Страница:
Профессор Н. Лобачевский.
Казань. 1826 года, февраля 6".
* * *
Лобачевский должен был читать свой доклад на расширенном заседании факультета в полдень одиннадцатого февраля. День выдался вьюжный, сумрачный. В математической аудитории зажгли свечи.
Николай Иванович пришел пораньше, за четверть часа, но в первом ряду, возле кафедры, уже сидели пять или шесть профессоров. Среди них - ректор Фукс. Посмеиваясь, он оживленно рассказывал что-то по-немецки своему соседу, адъюнкт-профессору Хальфину. Судя по словам, какие донеслись до Лобачевского, темой разговора была не геометрия, а какая-то романтическая история.
Лобачевский поклонился. Ректор ответил вежливо, не прерывая рассказа. Хальфин приложил правую ладонь к груди, кивком головы указав место рядом.
Показался и новый декан факультета прЪфессор Симонов. Прижимая локтем папку, шел он к председательскому столу, со всеми здоровался, улыбался каждому. За ним вошли его постоянные советники - физик профессор Купфер и математик Брашман. Зал наполнился народом.
Вот наконец вошел и секретарь отделения, адъюнкт Петр Михайлович Васильев; на ходу бормоча извинения, оп поспешил к своему столику. Симонов, недовольно покачав головой, открывает заседание и предоставляет слово докладчику.
"Держитесь, друг", - шепчет Хальфин.
Лобачевский поднялся на кафедру и поправил густые волосы. Говорить начал он спокойно, когда же услышал шуршание бумаги на председательском столе, остановился и взглянул на Симонова. Тот рисовал карандашом какие-то фигурки. Очнувшись, он посмотрел на докладчика и быстро перевернул свой рисунок. В этот момент раскрылась дверь и показался профессор философии Сергеев, фаворит Магницкого. Поглаживая длинную черную бороду, он остановился в раздумье: заходить или нет. Но кто-то услужливо предложил ему свой стул; грузно шагая и не заботясь о шуме, который вызвало его появление, профессор пересек зал и сел на другой свободный стул возле Кондырева.
- Господа, - повысил голос Лобачевский, - трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе; так же, как возрастает она в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями...
Он посмотрел на слушателей, надеясь увидеть пытливые заинтересованные взгляды. Но их не было. Ученые рассеянно смотрели по сторонам, а те, немногие, кто глядел на докладчика, ухмылялись: "Ну, ну, послушаем, что же ты намудрил там"...
Лобачевский продолжал:
- В геометрии нашел я несовершенства, которые причиной того, что эта наука до сих пор не вышла ни на шаг за пределы того состояния, в каком она перешла к нам от Евклида. К этим несовершенствам отношу я неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми представляем измерение величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, восполнение коего математиками было тщетным... Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в геометрии. Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки [Английский геометр Клиффорд писал впоследствии: "...чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский - для Евклида.
Между Коперником и Лобачевским существует любопытная параллель. Коперник и Лобачевский - оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти революции имеют одно и то же значение.
Причина их громадного значения заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса".[lobach05.gif То есть не имея возможности доказать это в пределах самой геометрии].
Последние слова докладчика наконец-то растормошили сонный зал: все насторожились. Как? В столь тревожное время решиться на такой отчаянный шаг - попытаться разрушить основы установленного порядка? Профессор Сергеев даже крякнул от удивления.
- Чтобы не утомлять вас, господа, - продолжал тем временем Лобачевский, - множеством таких предложений, коих доказательства не представляют затруднений, я привожу здесь только те из них, знание которых необходимо для последующего...
К несовершенству в теории параллельных надобно было причислять определение самой параллельности. Однако ж несовершенство нисколько не зависело, как подозревал еще Лежандр, от недостатка в определении прямой линии, ни даже от тех недостатков, прибавлю, которые скрывались в первых понятиях. Дело в том, что Евклид, не будучи в состоянии дать удовлетворительное доказательство, допускал в употребительной геометрии тот частный случай, когда две параллельные должны быть вместе перпендикулярами к одной прямой. Однако наука не может быть произвольным следствием одного частного случая! - убежденно заявил докладчик. - Поэтому должна существовать общая геометрическая система с полной теорией параллельных...
Тут Лобачевский сошел с кафедры и, подойдя к черной доске, взял остро заточенный кусок мела.
- Все прямые линии, - говорил он, и линии словно сами ложились на доску под его искусной рукой, - выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии.
lobach04.gif
Из точки А опустим на прямую В С перпендикуляр AD, к которому, в свою очередь, восставим перпендикуляр АЕ.
В прямом угле EAD линии, выходящие из точки А, либо все встречают прямую DC, как, например, AF, либо же некоторые, подобно перпендикуляру АЕ, не встречают DC.
[Это допущение Лобачевского может показаться невероятным.
"Попробуйте продолжить прямые ДС и АН, они пересекутся тут же на листке бумаги!" - скажет читатель. Да, пересекутся на обычной (привычной нам) евклидовой плоскости. Но, выдвинув свой постулат, Лобачевский тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неекклидовом пространстве вовсе не плоская. У нее есть кривизна.
Да, кривизна, ибо само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида.
Следовательно, геометрия последнего есть лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.
Только недавно, спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной и его геометрия отлична от евклидовой. Величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры полей тяготения тех или иных его участков.
Таким образом, начерченные на листке бумаги (то есть в евклидовой плоскости) параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид, и поэтому, конечно, они пересекутся.
Чтобы не нарушить интуиции, выработанной евклидовой геометрией, можем изобразить указанный чертеж в несколько ином виде.] He зная, есть ли перпендикуляр АЕ единственная прямая, которая не встречается с DC, будем считать возможным, что существуют и другие линии, например AG, которые не встречаются с DC, сколько бы мы их ни продолжали. При переходе от пересекающих линии AF к непересекающим AG мы должны встретить линии АН параллельную DC2, - граничную линию, - по одну сторону которой ни одна линия AG не встречает DC, между тем как по другую сторону каждая линия AF пересекает линию DC. Угол HAD между параллелью АН и перпендикуляром AD называется углом параллельности; мы будем здесь обозначать его через П(Р) при AD = p [Это обозначение основано на том, что величина угла параллельности непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра АД. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр уходит в бесконечность, этот угол становится равным нулю. Следовательно, в геометрии Лобачевского имеет место взаимозависимость угла и отрезка, что представляет самый существенный момент.].
Если П(р) есть прямой угол [То есть в случае геометрии Евклида], то продолжение АЕ' перпендикуляра АЕ также будет параллельно продолжению DB линии DC. Кроме параллели ЕЕ', все другие прямые при достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать линию В С.
Если П(р) " 1/2 п [То есть в случае неевклидовой геометрии], то по другую сторону перпендикуляра AD под тем же углом DAK=П(Р) будет проходить еще одна линия А К, параллельная продолжению DB линии DC; таким образом, при этом допущении мы должны отличать еще сторону параллельности [Иными словами, прямая АН считается параллельной прямой ВС в сторону ДС, а прямая АК - параллельной той же прямой в сторону ДВ. Это получает еще более точное выражение, если говорить только о лучах, а не прямых: луч АН параллелен лучу ВС, а луч АК параллелен лучу С В; вместе с тем через точку А, лежащую вне луча ВС, во всяком случае (то есть как в евклидовой, так в неевклидовой геометриях) проходит один и только один параллельный ему луч AH]...
Сообразно этому при предположении П(р)= 1/2П линии могут быть только пересекающими или параллельными; если же принять, что П(Р)" 1/2П , то нужно допустить две параллели, одну по одну сторону перпендикуляра, другую по другую его сторону; кроме того, между остальными линиями нужно различать пересекающие и непересекающие: нк; при одном, так и при другом предположении признаком параллелизма служит то, что линия становится пересекающей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель; таким образом, если АН параллельна DC, то каждая линия AF, сколь бы мал ни был угол HAF, пересекает ДС... Параллельность уже рассматривается во всей обширности [Таким образом, Лобачевский изменил само понимание параллелизма. Параллельными линиями Евклид называет такие, которые находятся в одной плоскости и, при неограниченном продолжении их, не пересекаются. Получается, что непересекающиеся и параллельные - одно и то же. Не так у Лобачевского. Из всех непересекающих данную прямую он выбирает лишь две крайне прямые линии и называет их параллельными. Все остальные прямые не пересекающие данную, он не считает параллельными данной (в настоящее время в математической литературе их обычно называют сверхпараллельными или расходящимися).
Аксиома параллельных Лобачевского в связи с этим получает уточнение и может быть сформулирована: если дана прямая ВС и не лежащая на ней точка А, то через точку А в плоскости ABC можно провести две прямые, параллельные данной прямой СВ (на чертеже это - прямые АН и АН; прямая ЕЕ' - евклидова параллель)] и служит основанием геометрии в самом общем виде, которой я дал название "Воображаемой геометрии".
Последние два слова, сказанные отчетливо, прозвучали как вызов. Лобачевский умолк и пристально всмотрелся в лица слушателей. Выражение этих лиц не обещало хорошего. Симонов явно скучал, развлекаясь обломком гусиного пера как зубочисткой. Никольский усиленно кивал головой и пожимал плечами, стремясь выразить согласие с чем-то, что нашептывал ему Брашман. Фукс, опираясь руками на широко расставленные колени, думал о чем-то своем, даже не стараясь прислушаться к докладу. Профессор химии Дунаев, небрежно перевалившись, что-то нашептывал сидевшему рядом розовощекому Купферу.
Николаю Ивановичу вдруг вспомнилась поговорка Дунаева, с которой начинал он обычно свой курс лекций по химии: "Алхимия, господа, есть мать химии. Дочь не виновата, что мать ее глуповата..."
Вот сейчас, в эту минуту, рождается новая наука. Но мать ее не глупая и невежественная алхимия, а мудрая геометрия, давно покорившая весь мир, царствующая в нем более двух тысячелетий. И все-таки "Воображаемая геометрия" дерзает встать рядом с матерью, а завтра, может быть, скажет, что и переросла ее. Завтра...
Но пока что Лобачевский, создатель этой новой геометрии, видел с кафедры лишь холодные недоверчивые взгляды сидящих перед ним людей - тех, кто его слушал: физиков, математиков, астрономов, философов.
А говорил он вещи, которые на самом деле странно было в то время услышать из уст ученого. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых, утверждал он, причем, по мере бесконечного возрастания всех сторон треугольника, эта сумма стремится к нулю. Попробуйте представить себе треугольник, сумма углов которого ничему не равна! Подобных треугольников, как и вообще подобных фигур, существовать не может. В этой геометрии отсутствуют точные прямоугольники, даже квадраты...
- Да что ж это, Николай Иванович? - вскочил Никольский. - Государи мои! - обратился он к окружающим. - Я понимать отказываюсь.
- Нечего возмущаться, Григорий Борисович, - с иронией заметил Сергеев, - успокойтесь. Ведь геометрия уважаемого Николая Ивановича всего лишь воображаемая!
Чего только не может представить нам воображение, особливо горячее! Почему бы не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным.
В зале засмеялись.
- Григорий Борисович!.. Петр Сергеевич! - Ударом кулака по столу Симонов призвал их к порядку. - Господа, свое суждение о новой геометрии будете высказывать после.. Прошу! - он обернулся к Николаю Ивановичу.
Лобачевский стиснул челюсти так, что виски побелели.
Он понял: продолжать не следует. Глухая, непробиваемая стена стояла между ним и людьми, сидящими в этом сумрачном зале. Никто не понимал его и не хотел понять.
Слова о необычайном и сложном, почти фантастическом строении мира, эти слова, сказанные впервые на земле, были обращены к глухим. И что удивительно, среди коллег никому в данную минуту не пришла в голову простая мысль: ведь Лобачевский истинный математик - это всем известно и всеми признано; а раз так, может быть, и то, что сейчас он говорил им звонким от волнения голосом, вовсе не является бредом? Возможно, в этом есть какой-то ими еще не понятый смысл, и об этом стоит подумать?
- Я сказал все, господин председатель, - произнес Лобачевский, и голос его прозвучал сурово.
Симонов на какую-то секунду растерялся, не зная, что предпринять.
- Та-а-акс, - протянул он. - Господа, кто бы хотел высказать свои соображения?
Ответом было гнетущее молчание. Сидели, потупив глаза: боялся каждый, как бы не встретиться взглядом с Лобачевским.
- Господа! - снова заговорил Симонов. - Полагаю нужным составить комиссию, коей и перепоручить глубокое изучение доклада уважаемого Николая Ивановича.
Это предложение сразу же поддержал ректор.
- Полагаю то же, - сказал он, - и предлагаю в оную комиссию Ивана Михайловича, Александра Яковлевича и Николая Дмитриевича.
Так и решили: Симонову, Купферу и Брашману рассмотреть "Сжатое изложение начал" и представить отзыв о нем отделению.
Лобачевский, ни с кем не прощаясь, направился к выходу Никто не сделал попытки задержать его. Вскоре, одевпшсь и выйдя на улицу, он почувствовал себя совсем опустошенным. Только тупая боль где-то глубоко в сердце напоминала, что свершилось нечто ужасное.
Вьюга все еще бушевала.
Снег снег вокруг... Исчезали и выплывали снова быстролетные кони с развевающимися по ветру длинными гривами с отчаянно заливистым звоном бубенцов.
Придерживая руками шапку, чтобы ветер не сорвал ее с головы Лобачевский долго смотрел на проносившиеся мимо тройки, слушал звон бубенцов, и казалось ему, что вон там, исчезая в снежной пыли, проносятся перед ним его детство и юность... Вспомнился Нижний... Сергеи Степанович дома, в окружении ребят. "Вам, дорогие, предстоит укротить и запрячь природу, как горячего коня, для службы человечеству, - говорит он с увлечением.- Тогда лишь тот кто сейчас беден и слаб, станет богатым и сильным Все это вам даст наука. И прежде всего математика, развитие которой тесно связано с процветанием государСТВИ снова это щемящее чувство: "Ничего не поняли! Неужели все провалилось? Неужели новая геометрия останется без отклика? Неужели столько лет затрачено впустую?
"Да нет же! - уговаривал он себя. - Воображаемая геометрия опередила свое время. Только надо прояснить ее и сделать понятной каждому..."
Пересекая улицу, Лобачевский увидел на дороге подкову: она лежала шипами кверху, стало быть, к счастью!
И до блеска натертая, сияла в снегу. Серебряная.
"Геометрия! - вспомнил он полузабытые строчки давно им задуманного стихотворения. - Из твоего вечно цветущего сада, подобно пчеле, буду мед собирать своему народу! Лишь только в тебе я найду свое счастье".
Лобачевский медленно шел навстречу ветру, окутанный вихрем снежинок, похожих на рой белых пчел. Когда буран разыгрался, он прибавил шагу: впереди сквозь 6V лесые космы вьюги в саду светилось покрытое черной сеткой метущихся ветвей окно его рабочего кабинета.
СЕРЕБРЯНАЯ ПОДКОВА.
(Эпилог)
"Щит разделен горизонтально на две части, из коих в верхней в красном поле изображены шестиугольная из двух золотых треугольников составленная звезда и летящая вверх пчела, а в нижней в голубом поле стрела и серебряная подкова, шипами вверх обращенная. Щит увенчан дворянским шлемом и короною с тремя на оной страусовыми перьями. Намет на щите голубой, подложенный золотом".
(Описание фамильного герба Н. И. Лобачевского в жалованной грамоте, выданной ему на дворянское достоинство 29 апреля 1838 года, за успехи по службе и выдающиеся заслуги в науке.)
Казань. 1826 года, февраля 6".
* * *
Лобачевский должен был читать свой доклад на расширенном заседании факультета в полдень одиннадцатого февраля. День выдался вьюжный, сумрачный. В математической аудитории зажгли свечи.
Николай Иванович пришел пораньше, за четверть часа, но в первом ряду, возле кафедры, уже сидели пять или шесть профессоров. Среди них - ректор Фукс. Посмеиваясь, он оживленно рассказывал что-то по-немецки своему соседу, адъюнкт-профессору Хальфину. Судя по словам, какие донеслись до Лобачевского, темой разговора была не геометрия, а какая-то романтическая история.
Лобачевский поклонился. Ректор ответил вежливо, не прерывая рассказа. Хальфин приложил правую ладонь к груди, кивком головы указав место рядом.
Показался и новый декан факультета прЪфессор Симонов. Прижимая локтем папку, шел он к председательскому столу, со всеми здоровался, улыбался каждому. За ним вошли его постоянные советники - физик профессор Купфер и математик Брашман. Зал наполнился народом.
Вот наконец вошел и секретарь отделения, адъюнкт Петр Михайлович Васильев; на ходу бормоча извинения, оп поспешил к своему столику. Симонов, недовольно покачав головой, открывает заседание и предоставляет слово докладчику.
"Держитесь, друг", - шепчет Хальфин.
Лобачевский поднялся на кафедру и поправил густые волосы. Говорить начал он спокойно, когда же услышал шуршание бумаги на председательском столе, остановился и взглянул на Симонова. Тот рисовал карандашом какие-то фигурки. Очнувшись, он посмотрел на докладчика и быстро перевернул свой рисунок. В этот момент раскрылась дверь и показался профессор философии Сергеев, фаворит Магницкого. Поглаживая длинную черную бороду, он остановился в раздумье: заходить или нет. Но кто-то услужливо предложил ему свой стул; грузно шагая и не заботясь о шуме, который вызвало его появление, профессор пересек зал и сел на другой свободный стул возле Кондырева.
- Господа, - повысил голос Лобачевский, - трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе; так же, как возрастает она в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями...
Он посмотрел на слушателей, надеясь увидеть пытливые заинтересованные взгляды. Но их не было. Ученые рассеянно смотрели по сторонам, а те, немногие, кто глядел на докладчика, ухмылялись: "Ну, ну, послушаем, что же ты намудрил там"...
Лобачевский продолжал:
- В геометрии нашел я несовершенства, которые причиной того, что эта наука до сих пор не вышла ни на шаг за пределы того состояния, в каком она перешла к нам от Евклида. К этим несовершенствам отношу я неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми представляем измерение величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, восполнение коего математиками было тщетным... Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в геометрии. Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки [Английский геометр Клиффорд писал впоследствии: "...чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский - для Евклида.
Между Коперником и Лобачевским существует любопытная параллель. Коперник и Лобачевский - оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, воззрениях, и обе эти революции имеют одно и то же значение.
Причина их громадного значения заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса".[lobach05.gif То есть не имея возможности доказать это в пределах самой геометрии].
Последние слова докладчика наконец-то растормошили сонный зал: все насторожились. Как? В столь тревожное время решиться на такой отчаянный шаг - попытаться разрушить основы установленного порядка? Профессор Сергеев даже крякнул от удивления.
- Чтобы не утомлять вас, господа, - продолжал тем временем Лобачевский, - множеством таких предложений, коих доказательства не представляют затруднений, я привожу здесь только те из них, знание которых необходимо для последующего...
К несовершенству в теории параллельных надобно было причислять определение самой параллельности. Однако ж несовершенство нисколько не зависело, как подозревал еще Лежандр, от недостатка в определении прямой линии, ни даже от тех недостатков, прибавлю, которые скрывались в первых понятиях. Дело в том, что Евклид, не будучи в состоянии дать удовлетворительное доказательство, допускал в употребительной геометрии тот частный случай, когда две параллельные должны быть вместе перпендикулярами к одной прямой. Однако наука не может быть произвольным следствием одного частного случая! - убежденно заявил докладчик. - Поэтому должна существовать общая геометрическая система с полной теорией параллельных...
Тут Лобачевский сошел с кафедры и, подойдя к черной доске, взял остро заточенный кусок мела.
- Все прямые линии, - говорил он, и линии словно сами ложились на доску под его искусной рукой, - выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии.
lobach04.gif
Из точки А опустим на прямую В С перпендикуляр AD, к которому, в свою очередь, восставим перпендикуляр АЕ.
В прямом угле EAD линии, выходящие из точки А, либо все встречают прямую DC, как, например, AF, либо же некоторые, подобно перпендикуляру АЕ, не встречают DC.
[Это допущение Лобачевского может показаться невероятным.
"Попробуйте продолжить прямые ДС и АН, они пересекутся тут же на листке бумаги!" - скажет читатель. Да, пересекутся на обычной (привычной нам) евклидовой плоскости. Но, выдвинув свой постулат, Лобачевский тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неекклидовом пространстве вовсе не плоская. У нее есть кривизна.
Да, кривизна, ибо само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида.
Следовательно, геометрия последнего есть лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.
Только недавно, спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной и его геометрия отлична от евклидовой. Величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры полей тяготения тех или иных его участков.
Таким образом, начерченные на листке бумаги (то есть в евклидовой плоскости) параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид, и поэтому, конечно, они пересекутся.
Чтобы не нарушить интуиции, выработанной евклидовой геометрией, можем изобразить указанный чертеж в несколько ином виде.] He зная, есть ли перпендикуляр АЕ единственная прямая, которая не встречается с DC, будем считать возможным, что существуют и другие линии, например AG, которые не встречаются с DC, сколько бы мы их ни продолжали. При переходе от пересекающих линии AF к непересекающим AG мы должны встретить линии АН параллельную DC2, - граничную линию, - по одну сторону которой ни одна линия AG не встречает DC, между тем как по другую сторону каждая линия AF пересекает линию DC. Угол HAD между параллелью АН и перпендикуляром AD называется углом параллельности; мы будем здесь обозначать его через П(Р) при AD = p [Это обозначение основано на том, что величина угла параллельности непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра АД. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр уходит в бесконечность, этот угол становится равным нулю. Следовательно, в геометрии Лобачевского имеет место взаимозависимость угла и отрезка, что представляет самый существенный момент.].
Если П(р) есть прямой угол [То есть в случае геометрии Евклида], то продолжение АЕ' перпендикуляра АЕ также будет параллельно продолжению DB линии DC. Кроме параллели ЕЕ', все другие прямые при достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать линию В С.
Если П(р) " 1/2 п [То есть в случае неевклидовой геометрии], то по другую сторону перпендикуляра AD под тем же углом DAK=П(Р) будет проходить еще одна линия А К, параллельная продолжению DB линии DC; таким образом, при этом допущении мы должны отличать еще сторону параллельности [Иными словами, прямая АН считается параллельной прямой ВС в сторону ДС, а прямая АК - параллельной той же прямой в сторону ДВ. Это получает еще более точное выражение, если говорить только о лучах, а не прямых: луч АН параллелен лучу ВС, а луч АК параллелен лучу С В; вместе с тем через точку А, лежащую вне луча ВС, во всяком случае (то есть как в евклидовой, так в неевклидовой геометриях) проходит один и только один параллельный ему луч AH]...
Сообразно этому при предположении П(р)= 1/2П линии могут быть только пересекающими или параллельными; если же принять, что П(Р)" 1/2П , то нужно допустить две параллели, одну по одну сторону перпендикуляра, другую по другую его сторону; кроме того, между остальными линиями нужно различать пересекающие и непересекающие: нк; при одном, так и при другом предположении признаком параллелизма служит то, что линия становится пересекающей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель; таким образом, если АН параллельна DC, то каждая линия AF, сколь бы мал ни был угол HAF, пересекает ДС... Параллельность уже рассматривается во всей обширности [Таким образом, Лобачевский изменил само понимание параллелизма. Параллельными линиями Евклид называет такие, которые находятся в одной плоскости и, при неограниченном продолжении их, не пересекаются. Получается, что непересекающиеся и параллельные - одно и то же. Не так у Лобачевского. Из всех непересекающих данную прямую он выбирает лишь две крайне прямые линии и называет их параллельными. Все остальные прямые не пересекающие данную, он не считает параллельными данной (в настоящее время в математической литературе их обычно называют сверхпараллельными или расходящимися).
Аксиома параллельных Лобачевского в связи с этим получает уточнение и может быть сформулирована: если дана прямая ВС и не лежащая на ней точка А, то через точку А в плоскости ABC можно провести две прямые, параллельные данной прямой СВ (на чертеже это - прямые АН и АН; прямая ЕЕ' - евклидова параллель)] и служит основанием геометрии в самом общем виде, которой я дал название "Воображаемой геометрии".
Последние два слова, сказанные отчетливо, прозвучали как вызов. Лобачевский умолк и пристально всмотрелся в лица слушателей. Выражение этих лиц не обещало хорошего. Симонов явно скучал, развлекаясь обломком гусиного пера как зубочисткой. Никольский усиленно кивал головой и пожимал плечами, стремясь выразить согласие с чем-то, что нашептывал ему Брашман. Фукс, опираясь руками на широко расставленные колени, думал о чем-то своем, даже не стараясь прислушаться к докладу. Профессор химии Дунаев, небрежно перевалившись, что-то нашептывал сидевшему рядом розовощекому Купферу.
Николаю Ивановичу вдруг вспомнилась поговорка Дунаева, с которой начинал он обычно свой курс лекций по химии: "Алхимия, господа, есть мать химии. Дочь не виновата, что мать ее глуповата..."
Вот сейчас, в эту минуту, рождается новая наука. Но мать ее не глупая и невежественная алхимия, а мудрая геометрия, давно покорившая весь мир, царствующая в нем более двух тысячелетий. И все-таки "Воображаемая геометрия" дерзает встать рядом с матерью, а завтра, может быть, скажет, что и переросла ее. Завтра...
Но пока что Лобачевский, создатель этой новой геометрии, видел с кафедры лишь холодные недоверчивые взгляды сидящих перед ним людей - тех, кто его слушал: физиков, математиков, астрономов, философов.
А говорил он вещи, которые на самом деле странно было в то время услышать из уст ученого. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых, утверждал он, причем, по мере бесконечного возрастания всех сторон треугольника, эта сумма стремится к нулю. Попробуйте представить себе треугольник, сумма углов которого ничему не равна! Подобных треугольников, как и вообще подобных фигур, существовать не может. В этой геометрии отсутствуют точные прямоугольники, даже квадраты...
- Да что ж это, Николай Иванович? - вскочил Никольский. - Государи мои! - обратился он к окружающим. - Я понимать отказываюсь.
- Нечего возмущаться, Григорий Борисович, - с иронией заметил Сергеев, - успокойтесь. Ведь геометрия уважаемого Николая Ивановича всего лишь воображаемая!
Чего только не может представить нам воображение, особливо горячее! Почему бы не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным.
В зале засмеялись.
- Григорий Борисович!.. Петр Сергеевич! - Ударом кулака по столу Симонов призвал их к порядку. - Господа, свое суждение о новой геометрии будете высказывать после.. Прошу! - он обернулся к Николаю Ивановичу.
Лобачевский стиснул челюсти так, что виски побелели.
Он понял: продолжать не следует. Глухая, непробиваемая стена стояла между ним и людьми, сидящими в этом сумрачном зале. Никто не понимал его и не хотел понять.
Слова о необычайном и сложном, почти фантастическом строении мира, эти слова, сказанные впервые на земле, были обращены к глухим. И что удивительно, среди коллег никому в данную минуту не пришла в голову простая мысль: ведь Лобачевский истинный математик - это всем известно и всеми признано; а раз так, может быть, и то, что сейчас он говорил им звонким от волнения голосом, вовсе не является бредом? Возможно, в этом есть какой-то ими еще не понятый смысл, и об этом стоит подумать?
- Я сказал все, господин председатель, - произнес Лобачевский, и голос его прозвучал сурово.
Симонов на какую-то секунду растерялся, не зная, что предпринять.
- Та-а-акс, - протянул он. - Господа, кто бы хотел высказать свои соображения?
Ответом было гнетущее молчание. Сидели, потупив глаза: боялся каждый, как бы не встретиться взглядом с Лобачевским.
- Господа! - снова заговорил Симонов. - Полагаю нужным составить комиссию, коей и перепоручить глубокое изучение доклада уважаемого Николая Ивановича.
Это предложение сразу же поддержал ректор.
- Полагаю то же, - сказал он, - и предлагаю в оную комиссию Ивана Михайловича, Александра Яковлевича и Николая Дмитриевича.
Так и решили: Симонову, Купферу и Брашману рассмотреть "Сжатое изложение начал" и представить отзыв о нем отделению.
Лобачевский, ни с кем не прощаясь, направился к выходу Никто не сделал попытки задержать его. Вскоре, одевпшсь и выйдя на улицу, он почувствовал себя совсем опустошенным. Только тупая боль где-то глубоко в сердце напоминала, что свершилось нечто ужасное.
Вьюга все еще бушевала.
Снег снег вокруг... Исчезали и выплывали снова быстролетные кони с развевающимися по ветру длинными гривами с отчаянно заливистым звоном бубенцов.
Придерживая руками шапку, чтобы ветер не сорвал ее с головы Лобачевский долго смотрел на проносившиеся мимо тройки, слушал звон бубенцов, и казалось ему, что вон там, исчезая в снежной пыли, проносятся перед ним его детство и юность... Вспомнился Нижний... Сергеи Степанович дома, в окружении ребят. "Вам, дорогие, предстоит укротить и запрячь природу, как горячего коня, для службы человечеству, - говорит он с увлечением.- Тогда лишь тот кто сейчас беден и слаб, станет богатым и сильным Все это вам даст наука. И прежде всего математика, развитие которой тесно связано с процветанием государСТВИ снова это щемящее чувство: "Ничего не поняли! Неужели все провалилось? Неужели новая геометрия останется без отклика? Неужели столько лет затрачено впустую?
"Да нет же! - уговаривал он себя. - Воображаемая геометрия опередила свое время. Только надо прояснить ее и сделать понятной каждому..."
Пересекая улицу, Лобачевский увидел на дороге подкову: она лежала шипами кверху, стало быть, к счастью!
И до блеска натертая, сияла в снегу. Серебряная.
"Геометрия! - вспомнил он полузабытые строчки давно им задуманного стихотворения. - Из твоего вечно цветущего сада, подобно пчеле, буду мед собирать своему народу! Лишь только в тебе я найду свое счастье".
Лобачевский медленно шел навстречу ветру, окутанный вихрем снежинок, похожих на рой белых пчел. Когда буран разыгрался, он прибавил шагу: впереди сквозь 6V лесые космы вьюги в саду светилось покрытое черной сеткой метущихся ветвей окно его рабочего кабинета.
СЕРЕБРЯНАЯ ПОДКОВА.
(Эпилог)
"Щит разделен горизонтально на две части, из коих в верхней в красном поле изображены шестиугольная из двух золотых треугольников составленная звезда и летящая вверх пчела, а в нижней в голубом поле стрела и серебряная подкова, шипами вверх обращенная. Щит увенчан дворянским шлемом и короною с тремя на оной страусовыми перьями. Намет на щите голубой, подложенный золотом".
(Описание фамильного герба Н. И. Лобачевского в жалованной грамоте, выданной ему на дворянское достоинство 29 апреля 1838 года, за успехи по службе и выдающиеся заслуги в науке.)