Степанов А.. Число и культура

   Скажем, если ученые утверждают, что физическое пространство обладает тремя (или четырьмя) измерениями, то в обоих случаях предполагается, что физические события полностью вписываются в систему названных измерений. Заведомо исключается возможность непредусмотренного влияния из "ниоткуда": из неучтенных измерений или невесть из каких краев. В противном случае нам то и дело приходилось бы становиться свидетелями появления своеобразного deus ex machina. Отнюдь не случайно Ньютон сопровождал построение механики упорной борьбой с тем, что считал суевериями, т.е. с верой во вмешательство духов, ангелов или даже самого Бога в нынешнее течение физических процессов. Не стоит забегать чрезмерно вперед, но физическое пространство выступает как нечто самодостаточное, логически изолированное.
   Подобным предположением пользуются не только физики. Когда правоведы говорят о государственной власти, о разделении ветвей, считается само собой разумеющимся, что обязательные для всех решения исходят только от легальных, перечисленных в теории и в законе ветвей. Известна и иная точка зрения: некоторые люди склонны подозревать, что президенты, парламенты, суды – не более, чем крикливо размалеванная декорация, за которой "на самом деле" скрываются могущественные кукловоды (масоны, мафия, клубы заговорщиков-толстосумов, а то и пришельцы из космоса). Однако в юридическом плане такое мнение признается ничтожным, и совокупность законных инстанций наделяется самодостаточностью. Из последней не вытекает, что государственная власть свободна от влияния со стороны общества, прессы, групп интересов, текущих событий, но сам принцип разделения властей из-за этого не ставится под вопрос, – будучи закреплен в конституции, он обладает солидным запасом прочности, у него всегда семь футов под килем.
   Условие замкнутости формулируется так: в системе S действует k и толькоk значимых для нее отношений. Нетрудно заметить, что свойства полноты и замкнутости взаимно дополняют друг друга: то, чем служит полнота применительно к поэлементному составу системы, выступает как замкнутость применительно к ее отношениям. Оба свойства принадлежат априорной эвристической установке, логически предшествующей и предметному содержанию, и самому количеству составных компонентов и отношений.
   Системы S, наряду с полнотой и замкнутостью, подчиняются и другим ограничениям: такие системы, хотя и часто встречаются, довольно особенные. Их третье свойство назовем связностью, подразумевая под этим, что в системе нет изолированных или полуизолированных элементов. Каждый элемент связан со всеми другими посредством заданных в системе отношений.
   Это приходится специально оговаривать, потому что, вообще говоря, возможна и отличная ситуация. Лишь часть элементов системы могла бы взаимодействовать между собой, тогда как другая никак не связана с первой. В таком случае две части оказались бы изолированными друг от друга, и система S распалась бы на две самостоятельные подсистемы. Подобная картина нас не устраивает, коль скоро мы взялись исследовать "целостности".
   Под связностью понимается даже нечто большее. Представим себе случай, когда подавляющее большинство элементов системы пребывают во всесторонних связях между собой, а один – если и не абсолютный отшельник, то поддерживает контакт лишь с каким-то, допустим, одним же элементом из большинства, а остальные игнорирует. Тогда речь шла бы не о полной изоляции, а об ущербности, бедности связей, т.е. "полуизоляции". Нам это также не подходит, и если система S претендует на целостность, она обязана демонстрировать ее по всем критериям, во всех своих составляющих. Допустимо говорить о "сквозной", или "тотальной", связности, о воплощении тезиса "все связаны со всеми". В дальнейшем, именуя систему S целостной(вариант: холистичной), мы будем считать, что она обладает тремя перечисленными свойствами: полноты, замкнутости, связности.
   Строго говоря, на систему следует наложить еще одно ограничение, допускающее ряд эквивалентных формулировок, из которых выберем, например, " простоту". Чуть позднее мы подробнее поясним характер этого требования, сейчас же, чтобы не тормозить изложение, двинемся дальше.
   В каждом из отношений задействован один или несколько элементов, т.е. элементов в системе не меньше, чем отношений: M ? k (M больше или равно k). Каждый элемент, не являясь изолированным, в свою очередь, участвует в одном или в нескольких отношениях, т.е. отношений не меньше, чем элементов: M ? k (M меньше или равно k). Объединив два условия, получим:
 
   M = k
   ( 1 )
   В дискретных целостных системах число элементов равно числу отношений.
   Элементы системы связаны между собой (физически, логически, в любом интересующем плане) попарно, тройками, группами по четыре и т.д. При изучении реальных систем часто сосредоточивают внимание лишь на определенном классе отношений элементов между собой. Скажем, выбирая в качестве базовых попарные (бинарные) отношения, все остальные (взаимодействия одновременно по три, по четыре и т.д.) считают логически производными от бинарных. Так поступают, например, в классической физике, ставя во главу угла взаимодействие пар материальных точек, а к более сложным случаям переходят с помощью обыкновенного наложения, суперпозиции. Дело, конечно, не в физике как таковой, – аналогичные предположения используются в самых разных областях, где так или иначе задействован рассудок. По сходному пути пойдем и мы, выбирая в качестве конституирующей лишь одну из разновидностей отношений, однако уже не обязательно бинарных.
   Обозначим через n кратность отношений, заданных таким образом в системе, т.е. количество элементов, участвующих в каждом отдельном отношении, или взаимодействии. Если отношения бинарны, то n = 2 ; если тринитарны, то n = 3 и т.д. Сказанное – достаточно сильное логическое ограничение на систему, но, как вскоре предстоит убедиться, ее прецеденты встречаются чуть не на каждом шагу. Что, собственно, имеется в виду?
   Во-первых, мы отвлекаемся от того, что, например, один элемент может вступать в многообразныеотношения с другим, и в момент анализа берем только одноотношение: либо "генерализируя", "редуцируя" разнообразие и сводя его к одному "интегральному" сорту, либо рассматривая систему в некоем одном, специальном аспекте и под таким углом зрения априорно интересуясь только одним сортом. Подобные рамки суть заведомое упрощение многих реальных систем, но ведь сложное обычно познается посредством простого. Во-вторых, мы унифицировали отношения в смысле их кратности: например, если какая-то подгруппа элементов взаимодействует попарно, точно так же обязаны взаимодействовать и другие подгруппы. Если речь идет о тринитарном взаимодействии, таково оно для всех секторов. Подобная унификация есть не что иное, как требование логической однородностирассматриваемой системы: все ее части подчиняются одному и тому же принципу. Если бы было иначе, мы бы не знали, какой стратегии исследования придерживаться, и нам пришлось бы по-отдельности изучать, что происходит при одной кратности отношений (в одной подгруппе), а что при другой, т.е. мы все равно методологически вернулись бы к исходным простейшим случаям. Генерализация, редукция, выделение специального аспекта, унификация, достижение логической однородности – все это разные пути к выполнению одного и того же условия, выше названного простотой. Благодаря последней мы и можем определить кратность отношений n и считать ее одинаковой в рамках всей системы. Отныне у нас есть основание именовать такие совокупности не только целостными (полными, замкнутыми, связными),но и простыми.
   В результате, чтобы определить количество отношений k, нужно пересчитать все возможные группы, состоящие из n элементов. Это одна из стандартных для элементарной математики процедур, и для сверки читатель может заглянуть в начало любого краткого курса комбинаторики, например, в ^[235]:
 
   k = CMn,
   ( 2 )
   где СМn – число сочетаний из M элементов по n.
   Подставив формулу (2) в условие (1), получим:
 
   M = СMn.
   ( 3 )
   Ни один из курсов комбинаторики не обходится и без выражения для числа сочетаний ^{[там же, с. 517]}:
 
   Сmn = M! / (M – n )! n!,
   ( 4 )
   где знак факториала ( ! ) означает перемножение всех чисел от единицы до стоящего перед факториалом значения (например, M! = 1·2·3·…·M ).
   Объединив условие (3) с формулой (4), получим уравнение:
 
   M = M! / (M – n )! n!,
   ( 5 )
   в котором величина n выступает в качестве параметра.
   Решать данное уравнение предстоит уже в следующих разделах, а другой, для кого-то, возможно, более убедительный, вывод вынесен в ^{Приложение 1} .
 

Примечания

 
   1 Поскольку составляемой модели предстоит работать с весьма элементарным, генетически древним (см. Предисловие) срезом культуры, постольку уместна ссылка на Аристотеля, на его мнение, что целое предшествует частям, см. [25, с. 379]. Или проще: представим себе ситуацию, когда мы собираемся составить некий заведомо полный список, но еще не знаем ни из каких единиц он будет состоять, ни сколько таких единиц потребуется.
 

1.3. Тройственные структуры

 
   Вначале рассмотрим систему грамматических лиц. Когда мы мысленно отвлекаемся от конкретных предметов, вернее от их персональных имен, употребляются соответствующие родовые слова, местоимения. И в фило-, и в онтогенетическом планах это уже довольно высокая степень абстракции. В "Начатках русской грамматики" А.Ветухова (Харьков, 1909) читаем: "Местоимение есть замена одного из имен (существительного, прилагательного и числительного); это своего рода формула обобщения, алгебраический знак, раскрываемый подстановкой конкретной величины"(курсив мой. – А.С.; цит.по: ^{[346, с.686]}). Из всего разнообразия затем выделяется отдельный класс личных местоимений, и грамматических лиц при этом оказывается три. В "Столпе и утверждении истины" П.А.Флоренский замечает: "Насколько мне известно, нет языка, где число грамматических лиц было бы иное, чем три" ^{[345, с.806]}, – но относится к такому факту как к очевидно исходному, в дальнейшем используя его в целях, далеких от тех, что поставлены в настоящей работе. Мы же, убедившись в том, что рациональный подход в данном случае уместен (уже до нас здесь основательно поработала логика), попробуем проанализировать.
   В какой реальной, логической ситуации происходит конституирование грамматических лиц, иными словами, типов личных местоимений? – Выглядит правдоподобным, что такой ситуацией послужил и служит до сих пор диалог. Здесь нет нужды думать о чем-то концептуально высоком, скажем, о такой замысловатой черте литературно-художественной речи как диалогичность (М.М.Бахтин обнаружил ее в романах Достоевского ^[40]и даже утверждал, что диалогично само понимание ^{[84, с. 123]}). Мы имеем в виду нечто гораздо более элементарное, знакомое и древним людям, и нынешним детям. Простым вещам труднее всего присваивать наименования, пусть это обозначается как "тривиальный диалог" или "диалог как таковой". С общения матери с младенцем по существу и начинается речь, да и затем, на протяжении жизни, диалог продолжает оставаться ядром, костяком, обрастающим плотью языка, он в значительной мере ответствен и за само мышление. Диалог играет роль своеобразного прототипа или матрицы – нам незачем строить слишком обширных предположений, достаточно, что применительно к личным местоимениям.
   Диалог по сути и по названию задает бинарноеотношение между реальными или воображаемыми участниками, n = 2. Для него необходимо как минимум два человека, и даже если мы разговариваем сами с собой, то общаемся с мысленным образом другого или своим alter ego (в последнем случае говорят о внутреннем диалоге). Первые два лица – Я и Ты (англ. I and You, нем. Ich und Du) фиксируют двух наиболее активных участников обобщенного диалога. Все остальное оказывается возможным выразить с помощью всего одного – третьего – дополнительного лица. Почему?
   Прежде всего, процедура формирования лиц опирается на саму возможность распределить реальных участников беседы по типам – в зависимости от занимаемой ими речевой позиции. Причем, чтобы результат оказался практически полезным, количество типов должно быть конечным. Подобные условия обычно специально не оговариваются, оставаясь само собой разумеющимися. Кроме того, система грамматических лиц с самого начала ориентирована на по-своему исчерпывающее описание диалогической ситуации, т.е. предполагает, что все неучтенное, постороннее должно быть исключено. На нашем языке: строящаяся совокупность должна обладать в своих рамках качествами полноты и замкнутости.
   Все лица связаны между собой живыми логическими нитями, т.е. следует констатировать качество связности. Наконец, грамматики стремятся схватить диалог как концептуально единую и простую картину, т.е. выполнено и четвертое условие для систем S. Диалогическая дуальность отношений лиц, n = 2, соответствует и тому, что лица конституируются посредством попарного сопоставления друг с другом, значит, аналитическая процедура зиждется на бинарной, аристотелевой логике. В таком случае остается лишь взять ранее составленное уравнение (5) и подставить в него значение n = 2.
   Учитывая интересы тех, кто подзабыл школьную математику, проведем выкладки максимально подробно:
 
   M = M! / (M – 2)! 2!
   Двойка под факториалом в знаменателе правой части – это единица, умноженная на 2, т.е. равна 2. Второй сомножитель в знаменателе представляет собой произведение чисел от 1 до (М – 2), а М! в числителе есть то же, но дополнительно умноженное на (М – 1) и М. Сократив одинаковые сомножители в числителе и знаменателе, получим:
 
   M = M (M – 1) / 2.
   Если количество элементов в системе отлично от нуля и от бесконечности (а это не очень сильные допущения: нам редко хочется думать о диалоге, в котором совсем нет участников, а актуально бесконечное число лиц лишено практического смысла), то можно также сократить сомножители М в правой и левой частях уравнения. Поэтому
 
   (М – 1) / 2 = 1, откуда М = 3.
   Если ситуация диалога мыслится как целостная и простая, для ее описания требуется три логические позиции, или лица.
   Обратим внимание на несколько немаловажных моментов. Во-первых, деление на три компонента в данном случае не является обобщением эмпирических фактов: в реальной беседе могут принимать участие и два субъекта, и четыре, и пять… Тем не менее действующая языковая модель оказалась трехсоставной, логических мест в ней закреплено именно три: так, как будто картина двух собеседников дополняется воображаемым третьим, или так, что в примерах с множеством участников третий, четвертый, пятый и т.д. объединяются в одну таксономическую группу, выступающую под единой шапкой собирательного третьего лица.
   Во-вторых, чтобы прийти к искомому результату, нам не пришлось рассматривать сложный и во многом темный процесс тех эпох, когда формировался язык, в частности вычленялись лица, т.е. самого "позитивного" механизма формообразования мы не касались. По-видимому, это был бы заведомо непродуктивный путь: вдаваться в конкретные детали лингвистического развития, особенно если имеется в виду праистория, затем обобщать полученные данные по разным народам. Напротив, логико-феноменологический подход быстро приводит к цели, хотя, конечно, не стоит забывать, что за ним – настоящая бездна коллективной речевой практики далеких тысячелетий.
   В-третьих, в тринитарной классификации грамматических лиц чувствуется рука достаточно изощренного в логике мастера, что заставляет вспомнить: первая теоретическая грамматика родилась в эллинистической Александрии II – III вв. до н.э., стоявшей на плечах блестящих греческих философов и ученых, и все европейские грамматики воспроизводят ее образец.(1) След упомянутого "логического искусства", даже "искусственности", различим до сих пор. Если для первых двух лиц (в единственном числе, именительном падеже) существуют единственные репрезентанты: Я и Ты, – то у третьего нет однозначно-единственного представителя. Понятие о нем отвлеченно и выступает "по-пифагорейски" под номером. Навряд ли ребенок, уже прекрасно умеющий говорить и, следовательно, правильно употреблять лица, сумел бы догадаться без школьных штудий, что Он, Она, Оно суть одно и то же грамматическое лицо.
   Античные грамматики не использовали, конечно, никаких выражений с факториалами. К тому же результату нетрудно прийти и без них – методом непосредственного перебора. Воспользуемся им для проверки. В системе S, состоящей из элементов a 1 , a 2 , a 3, заданы бинарные отношения. Каково количество таких отношений? – Элемент a 1связан с a 2, запишем первую пару ( a 1 , a 2). Но a 1связан и с a 3, что соответствует паре ( a 1 , a 3). Наряду с ними существует и третья пара – ( a 2 , a 3). И никаких других пар нет, т.е. количество отношений k равно трем. Поскольку элементов в системе также три, M = 3, постольку выполнено ключевое условие (1). Мы, однако отдали предпочтение более общему выражению, т.к. это предоставляет ряд преимуществ, в чем впоследствии еще предстоит убедиться.
   Итак, практическое многообразие бесед, в которых могут принимать участие любое количество человек, спроецировано в грамматике на одну нормативную модель, представленную тремя лицами. Поскольку в реальных разговорах субъекты постоянно меняются местами: адресат сообщения Ты превращается в ответной реплике в Я, Он активизируется до Ты или Я, – постольку всякий раз рассматривается синхронический речевой срез. Такова плата за эссенциальную логичность.
   Ситуация почти калькируется применительно к грамматическим родам: мужскому, женскому, среднему. Совокупность конечного количества родов по-прежнему является логически полной, замкнутой, связной: ведь данная классификация заранее ориентирована на исчерпывающую дескриптивную полноту ("список полон"), критериальный признак деления самостоятелен, свободен от посторонних влияний ("замкнутость"), и, наконец, каждый род определяется в сравнении, противопоставлении другим, т.е. ситуация логически связна. На рассматриваемой совокупности задана, кроме того, "сексуальная" оппозиция, исходно – противоположность двух главных родов: мужского и женского, n = 2. Целостность и простота, соответственно, достигаются привнесением всего одного дополнительного рода: не-мужского и не-женского, т.е. среднего. И это невзирая на то, что объектов, которым не удается приписать ни мужские, ни женские черты, существует множество самых разных сортов.
   В одних языках – например, в русском, немецком – упомянутое членение применяется не только к личным местоимениям, но и к существительным, в других – скажем, английском – у существительных нет родов, но личные местоимения и в них подразделяются по родам. Более точную информацию можно почерпнуть у лингвистов: "Индоевропейская трехродовая система трактуется как результат преобразования более древней двухклассовой системы; А.Мейе полагал, что род развивался из оппозиции одушевленность-неодушевленность, К.К.Уленбек – из оппозиции активность-пассивность" (Виноградов В.А. Род // Языкознание. Большой энциклопедический словарь. – М., 2000; с. 418). Кроме того, сообщается, что категорию рода считают "'палеонтологической' категорией, уходящей корнями в особенности древнего мифологического мышления", а также то, что "в современных языках встречаются как трехродовые системы , так и двухродовые (в романских, иранских)". Здесь не место для обсуждения конкретных причин реализации двухродового деления в определенных группах языков (один из вариантов логики двухчастности – см. Приложение П.2.1), ведь мы заняты исключительно числами, и всего родов, как и полагается, в лингвистических теориях три.
   Хронологический план реальности, в свою очередь, претендует на дескриптивную самостоятельность. Отражая порядок, в котором события следуют друг за другом, тем самым он устанавливает дуальные отношения между ними: событие A предшествует событию B, n = 2. Каноническая система времен в результате оказывается представленной тремя основными элементами: прошлым, настоящими будущим. Такие компоненты часто интерпретируются как самостоятельные части, или области, времени, связанные теми же бинарными отношениями "раньше/позже". Иногда прибегают к менее привычному толкованию: например, М.Хайдеггер, вслед за Гегелем ("Философская пропедевтика", § 102 ^{[91, с. 173-174 ]}), говорит о времени как о "сфере тройного простирания" ^{[355, с. 93]}, "время оказывается трех измерений" ^{[там же, с. 92]}. Но в обоих случаях M = 3. Читатель уже хорошо понимает, почему, и, вероятно, нет нужды в подробной прогонке сквозь модель.
   К трехчастному членению времени прибегал Конфуций, сформулировавший "закон трех стадий": Стадия Беспорядка, Кратковременное Успокоение, Великое Подобие или Равновесие ^{[305, с. 382]}. Китайские священные книги отталкивались от сходных соображений: в период правления хороших императоров "каждые три года устраивался экзамен заслуг ‹для чиновников›, и после трех экзаменов незаслуживающие продвижения разжаловались, а заслуживающие двигались по лестнице вверх" ^{[там же, с. 383]}. В свою очередь, учение зороастризма, самой древней из мировых религий откровения, утверждало, что история делится на три эры: "Творение" (утверждение добра – в прошлом), "Смешение" (упадок, борьба с Ариманом – настоящее) и "Разделение" (добро снова отделено от зла и последнее окончательно уничтожено – в будущем) ^{[58, с.36-37]}. При этом у истории есть не только начало, но и конец ^{[там же, с. 36]}, т.е. зороастрийцы обеспечивали "компактность" системы эр за счет физической конечности времени. Эсхатологизм, следует сказать, не является непременным условием трехчастности – достаточно и логическойкомпактности ("мысленной обозримости") времени как системы. Однако вернемся к грамматике.
   На языковых примерах удобно проиллюстрировать еще один занятный факт – появления несколькихлогических ступеней членения, неоднократногоприменения бинарной логики к феноменам, которые стяжают качество внутренней целостности. Как поступать, если мы не намерены отказываться от холистичности своих представлений, если сохраняем верность "здравой" бинарной логике, но при этом не удовлетворены степенью аналитической тонкости, достигнутой в результате трехчастности? Как повысить степень дифференцированности системы понятий, не изменив логической последовательности? В таких случаях названную процедуру применяют повторно.
   Возвратимся к личным местоимениям. Если Я и Ты наглядно представлены в событии диалога как источник и адресат реплики, обладают предметной определенностью, то третье лицо, как мы помним, несколько "расплывается", ему не присуща такая же четкость и ясность. Можно предположить: всякий раз не являясь активным участником диалога, пребывая в этом смысле в стороне, третье лицо может рассматриваться как нечто отдельное, самостоятельное. При этом оно по-своему целостно, отражая, так сказать, "нарративно-эпическое" единство охватываемых им предметов. Следовательно, к нему в свою очередь может быть применена операция, ведущая к трехсоставности – к третьему лицу подходят с категорией рода, и оно распадается на Он, Она и Оно (англ. He, She, It, нем. Er, Sie, Es). Собирательное же местоимение в третьем лице (в единственном числе) в языках просто отсутствует. Совокупность личных местоимений предстает в грамматике в следующем виде:
 

 

Рис. 1-1

 
   Со сходной ситуацией мы сталкиваемся, обращаясь к временным грамматическим категориям некоторых языков. Если русский удовлетворяется тремя временами глаголов: прошлым, настоящим и будущим, – выражая более тонкие смысловые оттенки с помощью иных лексических средств, то, скажем, в немецком обстоит по-другому. Отправляясь от тех же представлений о тринитарности времени (см. Гегель, Хайдеггер), автоматически подразумевая ту же бинарную логику, немецкая грамматика указывает, однако, не на три, а на шесть различных временных форм. Не вдаваясь в детали: три прошедших времени (Imperfekt, Perfekt, Plusquamperfekt),(2) одно настоящее (Praesens) и два будущих (Futurum I и Futurum II). Типологизированная хронологическая реальность при этом имплицитно подразделяется на две относительно самостоятельные части: на временную область, от нас уже не зависящую (таковой является прошлое), и на область еще не устоявшейся реальности, на которую мы в состоянии оказывать влияние, т.е. настоящее с будущим.
   Коль возникает потребность в более точной логической фиксации отношений предшествования (ибо в прошлом и будущем, в свою очередь, одно событие наступает раньше другого), то к двум указанным областям снова может быть применена та же логическая процедура, ведущая к тринитарности. При этом прошлое, соответственно, оказывается представленным тремя временами (повторим: Imperfekt, Perfekt, Plusquamperfekt), и совокупность настоящего-будущего также тремя. Выбор, какое именно из двух последних времен: настоящее или будущее, – нуждается в дополнительном уточнении, возможно осуществить исходя из следующих мотивов. Настоящее, в котором мы пребываем, которому являемся непосредственными свидетелями, уже в силу этого достаточно определенно. События в настоящем, если взгляд говорящего не перемещается вместе со временем, одновременны. Будущее, напротив, всегда несколько "туманно", протяженно, и в его рамках действует отношение предшествования. Поэтому дополнительному аналитическому расщеплению должно подвергнуться именно оно – однако уже не на три, а только на две единицы, ведь одно из трех логических мест уже занято настоящим. Вновь прибегнем к схеме: