроника.
Создание И. с. развивается по нескольким направлениям: гибридные И. с. с дискретными активными элементами; ПП И. с., выполненные в монолитном блоке ПП материала; совмещенные И. с., в которых активные элементы выполнены в монолитном блоке ПП материала, а пассивные элементы нанесены в виде тонких плёнок; плёночные И. с., в которых активные и пассивные элементы нанесены на подложку в виде тонких плёнок. О применении И. с. см. в ст.