Страница:
и изложен в индуктивной форме, не позволяет нам проследить процесс
образования и развития идей, которыми он руководствовался. Мы с трудом можем
поверить, что Ампер в действительности открыл закон взаимодействия при
помощи описываемых им экспериментов. Мы вынуждены подозревать, в чем,
впрочем, признается сам Ампер, что закон открыт им при помощи некоего
процесса, который он нам не показывает... Фарадей, напротив, показывает нам
свои как неудачные, так и удачные эксперименты, как свои несозревшие идеи,
так и идеи разработанные... Поэтому каждому изучающему следовало бы читать
исследования Ампера как блестящий образец научного стиля при изложении
открытия, но ему следовало бы также изучать Фарадея для воспитания научного
духа на той борьбе противоречий, которая возникает между новыми фактами,
излагаемыми Фарадеем, и идеями, рождающимися в его собственном мозгу (Дж.К.
Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме).
Соотношение образного (интуитивного) мышления и логики можно
проиллюстрировать на примере истории открытия уравнений электромагнитного
поля самим Максвеллом. При их "выводе" для описания электромагнитных явлений
в среде-эфире он пользовался очень сложными механическими аналогиями
(например, зацепляющиеся шестеренки), которые впоследствии оказались
ненужными подобно строительным лесам.
Рассуждения и вычисления, которыми многократно силится подтвердить их
[свои уравнения] Максвелл, кишат противоречиями, темными местами и
очевидными ошибками (П. Дюгем, цит. по П. Флоренскому, с.115).
В конечном счете, по словам Герца, теория Максвелла есть система
уравнений Максвелла. Эстетическая сторона проблемы иллюстрируется
высказыванием Макса фон Лауэ:
Понимание того, как сложнейшие разнообразные явления математически
сводятся к таким простым и гармонически прекрасным уравнениям Максвелла,
является одним из сильнейших переживаний, доступных человеку (Статьи и речи,
М., 1969, с.12).
Проблема образов при познании Бога в христианстве, в частности,
различие католического и православного подхода к духовной практике,
обсуждается в гл.5.
Твердо держите в душах ваших, что вы не видели никакого образа в тот
день, когда говорил к вам Господь на [горе] Хориве из среды огня, дабы вы не
развратились и не сделали себе изваяний, изображений какого-либо кумира,
представляющих мужчину или женщину, изображения какого-либо скота, который
на земле, изображения какой-либо птицы крылатой, которая летает под
небесами, изображения какого-либо [гада,] ползающего по земле, изображения
какой-либо рыбы, которая в водах ниже земли; и дабы ты, взглянув на небо и
увидев солнце, луну и звезды [и] все воинство небесное, не прельстился и не
поклонился им и не служил им, так как Господь, Бог твой, уделил их всем
народам под всем небом (Второзаконие 4:15-19).
Особенно роль символа подчеркивает православная традиция (например, для
нее характерна развитая символика богослужения).
Символическое созерцание умопостигаемого посредством зримого есть
одновременно и духовное ведение и умозрение видимого через невидимое (Максим
Исповедник, Мистагогия, ср. Рим.1:20).
Здесь мы подходим к общему представлению о символе, которое играет
огромную роль не только в религии, но и во всех отраслях человеческого
восприятия, поскольку позволяет сделать его "многомерным".
В противоположность схеме и аллегории тут [в символе] мы находим полное
равновесие между "внутренним" и "внешним", идеей и образом, "идеальным" и
"реальным"... Символ есть самостоятельная действительность. Хотя это и есть
встреча двух планов бытия, но они даны уже в полной, абсолютной
неразличимости, так что уже нельзя указать, где "идея" и где "вещь" (А.Ф.
Лосев, Диалектика мифа).
Развитой символической системой, часто использовавшейся в
средневековье, была алхимия. Алхимические символы часто встречаются в
научных трактатах и личной переписке ученых того времени. Зашифрованные
символами сообщения имели целью не столько сохранить приоритет, сколько
выразить невыразимое (без снижения уровня) более простыми средствами.
Впрочем, проблемы понимания алхимических текстов, смысл которых практически
полностью утерян для нас, возникали и у современников:
Несмотря даже на то, что поглощал их писания одно за другим, бессменно
склоняясь снова и снова над трудами мудрецов, я не нашел в них сути того,
что сии мудрецы провозглашали в своих сочинениях. Я изучал алхимические
книги двояко, стараясь уразуметь в них и то, что говорит в пользу мужей, их
написавших, и то, что говорит против них, но установил, что эти книги
никчемны, бессмысленны и бесполезны (Альберт Великий, Малый алхимический
свод).
К.Г. Юнг посвятил ряд своих работ (Психология и алхимия, Aion,
Mysterium Coniunctionis, Дух Меркурий и др.) психологической интерпретации
алхимической символики. По его мнению, она выражает свойственные
человеческой психике архетипы, т.е. фундаментальные представления,
принадлежащие сфере "коллективного бессознательного":
Поскольку алхимики, за исключением очень немногих, не знали, что они
вытащили на свет божий психические структуры, а думали, что объясняют
трансформации материи, то никакие психологические соображения, проистекающие
из чувствительности натуры, не могли удержать их от того, чтобы не обнажать
основы души, что более осведомленный человек побоялся бы сделать. Именно
поэтому алхимия так неотразимо привлекательна для психолога... Какими бы
странными и невразумительными не казались непосвященным используемые
алхимиками язык и образы, они становятся ясными и живыми, как только
сравнительное исследование обнаруживает связь между символами и процессами в
бессознательном (Mysterium Coniunctionis, с. 13).
Более подробное обсуждение связей между современной наукой и алхимией,
герметизмом и пифагорейской философией приведено в главе 4.
Дух европейской науки до сих пор несет на себе печать всех этих
факторов - переход от языка каббалы и алхимии к более простому языку
математики, который произошел достаточно поздно, с этой точки зрения не
принципиален. С точки зрения психологии, современная математическая
символика отличается прежде всего меньшей эмоциональной насыщенностью.
До тех пор, пока именно заклинания связывают материальный мир неба и
земли воедино, астрология и магия не могут стать астрономией и техникой.
Любая арифметическая задача оставалась религиозной обязанностью, с
ликованием выполняемой жрецами во время соответствующих церемоний... Сегодня
мы констатируем, что 2 и 2 равняется 4, не повышая голоса. Сущность
математической символики и заключается в том факте, что во время
установления математических истин голос не повышается. Фигуры, кривые,
треугольники и задуманы так, чтобы быть понятыми без всяких эмоций... Но это
великое новшество. Никогда прежде язык не использовался без сильнейшего
возбуждения. Шаман говорил с пеной у рта. Жрецы в храмах лежали в
изнеможении (О. Розеншток-Хюсси, Бог заставляет нас говорить, с. 183).
С другой стороны, алхимики, как показывают исследования Юнга, играли с
чрезвычайно мощными и опасными символами, коренящимися в глубинах
бессознательного. Поиск Философского Камня был буквально вопросом жизни и
смерти:
Глядя куда-то поверх моей головы, рабби продолжает:
- Не следует молиться о Камне, если не знаешь, что он означает.
- Камень означает истину! - откликаюсь я.
- Истина? - усмехается рабби точно так же, как император...
- Что же в таком случае означает Камень? - неуверенно допытываюсь я.
- Ответ на этот вопрос ... нельзя получить извне, он может прийти
только изнутри!
- Да, конечно, я понимаю: Камень находят в сокровенных глубинах
собственного Я. Но... потом-то он должен быть приготовлен, явлен вовне, и
тогда, когда он произведен на свет, имя ему - эликсир.
- Внимание, сын мой, - шепчет рабби... - Будь осторожен, когда молишься
о ниспослании Камня! Все внимание на стрелу, цель и выстрел! Как бы тебе не
получить камень вместо Камня: бесцельный труд за бесцельный выстрел! Молитва
может обернуться непоправимым (Г. Майринк, Ангел Западного окна).
Математическая символика более "нейтральна" и вероятно именно это
позволило ей стать "общезначимой". Общераспространенность математической
символики и ее максимальная "независимость от культуры" по-видимому
свидетельствует, что базовые понятия (архетипы) числа, континуума и т. д.
действительно являются эмоционально нейтральными. Возможно, они целиком
принадлежат к высшим этажам человеческой психики (то, что по картографии
сознания С. Грофа связано с трансперсональным уровнем) и в минимальной
степени "зацеплены" за низшие слои (секс, агрессия...). Впрочем,
Стиль любой зарождающейся математики полностью зависит от той культуры,
в котрой она возникает, от особенностей народа, над ней размышляющего (О.
Шпенглер, Закат Европы. О смысле чисел).
В связи с переходом от средневековой науки, базирующейся на астрологии
и алхимии, к современной математике, следует упомянуть переплетение
"магического" и естественнонаучного языка в трудах врача, математика и
астролога Дж. Кардано (1501-1576), описавшего свое решение кубического
уравнения в сочинении Ars magna (великое искусство). Его биография
напоминает авантюрный роман, а творческая деятельность полностью
определялась влиянием мистического опыта. Современный английский математик
Р. Пенроуз (см. список литературы) в особенности подчеркивает заслуги
Кардано как одного из создателей теории вероятности, а также как математика,
впервые использовавшего комплексные числа. Кроме того, начиная с Кардано
можно проследить ту линию, которая в конце концов, через работы Абеля и
Галуа о разрешимости алгебраических уравнений, привела к появлению
современной теории групп, играющей столь большую роль в квантовой физике.
Галилей в "Диалоге о двух системах мира" (см. Избранные труды, М.,
1964) объявляет тайны пифагорейских чисел баснями. Однако его кардинальная
идея о тайнах природы, записанных на языке математики (см. цитату в начале
главы) по происхождению несомненно восходит к пифагорейской традиции. С
этого времени, математическая символика почти полностью вытесняет
каббалистическую, алхимическую и другие "средневековые" символические
системы. Успехи ньютоновской теории тяготения, прежде всего, вывод законов
Кеплера (см. гл. 4), закрепили положение математики как "царицы наук"
(известное выражение К. Гаусса). Созданный трудами И. Ньютона, Г. Лейбница,
И. Барроу, Х. Гюйгенса и других ученых XVII века математический анализ
оказался исключительно эффективным средством решения самых разных задач. На
протяжении XVIII века огромное количество важных результатов было получено
Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, П. Лапласом и многими другими математиками,
механиками и астрономами.
Несмотря на "прикладное" значение математики, в настоящее время она
представляет собой самостоятельную науку с собственными объектами
исследования и эстетическими критериями. Начиная с XIX века, центр тяжести в
развитии математики постепенно смещается в сторону более четкого анализа
используемых понятий, роста строгости и развития "культуры" математического
доказательства. Этот процесс сопровождается некоторыми издержками:
Математика наших дней походит на крупный оружейный магазин мирного
времени. Его витрина заполнена роскошными вещами, которые своим остроумным,
искусным, пленяющим глаз исполнением восхищают знатока, а подлинные истоки и
назначение этих вещей, их способность поражать врага отходят в сознании на
задний план вплоть до полного забвения (Ф. Клейн, Лекции о развитии
математики в XIX столетии, т.1, М., Наука, 1989, с.86).
На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем
более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь
косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от реальности, над ней нависает
смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто
эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для
искусства... Я убежден, что "эмпирическая" подпитка была необходимым
условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в
прошлом и что аналогичное утверждение останется в силе и в будущем (Дж. фон
Нейман, цит. по: М. Клайн, Математика. Утрата определенности, с.338).
Вместе с тем, математика продолжает сохранять свою "непостижимую
эффективность в естественных науках", давшую название знаменитой статье Е.
Вигнера:
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки
физических законов. Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не
заслуживаем. Нам остается лишь благодарит за него судьбу и надеяться, что в
своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им (Е.
Вигнер, Этюды о симметрии, с. 197).
Рискуя несколько шокировать "сциентистски" настроенного читателя, можно
тем не менее отметить очевидную аналогию между верой современного ученого в
"непостижимую эффективность математики" и верой человека традиционного
общества в магию чисел. Примеры такой эффективности дествительно
многочисленны и впечатляющи. Можно указать, например, на основное уравнение,
описывающее свойства электрона - уравнение Дирака. Оно было установлено
Дираком в 1927 г. из соображений "математического изящества" и не только
прекрасно описало все известные к тому времени свойства электрона, но и
привело к предсказанию существования античастицы электрона - позитрона,
впоследствии подтвержденному экспериментально. Еще более ярким примером
является общая теория относительности (современная теория тяготения),
созданная Эйнштейном в 1915 г. как достаточно формальная математическая
конструкция почти без всякой экспериментальной основы и блестяще
подтвержденная всеми последующими экспериментами и астрономическими
наблюдениями. Однако, если мы захотим понять эти успехи, это может оказаться
делом не более простым, чем объяснить, каким образом пересчет девушек (см.
выше цитату из Фрэзера) может повредить их здоровью. "Самое непостижимое в
мире - то, что он постижим" (А. Эйнштейн), причем зачастую - постижим на
математическом языке. Следующий отрывок дает описание "мистического опыта",
связанного с чистой математикой.
В математике, дополненной философией и психологией, я нашел то, что
обычно дает человеку религия. Я осознал в этом присутствие реальности в
форме необычайной чистоты, и предел внутреннего проникновения, которого я
тогда достиг, хотя мне и недоставало соответствующего понимания и
различения, не был превзойден с тех пор никогда, вплоть до седьмого числа
прошлого месяца... То, чего я достиг благодаря математике на языке символов
- а это был редкий уровень сознания, - должна была дополнить философия, так
чтобы это могло стать ясным для понимания. Философия добавила способность
размышления и сосредоточения к чистому свету математики (Ф. Меррелл-Вольф,
Пути в иные измерения, с.145-146).
Вспомним также, что Эйнштейн в детстве воспринял "Начала" Евклида как
"священную книгу по геометрии".
Ряд крупных исследователей, пытающихся всерьез понять статус
математических понятий и причину их эффективности, склоняется к тому или
иному варианту платонизма. Так, выдающийся английский ученый - специалист в
области математической физики Р. Пенроуз посвятил значительную часть своих
книг "Новый разум императора" и "Тени разума" (см. список литературы)
аргументации в пользу реального существования мира математических идей.
Математические понятия, выражающие "гармонию" мира, вечны и неуничтожимы
подобно платоновским идеям:
В настроенной лире гармония - это нечто невидимое, бестелесное,
прекрасное и божественное, а сама лира и струны - тела, то есть нечто
телесное, сложное, земное и сродное смертному. Представь себе теперь, что
лиру разбили или же порезали и порвали струны, - приводя те же доводы, какие
приводишь ты, кто-нибудь будет упорно доказывать, что гармония не
разрушилась и должна по-прежнему существовать. Быть того не может, скажет
такой человек, чтобы лира с разорванными струнами и сами струны - вещи
смертной природы - все еще существовали, а гармония, сродная и близкая
божественному и бессмертному, погибла, уничтожилась раньше, чем смертное.
Нет, гармония непременно должна существовать, и прежде истлеют без остатка
дерево и жилы струн, чем потерпит что-нибудь худое гармония (Платон, Федон;
см. также вынесенные в эпиграф строки Мандельштама).
Близких взглядов на сущность математических идей и понятий
придерживался В. Гейзенберг (см. книгу "Физика и философия. Часть и целое").
Другой выдающийся физик, В. Паули, полагал, что более правильным образом для
того, чтобы охарактеризовать статус математических понятий, являются
юнговские архетипы. В отличие от платоновских идей, они имеют динамический
характер и не могут рассматриваться как вечные и неизменные, однако также
принадлежат к некоторой реальности за пределами индивидуальных сознаний (см.
книгу К. Лаурикайнена). Высокую оценку математики можно найти и в оккультной
литературе.
Главный Источник чистой математики - Высшее, или Трансцендентное
Сознание, и в этом причина, почему выводы всеобщего характера можно
недвусмысленно передать на языке чистой математики... В определенном смысле,
чистая математика далеко опередила сейчас то Сознание, которое реально
возможно для человека (Ф. Меррелл-Вольф, Пути в иные измерения, с.280, 293).
В средние века вопрос об универсалиях (идеальных, общих понятиях)
обсуждался в бурных и долгих спорах схоластов - реалистов и номиналистов:
первые отстаивали их реальное (онтологическое) существование, а последние
признавали их только в мышлении (как имена, символы единичных сущностей).
Эти споры так ни к чему и не привели, а крайние точки зрения были осуждены
церковью (особенно в связи с догматами о причастии и св. Троицей). Взгляды
на математику Пенроуза и его единомышленников могут быть сопоставлены со
средневековым реализмом.
"Номиналистский" подход в вопросе об основаниях математики состоит в
предположении, что математические понятия являются результатом обобщения и
абстрагирования свойств реального физического мира. Логически возможен и
"субъективно-идеалистический" подход, рассматривающий математические
конструкции как произвольные творения человеческого ума, однако в этом
случае вопрос о причинах "непостижимой эффективности" математики по-видимому
не может быть даже разумно сформулирован. Как и вообще в современной науке,
наиболее распространен сейчас по-видимому "позитивистский" подход, когда
вопросы о мировоззренческом статусе используемых понятий и методов считаются
ненаучными и бессмысленными. Применительно к математике, такой подход
состоит в рассмотрении математических теорий как некоторых формальных
конструкций:
В этом смысле математика рассматривает отношения в
гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной
материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их
непротиворечивость... "Математика - это наука, извлекающая определенные
следствия" - сказал Б. Пирс в 1870 г., и это определение оставалось в моде
на протяжении нескольких десятилетий. Мне кажется, что оно содержит весьма
скудную информацию относительно подлинной природы математики... (Г. Вейль,
Математическое мышление, М.: Наука, 1989, с. 21).
К подобным формалистическим подходам относится прежде всего
аксиоматический метод, который пропагандировался и развивался на рубеже XIX
и XX веков выдающимся немецким математиком Д. Гильбертом. Известно его
шутливое (?) высказывание, что при изложении евклидовой геометрии можно
везде заменить слова "точки", "прямые" и "плоскости" на "столы", "стулья" и
"пивные кружки" (через два стола можно провести стул, и притом только один -
замечательно!). В широко известном списке "проблем Гильберта" присутствовала
даже проблема аксиоматизации физики. Аналогичный подход развивался Расселом
и Уайтхедом по отношению к самой математике. По словам Б.Рассела,
Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним
из величайших открытий нашего времени (Принципы математики).
Такой подход сразу после своего возникновения вызвал резкие возражения
ряда крупнейших математиков, прежде всего, А. Пуанкаре:
Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих
отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от
частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот
порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без
успеха, и эту неудачу трудно скрыть под маской особого языка, недоступного
профанам (А. Пуанкаре, О науке, с.402,403).
Будущее развитие математики и логики действительно показало
недостаточность гильбертовского подхода даже в пределах математики (не
говоря уже об "аксиоматизации физики", см. гл.6). Мы имеем в виду прежде
всего знаменитую теорему Геделя, согласно которой даже в арифметике
натуральных чисел существуют утверждения, неопровержимые и недоказуемые на
основе любого конечного набора аксиом. (Приведенная здесь формулировка не
вполне точна и нуждается в многочисленных пояснениях; см., например,
упомянутые выше книги Р. Пенроуза или популярно написанную брошюру В.А.
Успенского "Теорема Геделя о неполноте", М., Наука, 1982; более
систематическое изложение можно найти, например, в учебнике С. Клини
"Математическая логика", М., Мир, 1973). Близкое (и в действительности
эквивалентное) утверждение состоит в существовании алгоритмически
неразрешимых задач, то есть таких задач, которые в принципе не могут быть
решены никаким компьютером, действующим на основе фиксированного набора
правил. (Известно много конкретных примеров таких задач; скажем, не
существует общего способа определить, можно или нельзя вымостить всю
плоскость без зазоров, используя только многоугольные плитки из заданного
конечного набора). Тем самым, математика неизбежно должна быть
содержательной и "человеческой" (или, согласно платонистским взглядам,
сверхчеловеческой), но ни в коем случае не "компьютерной", то есть бездумно
выводимой из фиксированного набора правил:
Вы [сторонники взглядов Рассела и Гильберта] даете нам не крылья, а
детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не
давали нам падать. В такой помощи - единственное их оправдание. Если ценное
имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно
было в надежных руках. Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да,
иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком
случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно
питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы
должны быть непогрешимы, или вас не будет (А. Пуанкаре, О науке, с.390).
Различие подходов и мировоззрений в вопросе об основаниях математики
особенно ярко проявляется при рассмотрении проблем, связанных с идеей
бесконечности. "Стандартная" математика XX века базируется на теории
множеств, разработанной в XIX веке Г. Кантором (а говоря более технически -
на так называемой системе аксиом Цермело-Френкеля). Согласно Кантору,
существуют разные степени (мощности) бесконечности: бесконечность счетных
множеств, таких, как ряд натуральных чисел, бесконечность континуума,
например, отрезка единичной длины (ту же мощность имеют множества точек
ограниченных и неограниченных тел в пространстве любой размерности), и
бесконечности более высокого порядка. Последние могут быть получены как
множество всех подмножеств исходного бесконечного множества.
Линия состоит из множества точек, плоскость - из бесконечного множества
линий; книга - из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига - из
бесконечного множества книг (Х.Л. Борхес, Книга песка).
Эти идеи имеют большое психологическое значение.
...После того, как наше переживание становится реальным процессом в
реальном мире, а наше феноменологическое время простирается, как нечто
космическое, на весь мир, мы все-таки подменяем континуум точным понятием
действительного числа, вопреки существенной неточности, неустранимой из
того, что нам надо... Во всем этом не просто проявляется какая-то
насильственная систематизация или стремление к простоте мысли, вызванное
нашими практическими задачами и целями: в действие вступает подлинный разум,
раскрывающий присущий действительности "логос"... Конечно, наглядно
созерцаемый и математический континуум не совпадают; между ними зияет
пропасть. Тем не менее, существуют разумные мотивы, побуждающие нас
стремиться к тому, чтобы от одного перейти к другому, - столь же разумные,
как и те, которые заставляют при исследовании природы стремиться проникнуть
"за" пределы той реальности, которая основывается на актах опыта... - к
образования и развития идей, которыми он руководствовался. Мы с трудом можем
поверить, что Ампер в действительности открыл закон взаимодействия при
помощи описываемых им экспериментов. Мы вынуждены подозревать, в чем,
впрочем, признается сам Ампер, что закон открыт им при помощи некоего
процесса, который он нам не показывает... Фарадей, напротив, показывает нам
свои как неудачные, так и удачные эксперименты, как свои несозревшие идеи,
так и идеи разработанные... Поэтому каждому изучающему следовало бы читать
исследования Ампера как блестящий образец научного стиля при изложении
открытия, но ему следовало бы также изучать Фарадея для воспитания научного
духа на той борьбе противоречий, которая возникает между новыми фактами,
излагаемыми Фарадеем, и идеями, рождающимися в его собственном мозгу (Дж.К.
Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме).
Соотношение образного (интуитивного) мышления и логики можно
проиллюстрировать на примере истории открытия уравнений электромагнитного
поля самим Максвеллом. При их "выводе" для описания электромагнитных явлений
в среде-эфире он пользовался очень сложными механическими аналогиями
(например, зацепляющиеся шестеренки), которые впоследствии оказались
ненужными подобно строительным лесам.
Рассуждения и вычисления, которыми многократно силится подтвердить их
[свои уравнения] Максвелл, кишат противоречиями, темными местами и
очевидными ошибками (П. Дюгем, цит. по П. Флоренскому, с.115).
В конечном счете, по словам Герца, теория Максвелла есть система
уравнений Максвелла. Эстетическая сторона проблемы иллюстрируется
высказыванием Макса фон Лауэ:
Понимание того, как сложнейшие разнообразные явления математически
сводятся к таким простым и гармонически прекрасным уравнениям Максвелла,
является одним из сильнейших переживаний, доступных человеку (Статьи и речи,
М., 1969, с.12).
Проблема образов при познании Бога в христианстве, в частности,
различие католического и православного подхода к духовной практике,
обсуждается в гл.5.
Твердо держите в душах ваших, что вы не видели никакого образа в тот
день, когда говорил к вам Господь на [горе] Хориве из среды огня, дабы вы не
развратились и не сделали себе изваяний, изображений какого-либо кумира,
представляющих мужчину или женщину, изображения какого-либо скота, который
на земле, изображения какой-либо птицы крылатой, которая летает под
небесами, изображения какого-либо [гада,] ползающего по земле, изображения
какой-либо рыбы, которая в водах ниже земли; и дабы ты, взглянув на небо и
увидев солнце, луну и звезды [и] все воинство небесное, не прельстился и не
поклонился им и не служил им, так как Господь, Бог твой, уделил их всем
народам под всем небом (Второзаконие 4:15-19).
Особенно роль символа подчеркивает православная традиция (например, для
нее характерна развитая символика богослужения).
Символическое созерцание умопостигаемого посредством зримого есть
одновременно и духовное ведение и умозрение видимого через невидимое (Максим
Исповедник, Мистагогия, ср. Рим.1:20).
Здесь мы подходим к общему представлению о символе, которое играет
огромную роль не только в религии, но и во всех отраслях человеческого
восприятия, поскольку позволяет сделать его "многомерным".
В противоположность схеме и аллегории тут [в символе] мы находим полное
равновесие между "внутренним" и "внешним", идеей и образом, "идеальным" и
"реальным"... Символ есть самостоятельная действительность. Хотя это и есть
встреча двух планов бытия, но они даны уже в полной, абсолютной
неразличимости, так что уже нельзя указать, где "идея" и где "вещь" (А.Ф.
Лосев, Диалектика мифа).
Развитой символической системой, часто использовавшейся в
средневековье, была алхимия. Алхимические символы часто встречаются в
научных трактатах и личной переписке ученых того времени. Зашифрованные
символами сообщения имели целью не столько сохранить приоритет, сколько
выразить невыразимое (без снижения уровня) более простыми средствами.
Впрочем, проблемы понимания алхимических текстов, смысл которых практически
полностью утерян для нас, возникали и у современников:
Несмотря даже на то, что поглощал их писания одно за другим, бессменно
склоняясь снова и снова над трудами мудрецов, я не нашел в них сути того,
что сии мудрецы провозглашали в своих сочинениях. Я изучал алхимические
книги двояко, стараясь уразуметь в них и то, что говорит в пользу мужей, их
написавших, и то, что говорит против них, но установил, что эти книги
никчемны, бессмысленны и бесполезны (Альберт Великий, Малый алхимический
свод).
К.Г. Юнг посвятил ряд своих работ (Психология и алхимия, Aion,
Mysterium Coniunctionis, Дух Меркурий и др.) психологической интерпретации
алхимической символики. По его мнению, она выражает свойственные
человеческой психике архетипы, т.е. фундаментальные представления,
принадлежащие сфере "коллективного бессознательного":
Поскольку алхимики, за исключением очень немногих, не знали, что они
вытащили на свет божий психические структуры, а думали, что объясняют
трансформации материи, то никакие психологические соображения, проистекающие
из чувствительности натуры, не могли удержать их от того, чтобы не обнажать
основы души, что более осведомленный человек побоялся бы сделать. Именно
поэтому алхимия так неотразимо привлекательна для психолога... Какими бы
странными и невразумительными не казались непосвященным используемые
алхимиками язык и образы, они становятся ясными и живыми, как только
сравнительное исследование обнаруживает связь между символами и процессами в
бессознательном (Mysterium Coniunctionis, с. 13).
Более подробное обсуждение связей между современной наукой и алхимией,
герметизмом и пифагорейской философией приведено в главе 4.
Дух европейской науки до сих пор несет на себе печать всех этих
факторов - переход от языка каббалы и алхимии к более простому языку
математики, который произошел достаточно поздно, с этой точки зрения не
принципиален. С точки зрения психологии, современная математическая
символика отличается прежде всего меньшей эмоциональной насыщенностью.
До тех пор, пока именно заклинания связывают материальный мир неба и
земли воедино, астрология и магия не могут стать астрономией и техникой.
Любая арифметическая задача оставалась религиозной обязанностью, с
ликованием выполняемой жрецами во время соответствующих церемоний... Сегодня
мы констатируем, что 2 и 2 равняется 4, не повышая голоса. Сущность
математической символики и заключается в том факте, что во время
установления математических истин голос не повышается. Фигуры, кривые,
треугольники и задуманы так, чтобы быть понятыми без всяких эмоций... Но это
великое новшество. Никогда прежде язык не использовался без сильнейшего
возбуждения. Шаман говорил с пеной у рта. Жрецы в храмах лежали в
изнеможении (О. Розеншток-Хюсси, Бог заставляет нас говорить, с. 183).
С другой стороны, алхимики, как показывают исследования Юнга, играли с
чрезвычайно мощными и опасными символами, коренящимися в глубинах
бессознательного. Поиск Философского Камня был буквально вопросом жизни и
смерти:
Глядя куда-то поверх моей головы, рабби продолжает:
- Не следует молиться о Камне, если не знаешь, что он означает.
- Камень означает истину! - откликаюсь я.
- Истина? - усмехается рабби точно так же, как император...
- Что же в таком случае означает Камень? - неуверенно допытываюсь я.
- Ответ на этот вопрос ... нельзя получить извне, он может прийти
только изнутри!
- Да, конечно, я понимаю: Камень находят в сокровенных глубинах
собственного Я. Но... потом-то он должен быть приготовлен, явлен вовне, и
тогда, когда он произведен на свет, имя ему - эликсир.
- Внимание, сын мой, - шепчет рабби... - Будь осторожен, когда молишься
о ниспослании Камня! Все внимание на стрелу, цель и выстрел! Как бы тебе не
получить камень вместо Камня: бесцельный труд за бесцельный выстрел! Молитва
может обернуться непоправимым (Г. Майринк, Ангел Западного окна).
Математическая символика более "нейтральна" и вероятно именно это
позволило ей стать "общезначимой". Общераспространенность математической
символики и ее максимальная "независимость от культуры" по-видимому
свидетельствует, что базовые понятия (архетипы) числа, континуума и т. д.
действительно являются эмоционально нейтральными. Возможно, они целиком
принадлежат к высшим этажам человеческой психики (то, что по картографии
сознания С. Грофа связано с трансперсональным уровнем) и в минимальной
степени "зацеплены" за низшие слои (секс, агрессия...). Впрочем,
Стиль любой зарождающейся математики полностью зависит от той культуры,
в котрой она возникает, от особенностей народа, над ней размышляющего (О.
Шпенглер, Закат Европы. О смысле чисел).
В связи с переходом от средневековой науки, базирующейся на астрологии
и алхимии, к современной математике, следует упомянуть переплетение
"магического" и естественнонаучного языка в трудах врача, математика и
астролога Дж. Кардано (1501-1576), описавшего свое решение кубического
уравнения в сочинении Ars magna (великое искусство). Его биография
напоминает авантюрный роман, а творческая деятельность полностью
определялась влиянием мистического опыта. Современный английский математик
Р. Пенроуз (см. список литературы) в особенности подчеркивает заслуги
Кардано как одного из создателей теории вероятности, а также как математика,
впервые использовавшего комплексные числа. Кроме того, начиная с Кардано
можно проследить ту линию, которая в конце концов, через работы Абеля и
Галуа о разрешимости алгебраических уравнений, привела к появлению
современной теории групп, играющей столь большую роль в квантовой физике.
Галилей в "Диалоге о двух системах мира" (см. Избранные труды, М.,
1964) объявляет тайны пифагорейских чисел баснями. Однако его кардинальная
идея о тайнах природы, записанных на языке математики (см. цитату в начале
главы) по происхождению несомненно восходит к пифагорейской традиции. С
этого времени, математическая символика почти полностью вытесняет
каббалистическую, алхимическую и другие "средневековые" символические
системы. Успехи ньютоновской теории тяготения, прежде всего, вывод законов
Кеплера (см. гл. 4), закрепили положение математики как "царицы наук"
(известное выражение К. Гаусса). Созданный трудами И. Ньютона, Г. Лейбница,
И. Барроу, Х. Гюйгенса и других ученых XVII века математический анализ
оказался исключительно эффективным средством решения самых разных задач. На
протяжении XVIII века огромное количество важных результатов было получено
Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, П. Лапласом и многими другими математиками,
механиками и астрономами.
Несмотря на "прикладное" значение математики, в настоящее время она
представляет собой самостоятельную науку с собственными объектами
исследования и эстетическими критериями. Начиная с XIX века, центр тяжести в
развитии математики постепенно смещается в сторону более четкого анализа
используемых понятий, роста строгости и развития "культуры" математического
доказательства. Этот процесс сопровождается некоторыми издержками:
Математика наших дней походит на крупный оружейный магазин мирного
времени. Его витрина заполнена роскошными вещами, которые своим остроумным,
искусным, пленяющим глаз исполнением восхищают знатока, а подлинные истоки и
назначение этих вещей, их способность поражать врага отходят в сознании на
задний план вплоть до полного забвения (Ф. Клейн, Лекции о развитии
математики в XIX столетии, т.1, М., Наука, 1989, с.86).
На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем
более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь
косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от реальности, над ней нависает
смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто
эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для
искусства... Я убежден, что "эмпирическая" подпитка была необходимым
условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в
прошлом и что аналогичное утверждение останется в силе и в будущем (Дж. фон
Нейман, цит. по: М. Клайн, Математика. Утрата определенности, с.338).
Вместе с тем, математика продолжает сохранять свою "непостижимую
эффективность в естественных науках", давшую название знаменитой статье Е.
Вигнера:
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки
физических законов. Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не
заслуживаем. Нам остается лишь благодарит за него судьбу и надеяться, что в
своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им (Е.
Вигнер, Этюды о симметрии, с. 197).
Рискуя несколько шокировать "сциентистски" настроенного читателя, можно
тем не менее отметить очевидную аналогию между верой современного ученого в
"непостижимую эффективность математики" и верой человека традиционного
общества в магию чисел. Примеры такой эффективности дествительно
многочисленны и впечатляющи. Можно указать, например, на основное уравнение,
описывающее свойства электрона - уравнение Дирака. Оно было установлено
Дираком в 1927 г. из соображений "математического изящества" и не только
прекрасно описало все известные к тому времени свойства электрона, но и
привело к предсказанию существования античастицы электрона - позитрона,
впоследствии подтвержденному экспериментально. Еще более ярким примером
является общая теория относительности (современная теория тяготения),
созданная Эйнштейном в 1915 г. как достаточно формальная математическая
конструкция почти без всякой экспериментальной основы и блестяще
подтвержденная всеми последующими экспериментами и астрономическими
наблюдениями. Однако, если мы захотим понять эти успехи, это может оказаться
делом не более простым, чем объяснить, каким образом пересчет девушек (см.
выше цитату из Фрэзера) может повредить их здоровью. "Самое непостижимое в
мире - то, что он постижим" (А. Эйнштейн), причем зачастую - постижим на
математическом языке. Следующий отрывок дает описание "мистического опыта",
связанного с чистой математикой.
В математике, дополненной философией и психологией, я нашел то, что
обычно дает человеку религия. Я осознал в этом присутствие реальности в
форме необычайной чистоты, и предел внутреннего проникновения, которого я
тогда достиг, хотя мне и недоставало соответствующего понимания и
различения, не был превзойден с тех пор никогда, вплоть до седьмого числа
прошлого месяца... То, чего я достиг благодаря математике на языке символов
- а это был редкий уровень сознания, - должна была дополнить философия, так
чтобы это могло стать ясным для понимания. Философия добавила способность
размышления и сосредоточения к чистому свету математики (Ф. Меррелл-Вольф,
Пути в иные измерения, с.145-146).
Вспомним также, что Эйнштейн в детстве воспринял "Начала" Евклида как
"священную книгу по геометрии".
Ряд крупных исследователей, пытающихся всерьез понять статус
математических понятий и причину их эффективности, склоняется к тому или
иному варианту платонизма. Так, выдающийся английский ученый - специалист в
области математической физики Р. Пенроуз посвятил значительную часть своих
книг "Новый разум императора" и "Тени разума" (см. список литературы)
аргументации в пользу реального существования мира математических идей.
Математические понятия, выражающие "гармонию" мира, вечны и неуничтожимы
подобно платоновским идеям:
В настроенной лире гармония - это нечто невидимое, бестелесное,
прекрасное и божественное, а сама лира и струны - тела, то есть нечто
телесное, сложное, земное и сродное смертному. Представь себе теперь, что
лиру разбили или же порезали и порвали струны, - приводя те же доводы, какие
приводишь ты, кто-нибудь будет упорно доказывать, что гармония не
разрушилась и должна по-прежнему существовать. Быть того не может, скажет
такой человек, чтобы лира с разорванными струнами и сами струны - вещи
смертной природы - все еще существовали, а гармония, сродная и близкая
божественному и бессмертному, погибла, уничтожилась раньше, чем смертное.
Нет, гармония непременно должна существовать, и прежде истлеют без остатка
дерево и жилы струн, чем потерпит что-нибудь худое гармония (Платон, Федон;
см. также вынесенные в эпиграф строки Мандельштама).
Близких взглядов на сущность математических идей и понятий
придерживался В. Гейзенберг (см. книгу "Физика и философия. Часть и целое").
Другой выдающийся физик, В. Паули, полагал, что более правильным образом для
того, чтобы охарактеризовать статус математических понятий, являются
юнговские архетипы. В отличие от платоновских идей, они имеют динамический
характер и не могут рассматриваться как вечные и неизменные, однако также
принадлежат к некоторой реальности за пределами индивидуальных сознаний (см.
книгу К. Лаурикайнена). Высокую оценку математики можно найти и в оккультной
литературе.
Главный Источник чистой математики - Высшее, или Трансцендентное
Сознание, и в этом причина, почему выводы всеобщего характера можно
недвусмысленно передать на языке чистой математики... В определенном смысле,
чистая математика далеко опередила сейчас то Сознание, которое реально
возможно для человека (Ф. Меррелл-Вольф, Пути в иные измерения, с.280, 293).
В средние века вопрос об универсалиях (идеальных, общих понятиях)
обсуждался в бурных и долгих спорах схоластов - реалистов и номиналистов:
первые отстаивали их реальное (онтологическое) существование, а последние
признавали их только в мышлении (как имена, символы единичных сущностей).
Эти споры так ни к чему и не привели, а крайние точки зрения были осуждены
церковью (особенно в связи с догматами о причастии и св. Троицей). Взгляды
на математику Пенроуза и его единомышленников могут быть сопоставлены со
средневековым реализмом.
"Номиналистский" подход в вопросе об основаниях математики состоит в
предположении, что математические понятия являются результатом обобщения и
абстрагирования свойств реального физического мира. Логически возможен и
"субъективно-идеалистический" подход, рассматривающий математические
конструкции как произвольные творения человеческого ума, однако в этом
случае вопрос о причинах "непостижимой эффективности" математики по-видимому
не может быть даже разумно сформулирован. Как и вообще в современной науке,
наиболее распространен сейчас по-видимому "позитивистский" подход, когда
вопросы о мировоззренческом статусе используемых понятий и методов считаются
ненаучными и бессмысленными. Применительно к математике, такой подход
состоит в рассмотрении математических теорий как некоторых формальных
конструкций:
В этом смысле математика рассматривает отношения в
гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной
материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их
непротиворечивость... "Математика - это наука, извлекающая определенные
следствия" - сказал Б. Пирс в 1870 г., и это определение оставалось в моде
на протяжении нескольких десятилетий. Мне кажется, что оно содержит весьма
скудную информацию относительно подлинной природы математики... (Г. Вейль,
Математическое мышление, М.: Наука, 1989, с. 21).
К подобным формалистическим подходам относится прежде всего
аксиоматический метод, который пропагандировался и развивался на рубеже XIX
и XX веков выдающимся немецким математиком Д. Гильбертом. Известно его
шутливое (?) высказывание, что при изложении евклидовой геометрии можно
везде заменить слова "точки", "прямые" и "плоскости" на "столы", "стулья" и
"пивные кружки" (через два стола можно провести стул, и притом только один -
замечательно!). В широко известном списке "проблем Гильберта" присутствовала
даже проблема аксиоматизации физики. Аналогичный подход развивался Расселом
и Уайтхедом по отношению к самой математике. По словам Б.Рассела,
Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним
из величайших открытий нашего времени (Принципы математики).
Такой подход сразу после своего возникновения вызвал резкие возражения
ряда крупнейших математиков, прежде всего, А. Пуанкаре:
Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих
отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от
частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот
порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без
успеха, и эту неудачу трудно скрыть под маской особого языка, недоступного
профанам (А. Пуанкаре, О науке, с.402,403).
Будущее развитие математики и логики действительно показало
недостаточность гильбертовского подхода даже в пределах математики (не
говоря уже об "аксиоматизации физики", см. гл.6). Мы имеем в виду прежде
всего знаменитую теорему Геделя, согласно которой даже в арифметике
натуральных чисел существуют утверждения, неопровержимые и недоказуемые на
основе любого конечного набора аксиом. (Приведенная здесь формулировка не
вполне точна и нуждается в многочисленных пояснениях; см., например,
упомянутые выше книги Р. Пенроуза или популярно написанную брошюру В.А.
Успенского "Теорема Геделя о неполноте", М., Наука, 1982; более
систематическое изложение можно найти, например, в учебнике С. Клини
"Математическая логика", М., Мир, 1973). Близкое (и в действительности
эквивалентное) утверждение состоит в существовании алгоритмически
неразрешимых задач, то есть таких задач, которые в принципе не могут быть
решены никаким компьютером, действующим на основе фиксированного набора
правил. (Известно много конкретных примеров таких задач; скажем, не
существует общего способа определить, можно или нельзя вымостить всю
плоскость без зазоров, используя только многоугольные плитки из заданного
конечного набора). Тем самым, математика неизбежно должна быть
содержательной и "человеческой" (или, согласно платонистским взглядам,
сверхчеловеческой), но ни в коем случае не "компьютерной", то есть бездумно
выводимой из фиксированного набора правил:
Вы [сторонники взглядов Рассела и Гильберта] даете нам не крылья, а
детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не
давали нам падать. В такой помощи - единственное их оправдание. Если ценное
имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно
было в надежных руках. Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да,
иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком
случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно
питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы
должны быть непогрешимы, или вас не будет (А. Пуанкаре, О науке, с.390).
Различие подходов и мировоззрений в вопросе об основаниях математики
особенно ярко проявляется при рассмотрении проблем, связанных с идеей
бесконечности. "Стандартная" математика XX века базируется на теории
множеств, разработанной в XIX веке Г. Кантором (а говоря более технически -
на так называемой системе аксиом Цермело-Френкеля). Согласно Кантору,
существуют разные степени (мощности) бесконечности: бесконечность счетных
множеств, таких, как ряд натуральных чисел, бесконечность континуума,
например, отрезка единичной длины (ту же мощность имеют множества точек
ограниченных и неограниченных тел в пространстве любой размерности), и
бесконечности более высокого порядка. Последние могут быть получены как
множество всех подмножеств исходного бесконечного множества.
Линия состоит из множества точек, плоскость - из бесконечного множества
линий; книга - из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига - из
бесконечного множества книг (Х.Л. Борхес, Книга песка).
Эти идеи имеют большое психологическое значение.
...После того, как наше переживание становится реальным процессом в
реальном мире, а наше феноменологическое время простирается, как нечто
космическое, на весь мир, мы все-таки подменяем континуум точным понятием
действительного числа, вопреки существенной неточности, неустранимой из
того, что нам надо... Во всем этом не просто проявляется какая-то
насильственная систематизация или стремление к простоте мысли, вызванное
нашими практическими задачами и целями: в действие вступает подлинный разум,
раскрывающий присущий действительности "логос"... Конечно, наглядно
созерцаемый и математический континуум не совпадают; между ними зияет
пропасть. Тем не менее, существуют разумные мотивы, побуждающие нас
стремиться к тому, чтобы от одного перейти к другому, - столь же разумные,
как и те, которые заставляют при исследовании природы стремиться проникнуть
"за" пределы той реальности, которая основывается на актах опыта... - к