Тарджеманов Джавад. Серебряная подкова

   * * *
   В маленьком домике в Макарьеве долго светилось окно спальни Лобачевской. На столе чернильница, гусиное перо, чистый лист бумаги. Сидя у стола, Прасковья Александровна в пятый раз перечитывает письмо за подписью инспектора Яковкина, с университетской печатью. В письме сказано, если желает она, чтобы ее дети окончили ученье на казенный счет, надо ей дать обязательство: после университета каждому из них отработать шесть лет в должности учителя.
   "Обязательство... - размышляет Прасковья Александровна. - Что же может быть лучше такой службы? Нести людям свет просвещения - всегда благородно".
   Ее лицо светлеет, и, обмакнув перо в чернильнице, она склоняется над листом.
   Письмо важное, бумага дорогая. На такой запрос ответить надо бы достойным образом. Прасковья Александровна раздумывает, с чего начать. Раньше она писала только письма к сыновьям. Но там пишется легко, ибо сердце подсказывает. Здесь же каждое слово должно быть к месту.
   И медлить нельзя: ведь Саша, старший, уже "назначен" в студенты. Не опоздать бы.
   Прасковья Александровна старательно выводит свежеочиненным пером все необходимые слова. Затем, внимательно перечитав листок, она складывает его, достает кусочек сургуча... Горячие красные капли падают на бумагу.
   Самая большая капля в середине прижата резным золотым перстнем, подаренным Сергеем Степановичем. Посмотрев на потеплевший от сургуча подарок, вздыхает и заботливо прячет его в заветную шкатулку.
   Письмо рано утром отправлено. Когда еще дойдет оно до Казани!
   А братья Лобачевские ждут его с нетерпением. Что, если за это Сашу исключат из университета и вернут в гимназию? Они даже не решаются говорить об этом вслух.
   - А вдруг оно пришло, - начинает кто-нибудь из них и тут же срывается бежит в контору. Там коллежский регистратор Курбатов занят работой: суровой ниткой подшивает "входящие" бумаги. Завидев мальчика, ворчит недовольно:
   - Только мне и заботы - ваши письма помнить. Вон сколько их приходит.
   На этот раз ,он встретил Колю выговором:
   - Опять за письмом? Работать мешаешь. Бери вон дело, сам листай, может, письмо уже и подшить успел.
   "Дело" - толстая папка. Сколько в ней бумаг - и больших и маленьких! Братья, уже все трое, старательно пересматривают их одну за другой. Вот письмо престарелой матери Ляпунова. Счастливый, она соглашается, значит, он - уже студент.
   - Смотри, - шепчет Коля. - "За неумением которой писать и по ее приказанию подписуюсь, ее сын Яков Ляпунов". Наша мама все письма сама пишет...
   - А это вот, гляди, - показывает Алеша. - Княгиня Чхеидзе, мать Алексея. Тоже "за неумением и по ее прошению руку приложил..."
   - Пускай, - вздыхает Саша, - пускай "за неумением", да вот письмо пришло бы... Не то рассердится Яковкин и вычеркнет.
   - Ну, хватит вам читать чужие письма, - ворчит коллежский регистратор. - Приходите завтра.
   И наконец оно пришло.
   - Вот вам, читайте! - весело встретил их на другой день Курбатов. Матушка согласна.
   Саша развернул письмо и прочитал его вслух:
   - "Милостивый государь! Илья Федорович!
   Два письма из совета кимназии от имени Вашего имела честь получить. Извините меня, что я по причине болезни долго не отвечала. Вы изволите писать, чтоб я уведомила Вас о своем намерении, желаю ли я, чтобы дети мои остались казенными на том условии, что, окончив ученический и студенческий курсы, быть шесть лет учителями. Я охотно соглашаюсь на оное и желаю детям как можно больше прилагать свои старания за величайшую Государя милость, особливо для нас, бедных.
   Остаться честь имею с должным моим к Вам почтением.
   Милостивый государь!
   Покорная Ваша слуга Прасковья Лобачевская.
   19-го марта 1805 года".
   ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК
   В приоткрытую дверь геометрички просунулась белокурая голова Панкратова.
   - Колю не видели? - спросил он.
   В классе было семеро мальчиков с именем Николай:
   Афанасьев, Балясников, Зыков, Корсаков, Княжевич, Упадышевский и Лобачевский. Поэтому каждого из них называли каким-нибудь прозвищем. Одного лишь Упадышевского величали Николаем-вторым, так как старший брат его, Николай-первый, уже был переведен в студенты.
   - Где же Коля? - снова спросил Панкратов.
   Но ему и на этот раз не ответили: все были заняты. Оставалось до первого звонка немного времени, а сегодня Ибрагимов собирался рассказывать о новых свойствах треугольников, и каждому во что бы то ни стало надо было повторить пройденное. Самые исполнительные ученики уже разложили на столах всевозможные треугольники, вырезанные из картона и цветной бумаги, даже из аккуратно выструганных деревянных дощечек, скрепленных у вершин маленькими гвоздиками. Некоторые тут же наспех резали бумагу, поглядывая на треугольники соседей. Были также и такие, которые, зажав уши руками, торопливо бормотали, стараясь кое-как заучить хотя бы одну теорему.
   Тогда Панкратов, потеряв терпение, ворвался в комнату и встряхнул за плечи одного зубрилу.
   - Оглохли, что ли? Коля где, я спрашиваю?
   - Какой?
   - Математик.
   - А ну тебя... Не знаю! - ответил ученик и вновь затараторил: - Наложим треугольник ABC на треугольник...
   Панкратов сердито махнул рукой и вышел из класса, хлопнув дверью.
   "Математик" - это прозвище Лобачевского. Появилось оно сразу же после разговора его с Румовским и втайне доставляло мальчику немалое удовольствие. В знаниях математики он опередил своих товарищей: перечитал в гимназической библиотеке многие серьезные работы на русском, французском и латинском языках [Многие из этих книг по своей проблематике далеко выходили за рамки гимназической программы. Среди них были: "Курс математики" Безу, "Начала геометрии" Лежандра, "Первые основания математических наук" Котельникова и "Краткое руководство к теоретической геометрии" Крафта.], даже тайком досещал университетские лекции Корташевского.
   В новом 1805/6 учебном году Григорий Иванович прекратил занятия с гимназистами, потому что начал читать лекции студентам. Гимназисты немало удивились, когда вместо него был назначен преподавать им геометрию Ибрагимов. Они любили его как превосходного учителя трех классов латинского, славяно-российского и арифметического. Но разве может он быть еще и геометром?
   - Для нас это вопрос не шуточный, - озабоченно говорил Таврило Панкратов. - Скоро экзамен, сможем ли выдержать их?
   - Да, за Корташевским были мы как за каменной стеной, - отозвался Павел Петров, один из лучших учеников гимназии. - Тот, бывало, все растолкует... Как полагаешь, Математик? Не завалимся?
   Коля, пожав плечами, ответил:
   - Полагаю так: если что непонятным покажется, то сам по книгам разберешься. Библиотека у нас богатая.
   - Тебе-то хорошо, на любом языке прочитаешь, - отозвался чей-то голос...
   Это было вчера. Теперь же, когда ученики сидели в классе, ожидая Ибрагимова, Коля раскачивался во дворе на высокой трапеции.
   - Вот он где! - воскликнул Панкратов. - А я тебя ищу по всей гимназии.
   Рядом стояли студенты.
   - Не мешай, - попросил один из них. - Они с Овчинниковым спорят, кто с размаху на подколенки съедет. Проспорившему - сто щелчков.
   - Не видишь? - усмехнулся другой. - Овчинников уже лоб готовит.
   В это время Коля на взлете быстро скользнул назад - и вот уже перекладина под его коленками. Повиснув таким образом вниз головой, он раскачался посильнее и ловко соскочил на землю.
   - Начинай! - потребовал один студент.
   Коля, махнув рукой, сказал Овчинникову:
   - Ладно, Митя, не буду. Но в другой раз не спорь.
   А сейчас - на урок...
   С последним звонком они вбежали в класс и торопливо заняли свои места.
   Вошел Ибрагимов. Держал он в руках модель многоугольника и большой циркуль. Не сделав обычной проверки - все ли присутствуют, - неожиданно сказал:
   - Ну-ка, давайте к доске. Вы, оба!
   Все посмотрели в ту сторону, куда показал учитель.
   Там, на второй парте справа, Коля что-то горячо разъяснял Панкратову, показывая разноцветные соломинки. Оба так были увлечены, что не расслышали учителя.
   Почувствовав толчок в спину, Коля вскочил. За ним поднялся и Панкратов.
   - Меня? - спросили они в один голос.
   - Да, да, вас обоих, - повторил Ибрагимов. - Посмотрим, как вы усвоили третий признак равенства треугольников.
   Гимназисты удивились: как же двое будут говорить одно и то же?
   Мальчики подошли к доске и стали в разных концах.
   Коля взял мел и, разломав его на два кусочка, протянул один Панкратову.
   - Господин учитель, - спросил он, - что же мы одну теорему вдвоем будем доказывать? Я ведь смогу и сам, без помощи...
   Ибрагимов нахмурился.
   - Вам помогать никто не собирается. Расчертите мелом -доску пополам и запишите условие...
   Мальчики записали.
   - Так, - одобрил учитель. - Так, а теперь вы попробуйте каждый по-своему доказать ее, только чтобы в построении, а также в доказательстве теоремы всякий шаг ваш был обоснован.
   Ученики еще больше удивились. Никогда еще такого не слышали, чтобы можно было доказать одну и ту же теорему по-разному.
   Панкратов подумал-подумал и, вздохнув, бойко застучал мелом: на доске появились треугольники точно по учебнику и буквы те же самые.
   Коля стоял, отвернувшись от написанного на доске, и продолжал вертеть в руках захваченные соломинки.
   - Что же вы не приступаете, Лобачевский? - спросил его Ибрагимов. Доказательства не знаете?
   - Знаю, - ответил Коля.
   - Почему же не приступили к чертежу?
   - А мне чертеж и ни к чему. Я так могу доказать вам, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. Без чертежа. И даже без лишних слов.
   По классу прошелестел шепот и затих, несколько мальчиков, того не замечая, даже привстали на скамейках. Черные глаза Ибрагимова блеснули.
   - Доказывайте, - коротко сказал он.
   Коля сжал губы, словно подтверждая этим, что не проронит ни слова. Щеки его вспыхнули. Он согнул три красные соломинки, пополам каждую, и, вставив их концами одна в другую, образовал треугольник. То же самое проделал с тремя некрашеными, золотистыми соломинками. Выдвигая и вдвигая концы соломинок, он добился, что стороны одного треугольника стали соответственно равны сторонам другого. Затем, высоко подняв оба треугольника, наложил их сторонами друг на друга так, что всем хорошо было видно: треугольники равны. Глаза его выжидающе смотрели на учителя.
   - Прекрасно, прекрасно! - одобрил Ибрагимов. - Треугольники сделаны вами своеобразно и доказательство наложением весьма наглядно. Так и Евклид равенство фигур определял. Способ этот хорош. Садитесь.
   Коля прошел на свое место и сел, положив треугольники на стол.
   - Однако же, - продолжал Ибрагимов, обращаясь ко всему классу, - данный способ далеко не везде применим, например в землемерии, в домостроении. Потому и требуются иные способы судить о равенстве треугольников без наложения. Обратимся к доказательству Панкратова.
   Истомившийся ожиданием, Панкратов живо повернулся к доске.
   - Опишем из точек А и С треугольника ABC радиусами АВ и СВ дуги... начал он и, ни разу не споткнувшись, благополучно закончил доказательство.
   - Хорошо, - похвалил и его Ибрагимов. - Но это мы знаем из учебников. А не придумаете ли сами, как еще можно доказать? Может, кто из класса возьмется?
   Гимназисты переглянулись.
   - Но разве существует еще третье доказательство? - спросил чей-то удивленный голос.
   - Есть, - кивнул Ибрагимов. - Например, у того же Румовского. И даже более простое, изящное. А можно, если хорошо подумать, обнаружить и свое доказательство. Учение по учебнику - это проторенная дорога, на ней преодолевать неожиданные преграды не требуется. Однако намного достойнее научиться быть первооткрывателем. Хотя бы сначала в столь малом, как открытие нового доказательства для известной теоремы.
   Коля, слушавший внимательно, уже несколько раз порывался поднять руку. Ибрагимов заметил это.
   - Лобачевский, вы что-то хотите сказать?
   Перебирая на столе свои разноцветные треугольники,
   Коля поднялся.
   - Господин учитель, вы только что говорили о поисках новых, самостоятельных доказательств. Но я не понимаю в этом смысла: ведь, кажется, достоверность нашей теоремы видна с первого взгляда, без доказательства.
   Ибрагимов прошелся по классу, выжидая: не поднимутся ли еще руки. Нет, все молчали.
   - Вас, молодой человек, - усмехнулся он, - голыми руками не возьмешь... Действительно, так: наглядность чертежа или модели геометрических фигур позволяет обнаружить некоторые их свойства. На таком непосредственном созерцании была основана геометрия древних египтян. Они пользовались ею для узкопрактических целей.
   Сейчас на примере треугольников вы нам тоже остроумно представили подобный образец наглядности... Да вы садитесь!.. Но для установления более сложных геометрических свойств материальных тел природы такой способ уже не годится. Сомневаетесь?.. Тогда сейчас убедитесь в этом сами...
   Урок превращался в интересную беседу. Лица мальчиков порозовели.
   - Мы будем рассматривать сегодня, - продолжал Ибрагимов, - теорему о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Ее доказательство...
   Коля, не дослушав, поднял руку.
   - Ну что ж, говорите, Лобачевский.
   - Господин учитель, ведь и здесь доказательство можно заменить одним словом "Смотрите!", - возразил Коля, Ученики замерли: неужели переспорит учителя?
   Но Ибрагимов сказал спокойно:
   - Вот, еще вам один Бехаскера Чарж нашелся. Ну, ну, выходите сюда. Убедите нас.
   Коля направился к доске.
   - Дай-ка, - на ходу попросил у гимназиста, сидевшего за первым столом, большой треугольник из толстой бумаги. Затем, оторвав с боков два уголка и приложив их слева и справа к верхнему так, что получился один развернутый угол, поднял их над головой. - Смотрите!
   - Выше! - сказал Ибрагимов. - Поднимите выше.
   Пусть видят все... Вам, понятно? - спросил он учеников, И те, перебивая друг друга, закричали:
   - Ясно! Понятно!
   - Развернутый угол равен двум прямым.
   - Доказал!
   Ибрагимов помахал им рукой.
   - Тише, тише, господа. Вы на уроке. Садитесь, Лобачевский. Очень хорошо. Значит, по-вашему, доказывать излишний труд? Все тут ясно нам и очевидно? - спросил он Колю.
   - Д-да... - произнес тот с некоторой запинкой.
   Лукавый огонек, вспыхнувший в глазах учителя, вдруг дал почувствовать Коле, что его доказательство не совсем достоверно.
   - Так вот, господа, - продолжал Ибрагимов, - древние индийские математики поступали точно так же. Пренебрегая теоретическими обоснованиями, они делали чрезвычайно выразительные чертежи, а вверху над ними писали слово, только что произнесенное Лобачевским: "Смотри!"
   Так .цоступал индусский математик двенадцатого века Бехаскера Чарж. В своей книге "Лилавати" ["Лилавати" - прекрасная (инд.)] он доказывал теорему Пифагора двумя чертежами, считая, что иного доказательства ей не требуется.
   Ибрагимов помолчал, прошелся по классу, как бы желая дать ученикам время подумать над сказанным.
   - Чтобы оценить по достоинству значение доказательств, - обратился он с вопросом, - не задумывались ли вы, в чем их суть? А стоило бы... Как же можно всем нам отрицать роль этих доказательств или роль умозаключений, если не знать, что это такое? Благоразумно ли, например, отказаться от какой-то, может быть, и вкусной, и здоровой пищи по той причине, что вы ее никогда не пробовали?..
   В четвертом веке до рождества Христова, - продолжал Ибрагимов, Аристотель высказал утверждение, по тому времени очень смелое. Он сказал первое: что Земля, при всех положениях, во время лунных затмений отбрасывает на Луну круглую тень. Второе: что, несомненно, такую тень отбрасывает при всех положениях только шар. Следовательно, Земля - шар. Из двух достоверных суждений Аристотель, таким образом, вывел умозаключение об истинности своего утверждения или, другими словами, доказал шаровидность Земли. Вот что значит логическое доказательство.
   Объяснения учителя покоряли стройностью суждений.
   В них не было ничего лишнего. Все продумано, логично.
   Да и сами по себе доказательства стали более интересными.
   - Теперь мы вернемся к индусам и примеру Лобачевского, - продолжал Ибрагимов. - Он пытался убедить нас одним словом: "Смотрите!" Но можно ли сказать, что в данном случае не было доказательства? Конечно же нет.
   Просто, не рассуждая, глядя на показанную им фигуру из трех уголков треугольника, мы ни к какому выводу не пришли бы. На самом же деле вспомнили, что развернутый угол равен двум прямым. Это было наше первое суждение. Затем признали, что эта фигура из трех уголков представляет собой развернутый угол. Это было второе суждение. Отсюда вывели заключение, что раз так, то сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. Как видите, простого созерцания было недостаточно. Мы смотрели, рассуждали. Кстати... - Учитель прошелся по классу и вскоре остановился у скамейки Лобачевского. - Кстати, господа, - повторил он с лукавой улыбкой, - обращаю внимание ваше на тот факт, что "немое" доказательство Лобачевского, такое внешне эффектное, на самом деле не совсем достоверно и бесспорно.
   Ученики зашушукались, но Ибрагимов будто и не заметил этого.
   - Посудите сами: почему же мы уверены, что после такого сложения уголков треугольника две их крайние стороны составят непременно продолжение одна другой, образуя развернутый угол? - спросил он у всех.
   - Так это же видно!
   - Бесспорно!
   - Ясно! - с увлечением закричали с разных сторон.
   - А вы забыли, что каждое геометрическое утверждение, если это не аксиома, должно быть непременно доказано, хотя б и казалось оно всем очевидным? - спросил Ибрагимов. - "Очевидно" - понятие обманчивое. Одному очевидно, другому нет. Помните, как долго люди считали очевидным, что Солнце движется вокруг Земли. Все ведь своими глазами видели. Вот вам и "очевидно". Значит, и для суммы углов треугольника тоже требуется до-ка-затель-ство, - договорил он последнее слово раздельно, по слогам.
   - Надо смерить углы транспортиром, - сказал ему Лобачевский. - Вот и все убедимся.
   - Превосходно, - кивнул Ибрагимов. - Каждый, у кого начерчен треугольник, измерьте углы, затем, сложив их, скажите результат... Лобачевский, пожалуйте к доске. Будем записывать.
   Гимназисты завозились. Ибрагимов, устав от ходьбы, уселся на свой стул и внимательно стал следить, с каким увлечением все кинулись выполнять задание.
   Через несколько минут раздались удивленные голоса:
   - У меня 181°!
   - У меня 179°! Это почему?
   - А вот у меня 180°30'!
   Коля терпеливо стучал мелом: колонки цифр удлинялись, вот уже чуть ли не вся доска ими занята.
   Ибрагимов повернулся к нему:
   - Ну, Лобачевский, готов результат?
   - Нет еще. - Коля лихорадочно подсчитывал. - Сейчас кончу. Как же так? Что-то между 178° и 181°, - удивился он.
   - То-то же, - улыбнулся учитель. - Значит, глаза у всех разные?
   Коля молчал.
   - Убедились? - добродушно спросил Ибрагимов. - И не смущайтесь. Это вас не глаза подвели, а карандаши, линейки, транспортиры - словом, ошибки построения. Эти ошибки неизбежны, если бы даже измерили вы десятки треугольников. Важно и другое. Нам надо знать не только то, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, но также и то, почему она должна быть именно такой. Измерительное, опытное доказательство нам этого не объясняет. Ясно? Это лишь грубое и приблизительное обоснование теоремы.
   - Ошибка невелика, - заметил Коля и, не ожидая разрешения учителя, вернулся на свое место.
   - Как? И это все, что вы поняли? - вспыхнул Ибрагимов.
   Класс притих в напряженном ожидании - что же будет? Учитель поднялся, молча подошел к форточке и раскрыл ее. Свежая струя воздуха дохнула в комнату.
   Гимназисты неодобрительно покосились на Колю. Тот сидел, понурив голову, и никого не видел.
   Овладев собой, учитель вернулся на кафедру.
   - Лобачевский, - проговорил он сдержанным голосом. - Хорошо, если человек уверен в своих способностях, не допуская себя до гордыни. Запомните, не придает она силу душевную. Напротив, затемняет сознание. Человек от сего лишается необходимой способности видеть свои недостатки, свои слабые суждения, теряет уважение к суждениям других.
   Ибрагимов снова прошелся по классу и, вернувшись к доске, продолжал:
   - Вы сказали - "ошибка невелика". Но знаете ли вы, что если бы сумма внутренних углов треугольника не была совершенно точно равна двум прямым, то вся геометрия Евклида оказалась бы неправильной? "Теорема эта равносильна аксиоме параллельности или пятому постулату Евклида", - писал иранский математик Абу-Джаафар Мухаммед Насирэддин Туей в своей книге "Введение к геометрии". Опираясь на эту теорему, вычисляют площади земельных участков, измеряют недоступные высоты и расстояния, составляют планы городов и географические карты. Все это стало бы невозможным, если бы сумма этих удивительных углов была подвержена малейшему колебанию.
   Класс молчал. Слышно было, как поскрипывает на ветру открытая форточка. Гимназисты с уважением, даже с некоторым страхом рассматривали лежащие перед ними на столах треугольники, точно загадочные фигуры - вместилища таинственных законов. Урок затягивался, но это%ге никто не замечал.
   - Ученые глубокой древности, - рассказывал учитель, - придавали особое значение этой простейшей геометрической фигуре - треугольнику. Они считали его чуть ли не основным началом всех тел, надеялись, изучив его свойства, познать законы Вселенной.
   Второгодник Овчинников, толкнув соседа, шепнул:
   - Из-за какого-то простого треугольника и столько разговоров.
   - Балбес ты, - сказал ему сосед. - Если тебе слушать не хочется - не мешай другим.
   Учитель в это время взял большой пятиугольник из деревянных планок, скрепленных по углам гвоздиками.
   Чтобы всем было видно, понес его меж рядами скамеек.
   - В чем же секрет треугольника, столь поразивший древние умы? продолжал он. - Смотрите, я растягиваю этот многоугольник в ширину, теперь - в длину, и он легко меняет форму. Выкинем одну планку - и четырехугольник подвижен: то квадрат получается, то ромб... Еще выкинем одну планку. Теперь это уже треугольник. Попробуйте изменить его форму. Перекосить... Вот, возьмите, - предложил он Овчинникову. - Ну, как? Выходит?
   - Нет, не выходит, - сказал озадаченный второгодник. - Жесткий. Разве что сломать его...
   - Стойте, стойте! - испугался Ибрагимов, схватив ученика за руку. - Не жмите... Жесткий!.. Это и есть чудесное свойство треугольника. Его используют и в технике и в строительстве. Мосты, крыши, дома - всюду в них вы найдете укрепляющие треугольники. Но, кроме того, запомните, что любой многоугольник можно разбить на треугольники. Не удивительно, что древние выделяли треугольник из всех других фигур.
   - Вот оно что! - сказал сосед Овчинникову. - А ты говоришь: из-за какого-то... Слушай.
   - Теперь вам понятно, - продолжал учитель, - что необходимо доказать нашу теорему, и доказать со всей математической строгостью... Итак, утверждаем: сумма внутренних углов треугольника равна 180°...
   Учитель, вернувшись к доске, быстро начертил треугольник и начал доказывать теорему. Торопливо заскрипели перья в классе...
   - Надеюсь, господа, - подводил итог учитель, - вы сами убедились в необходимости математического доказательства. С его помощью геометрические истины обобщают и приводят в стройную научную систему, в которой раскрываются все внутренние связи между ними. Вот почему итальянский ученый, художник и поэт Леонардо да Винчи утверждал, что никакое человеческое исследование не может назваться настоящим знанием, если не прошло через математические доказательства. Замечу, однако, что для приобретения настоящего знания большое значение имеет и опытное доказательство. Они весьма полезно дополняют друг друга. Выражаясь образно, мы как бы в науке имеем две лестницы, но по каждой из которых в отдельности не можем подниматься вследствие большого расстояния между ступенями. Следует сложить обе лестницы, тогда можно будет свободно подниматься вверх, опираясь на их ступени поочередно...
   Ибрагимов замолчал. Он стоял, облокотясь на кафедру, и выглядел уставшим, однако черные глаза его по-прежнему горели весело.
   - Может быть, имеются вопросы?..
   В коридоре, у самой двери, зазвенел голосистый звонок. Затем дверь неожиданно распахнулась и на пороге появился дежурный сторож с медным колокольчиком в руке.
   - Виноват, ваше благородие. Полагаю, что звонка на ту перемену, может, недослышали, так это уж я на вторую звоню, - почтительно проговорил он,
   В классе послышались возгласы:
   - Как же мы не заметили!
   - Два урока пролетело.
   - Два часа как одна минута!..
   Ибрагимов улыбнулся.
   - Наверстаем...
   За дверью в коридоре веселее и звонче залился колокольчик, но ученики не спешили выходить из класса, им хотелось поговорить с Ибрагимовым.
   - Теперь уже до следующего раза, господа, - сказал он им и предложил желающим самостоятельно доказать хотя бы одну хорошо знакомую теорему иным способом, чем в учебнике Осиповского. Затем поклонился и вышел своей обычной торопливой походкой.
   Лобачевский догнал его на лестнице.
   - Николай Мисаилович! - сказал он взволнованным голосом. - Простите! Я не хотел вас огорчить... Ставьте мне за поведение что угодно - худо или очень худо, но только не сердитесь...
   Ибрагимов засмеялся, потрепав Колю за плечо.
   - Странный вы мальчик, Лобачевский! Ну как могло вам такое прийти в голову? - сказал он, удивляясь. - Это же благодаря вам так интересно поговорили на уроке. Вы помогли всему классу разобраться в сущности доказательства.