БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ПР)

га.Овощи занимают 43,3 тыс. га.Из технических культур сеют лён (65 тыс. га) ,в Литовской ССР и Латвийской ССР - сахарную свёклу (44,5 тыс. га) .Плодово-ягодные насаждения занимают 119 тыс. га.На начало 1974 в районе было 4500 тыс. голов крупного рогатого скота (в т. ч. 1932 тыс. коров), 4595 тыс. свиней, 705 тыс. овец и коз. В 1973 производство молока достигло 5803 тыс. т,мяса в убойном весе 822 тыс. т.Доля района в общесоюзном производстве молока составила 6,6%, мяса 6,1%, картофеля 6%, льноволокна 3,7%. Для обеспечения нужд сельского хозяйства в минеральных удобрениях построены заводы азотных удобрений (Ионава и Кохтла-Ярве), комбинаты фосфорных удобрений (Кедайняй и Маарду).

  Район имеет густую сеть железных и автомобильных дорог. Протяжённость железных дорог 6,19 тыс. км,автодорог с твёрдым покрытием 56 тыс. км,судоходных внутренних водных путей 2 тыс. км(1973). Большое значение в экспортно-импортных перевозках имеет морской транспорт. Главные морские порты: Рига, Калининград, Таллин, Клайпеда, Лиепая, Вентспилс. Речное судоходство по Нямунасу, Преголе, на отдельных участках Даугавы, Лиелупе, Венты, Эмайыги, Нарвы, по Чудскому и Псковскому озеру. Газопроводы Дашава - Вильнюс - Рига и Вуктыл - Торжок - Рига с ответвлениями к др. промышленным центрам.

  В П. э. р. ввозится из др. экономических районов большое количество топлива и сырья: нефтепродуктов, природного газа, угля, проката чёрных и цветных металлов, деловой древесины, пиломатериалов, хлопка, шерсти, а также машин (тракторы, комбайны, автомобили и др.), оборудования, продуктового и фуражного зерна. Вывозится рыбная продукция, радиоприёмники, магнитофоны, счётные машины, телефонная аппаратура, приборы, металлорежущие станки, пассажирские электровагоны, трамваи, микроавтобусы, мопеды, электроизделия, бумага, фанера, мебель, ткани, трикотаж, янтарные изделия, масло животное, мясо, сыр. П. э. р. - один из важных районов курортов и туризма в СССР. На базе использования минеральных источников, морских пляжей, живописных озёрно-лесных местностей создана сеть курортов и центров отдыха: Пярну, Хаапсалу, Нарва-Йыэсуу (Эстонская ССР), Юрмала, Балдоне (Латвийская ССР), Паланга, Друскининкай, Бирштонас, Ликенай (Литовская ССР), Светлогорск, Зеленоградск (Калининградская область РСФСР). Экономические карты см. при статьях , , .

  Лит.:Прибалтийский экономический район, М., 1970; Советская Прибалтика, М., 1966, Гербов В. Л., Мазанова М. Б., Особенности хозяйства Прибалтийского экономического района и проблемы его дальнейшего развития, в сборнике: Развитие и размещение производительных сил экономических районов СССР, М., 1967; Средняя полоса Европейской части СССР, М., 1967 (Природные условия и естественные ресурсы СССР).

  В. Л. Гербов.

Прибельский

Прибе'льский, посёлок городского типа в Кармаскалинском районе Башкирской АССР. Расположен на левом берегу р. Белая, в 5 кмот ж.-д. станции. Сахарозаводская (на линии Уфа - Стерлитамак). Сахарный завод, молочноконсервный комбинат, откормочный совхоз.

Прибина

При'бина(г. рождения неизвестен - умер 860), славянский князь. Правил в Нитранском княжестве (на территории современной Словакии), около 833 был изгнан князем Моймиром I. В 842 получил в лен от короля Людовика Немецкого , ставшее с 848 собственностью П. Основал столицу княжества г. Блатен (Блатенград). Содействовал христианизации местного славянского населения.

Прибичевич Светозар

При'бичевич(Прибићевић) Светозар (26.10.1875, Хрватска-Костайница, - 15.9.1936, Прага), сербский и югославский политический деятель. С 1910 лидер хорватско-сербской коалиции в хорватском и славонском .В 1918 заместитель председателя Загребского народного веча, участник создания Королевства сербов, хорватов и словенцев (с 1929 - Югославия). В 1918-20 министр внутренних дел, в 1920-22, 1924-25 министр просвещения. В 1919 - один из организаторов ,из которой в 1924 вышел и основал Независимую демократическую партию. В 1925 вошёл в коалицию с Н. ,около 1927 - с С. .После военно-монархического переворота 1929 П., выступавший против диктатуры короля Александра, был вынужден эмигрировать (в 1931).

Приближение и интерполирование функций

Приближе'ние и интерполи'рование фу'нкций, раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

  Приближение функций - нахождение для данной функции fфункции gиз некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f,дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g,как понимается близость функций fи g.Интерполирование функций - частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции fи приближающей её функции g,а в более общем случае - и значения некоторых их производных.

  Для оценки близости исходной функции fи приближающей её функции gиспользуются в зависимости от рассматриваемой задачи различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций Си функций, интегрируемых с р-й степенью, L _p, р³ 1 , вкоторых расстояние между функциями fи gопределяется (для функций, заданных на отрезке [ а, b]) по формулам

и

 Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

a _kj _k( x),

где (j ₁,..., j _n-заданные функции, a a ₁,..., a _n-произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

a _kx _k

или тригонометрические полиномы

а ₀+ ( a _kcos kx+ b _k sin kx) .

 Рассматриваются также полиномы по ,по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P( x) /Q( x) ,где в качестве Ри Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.

  В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [ a, b] разбивается точками a= x ₀< x ₁< ...< x _n= b,на каждом отрезке [ x _k, x _k+1] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [ а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах x _kприближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов x _kправильного их расположения на отрезке [ а, b] .Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

  Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

  Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. .Он ввёл одно из основных понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f( x) полиномами a _kj _k( x) в метрике С называется величина

E _n = min || f - a _kj _k( x)|| _c,

где минимум берётся по всем числам а ₁,..., a _n.Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции x ⁿ⁺¹на отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени nравно 1/2 ⁿ, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

x ⁿ⁺¹-  = (1/2 ⁿ) cos ( n+ 1) arccos x.

  Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен , в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции fв метрике С [-1, 1], если существуют n+ 2 точки -1 Ј x ₁ < x ₂ <... < x _n+2  Ј 1, в которых разность f( x) -2 принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

  Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

  С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n® Ґ последовательности E _n -наилучших приближений функции fалгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин E _n в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.

  Для того чтобы функция f   была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка

E _n Ј Aq ⁿ,

где q< 1 и А -некоторые положительные числа, не зависящие от n(теорема С. Н. Бернштейна).

  Для того чтобы функция f   периода 2p имела производную порядка r, r= 0 ,1,2,..., удовлетворяющую условию

| f ^(r)( x+ h) - f ^(r)( x)| Ј M| h| ^a ,

0 < a < 1, М -некоторое положительное число, или условию

| f ^(r)( x+ h) - 2 f ^(r)( x) + f ^(r)( x - h)| Ј M| h| ^a

(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции fтригонометрическими полиномами была справедлива оценка

Е _п  Ј А/n ^{r+ a} ,

где А -некоторое положительное число, не зависящее от n.В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. ,Ш. Ж. и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

  Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

  Для приближений в метрике L ₂полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

  Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f+ gне обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций fи g.Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции f( x) можно брать частные суммы её ряда Фурье S _n( f, х) .При этом справедлива оценка (теорема А. )

|| f - S _n || _c Ј ( L _n  + 1) E _n ,

где L _n-числа, растущие при n® Ґ как (4/p ²) ln n. Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы S _n доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке [-1, 1] с узлами , k= 1, 2 ,..., n,т. е. в нулях полинома Чебышева cos narccos x.Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n® Ґ, что и наилучшие приближения.

  А. Н. начал изучение нового вопроса теории приближений - задачи о нахождении при фиксированном nтакой системы функций j ₁,..., j _n,для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами  были бы наименьшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.

  Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал «Journal of Approximation Theory».

  См. также .

  Лит.: Монографии. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.

  Обзоры.Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947, М. - Л., 1948, с. 288-318; Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 295-379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568-588.

  С. А. Теляковский.

Приближение функций комплексного переменного

Приближе'ние фу'нкций ко'мплексного переме'нного,раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

  Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z,может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. ) этой области посредством полиномов от z.Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов Кв комплексной плоскости любая функция f,непрерывная на Ки голоморфная на множестве внутренних точек К,допускает равномерную аппроксимацию на К(с любой степенью точности) посредством полиномов от z.Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К.Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. (1934), для замкнутых областей - М. В. (1945) и в общем случае - С. Н. (1951).

  Пусть Е _п= E _n( f, K) -наилучшее приближение функции fна компакте Кпосредством полиномов от zстепени не выше n(в равномерной метрике). Если К -компакт со связным дополнением и функция f   голоморфна на К,то последовательность { Е _п} стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: E _n< q ⁿ,0 < q= q  < 1 ( n> N) .Если f   непрерывна на Ки голоморфна во внутренних точках К,то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f   на границе К(модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.

 Другие направления исследований - равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.

  Лит.:Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. - Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112-78.

  А. А. Гончар.

Приближённое интегрирование

Приближённое интегри'рованиеопределённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых .

 Пусть y= f( x) -непрерывная функция на отрезке [ a, b] и интеграл

 Если для функции f( x) известны значения первообразной F( x) при x= аи х= b,то по формуле Ньютона - Лейбница

I( f) = F( b) - F( a)

 В противном случае приходится искать др. пути вычисления l .Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I  в виде линейной функции некоторого числа значений функции f( x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f( x) ,называют выражение вида

S _n =  A _kf( x _k) ,

в котором точки x _k, k= 1, 2,..., n, x _kО [ a, b] ,называют узлами, а коэффициенты A _k-весами.

  Для каждой непрерывной функции f( x) значение I  может быть вычислено с помощью сумм S _n слюбой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f( x) ,способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

R _n = I  - S _n .

 Квадратурная формула содержит 2 n+ 1 не зависящих от функции f( x) параметров: n, x _k, A _k( k= 1, 2,..., n) ,которые выбирают так, чтобы при fО W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для fО W характеризует величина rn(W) - точная верхняя грань ½ Rn ½ на множестве W:

.

 Пусть

 Квадратурная формула, для которой W _n(W) = r _n(W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть w _q ( x) , q= 0, 1,..., - в классе W, и любая f( x) О Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций w _q ( x) .Пусть l(w _q ) , q= 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого nпараметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I(w _q ) = S _n(w _q ) , q= 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m.В методе Ньютона - Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы x _k,а определению подлежат веса A _k.В методе Чебышева на веса A _kзаранее накладываются некоторые связи [например, A _k= ( b - а) /n] ,а определению подлежат узлы x _k.В методе Гаусса определяются и веса A _kи узлы x _k.В методе Маркова jузлов ( j< n) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w _q ( x) .

 Формулы Ньютона - Котеса строятся на основе системы функций w _q = x ^q, q= 0 ,1,...; узлы x _kразбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются , и .

 Поскольку заменой переменной интегрирование по [ а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [ а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [ a _i, a _i+1] применяются элементарные квадратурные формулы.

  В формулах Гаусса m= 2 n- 1, а при а= -1, b= 1 узлы x _kявляются корнями P _n( x) степени n,а

A _k=2(1 - x ² _k) ^-1( P’ _n( x _k)) ^-2

 Квадратурная формула Чебышева существует при A _k= l/n, l= b - аи x _kО [ a, b] лишь для n= 1,..., 7, 9; в ней m= n -1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f( x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

  При вычислении интегралов от функций с периодом lнаиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

.

 Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р( х) -фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех fО W функции f( x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций w _q ( x) .

 Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.

  Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в специальных справочниках.

  Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда называются кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд специальных формул.