Степанов А.. Число и культура

^{[191, с.87]}. Древние предпочитали приписывать числу чрезвычайно высокий онтологический статус: "Число есть ближайшее к Первоединому (по Плотину) или даже входит в него (по Проклу)" ^{[там же, с.134]}. Ничто не вынуждает нас разделять эту точку зрения, однако вновь: Первоединое не поддается исчерпывающему ноуменальному описанию, напротив, служит исходной идеей.
   Рациональная неопределимость числа отнюдь не лишает его концептуальной энергии – такова же ситуация и с рациональностью вообще: "Почти всеми философскими направлениями признается проблематичной "рациональность рациональности"" ^{[337, с.58]}. Немецкий профессор И.Веттерстен уделяет этому вопросу специальное внимание и приводит соответствующий обзор ^[449]. В ряде школ "корни рационального погружаются в почву иррационального" ^{[337, с.60]}. Таким образом, рациональность "иррациональна" как по логическому, так и по историческому происхождению, что не препятствует ее использованию в науке. Аналогично обстоит и с числом, истоки которого неопределимы и могут быть описаны лишь в "поэтических" категориях. Так, у О.Шпенглера в главе "О смысле чисел" читаем: "Происхождение чисел сродни происхождению мифа. Первобытный человек возводил в божества, numina, не поддающиеся определению впечатления природы ("чужое"), заклиная их с помощью разграничивающего их имени. Так же и числа суть нечто разграничивающее природные впечатления и тем самым заклинающее их. Именами и числами человеческое понимание приобретает власть над миром" ^{[380, с.206]}. И еще: "Каждая философия росла до сих пор в связи с соответствующей математикой(7) ‹…› существование чисел можно назвать мистерией, и религиозному мышлению всех культур не остался чужд его отпечаток" ^{[там же, с.205]}. "То, что выражается в мире чисел, но не в одной только его научной формулировке, есть стиль души" ^{[с. 208]}. И дальше: "Глубокое внутреннее переживание, действительное пробуждение Я, делающее младенца развитым человеком, членом принадлежащей ему культуры, знаменует начало числового, как и языкового, понимания" ^[с.209]. Напомним, что и язык, по крайней мере алфавитное письмо, очевидным образом опирается на разложение речи на дискретные единицы (буквы, слова, предложения) и их расстановку. Подобное происходит также в слоговом и в иероглифическом письме. Отсылки в сходном ключе могли бы быть и продолжены.
   Счет, комбинаторика и им подобные операции изначально вольно дышали и в социальной сфере. Имеется в виду не тривиальный коммуникативный аспект (арифметические предложения как часть языка, составной компонент идентичности групп, социально инициированной личности), а социальность в буквальном смысле. Кошка проявляет задатки счета лишь применительно к собственным детям, ворона – высокоорганизованное стайное существо. Аналогичным образом, человек издревле оттачивает свои логико-математические способности применительно к собственным коллективам. Счет родства, колен своих предков в библейские времена – недостижимый образец для наших современников (исключение – аристократические фамилии, но этот фактор теперь не принято принимать во внимание). Процесс начался значительно раньше. Что иное происходило, когда первобытный род или племя делились по строго означенным признакам на группы – скажем, взрослых мужчин, женщин, подростков, детей или формировались мужские союзы, состоящие по отдельности из молодых холостяков, стариков, вождей, отличившихся воинов и т.д.? Нередко они жили в разных строениях, располагались в различных зонах стоянки. Организация, таким образом, заключалась в членении целого во имя последующей регуляции, целенаправленной комбинации. И.Н.Лосева отмечает: "В фокус его ‹первобытного человека› внимания попадает преимущественно сфера внутригруппового и межгруппового общения" ^{[192, с.71]}и цитирует В.Я.Проппа: "Первобытное мышление не знает абстракций. Оно манифестируется в действиях, в форме социальной организации, в фольклоре, языке" ^{[там же, с.65]}. Не отрывается от гуманитарной реальности в частности и число. С тех пор как минула пора промискуитета, регламентируются брачные отношения – вплоть до возникновения тройственной моногамной семьи: муж, жена, дети, – или по-мусульмански полигамной: согласно рекомендациям Корана, число жен не должно превышать четырех. Метод расстановки участников используется в коллективных охотах, баталиях, спорте (например, одна из систем в футболе: 4 – 3 – 3).
   Сходные явления наблюдаются и применительно к крупным объединениям: древнеиндийское общество делится на касты (со строго детерминированными правилами социальной принадлежности в случае межкастовых брачных союзов), европейское – на сословия (одно из них непосредственно выступало под номером – "третье"). Сюда же следует отнести и упоминавшуюся градацию в современных западных обществах: богатый, средний и бедный классы. Аналогичную функцию выполняет политическое членение: в США это республиканцы, демократы и "индифферентная" группа ("независимые"), в послевоенном мировом сообществе – Запад, Восток и "третий, неприсоединившийся мир".
   Всякий раз, когда человек имеет дело с комбинаторными операциями и числом, речь идет не только о внесении соответствующего порядка, но и о разрешении предшествующих неопределенности и/или конфликта, возможно, драмы. Посредством арифметических и арифметикоподобных действий в формируемую реальность вносится мера, гармония, находится способ решения тех или иных жизненно актуальных задач, устранения противоречий. Собственно, в избавлении от противоречий и состоит одна из главных целей математической деятельности. Отношение равенства – выражение психологического равновесия, баланса интересов; конечная последовательность арифметических или алгебраических шагов – всякий раз свидетельство преодоления зависшей неопределенности, достижение так или иначе понимаемого идеала, своеобразный "катарсис". "Драматургическое" измерение арифметики неустранимо, хотя зачастую оно скрывается за завесой формализма и воспоминаний о школьной зубрежке.
   Надежные элементарно-математические навыки имеют непосредственное отношение и к здравому смыслу – этой, по выражению А.Бергсона, "добродетели гражданина в свободных странах" ^{[50, с. 163]}. Здравомыслие, по крайней мере современное, едва ли представимо без умения считать. А.Бергсон прямо ставит здравый смысл, который "в практической жизни – то же, что гений в науках и искусствах" ^{[там же, с.164]}, в зависимость от образования, при этом ставя акцент на его античной модификации ^[с.166]. Подобной разновидности интеллектуальности не чужды любые сферы занятий, в частности и "философский метод ‹…› близок к приемам здравого смысла" ^{[с. 167]}, а значит, в конечном счете, к простейшим "правильным" операциям. В условиях всеобщего образования арифметический образец входит в фундамент обыденного сознания, способствуя обнаружению "золотой середины" между интеллектом и волей, мыслью и действием, рассудком и чувством. Чем бы мы конкретно ни занимались, мы с головой погружены в эту среду, и если не всегда ее замечаем, то лишь потому, что она безусловно привычна и "стерта". Нет, тот, кто попытается вынести элементарно-математические действия за скобки "наук о духе", социальных наук, исповедуя пуристическую гуманитарность, рискует упустить нечто непренебрежимо важное, присущее человеку и человеческим коллективам с самых древних времен до новейших. Дистинктивная, т.е. различительная, способность, специфическая точность и строгость, привычно ассоциируемые с числом, отнюдь не чужды ни общественной, ни культурной жизни.
   Если нам предстоит заниматься числовым аспектом культурной реальности – независимо от того, что подвергается счету: измерения физического пространства, области времени (прошлое, настоящее, будущее), высшие ценности (истина, добро, красота), главные персонажи литературных произведений, социальные классы, сословия в ту или иную эпоху, – если, кроме того, наличие соответствующих количеств должно получить объяснение в рамках единой модели, то в дальнейшем придется отвлекаться от конкретной природы составных элементов. Но после построения абстрактной модели последуют ее испытания на реальных системах, и мы будем просто обязаны вторгнуться в сферу предметных отношений. При этом количество конститутивных компонентов оказывает существенное влияние на поведение изучаемых систем, их свойства и, что для нас важнее всего, на их смысл. Вслед за Ю.М.Лотманом, один из исследователей утверждал: "Число – универсальный символ культуры, а не только ее элемент" ^{[264, c.106]}. Поэтому наше исследование будет носить логико-числовой, логико-семантический характер. Помимо того, количество элементов, участвующих в организации системы, традиционно соотносится с ее формой. Скажем, П.А.Флоренский, обращая внимание на особенности культурного переворота начала ХХ в., подчеркивал возрастающее значение форм и именно под знаком числа, прежде всего натурального ("Пифагоровы числа": ^{[346, с. 632-646]}).
   Одни и те же формы то и дело оказываются присущими феноменам из совершенно разных предметных областей, см. выше: например, трехсоставный паттерн в размерности физического пространства, в грамматике (лица местоимений, области времени), в социально-политической структуре ("правые-левые-центр", ветви власти) и т.д. Подобный изоморфизм, гомологию невозможно объяснить в рамках канонических дисциплин, поскольку непосредственные каузальные связи отсутствуют. Поэтому нередко прибегают к методу аналогий. Соответствующих прецедентов не счесть, в частности, хорошо разработана тема "Достоевский и Эйнштейн", т.е. ассоциативные связи между литературой и физикой. В свою очередь, вслед за релятивистской теорией в литературоведении вводится понятие "хронотоп" (о координации этих явлений с числом – см. ^{раздел 1.4.1}). Мышление аналогиями порой эвристически ценно, но не дает объяснений. Зато оно активно использует ту самую операцию абстрагирования от "материального" наполнения составных элементов и апелляцию к формам, о которых недавно шла речь. Нашей задачей становится выявление общего математического фундамента представлений из разных секторов культуры – под знаком числа.
   Процедура счета, что также следует отметить, тесно связана с определенными логическими действиями, в частности родо-видового объединения и разделения. В нынешних школах, особенно после внедрения калькуляторов, больше внимания уделяют инструментальной стороне и меньше содержательной. Но чтобы считать, совершать арифметические действия, прежде необходимо убедиться в правомочности этого. Поскольку впоследствии нам придется не раз использовать в качестве само собой разумеющегося родо-видовые манипуляции в проекции на число, стоит с самого начала договориться, о чем идет речь. Воспользуемся примером из старого гимназического курса.
   На скотном дворе две лошади, три коровы, семь свиней и пять скамеек. Сколько крупных животных? – Пять. Сколько парнокопытных (к таковым относятся коровы и свиньи)? – Десять. Сколько животных? – Тринадцать. Сколько инвентарных единиц, т.е. предметов вообще? – Восемнадцать. Одна и та же ситуация описывается разными числами в зависимости от того, под каким углом рассматривается, какие таксоны мы выделяем. Ныне подобная обстоятельность выродилась до поговорки-совета "не складывай корову с лошадью". Столь тривиальное отступление потребовалось, дабы избежать недоразумений в дальнейшем.
   Теперь мы, вероятно, достаточно оснащены, чтобы приступить к конкретным исследованиям культуры и общества и, возможно, в состоянии пережить без наркоза встречу с сугубо математическим разделом. Впрочем, напоследок парочка замечаний. В ^{Предисловии} шла речь о рациональном бессознательном современного человека, и последнее связывалось со всеобщим школьным образованием, в котором львиную долю занимают математические и математикоподобные дисциплины. Теперь уместно обратить внимание на следующий нюанс.
   О.Шпенглер имел все основания указывать на различный стиль математик разных веков и цивилизаций и на тесную внутреннюю связь этого стиля с характером мышления, философии, мировоззрения, см. выше цитату о "стиле души". Разностилевыми, в частности, являются математика античности, с одной стороны, и Нового времени, с другой. При этом то, что на протяжении школьных лет мы изучали под маркой элементарной математики, несмотря на некоторую модернизацию в подаче, было открыто, "доведено до кондиции" или имплицитно подразумевалось античностью и является античным по духу, тогда как впоследствии, вступив во взрослую жизнь, мы имеем дело не только с другой математикой (те, кто ее изучает под названием высшей), но и шире – с совершенно иным интеллектуальным продуктом, будь он обязан точным наукам технологической эры или гуманитарным, из которых изгнан чуждый "механистический" компонент. В результате наша рациональность расщеплена на два этажа не только по признаку сознательности (т.е. принадлежности к современности) и бессознательности (то, что вытеснено ниже порога внимания, см. ^{Предисловие} ), но и по стилевомукритерию. В коллективном бессознательном сосредоточено рациональное содержание одного большого стиля, условно говоря античного, а в сознательной сфере – другого, если воспользоваться дефиницией Шпенглера, соответствующего "фаустовскому человеку".
   На протяжении всей первой главы, да и книги в целом, исследуется рациональное бессознательное – следовательно, античное по стилю. Я отдаю себе полный отчет, что это несколько парадоксально: изучая прежде всего современные культурные и политические явления, отвечающие эпохе масс, в применяемых методах анализа мы вынуждены обращаться к античному пласту.(8) Такой подход, по всей видимости, выглядит необычно, тем не менее он адекватен своему предмету. Для облегчения понимания элементарно-математические положения переведены на современный математический язык, но в этом также, на наш взгляд, отсутствует некорректность: ведь таково и преподавание в школе, и наше рациональное бессознательное является, так сказать, "квазиантичным", т.е. таким, каким оно предстает в восприятии современного человека. Процесс всякого извлечения содержаний из бессознательного вызывает инстинктивное психологическое сопротивление, и этот фактор – наряду с инородностью, "неканоничностью" стиля исследования – должен учитываться при восприятии всего нижесказанного.
   Из статуса рационального бессознательного вытекает такое очевидное следствие: вряд ли на всем протяжении книги и, в частности, первой главы речь пойдет о чем-то действительно новом. Предмет изучения – скорее забытое старое: забытое нашей культурой в целом (так сказать, филогенетическое забвение) или лично читателем (онтогенетический аспект). Поэтому нередко будет возникать эффект дежавю, который, надеюсь, не очень помешает чтению. Если о коллективном бессознательном надежнее всего свидетельствуют мифы, то знание о его рациональном компоненте – тоже своеобразный миф, который, по выражению неоплатоника Салюстия, сообщает о том, что, возможно, не было никогда, но есть всегда. В том же смысле следует понимать рассматриваемые числовые закономерности: хотя в конкретно предлагаемой форме они в чем-то оригинальны, знание о них так или иначе присуще всем и всегда, и основная задача только в том, чтобы внести в эти знания систематичность, отделив от них излишние и неуместные, по нашему мнению, мистические наслоения.
   Человек, вернее, большие человеческие коллективы постоянно формируют стереотипы – в идеологии, науке, политике, философии, популярных литературных произведениях и т.д. Во-первых, стереотипы – это то, что всякий раз, на каждом этапе не является новым, а, напротив, широко и хорошо известно. Во-вторых, они – в качестве продукта коллективного, массового сознания – пребывают на границе сознательной и бессознательной психической сфер. Будучи наиболее простыми и удачными, не противоречащими сами себе и, значит, устойчивыми представлениями (что применительно к стереотипам тавтологически верно), своего рода организующими или "нервными" центрами культуры, ее мифологемами, они в значительной мере подчиняются рациональным принципам – как раз тем, которые разделяют современные образованные массы. В ряде случаев подобные стереотипы имеют облик предрассудков, т.е. априорных суждений. После Х.-Г.Гадамера к ним также следует относиться серьезно и не квалифицировать как заведомо ложные и потому неинтересные для науки положения. "По Гадамеру, предрассудки в гораздо большей степени, чем рефлексия, суждения и т.п. составляют историческую действительность бытия человека. Они законны, неизбежны, коренятся в объективных исторических условиях. И дело, следовательно, отнюдь не в том, чтобы отбросить эти предрассудки: их надо осознать, учесть, привести, так сказать, во взвешенное состояние" ^{[89, с. 16]}. Выявление рациональной основы общественных стереотипов, предрассудков, мифологем в их взаимодействии с культурой и социальной реальностью и составляет тему книги в целом; в настоящей главе предстоит исследовать одну из разновидностей таких основ, а именно ту, за которую ответственны целое число и комбинаторика. В свою очередь, подразделение объектов на составные компоненты и последующая манипуляция ими – неизменный признак всякого познания; воспользуемся для удобства словами одного из аналитиков: "Таким образом, в отражении ‹т.е. в познании. – А.C.› происходит установление границ в представленном материале, выделение объектов, объединение их в классы, их перебор, комбинирование и конструирование из них новых объектов" ^{[110, с. 143]}.
 

Примечания

 
   1 В послевоенные десятилетия пользовалось успехом и такое членение: либерализм – марксизм – национализм.
   2 Например, каковы основания, что система грамматических лиц включает в себя именно 3 лица, а не, скажем, 8 или 17, что физическое пространство в одну эпоху считалось трехмерным, затем четырехмерным, десятимерным и т.д.
   3 Одновременно Декарт "арифметизирует", или "алгебраизирует", геометрию посредством метода координат.
   4 Так, по наблюдению Уайтхеда, писатели последних столетий специально тренируют умы, чтобы воспитать в себе незаинтересованность в науке [336, с. 134].
   5 В подстрочном примечании переводчик С.Лурье поясняет: "Все эти явления надо, разумеется, объяснять тем, что в сфере первобытных культур речь идет прежде всего об индивидуально известных множествах, увеличение или уменьшение которых воспринимается как присоединение или недостаток определенных индивидуумов. Таким образом, речь идет не о "меньшей способности к абстракции", а о совершенно ином направлении интересов по сравнению с нами".
   6 "Числа вообще оказываются невыводимыми ни из чего другого, и все попытки на такую дедукцию терпят решительное крушение, а, в лучшем случае, когда повидимому к чему-то приводят, страдают petitio principii" [345, с. 595].
   7 В свою очередь, в основе всякой математики как безусловно данный элемент лежит число [там же, с. 205].
   8 О генезисе и типе различных разделов элементарной математики существуют и иные мнения. "Если наши геометрические курсы в значительной мере восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение" [координаты книги утеряны, остался лишь номер страницы: 183]. Как бы то ни было, независимо от первоисточников, античность прекрасно владела арифметикой, и для того, чтобы подчеркнуть разностильность современного "сайентистского" мышления, с одной стороны, и рационального бессознательного, с другой, не обязательно вдаваться в подробности, тем более, что в их оценках среди специалистов отсутствует единодушие. Когда в дальнейшем будут востребованы те сектора арифметических знаний, которые не были знакомы ни грекам, ни римлянам, это будет специально оговариваться.
 

1.2. Теоретическая модель

 
   Теперь, вероятно, достаточно подготовлена почва для более предметного разговора. Содержание настоящего раздела покажется иным из читателей отвлеченным, а то и скучным. Но это неизбежная и, надеюсь, краткосрочная скука, которую следует перетерпеть. Те, для кого приведенные выкладки тривиальны, могут прочесть данный раздел "по диагонали", подробности адресованы тем, кто основательно подзабыл школьную математику, хотя для них – см. ^{Предисловие} – такое чтение способно оказаться затрудненным вдвойне. Уже на старте необходимо выравнять шансы двух разрядов читателей. Сходный мотив ответствен и за выбор смешанного, индуктивно-дедуктивного пути изложения: каждая из абстракций по возможности снабжена иллюстрациями. Чтобы не злоупотреблять терпением, часть выкладок вынесена за рамки раздела, и поначалу допустимо лишь бегло ознакомиться с ним. Впоследствии, следуя ссылкам, его можно использовать как справочный материал.
   Выше упоминались некоторые из совокупностей тесно сопряженных друг с другом понятий. Таковы лица местоимений в языке, глагольные времена, составные члены триад немецкой классической философии, измерения физического пространства и др. Подобные группы отличаются своеобразным качеством целостности, и сейчас предстоит рассмотреть их более аккуратно.
   Для удобства обозначим любую из таких совокупностей, или систем, через S. Каждая из систем S состоит из определенного числа элементов или, что то же, разбивается на эти элементы. Последние могут быть самыми разнообразными: ветви государственной власти (законодательная, исполнительная, судебная), грамматический род (мужской, женский, средний), измерения физического пространства (три в ньютоновской механике и четыре в релятивистской). Таким образом, мы отвлекаемся от конкретной природы составных элементов; нам важно лишь то, что они вообще существуют и что в каждой системе S их определенное количество. Обозначим это количество через M. Вообще говоря, заранее неизвестно, какова именно величина M – в разных случаях она различна, – ее-то и предстоит выяснять. Итак, система S состоит из M элементов.
   Пока использована не вся информация. Мы видим, что элементы, из которых состоит система, не изолированы друг от друга, а каким-то образом взаимодействуют, связаны между собой, находятся в определенных реальных и/или логических отношениях. Никто ведь не станет всерьез утверждать, что, скажем, прошлое, настоящее, будущее суть изолированные друг от друга хронологические категории. Ради общности не будем строить никаких предположений о предметном характере упомянутых отношений: в каждой из систем S он, очевидно, свой. Пока достаточно и того, что связи, отношения явно наличествуют. Попробуем их пересчитать.
   Если элемент a1 связан с элементом a2, мы говорим об одном отношении между двумя элементами. Если элемент a1 сопряжен еще и с элементом a3 , то фиксируется второе отношение. Аналогично, если элементы a2 и a3 также корреспондируют между собой, то имеется третье отношение и т.д. Обозначим общее количество связей в системе S через k и отныне будем говорить, что она состоит из M элементов и k отношений.
   Определение свойств систем класса S еще не закончено. Ранее упоминалось такое качество как "целостность", постараемся с ним разобраться.
   Важно, что система S в известном смысле является полной, т.е. включает в свой состав все значимые для себя элементы. Скажем, если кантовская система высших человеческих ценностей состоит из истины, добра, красоты, то имеется в виду, что нет других высших ценностей, сопоставимых по значению с названными, к ним не сводимых, но при этом не внесенных в список. Этот список по-своему исчерпывающ.
   Если бы существовала хотя бы еще одна самостоятельная высшая ценность, которую мы забыли привести, то рассматриваемую систему не удалось бы полагать полной. Сходным образом, если бы помимо трех лиц местоимений мы пользовались еще каким-то независимым четвертым, то у нас не было бы прав именовать соответствующую грамматическую совокупность полной. Указанное обстоятельство математики иногда выражают так: система S состоит из M и только изM элементов. Определенную трудность для читателя может представлять разве что один нюанс: качество полноты системы следует полагать ранеепредъявленного количества элементов M ("ранее" – не обязательно во времени, а в плане логического предшествования).(1) Сама же величина M, во-первых, бывает в разных списках различной и, во-вторых, выступает в качестве логически производной.
   Система S является, кроме того, замкнутойили относительно замкнутой. Что это означает? – Смысл очень прост: составные элементы системы находятся в фактически и/или логически значимых связях только между собой и ни с чем внеположным. По крайней мере, никакие посторонние влияния не должны быть в состоянии изменить внутреннюю организацию, собственное строение системы, последняя должна быть независима от них. Все конституирующие связи принадлежат самой системе S ("все свое ношу с собой"). Будь это не так, она оказалась бы лишенной самодостаточности, логической прочности, произвольно перестраиваясь под воздействием тех или иных привходящих факторов.