Степанов А.. Число и культура

пятомсолнечном круге – эре", и конец света наступит в 2012 г. ^[140]. Независимо от степени обоснованности заключений языческого бога и его толкователя, их едва ли удастся признать существенными для нас и, значит, достойными серьезного дискурса. Такие вещи неизменно квалифицируются как казус и заслуживают не более чем мимолетного любопытства (если вопрос, конечно, не входит в нашу специальность).
   Самостоятельной областью, где пятерка пребывает уверенно, является область символики. Наряду с архаическими пентаграммами, последние превратились в государственные (например, США, СССР), блоковые (расположенные в круг пятиконечные звезды на флаге ЕС), военные символы (на погонах), но тут мы встречаемся не с арифметико-логическими, а образно-суггестивными, геометрическими реалиями, которые в настоящей главе не рассматриваются. В другом контексте мы коснемся их в третьей главе.
   Историки математики, культурологи свидетельствуют о самых ранних этапах развития счета. Вначале – и эта ступень была наиболее протяженной – люди "отличали друг от друга совокупность двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее количество предметов, объединялась в понятии "много". Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развилась; возникли слова для обозначения понятий "четыре", "пять", "шесть", "семь". Последнее слово длительное время означало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе ("семь раз отмерь – один отрежь", "у семи нянек дитя без глазу", "семь бед – один ответ" и т.д.)" ^{[87, c. 55-56]}. Почти в обозримый период у многих народов роль "самого большого" числа досталась сорока: ср. в русском языке слово "сороконожка" означает "многоножка", а "сорок сороков" (сорок сороков церквей в старой Москве) – много раз по многу, "много в квадрате". Практически одновременно формируются понятия о значительно более крупных числах. Если в нормальном быту большие числа, в общем, не требовались, то иное дело – военные баталии. Войска необходимо исчислить, и для крупных подразделений появляются понятия 10 000 и т.п., заимствованные русскими от татар. (Хотя, как напоминает Н.Н.Крадин ^{[142, c. 144]}, подразделения в 10, 100, 1000 и т.д. человек отражали не столько действительное количество воинов, сколько социальный ранг боевой единицы, статус и титул ее предводителя. Т.е такие числа были лишены точной привязки к эмпирической реальности, скорее задавая ее имагинативно-семантический образ.) Превзошли же всех звездочеты, которые ввели в культурный обиход миллионы, миллиарды и даже б?льшие числа. Загадки неба и разгадывание велений судьбы требовали изрядных усилий.
   Египтяне на стадии иероглифического письма имели обозначения для чисел вплоть до 107 (знак для 106 – поднявший в изумлении руки человек, для 107 – солнце), позднее – на стадиях иератического и демотического письма – верхний порог снижается до 1000 ^{[142, c. 22]}. Некоторые западные народы удовольствовались сравнительно невысокими верхними значениями: у ассиро-вавилонян и геродиановых греков это 10 000, у римлян – 1000. Древнерусские обозначения для 106 – тьма, 1012 – легеон, 1024 – леодр, 1048 – ворон, 1049 – колода. В Древней Индии фигурируют санскритские названия для чисел 10n , где n больше 50, но со временем имена самых крупных из них утрачиваются. Пристрастие с сверхогромному и сверхмалому в известной мере роднит нашу эпоху с почтенною древностью, но это не снимает вопроса, в каких целях древние египтяне и особенно индусы прибегали к поражающим воображение числам (если не считать их образным заместителем логической ситуации М = ?, см. выше, или аналогом "числа песка" Архимеда). Скорее всего, они играли культовую роль.
   Но не этому пути роста было предназначено стать магистральным. Уже Фалес знал о неограниченности натурального ряда, о ничем не ограниченной возможности все нового прибавления единицы. Именно тогда в имагинативно-образный состав прежних знаний ("мудрости") вторгается специфическая рациональность, научность; теория отделяется от синкретического знания. В этот период изобретены математические доказательства; неограниченность натурального ряда (затем и неограниченность последовательности простых чисел) строго доказывается. Процесс счета при этом "десубстантивировался", отделялся от предметов, постепенно превращаясь в операцию. Споры о том, как толковать число и как проводить вычисления, продолжались в средневековье: знаменитые дискуссии между абакистами и алгоритмиками, см., напр., ^[199](верх одержали последние, навсегда ли?).
   Так или иначе, наше восприятие до сих пор сохраняет след об "очень большом числе", синониме "много", пребывающем на границе вообразимого. Еще несколько десятилетий назад сверхбогатого человека называли "миллионером". Теперь его место занял "миллиардер" (на горизонте, похоже, маячит и "триллионер"), за этой границей большинству из нас практически все равно, сколько именно у него миллиардов: один или сто. За каким-то пределом счет по сути начинается заново.
   Последнее обстоятельство, впрочем, относится не только к очень большим, но и ко вполне обычным числам. Современная техника счета – единицами, десятками, сотнями, тысячами- – подразумевает строгую логическую периодичность. В ранних непозиционных и полупозиционных системах для записи первых чисел использовались вертикальные или горизонтальные черточки или зарубки: I , II, III, у некоторых народов и IIII. Потом требовалось введение нового знака. У римлян это V, четыре обозначалось как пять без единицы, IV. Так было до следующей пятерки: VI, VII, VIII и т.д. Историки математики говорят в связи с этим о пальцевой технике счета – на одной руке (база 5) или на двух (база 10). В современных вычислительных машинах применяется двоичное счисление, т.е. логический период состоит всего из двух позиций.
   В процессе счета человек представляет любое, среди прочих и очень большое, число как определенную совокупность сравнительно компактных логических групп, с которыми удобно обращаться. Теперь у нас принята десятичная система, но, кроме пятиричной, известен счет дюжинами и вавилонская шестидесятиричная система, долгое время использовавшаяся астрономами разных стран. Нас, однако, интересует не "голое" число, а его роль в культурно-семантических комплексах.
   Со структурами, состоящими более чем из трех – четырех элементов, нам уже доводилось встречаться. Напомним: определенно-личных местоимений в единственном числе оказалось 5 (а если добавить множественное число – 8); в немецком языке глаголы употребляются в 6 временах; сутки по-немецки состоят из шести же периодов (Morgen, Vormittag, Mittag, Nachmittag, Abend, Nacht); список основных литературных родов и видов включал также 6 позиций (эпос, лирика, драма, трагедия, комедия и снова драма, в узком значении). СССР состоял из 15 союзных республик, в складывающейся Европе как едином образовании – см. раздел 1.4.2.2 – фигурирует более сорока государств. Тогда же обращалось внимание: даже такие сравнительно небольшие системы по существу разбиваются на более мелкие логические единицы (по три, по четыре), с помощью которых мы и строим свое представление о целом.
   Годовой цикл, состоящий из 12 месяцев, зиждется на сходной основе. Вначале, посредством двух дихотомий, мы выделяем четыре сезона, "квартала", затем каждый из них – вследствие применения бинарной операции "раньше/позже" – подвергается трихотомии. Произведение 4 x 3, или 2 x 2 x 3, и дает искомое 12. Для наглядности и удобства (12 = 4 x 3) на циферблатах механических часов цифры 3, 6, 9, 12 выделяются величиной или шрифтом. Мы представляем сложное через простое, более дробное семантическое членение – как комбинацию простейших. И числам 2, 3, 4, иногда 5 принадлежит особая роль.
   Со времен поздней римской античности сложилась традиция преподавать в высшей школе "семь свободных искусств", artes liberales, при этом они подразделялись на два цикла – квадривий(арифметика, геометрия, астрономия, музыка) и тривий(грамматика, реторика и диалектика). В Средние века, с V – VI вв., эти циклы утвердились в европейской схоластической школе, см., напр., ^{[315, c. 22]}. Семерка в данном случае предстает как 7 = 4 + 3, позднее квадривий преобразовался в реальные науки, тривий – в гуманитарные ^{[там же]}.
   В комментариях к русскому переводу "Осени средневековья" Й.Хейзинги читаем: "По средневековым воззрениям, идущим от Псевдо-Дионисия Ареопагита, ангельские существа составляют иерархию из девяти групп – три триады по три группы. Вся иерархия носила наименование "девяти чинов ангельских" (по латыни "чин" передается словом "ordo" – "порядок", "ряд", а также "сословие"). Нисходящий порядок этих чинов таков: Серафимы, Херувимы, Престолы; Господства, Силы, Власти; Начала, Архангелы, Ангелы. Земной порядок сословий полагали в Средние века отражением небесной иерархии" ^{[360, c. 474]}. Триад три, т.к. в системе установлено бинарное отношение "выше/ниже". В каждой триаде по три элемента, т.к. внутри нее действует самостоятельное отношение "выше/ниже". Девятизвенная система оказывается результатом произведения 3 x 3.
   Самые древние уровни восприятия: трех (т.е. "много"), четырех (тоже "много"), – в качестве специфически последнихчисел то и дело пробуждаются в нашей культуре. Так, "священное число" четыре в православной традиции интерпретируется как "четыре последняя человеков" – четыре крайних предела человеческого бытия, к которым должны быть обращены все помыслы: смерть, страшный суд, ад, рай. То же отличает и католическую традицию ^{[там же, с. 160, 486]}.
   Числами буквально усеян культурный ландшафт: 7 греческих мудрецов, 7 чудес света и 7 радостей Девы Марии ^{[там же, с. 488]}, 12 колен израилевых и 12 апостолов, 10 небесных тел Пифагора ^{[169, c. 77]}, децемвиры Древнего Рима ^{[там же, с. 190]}и 10 категорий Аристотеля (последнее количество зачастую объясняют особенностями греческого языка). Современные варианты теории Суперобъединения (четырех фундаментальных физических взаимодействий: гравитационного, сильного, слабого, электромагнитного) используют модель десятимерного пространства-времени (см., напр., ^{[205, c. 26]}). Впрочем, шесть измерений компактифицированы или "свернулись" после того, как "пузырь" вселенной захлопнулся, т.е. 10 = 4 + 6.
   В ряде случаев удается сравнительно легко обнаружить логические механизмы, стоящие за той или иной семантико-числовой структурой. 10 фундаментальных симметрий в классической механике и специальной теории относительности разбиваются на подгруппы: три параллельных переноса координат, три поворота координат, перенос начала отсчета во времени и переход от одной инерциальной системы к другой (у вектора скорости три компонента, значит, их три). Десятка в результате представлена как 10 = 3 + 3 + 1 + 3, а симметрии, или инварианты, согласно теореме Нетер, обусловливают известные законы сохранения (энергии, импульса, момента импульса-), подчеркивая надлежащую замкнутость системы.
   10 заповедей Моисея, организующие поле человеческого поведения, многократно повторенные и отточенные в катехизисах, в свою очередь, латентно подразделяются на следующие подгруппы. Первая состоит из одного элемента и "эссенциально" статуирует единственность Господа Бога ("Я Господь Бог твой, да не будет других богов"). Три последующие заповеди говорят о должных формах человеческого почитания Божества: не сотвори себе кумира; не произноси имени Господа напрасно; чти субботу. Третья подгруппа – о нормах отношений людей в "физической" ("биологической") плоскости: чти отца и матерь твою; не убий; не прелюбодействуй. Последняя, четвертая, касается социально-имущественных императивов: не укради; не произноси ложного свидетельства на ближнего твоего; не желай ни дома, ни жены, ни раба ближнего твоего, ни вола, ни осла, ничего, что у ближнего твоего. Десятка в итоге предстает в виде 10 = 1 + 3 + 3 + 3, воспроизводя структуру гуманизированного мироздания в целом: следуя снизу вверх – общество (включая институт собственности); человек, т.е. семья, личность; Церковь (религия) и, наконец, венчающий всю иерархию Бог. Кстати, ветхозаветный Господь наказывает человека за вину отцов до третьегои четвертогоколен (по другим свидетельствам – до седьмого).
   Сонет, состоящий из 14 строк, разбит построфно как 14 = 4 + 4 + 3 + 3, четверостишия рифмами – как 2 x 2. Венок сонетов (14 x 14) – еще более сложная, но не менее целостная конструкция.
   Семерка в семи цветах радуги, согласно теориям зрения, – результат комбинаций трех базовых цветов, воспринимаемых человеческим глазом (синего, красного, зеленого). Общее количество таких комбинаций – три чистых цвета, три смеси по два, смесь всех трех – составляет 3 + 3 + 1.
   Приняв аутентичную, т.е. древнюю, расстановку акцентов, мы обнаружим характерные внутренние членения и в ветхозаветной картине сотворения мира. В первые три дня были созданы неодушевленные вещи: в первый – небо и земля, свет отделен от тьмы; во второй " "твердь посреди воды", т.е. небо в собственном смысле слова; в третий – суша и море, а также растения. В последующие три дня Господь принялся за сотворение "одушевленных" вещей: в четвертый – трех родов светил (солнце, луна, звезды)(21); в пятый – пресмыкающихся, птиц и рыб, т.е. низший род "души живой"; в шестой – животных и человека. Шесть активных дней Творения, таким образом, могут быть описаны формулой 3 + 3. В седьмой день Бог почил и благословил этот день. Более поздние богословы решались заглянуть и в то, что логически предшествовало акту Творения – в существовавшее "от века", когда отсутствовало даже время, значит, и "дни" (Логос, или Слово, в частности, – родом из этой сферы). "Полная" формула в результате предстает в облике М = 0 + 3 + 3 + 1.
   В форме 3 + 3 + 1 может быть представлена и совокупность основных типов идеологий, или политических партий. В первую группу попадают "традиционные", известные еще с ХIХ в. либералы, консерваторы, радикалы (социалисты), во вторую – "авангардистские", продукт ХХ в.: коммунисты, нацисты (разновидность: фашисты), фундаменталисты, – активирующие, соответственно, социальный (или классовый), национальный (или расовый) и конфессиональный аспекты общественной жизни. С учетом идеологии новейшего, постиндустриального типа, "зеленых" (см. выше) список приобретает заявленный вид.
   С толкованием других случаев иногда возникают проблемы. В одной их буддистских систематик (Бай Юй Цзин) фигурируют шесть первоэлементов, в порядке убывания "плотности": земля, вода, воздух, огонь, пространство, сознание ^{[33, c. 124]}. С одной стороны, этот ряд представляет собой расширение более древней четырехзвенной совокупности (тогда 6 = 4 + 2), с другой – первые три элемента репрезентируют вещество, вторые – ступени его "дематериализации" (в этом случае 6 = 3 + 3). Объективная реальность взята вместе с представленеием о ней, и не вполне ясна аутентичная интерпретация ряда в целом. Аналогично, лишь приблизительно удается справиться с продолжительностью недели в семь дней.
   В иудеохристианской традиции таким был ритм рынка и ярмарок,(22) причем "есть немало культур, выделявших в этой неделе три "мужских" и четыре "женских" дня" ^{[141, c. 42]}, т.е. 7 = 3 + 4 (23) (о теологическом обосновании именно такой продолжительности недели речь уже шла: шесть дней Творения и день отдыха, а шесть, в свою очередь, 3 + 3). Возможно, здесь нашло воплощение архаическое переживание семерки как "полного" числа, синонима "много" (см. выше) или задействована квантиодромия месяца. В.Б.Иорданский говорит о "трех", "четырех", "семи" и дополняющем их числе "пять". "Эти числа легли в основу наиболее разработанных числовых систем истолкования мира ‹…› Общественная мысль пришла к убеждению, что именно эти числа определяют организацию пространства, ритм времени, динамику движения событий. В числе "три" эта мысль увидела выражение оси, идущей от неба через центр земной плоскости в глубины земли (см. небо – земля – преисподняя, М = 3, вследствие отношения "выше/ниже", n = 2. – А.С.). И разве число "четыре" не соответствовало четырем сторонам света, а "семь" – совокупности вертикальной оси и горизонтальной плоскости, выражающей объемное видение космоса?" ^{[там же]}. Не менее неоднозначная ситуация и с паттерном семи греческих мудрецов. До конца в подобных случаях остается неясным, обнаружим ли хотя бы один твердый релевантный смысл или следует говорить о "расплывчатой" полисемантичности, даже отсутствии логически строгого смысла, ибо использованы не столько концептуальные, сколько экспрессивно-образные возможности числа.
   По сходной причине "художественного" (эмпатического, гностического, мистического), а не логического характера мы отказываемся от работы с герметическими трактовками чисел. Ср. одна из них: единица олицетворяет Творца; двойка – Еву ("плохое" число, падение); тройка – Троицу; четверка – Троицу в действии; 5 – страдание; 6 – опасное число, выбор пути (человек чаще склоняется к дьяволу); 7 – счастливый выбор; 8 – символизирует бесконечность; 9 – тайные науки, последнее число. Оставим подобные упражнения в распоряжении их поклонников, – тем более, повторим, нашу задачу составляет не объяснение смысла чисел с помощью чего-то другого (вследствие первичности чисел такие цели, по всей видимости, недостижимы), а ровно наоборот: полагая, что с числами человек так или иначе умеет обращаться, стараться с их помощью объяснять подведомственные социальные и культурные явления.
   Вероятно, стоит также отметить: нередко "замечательные" числа являются логически заведомо производными, но неискушенному человеку это непросто заметить. Так, издавна считался знаменательным факт, что существует всего пятьтипов правильных многогранников: тэтраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Это доказал еще Эвклид, а Платон считал поименованные фигуры "небесными телами". Не менее "таинственное" значение придавалось так называемому "поцелуйному" числу в математике, т.е. двенадцати: вокруг шара могут быть расположены 12 точно таких же шаров, касающихся центрального каждый в одной точке (та же величина – максимальное координационное число в кристаллографии). Оба числа – и 5, и 12 – в данных случаях обусловлены трехмерностью пространства и возможностями "комбинационного" размещения в нем, т.е. 5 и 12 – производные от М = 3 (интересующимся советую заглянуть в какой-нибудь из курсов стереометрии). В целом, здесь уместно обобщающее мнение одного из авторитетных исследователей культуры: "Христианский смысл триадыдостаточно известен. Тетрадаже – это гностически открытый вариант троицы, переходящей в четверицу.Причем, совсем не безразлично, чтоприбавлено к троице– богоматерь или Люцифер. Четыре начала, четыре стороны света, четвероевангелие: 3 + 1. Числа 7, 3 и 4 порождают всевозможные сочетания, образуя и другие магические числа. Магическое число– в некотором смысле архетипическая полирегиональная реальность" ^{[264, c. 106]}.
   Формально возможно, применяя предложенную модель и решая соответствующее уравнение, исследовать социальные и культурные системы с любой, сколь угодно высокой степенью дифференцированности М. Но создается впечатление, что этого делать не нужно. Бинарных, тринитарных, кватерниорных (иногда еще и пятисоставных) паттернов в подавляющем большинстве случаев оказывается достаточно. Системы более сложные обычно представляются в виде их композиций. Приведенные примеры, надеюсь, наглядно подтверждают сказанное, причины же этого заслуживают хотя бы краткого обсуждения.
   Ни арифметика, ни логика не содержат какого бы то ни было ограничения чисел сверху, и поскольку мы изучаем не числа вообще, а только культурообразующие, постольку появление верхней границы, по всей видимости, обусловлено действием именно культурных или психологических механизмов.
   В примечаниях к статье А.Ф.Лосева "Логическая теория числа", составленных В.П.Троицким, читаем: "По современным данным, предельное количество стимулов, запоминаемых в оперативной памяти человека, составляет 7 – 9 (J.Hayes); известное выражение Дж.Миллера "магическое число семь плюс или минус два" – о том же" ^{[191, c. 134]}. Почему в этом вопросе важен объем кратковременной, или оперативной памяти? – Эта память – необходимый участник акта представления, в котором совокупность характеристик предмета единовременно схватывается, выступает в качестве целого. После того, как акт понимания состоялся и сознание овладело составным (из М элементов) предметом, внимание может переключаться на другое: на иной предмет, на следующую логическую ступень, в рамках которой прежде освоенное выступает в виде логически и психологически компактного целого (самостоятельной единицы или системы). Приведенные ограничения означают, что в распоряжении человеческого рассудка не могут одновременно пребывать более девяти – а не то и семи, пяти – факторов: таковы особенности нашего восприятия и мышления. Феномены, за которые ответственно большее количество факторов, неизбежно кодифицируются в качестве семантически составных. Именно это становится предпосылкой вышеупомянутой композиционности, того, что, стремясь овладеть смыслом той или иной системы из М элементов, мы волей-неволей мысленно разбиваем ее на относительно автономные подсистемы, доступные одномоментному схватыванию.
   В.П.Троицкий ссылается на Дж.Миллера, на его статью "Магическое число семь плюс или минус два. О некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию".(24) Начиная с работ лаборатории В.Вундта в конце 1870-х гг. опыты показывали, что человек, как правило, не может запомнить более шести одинаковых предметов, объектов, явлений, предъявляемых одновременно. О том же свидетельствуют более поздние эксперименты. Испытуемые обычно не совершали ошибок, когда изображение содержало четыре, пять, шесть одномоментно показываемых точек, семь – своеобразный рубеж. Если число точек превышает рубежное, ошибки становятся постоянными. Психологи выяснили, что человек по-разному реагирует на количества – в зависимости от предмета. Так, статистически значимым рубежом служили 7 различных местоположений, 5 длительностей колебаний, 4 степени интенсивности. В одном опыте, в среднем, человек в состоянии различать только 6 звуковых типов, когда вероятность появления любого из них при очередном появлении одинакова. Самые высокие показатели "пропускной способности" сознания обычно приходятся в испытаниях на зрение.
   Опираясь на эти данные, Б.А.Фролов заключает: "Если попытаться свести – с учетом разброса показателей из-за индивидуальных особенностей испытуемых – различия в эффективности разных органов чувств в разных операциях к какой-либо одной общей формуле, получится то самое выражение ‹…›, которое Дж. Миллер вынес в заголовок своей статьи: 7 ± 2 " ^[351]. Такой вывод, важная оговорка, справедлив применительно к актам различения по какому-нибудь одному признаку, в случае комплексности ситуация несколько изменяется. Далее Б.А.Фролов обращает внимание, что и в жизни люди спонтанно разбиваются на группы. Три, четыре, пять – устойчивая группа собеседников, но не более семи. "Социологи США, Польши и других стран эмпирически установили, что оптимальным числом структурных единиц, подчиненных одному человеку, является число, не превышающее семи: человек не может с равной эффективностью оперировать единицами, если этот предел оперативных возможностей превышен" ^{[там же]}. А.Матейко в "Условиях творческого труда" констатирует: "В коллективах, где насчитывается более 6 – 7 человек, уменьшается возможность индивидуального подхода друг к другу, члены таких коллективов начинают взаимно рассматривать себя как представителей подгрупп или категорий" ^{[203, c. 54]}. В результате Б.А.Фролов называет семерку пределом оперативных возможностей психики индивида и попутно указывает на ее палеолитические истоки, т.е. возводит к периоду, когда возник человек биологически современного типа.
   Общее впечатление: Б.А.Фролов стремится во что бы то ни стало утвердить "магическое" число семь, тогда как в различных экспериментах фигурировали и более низкие значения порога устойчивого восприятия. Более сильные ограничения на названный порог накладываются у Жана Пиаже.
   Этот классик современной психологии изучает процесс формирования индивидуального логического мышления. Представлению о числе как операции (операции счета) предшествует более синкретическая стадия – когда восприятие и операция еще не разделены. "Несомненно, что на этом уровне для небольших совокупностей – из двух, трехили