БСЭ. Большая Советская Энциклопедия (ПР)

  Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматическим выбором шага.

  Лит.:Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теоретикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963.

  В. И. Лебедев.

Приближённое решение

Приближённое реше'ниедифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

  П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, , , . Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.

  Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y'= f( x, у) ,удовлетворяющее начальным условиям у( х ₀) = y ₀,причём известно, что f( x, у) -аналитическая функция х, ув некоторой окрестности точки ( х ₀, y ₀) .Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y( x) - y( x ₀) = .

 Коэффициенты A _kряда могут быть найдены либо по формулам:

A ₁= y’ ₀= f( x ₀, y ₀) ;

либо с помощью .Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х - х ₀.

 Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. и П. .Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. и А. .

 К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

  Поясним эти методы на примере уравнения

y’’ = f( x, у)

с начальным условием у( х ₀) = y ₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х ₀в виде ряда по степеням h= х- х ₀Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые kчленов разложения в ряд по степеням hП. р. совпадали с первыми kчленами разложения в ряд по степеням hточного решения.

  Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у( х) в точках x ₁, x ₂,..., x _nнекоторого фиксированного отрезка [ х ₀, b] Так, для того чтобы вычислить у( х ₁) ,где х ₁= х ₀+ h, h= ( b - x ₀) /n,представляют у( х ₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h= х ₁- х ₀. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у( xk) формулы:

,

Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [ xk _,x _k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h ².

 В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f( x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:

,

где

;

;

;

дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h ⁵.

 В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у( xi), h _i и разностей D ⁱh _j, где

h _j= hf( x _j, y _j); Dh _j= h _j+1- h _j;

D ⁱh _j= D ^i-1h _j+1- D ^i-1h _j.

  Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

даёт решение у( х) в точке x _kсточностью до величин порядка h ⁴.

  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

Формула	k= 2	k= 3	k= 4
(1 + x) 3» 1 + 3 x	0,04	0,012	0,004
	0,06	0,022	0,007
	0,19	0,062	0,020
	0,20	0,065	0,021
	0,31 (17°48')	0,144 (8°15')	0,067 (3°50')
	0,10 (5°43')	0,031 (l'48')	0,010 (0°34')
	0,25 (14°8')	0,112 (6°25')	0,053 (3°2')
	0,14	0,47	0,015
	0,04	0,014	0,004
	0,25	0,119	0,055

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у''= f( x, у) .По этой формуле находят D ² y _n-1,а затем y _n+1= y _n+D y _{n+ 1}+ D ² y _n-1. Найдя y _n+1, вычисляют y’’ _n+1= f( x _n+1, y _n+1) ,находят разности и повторяют процесс далее.

  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

  Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. ).

  Лит.:Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.

Приближённые вычисления

Приближённые вычисле'ния,вычисления, в которых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, которые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть .

Приближённые формулы

Приближённые фо'рмулы,математические формулы, получаемые из формул вида f( x) = f*( x) + e( х), где e( х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f( x) » f*( x) .

 Например, П. ф. (1 + х) ²» 1 + 2 xполучается из точной формулы для (1 + х) ² при малых | x|; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если | x| соответственно не больше 0,0707..., 0,0223..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем хближе к 0. Но так бывает не всегда. Например, точность П. ф. tg тем больше, чем хближе к p/2.

  Выше (стр. 555) приведено несколько наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить | x| ,чтобы формула давала kточных десятичных знаков.

  Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, например в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, например, что разность между sin xи двучленом  не превосходит по абсолютному значению ,легко убедиться, что П. ф.  даёт значения sin xс точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если хсоответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).

«Прибой»

«Прибо'й», легальное большевистское издательство, создано в ноябре 1912 в Петербурге во время (1912-1914), с 1913 начало выпуск литературы по вопросам социального страхования рабочих; с июля 1913 стало издательством ЦК РСДРП, по указанию которого главное внимание уделяло изданию политической агитационно-пропагандистской литературы по вопросам рабочего движения. Вышли сборники: «Марксизм и ликвидаторство» со статьями В. И. Ленина, «Страхование рабочих в России и на Западе» (2-й и 3-й выпуски), календарь «Спутник рабочего на 1914» (со статьей Ленина «Стачки в России») и др. В работе издательства участвовали А. И. Ульянова-Елизарова, М. С. Ольминский, Ф. И. Драбкина и др. В начале 1-й мировой войны 1914-18 в связи с цензурными репрессиями «П.» прекратил свою деятельность; издательство возобновило работу в марте 1917. Были выпущены работы Ленина «Письма о тактике». Письмо 1-е с приложением Апрельских тезисов; «Задачи пролетариата в нашей революции»; «Уроки революции»; «Материалы по пересмотру партийной программы»; «Грозящая катастрофа и как с ней бороться». В 1918 влилось в книгоиздательство «Коммунист».

  Лит.:Шварцман С. М., Книгоиздательство «Прибой» (1913-1914), в сборнике: «Книга», № 13, М., 1966.

Прибой (в ткачестве)

Прибо'йв ткачестве, продвижение уточной нити вдоль основы к опушке (краю) ткани. Одна из основных операций при формировании ткани на .Наиболее распространённый рабочий орган для П. - ;перемещающее уточную нить одновременно по всей ширине основы. П. на некоторых станках осуществляется непрерывно с помощью прижимов-уплотнителей утка ( ) ,профилированных дисков (многозевные ткацкие машины).

Прибой (морской)

Прибо'й, явление разрушения морской (озёрной) волны, происходящее в результате разбивания волн непосредственно у берега, при этом колебательные движения воды сменяются возвратно-поступательным движением .П. - основной фактор разрушения абразионных берегов и образования пляжей, сопровождаемый перемещением наносов на пляжах на аккумулятивных берегах.

Прибойный поток

Прибо'йный пото'к, поток воды, образующийся в результате прибоя. Различают две ветви П. п.: прямой П. п., или накат, и обратный П. п., или откат. Прямой П. п. образуется непосредственно после разбивания волны; взбегает вверх по склону (пляжу) с постепенно затухающей скоростью. Направление движения прямого П. п. определяется исходным распространением волны и направлением силы тяжести. Обратный П. п. стекает вниз по склону после того, как скорость прямого потока достигает нулевого значения. При косом подходе волн к береговой линии направления прямого и обратного П. п. обычно не совпадают и П. п. вызывает вдольбереговое перемещение наносов. При подходе под прямым углом к линии берега П. п. способствует поперечному перемещению наносов.

Приборные масла

Прибо'рные масла', нефтяные масла, применяемые главным образом для смазки контрольно-измерительной аппаратуры; относятся к .

Приборостроение

Приборострое'ние, отрасль машиностроения, выпускающая средства измерения, анализа, обработки и представления информации, устройства регулирования, автоматические и автоматизированные системы управления; область науки и техники, разрабатывающая средства автоматизации и системы управления (см. ) .

 В дореволюционной России было всего несколько небольших предприятий, выпускавших термометры, манометры, водомеры, весы и др. простейшие приборы. В СССР промышленное развитие П. началось в годы 1-й пятилетки (1929-32) с образованием Всесоюзного электротехнического объединения, где было организовано серийное производство электроизмерительных приборов и средств автоматизации, Всесоюзного объединения точной индустрии, сосредоточившего изготовление теплоизмерительных приборов, Всесоюзного объединения оптико-механической промышленности, Всесоюзного объединения весоизмерительной промышленности, предприятий авиационного, морского и др. специализированных направлений П. В 1965 образовано общесоюзное министерство приборостроения, средств автоматизации и систем управления. В его состав включен комплекс предприятий, научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро, проектных и монтажных организаций, осуществляющих разработку, производство, монтаж и ввод в эксплуатацию как отдельных устройств, так и систем автоматизации.

  Основные направления развития П. Ведущее место в П. по количеству я разнообразию выпускаемых приборов занимают средства .Созданы методы и приборы измерения механических, электрических, магнитных, тепловых, оптических, радиационных и др. величин.

  Измерительные приборы в сочетании с регулирующими, вычислительными и исполнительными устройствами составляют техническую базу автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУТП).

  Разработкой приборов для измерения электрических и магнитных величин (напряжение, ток, мощность, частота, фазы, сопротивление, ёмкость, магнитные величины) заняты Всесоюзный научно-исследовательский институт электроизмерительных приборов в Ленинграде, Кишиневский научно-исследовательский институт электроизмерительных приборов и ряд самостоятельных и заводских конструкторских бюро. Массовое и крупносерийное производство этих приборов ведут Краснодарский завод измерительных приборов и житомирский завод «Электроизмеритель» им. 50-летия СССР, завод «Вибратор» в Ленинграде и др. предприятия. Наряду со стрелочными приборами в выпуске всё большее место занимают цифровые и электроннолучевые индикаторы.

  Приборы для измерения теплоэнергетических величин (температура, давление, расход, уровень) разрабатываются Всесоюзным научно-исследовательским институтом теплоэнергетического П. в Москве, выпускаются крупными сериями казанским заводом теплоизмерительных приборов и средств автоматизации «Теплоконтроль», рязанским заводом «Теплоприбор» и др. Московский завод тепловой автоматики производит электрические регуляторы, московский завод точных измерительных приборов «Тизприбор» выпускает комплекс унифицированных пневматических средств контроля и регулирования теплоэнергетических величин для автоматизации технологических процессов в нефтяной, нефтехимической, газовой и др. отраслях промышленности с огнеопасными и взрывоопасными средами.

  Разработку приборов для измерения механических величин (вес, сила, вибрация, твёрдость, деформация, прочность) на основе их электрификации и устройств испытательной техники осуществляют Научно-исследовательский и конструкторский институт испытательных машин, приборов и средств измерения масс в Москве, конструкторское бюро средств измерения масс в Одессе, конструкторское бюро «Виброприбор» в Таганроге. Ряд крупных предприятий П. выпускает технические весы, ленинградский завод «Госметр» производит высокоточные аналитические весы, Одесский завод тяжёлого весостроения им. П. Старостина - весы и дозаторы для металлургии, строительной индустрии, транспорта, Киевский опытный завод порционных автоматов им. Ф. Э. Дзержинского изготовляет дозаторы сыпучих материалов и продуктов для различных отраслей промышленности и сельского хозяйства. Развивается производство электронных весов для торговли.

  Значительное место в П. занимает разработка и производство средств испытательной техники. Приборы и машины испытания материалов и конструкций на прочность для металлургии, машиностроения, индустрии строительных материалов, резинотехнической, лёгкой и других отраслей промышленности выпускаются Ивановским заводом испытательных приборов, Армавирским заводом испытательных машин и др. предприятиями. На их основе создаются автоматизированные, универсальные испытательные установки, станции, полигоны.

  Крупным, быстро развивающимся направлением является аналитическое П., создающее устройства для определения состава и концентрации веществ в различных средах, материалах и продуктах. К ним относятся электрохимические, ультразвуковые, оптические, ядерные и иные анализаторы, сложные многопараметровые аналитические системы. Современные средства физико-химического анализа используют разнообразные явления, вызываемые воздействием электрического тока, электромагнитных волн или проникающей радиации на исследуемую среду. Отбор и подготовка проб, преобразование, разделение, дозирование веществ, возбуждение их активности, селектирование сигналов и представление информации автоматизируются.

  Развитие металлургии, химии, биологии и др. связано с необходимостью точного анализа руд, металлов и сплавов, нефтепродуктов, примесей в полупроводниках, присутствия различных элементов в пищевых продуктах и живых средах в широком диапазоне состава и концентрации, требует применения многокомпонентных анализаторов. Такими приборами являются рентгеновские квантометры, полярографы, масс-спектрометры, хроматографы, точно фиксирующие элементарную картину многих минеральных и органических соединений. П. не только создаёт и выпускает такие приборы, но и обеспечивает возможность комплексного применения средств аналитической техники в системах автоматического контроля и регулирования технологических процессов. Созданием аналитических приборов и систем заняты Всесоюзный научно-исследовательский институт аналитических приборов в Киеве, самостоятельное конструкторское бюро аналитических приборов в Тбилиси и др., выпускаются аналитические приборы Гомельским заводом измерительных приборов, Смоленским заводом средств автоматики, Сумским заводом электронных микроскопов и др.

  Достижения вычислительной техники (ВТ) позволяют П. существенно расширить арсенал методов и средств автоматизированного управления технологическим оборудованием, энергетическими установками, промышленными предприятиями, транспортными средствами, научными исследованиями. Вычислительные устройства также входят в состав измерительных, аналитических, испытательных, разведочных установок и систем в качестве средств хранения и математической обработки информации для получения синтезированных результатов. Они применяются и как средства программного управления различными машинами, станками, манипуляторами и поточными линиями. Предприятиями П. создаются разнообразные средства обработки данных, ручного и автоматического формирования текстовой (алфавитной и цифровой) информации для непосредственного использования в учреждениях и передачи в ЭВМ. Так, электронные клавишные машины разрабатываются ленинградским конструкторско-технологическим бюро по проектированию счётных машин и выпускаются большими сериями курским заводом «Счётмаш», Орловским заводом управляющих вычислительных машин и др. Управляющие вычислительные комплексы для больших автоматизированных систем управления (АСУ) разрабатываются институтом электронных управляющих машин в Москве и выпускаются Производственно-техническим объединением электронных вычислительных и управляющих машин (ПТО ВУМ) в Киеве, унифицированные комплексы для управления технологическими процессами разрабатываются и производятся научно-производственным объединением вычислительной техники (НПОВТ) «Импульс» в Северодонецке, ориентированные комплексы для управления энергетическими и промышленными установками проектируются и изготовляются НПО электронной вычислительной аппаратуры «Элва» в Тбилиси. Устройства программного управления станками и др. оборудованием разрабатываются Центральным конструкторским бюро числового программного управления и выпускаются Ленинградским электромеханическим заводом.

  Значительное место в П. занимают средства передачи информационных сигналов и управляющих импульсов на большие расстояния (см. ) .Их производством занят Нальчикский завод телемеханической аппаратуры им. 50-летия СССР и др. предприятия. Рациональному представлению, распространению и использованию информации в учреждениях и на предприятиях, в диспетчерских службах и АСУ способствуют средства ,создаваемые Всесоюзным научно-исследовательским институтом оргтехники в Москве, специальным конструкторским бюро оргтехники в Вильнюсе и выпускаемые грозненским заводом «Электроприбор», Каунасским заводом средств автоматизации и др.

  Автоматизация технологических процессов невозможна без исполнительных механизмов, преобразующих управляющие импульсы в перемещение регулирующих органов производственного оборудования. Они разрабатываются Научно-исследовательским и конструкторско-технологическим институтом теплоэнергетического П. в Смоленске, опытно-конструкторским бюро «Теплоавтомат» в Харькове и выпускаются севанским и чебоксарским заводами электрических исполнительных механизмов, а также др. предприятиями, изготовляющими пневматические и гидравлические устройства автоматики.

  Кроме основных средств извлечения, формирования, хранения, передачи, представления и использования информации широкого научного и промышленного назначения, П. создаёт и выпускает много различных специальных приборов для геофизики, гидрометеорологии, медицины, сельского хозяйства, транспорта, лабораторное оборудование, специализированные комплектные лаборатории, часы и ювелирные изделия (см. , ).

  Развитие микроэлектроники, оптоэлектроники, нелинейной оптики, микромеханики обогащает П., способствует созданию компактных надёжных экономичных измерительных, аналитических, разведочных и др. приборов, средств управляющей ВТ, телемеханики и автоматики. Монокристаллы с особыми физическими свойствами, полупроводниковые, эпитаксиальные и др. плёнки, жидкие кристаллы, твёрдотельные интегральные схемы, магнитострикционные элементы в качестве чувствительных воспринимающих, преобразующих и индикаторных сред качественно меняют характер изделий и технологию П.

  Ведущей тенденцией в современном П. является унификация элементно-конструктивной базы приборов и их системное применение. В СССР это отражается в Государственной системе промышленных приборов и средств автоматизации (см. ) .Заложенная в ней унификация обеспечивается нормализацией информационных сигналов, параметров источников питания, метрологических показателей, конструктивных форм и размеров, технических требований и технологий, а также условий эксплуатации. Изделия ГСП рассчитаны на сопряжение как непосредственно в системах, так и в агрегатных комплексах средств автоматизации. Агрегатирование обеспечивает заводскую компоновку средств определённого назначения и поставку комплексов в виде законченных промышленных изделий. Этим существенно упрощается и удешевляется проектирование систем и повышается надёжность их функционирования. Развитие ГСП и агрегатирования обеспечивает создание приборов и средств автоматизации из целесообразно ограниченной номенклатуры типовых модулей и блоков методами прогрессивной технологии в условиях специализации и кооперирования, индустриальную реализацию систем.