Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.
     Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l ₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности
      x = (x ₁, x ₂,..., x _n,...)
     такие, что ряд x ² ₁+ x ² ₂+... + х ² _n+... сходится. Сумму двух векторов х + yи вектор lx, где l— действительное число, определяют естественным образом:
      x + y = (x ₁+ y ₁,..., x _n+ y _n,...),
      lx = (lx ₁, lx ₂, ..., lx _n,...)/
     Для любых векторов х, y О l ₂формула
      (x, y) = x ₁y ₁+ x ₂y ₂+ ... +x _ny _n+ ...
     определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора хпонимается неотрицательное число
     

     Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| Ј ||x|| ||y||. Последовательность векторов х _nназывается сходящейся к вектору х, если ||х _n—х|| ® 0при n ® Ґ. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула
    
     где 0 Ј jЈ pопределяет угол jмежду векторами хи у. Два вектора хи уназываются ортогональными, если ( х, у) = 0. Пространство l ₂полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность х _n, удовлетворяющая условию ||х _п—х _m||® 0при n, m ® Ґ) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l ₂бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы
      e ₁= (1, 0, 0,...), e ₂= (0, 1, 0,...),...
     При этом для любого вектора xиз l ₂имеет место разложение
      x = x ₁e ₁+ x ₂ e ₂+...     (1)
     по системе { e _n }.
     Другим важным примером Г. п. служит пространство l ₂всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [ a, b], для которых конечен интеграл
     

     понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл
     

     Норма в этом случае равна
     

     Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции j _i(x)из L ₂, обладающие свойствами ортогональности
     

     и нормированности
     

     а также следующим свойством замкнутости: если f(x)принадлежит L ₂и
     

     то f(x)= 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2 p] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему
     

     Разложению (1) соответствует разложение функции f(x)из L ₂в ряд Фурье
    
     сходящийся к f(x)по норме пространства L ₂. При этом для всякой функции f(x)выполняется равенство Парсеваля
     

     Соответствие между функциями f(x)из L ₂и последовательностями их коэффициентов Фурье a ₀, a ₁, b ₁, a ₂, b ₂,... является взаимно однозначным отображением L ₂на l ₂, сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.
     В более широком смысле под Г. п. понимают произвольное линейное пространство , в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В зависимости от того, определено ли для элементов Г. п. Нумножение только на действительные числа или же элементы из Нможно умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и комплексное Г. п. В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию ( х, у), определённую для любой пары х, уэлементов из Ни обладающую следующими свойствами:
     1) ( х, х) = 0 в том и только том случае, если х= 0,
     2) ( х, х) ³ 0 для любого xиз Н,
     3) ( х + у, z) = ( x, z) + ( у, z),
     4) (lx, у) = l(x, у)для любого комплексного числа l,
     5)
     где черта означает комплексно сопряжённую величину. Норма элемента хопределяется равенством
     

     Комплексные Г. п. играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные Г. п. Одним из важнейших направлений теории Г. п. является изучение линейных операторов в Г. п. (см. Операторов теория ). Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные применения Г. п. в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.
     Лит.:Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.
      Ю. В. Прохоров.